第三章综合检测题
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－4
5，则sin β＝( )
A ．0
B ．0或2425 C.2425 D ．±24
25
[答案] C
[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－4
5，
∴cos α＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±3
5，
当sin(α＋β)＝3
5时，sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝35×4
5－????－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－3
5时，
sin β＝－35×45－????45×3
5
＝0.
又β∈????π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425
. [点评] (1)可用排除法求解，∵π
2
＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D.
(2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝4
3(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－
1或－725，再结合π
2
<β<π可求sin β.
2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( ) A ．π＜θ＜3π2 B.5π4＜θ＜7π4 C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π4
[答案] B
[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞
22或sin θ＜－2
2
，
又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－
22
， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π
4
.
3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位得到 B ．向右平移π
8个单位得到
C ．向左平移π4个单位得到
D ．向右平移π
4个单位得到
[答案] C
[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
4)
＝2sin2(x ＋π
8
)
y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π
8)
其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π
8
∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π
4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．
4．下列各式中，值为
3
2
的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° [答案] B
[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，排除A.
cos 215°－sin 215°＝cos30°＝
3
2
，故选B. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.
62 B.54 C.32 D.2
3
[答案] B
[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54
.
6．若f (x )＝2tan x －2sin 2x
2－1
sin x 2cos x
2
，则f ????
π12的值是( )
A ．－433
B ．－4 3
C ．4 3
D ．8
[答案] D
[解析] f (x )＝2tan x ＋cos x
1
2sin x ＝2????sin x cos x ＋cos x sin x ＝2·1sin x ·cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4
sin π
6
＝8.
7．若－π2≤x ≤π
2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )
A ．1，－1
B ．1，－1
2 C ．2，－1 D ．2，－2
[答案] C
[解析] ∵x ∈????－π2，π2，∴x ＋π
3∈????－π6，5π6， ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ????x ＋π
3， ∴f (x )最小值为－1，最大值为2.
8．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间????0，π
2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )
A ．4
B ．－6
C ．－3
D ．－4 [答案] D
[解析] f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a ＝2sin ????2x ＋π
6＋a ＋1 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π
6，
∴－1
2
≤sin ????2x ＋π6≤1， ∴f (x )min ＝2×???
?－1
2＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π
6 [答案] C
[解析] ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ＝1－cos C ， ∴sin ????C ＋π6＝1
2
， 又∵0 10．锐角三角形的内角A 、B 满足1 tan tan sin 2A B A - =，则有（ ） A 、sin 2cos 0A B -= B 、sin 2cos 0A B += C 、sin 2sin 0A B -= D 、sin 2sin 0A B += 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把准确答案填在题中横线上) 11．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2 3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是 [解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2 3，得??? sin 2 x －2sin x sin y ＋sin 2 y ＝4 9cos 2 x －2cos x cos y ＋cos 2 y ＝4 9 ， 相加得cos(x －y )＝5 9 ， ∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π 2 ∴sin(x －y )＝－214 9， ∴tan(x －y )＝－214 5 ，故选B. 12．已知tan()a αβ+=，则tan α＋tan β＋a tan αtan β＝________. [答案] 3 [解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝ tan20°＋tan40° 1－tan20°tan40° ∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3. 13.1sin10°－3 sin80°的值为________． [答案] 4 [解析] 原式＝cos10°－3sin10° sin10°·cos10° ＝ 2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12 sin20°＝4cos70° sin20°＝4. 14．已知α，β∈????3π4，π，sin(α＋β)＝－3 5，sin ????β－π4＝1213，则cos ????α＋π4＝________. [答案] －56 65 [解析] ∵α，β∈????3π4，π，∴α＋β∈????3π 2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝4 5. ∵β－π4∈???? π2，3π4，sin ????β－π4＝1213， ∴cos ????β－π4＝－513 . ∴cos ????α＋π4＝cos ????(α＋β)－????β－π4 ＝cos(α＋β)cos ????β－π4＋sin(α＋β)sin ????β－π 4 ＝－56 65 . 15．关于函数f (x )＝cos ? ???2x －π3＋sin(2)3 x π -，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间???? π24，13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π 24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中准确命题的序号是________．