绝对值的性质及化简
【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a
的绝对值记作a . （距离具有非负性）
【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根
据性质去掉绝对值符号.
② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0.
③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负
号，绝对值是5.
【求字母a 的绝对值】
①(0)
0(0)(0)
a a a a a a >??
==??-
②(0)(0)a a a a a ≥?=?-?=?-≤?
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =
【绝对值的其它重要性质】
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
即a a ≥，且a a ≥-；
（2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；
a a
b b
=(0)b ≠； （4）2
2
2
||||a a a ==； （5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．
【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。 【绝对值不等式】
（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数
式类型来解；
（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：
A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；
B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的 式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。 【绝对值必考题型】
例1：已知|x －2|＋|y －3|＝0，求x+y 的值。
【例题精讲】
（一）绝对值的非负性问题
1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.
2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = 【例题】若
3150x y z +++++=，则x y z --= 。
总结：若干非负数之和为0， 。
【巩固】若7
322102
m n p ++-
+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a
2)23(223222
+??
?
???---．
其中a 、b 满足
0)42(132=-+++a b a .
（二）绝对值的性质
【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）
A ．11a
B ．-11a
C ．-3a
D ．3a
【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A ．1，0
B ．正数
C ．非正数
D ．非负数
【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）
A ．7或-7
B ．7或3
C ．3或-3
D ．-7或-3
【例4】若
1-=x
x ，则x 是（
）
A ．正数
B ．负数
C ．非负数
D ．非正数
【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a
B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b
D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a
【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）
A ．2
B ．2或3
C ．4
D ．2或4
【例7】a ＜0，ab ＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）
A ．6
B ．-4
C ．-2a+2b+6
D ．2a-2b-6
【例8】若|x+y|=y-x ，则有（ ）
A ．y ＞0，x ＜0
B ．y ＜0，x ＞0
C ．y ＜0，x ＜0
D ．x=0，y≥0或y=0，x≤0
【例9】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
【例10】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若|m|＞m ，则m ＜0；
（4）若|a|＞|b|，则a ＞b ，其中正确的有（ ）
A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（2）（4）
C ．（1）（3）（4）
D ．（2）（3）（4）
【例12】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________
【例15】已知数,,a b c
则下列各式：
①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③
1=++c
c
b b a a ；④0>-a b
c ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．
（请填写番号）
【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求
a b c abc
+++
的值
c
a 0b
（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）
零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号． 【例题】阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道()()()
0000x x x x x x >??
==??
-
如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得
12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-
综上讨论，原式()
()()
211312212x x x x x -+<-??
=-
-?≤≥
（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++- 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．
（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；
当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．
【巩固】化简
1. 12x x +++
2. 12m m m +-+-的值
3. 523x x ++-．
4. (1)
12-x ；
变式5.已知
23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
（四）
b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．
【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：
(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . (2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 .
(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 . (4) 满足
341>+++x x 的x 的取值范围为 .
(5) 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．
（五）、绝对值的最值问题
例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、 1）非负数：0和正数，有最小值是0 2）非正数：0和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0 4）x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，
-|x+m|≤0有最大值是0
（可以理解为x 是任意有理数，则x+a 依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0） 5）x 是任意有理数，m 和n 是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n
-|x+m|+n≤n，有最大值是n
(可以理解为|x+m|+n 是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值
例题1：1 ) 当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2 ) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3 ) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4） 当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？
解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3
例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？
3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？
思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则
1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
归档总结：
若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
【例题6】
|x-1|的最小值
|x-1|+|x-2|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值
【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值
（2）已知|x|≤3，求x的取值范围
（3）已知|x|＜3，求x的取值范围
（4）已知|x|≥3，求x的取值范围
（5）已知|x|＞3，求x的取值范围
【例题8】
（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？
【乘方最值问题】
（1）当a取何值时，代数式（a-3)2有最小值，最小值是多少？
（2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少？
（3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少？
（4）当a取何值时，代数式-（a-3)2有最大值，最大值是多少？
（5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少？
（6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少？
（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？
【探究1】某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？
【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左
到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？
【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An 共n 个汽车站（从
左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？
【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。
探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到表示1、2、…、617各点的距离之和最小。
【课后练习】
1.（1）当x 取何值时，
3-x 有最小值？这个最小值是多少？
（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值。
（4）求987-+-+-x x x 的最小值。
2．已知
1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的
最大值与最小值．
3、若|1|a b ++与2
(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
4．若1++b a 与2
)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．
A ．a>b
B ．a=b
C ．a D ．a ≥b 5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到-3 的距离之和，它表示两条线段相加： ⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大； ⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大； ⑶当 ≤x ≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。 因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。 6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x 到-7的距离与x 到1的距离之差 它表示两条线段相减： ⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ； ⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ； ⑶当 x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时， 有最小值 ； 7．设0=++c b a ，0>ab c ，则的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 8．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤， 则 a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ． 绝对值（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??- ，有 |x | 0(0)(0) x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈ 或 2利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x | ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解， 这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2 =2 x 可在两边脱去绝对值 符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝 对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简 单化，此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<( m 为正常数)类型不等式。对 ||||ax b cx d m +++>(或 二、如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 （一）、根据题设条件 例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。 （A ）2-x （B ）2+x （C ）-2+x （D ）-2-x （二）、借助数轴 例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（）（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a （三）、采用零点分段讨论法 例3：化简2|x-2|-|x+4| 三、带绝对值符号的运算 如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。 (一)、要理解数a的绝对值的定义。 数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。”应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身 是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 (二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。 从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝 对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时， 怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是 非负的作用，二是括号的作用）。 (三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0 时，︱a︱= a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时，︱a︱= 0(性质2：0的绝对值是0) ； 当a<0 时；︱a︱= –a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性 质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0 时，︱a+b︱= (a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱= (a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)； 当a+b<0 时，︱a+b︱= –(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3 个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。 因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小， 所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！ 6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算 万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。 四、去绝对值化简专题练习 （1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（）。 （A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x （2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值 等于（） （A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a （3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是x-8 。 （4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-x+8 。 （5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-3x 。 （6）已知a、b、c、d满足a<-1 那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成） （7）若｜-a｜>-a，则有（ A ）。 （A）a>0 （B）a<0 （C）a<-1 （D）-1 （8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简 结果为（ C ）．（A）2a+3b-c （B）3b-c （C）b+c （D）c-b （9） 有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b ，b-2a ， |a-b|，|a|-|b| 中负数的个数是（B ）． （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 (10) 化简|x+4|+2|x-2|= (1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2) (11) 设x 是实数，y=|x-1|+|x+1| 下列四个结论中正确的是（ D ）。 （A ）y 没有最小值 （B ）有有限多个x 使y 取到最小值 （C ）只有一个x 使y 取得最小值 （D ）有无穷多个x 使y 取得最小值 变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1; 变式2.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。 【绝对值化简题例】 绝对值化简公式： 例题1：化简代数式 |x-1| 例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2| 例题3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13| 例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|
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