：x 岁死亡概率
表示x 岁的一批人在x ~ x + n 岁之间的死亡人数。 表示x 岁的人群在x ~ x + n 岁的死亡概率
表示 x 岁的人继续存活n 年的概率
表示x 岁的人继续存活n 年并在第n + l 年死亡的概率，或x 岁的人在x + n ~ x + n+1岁死亡的概率
表示x 岁的人在x + n ~ x + n + m 岁之间死亡的概率（或者x 岁的人存活到
x+n 岁并在x+n ~ x+n+m 岁之间死亡的概率
：x 岁的人生存的人年数
但通常0岁组死亡人数的分布很不均匀，一般用下面经验公式计算：
这间接说明0 ~ 1岁之间的婴儿死亡率高于其他年龄段的死亡率
x
q x n d
x n q
x
n
x x x
x n
x n l l l l d q +-=
=
x
n
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n x x n l l p +=
x n q x
n
x n x n x n x x n x n x x n x n l d l l l l l q p q +++++++=-?=?=1x m n q
x n x n x n m x n x n m m
x n x n
x m x n
n m x x n x
x
l l l l l d q p q l l l l ++++++++++--=
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1
00724.0276.0l
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T
《精算技术》公式 第一章 利息理论 1n n v a i -=； ()11n n n v a a i d -=+=&&； () ()11 1n n n n i s a i i +-=+= ； ?? ? ?? -=11511000x l x ； 1a i ∞=； 1a d ∞ =&&； 1n n v a δ -= ； ()11 n n i s δ +-= ； ()n n n a nv Ia i -= &&； ()()()1n n n n s n Is Ia i i -=+=&&； ()n n n a Da i -=； ()()1n n n n i s Ds i +-= ； ()211 Ia i i ∞ =+。
第二章 生命表 22x x x m q m = +； 1x x x l l d +=-； x x x d q l =； ()11 2 x x x L l l += +； 1 x x x t t T L ?--+== ∑ ； x x x T e l = 。 第三章 生存年金 生存年金的概念及其种类。 生存年金现值计算公式
各种年金之间的关系式： x a =:x n a +|n x a | n x a =n x E x n a + x a &&=1+x a :x n a &&=1+:1x n a - | n x a &&=1|n x a - |n m x a &&=1|n m x a - :x n s =:x n a 1 n x E :x n s &&=:x n a &&1n x E ()m x a &&=()m x a + 1 m ()m x a =():m x n a +()|m n x a () | m n x a =n x E ()m x n a + 转换函数的定义
习题 第一章人寿保险 一、n 年定期寿险 【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。 I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。 解：I 表4–1 死亡赔付现值计算表 年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2) （4） （5）=(3)*(4) 1 1 1000 103.1- 970.87 2 2 2000 203.1- 1885.19 3 3 3000 303.1- 2745.43 4 4 4000 403.1- 3553.9 5 5 5 5000 503.1- 4313.04 合计 --- 15000 --- 13468.48 根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为： 48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=?+?+?+?+??-----（元） 则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。 解：II 表4–2 死亡赔付现值计算表 年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值 （1） （2） （3）=1000*(2) （4） （5）=(3)*(4) 1 1000*40q =1.650 1650 103.1- 1601.94 2 1000*40|1q =1.809 1809 203.1- 1705.16 3 1000*40|2q =1.986 1986 303.1- 1817.47 4 1000*40 | 3q =2.181 2181 403.1- 1937.79
一）准精算师部分 准精算师部分由八门专业课程及一门职业道德教育课程组成。 具体课程名称和主要内容如下： 课程名称 考试内容 A1 数学 1）概率论（30%）； 2）数理统计（20%）； 3）随机过程（20%）； 4）应用统计（20%）； 5）随机微积分（10%）。 A2 金融数学 1）复利数学（40%）； 2）利率期限结构和随机利率模型（20%）； 3）未定权益基本分析和风险中性评估（20%）； 4）投资组合理论基础（20%）。 A3 精算模型 1）基本模型：生存模型和多状态模型、财产责任保险常见风险标的模型、个体模型和聚合模型；（40%）2）统计建模初步：参数估计和校验：频率和索赔额模型、信度理论；（20%） 3）统计模型的进一步分析：修匀原理和方法（10%）