(注：把你认为准确的命题的序号都填上) [答案] ①②③ [解析] 化简f (x )＝cos ????2x －π3＋cos ????2x ＋π2－π3＝cos ????2x －π3－sin ????2x －π3＝2cos ????2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①准确．T ＝2π 2 ＝π，即②准确． 由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得，k π＋π24≤x ≤k π＋13π 24 ，即③准确． 将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24 个单位得y ＝2cos ????2????x ＋π24≠f (x )，∴④不准确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. (本题满分12分) 已知正实数a,b 满足 的值，求a b b a b a 158tan 5 sin 5cos 5cos 5 sin ππππ π =-+。 分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方a b 程，从而可求出由a b ，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解。 解法一：由题设得 ?=-+ π πππππ 15 8cos 158sin 5sin 5cos 5cos 5sin a b a b .33tan 515 8cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin 158cos 5cos 158sin ==??? ??-??? ??-=?+??-?= πππππππππππππa b 解法二：sin cos 5 55a b π π π??? +=+ ??? 因为， cos sin tan 5558tan tan . 51585153tan tan tan 33b a b a k k b k a ππ π??ππ?ππ?ππ?πππ?π?? -=+= ??? ?? += ???+=+=+? ?==+== ???，其中， 由题设得所以，即， 故 解法三：tan 8 5tan 151tan 5 b a b a πππ+ =-原式可变形为：， ()( )tan tan 85tan tan tan 5151tan tan 5 8,5153 tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k a π απααππαππ αππαπππαπ+??==+= ???-?+=+∈=+∈? ?=+=== ?? ?令，则有， 由此可所以，故 点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式()?ααα++= +sin cos sin 22b a b a ， tan b a ?? ?= ??? 其中，或sin cos a b αα+ ()tan a b α??? ?=-= ?? ?，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以注重；解 法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。 17．(本题满分12分) 已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π 2 . (1)求tan2α的值；(2)求β的值. (1)由cosα＝17，0<α<π 2，得sinα ，∴tanα ＝于是tan2α＝ 22tan 1tan α α - ＝ ……………………………………………………7分 (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π 2 . 又∵cos(α－β)＝13 14，∴sin(α－β) 由β＝α－(α－β)得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314 ＋ 12 ， ∴β＝ 3 π . ……………………………………………………14分 18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象 与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π 2 . (1)求m 和a 的值； (2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈????0，π 2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝ 1－cos2ax 2－3 2 sin2ax ＝－sin ????2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝3 2 ， 由题设知，函数f (x )的周期为π 2，∴a ＝2， 所以m ＝－12或m ＝3 2，a ＝2. (2)∵f (x )＝－sin ? ???4x ＋π6＋1 2， ∴令sin ????4x ＋π6＝0，得4x ＋π 6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π 24 (k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π 2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 所以点A 的坐标为????5π24，12或???? 11π24，12. 19．(本题满分12分)函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b ，x ∈????0，π 2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值． [解析] ∵f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b ＝－2a · ??? ?32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ? ???2x ＋π 6＋2a ＋b ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π 6， ∴－1 2 ≤sin ????2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有????? 3a ＋b ＝1 b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5， 当a ＜0时，有? ??? ? b ＝13a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1. 20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小． [解析] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin B (sin A －cos A )＝0. 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A . 由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2(3π 4－B )＝0， 即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0. 由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π 12. 方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得 sin B ＝－cos2C ＝sin ????3π2－2C . 因为0 2. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π 2 . 由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin B (sin A －cos A )＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A . 由A ∈(0，π)，知A ＝π 4 . 从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π 2不合要求． 再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π 12. 所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π 12. 21．(12分) 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （1） 若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ =，求证：a ∥b . [解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本水平。满分14分。
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