4）破产模型；（20%） 5）情景及敏感性测试：随机模拟（10%） A4 经济学 宏观经济学（30%）、微观经济学（50%）、金融学（20%）A5 寿险精算 1）寿险精算数学（60%） 2）寿险精算实务（40%） A6 非寿险精算 1）非寿险精算数学（60%） 2）非寿险精算实务（40%） A7 会计与财务 1）会计基本原理（25%）； 2）会计准则（25%）； 3）各种经营实体介绍（20%）； 4）企业会计的基本结构（15%）； 5）企业会计的解释能力和局限性（15%）。 A8 精算管理 1）企业运营的一般环境（10%）； 2）风险评估、风险类型和风险度量（15%）；
3）产品（或服务）的设计和开发（10%）； 4）产品和服务的定价及定价假设（10%）； 5）准备金和负债评估（15%）； 6）风险管理基本方法（15%）； 7）资产负债管理基础（10%）； 8）经验监测（10%）； 9）偿付能力、盈利能力和资本管理（5%）。 （注：1、课程A1-A8均为3小时笔试。2、考生在通过了A1-A8全部课程后，还需参加为期一天的中国准精算师《A9职业道德教育》课程的培训，方可获得中国准精算师资格。） 一）科目名称：数学基础I 1、科目代码：01中国精算师资格考试 2、考试时间：3小时中国精算师资格考试 3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试 4、考试内容：中国精算师资格考试 （1）微积分（分数比例：60%）中国精算师资格考试 ①函数、极限、连续中国精算师资格考试 函数的概念及性质反函数复合函数隐函数分段函数基本初等函数的性质初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左、右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的比较极限的四则运算中国精算师资格考试 函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质中国精算师资格考试 ②一元函数微积分中国精算师资格考试 导数的概念函数可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分在近似计算中的应用中值定理及其应用洛必达（L’Hospital）法则函数的单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值和最小值中国精算师资格考试 原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分及导数不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念及计算定积分的应用中国精算师资格考试 ③多元函数微积分中国精算师资格考试 多元函数的概念二元函数的极限与连续性有界闭区间上二元连续函数的性质偏导数的概念与计算多元复合函数及隐函数的求导法高阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算***区域上的简单二重积分的计算曲线的切线方程和法线方程中国精算师资格考试 ④级数中国精算师资格考试 常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数的收敛性正项级数收敛性的判断任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼茨定理幂级数的概念收敛半
第一章：利息理论基础 第一节：利息的度量 一、利息的定义 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 二、利息的度量 利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有 1、按照计息时刻划分： 期末计息：利率 期初计息：贴现率 2、按照积累方式划分：
（1）线性积累： 单利计息 单贴现计息 （2）指数积累： 复利计息 复贴现计息 （3）单复利/贴现计息之间的相关关系 ? 单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。3、按照利息转换频率划分： （1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）
（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率） （3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力 特别，恒定利息效力场合有 三、变利息 1、什么是变利息 2、常见的变利息情况 （1）连续变化场合 （2）离散变化场合
第二节：利息问题求解原则 一、利息问题求解四要素 1、原始投资本金 2、投资时期的长度 3、利率及计息方式 4、本金在投资期末的积累值 二、利息问题求解的原则 1、本质 任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。 2、工具 现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。 3、方法 建立现金流分析方程（求值方程） 4、原则 在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。 第三节：年金 一、年金的定义与分类 1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 2、年金的分类： （1）基本年金 约束条件：等时间间隔付款
保险精算试卷 1． A．104 B.105 C.106 D.107 E.108 2. (A) 77,100 (B) 80,700 (C) 82,700 (D) 85,900 (E) 88,000 3．Lucky Tom finds coins on his way to work at a Poisson rate of 0.5 coins per minute. The denominations are randomly distributed: (i) 60% of the coins are worth 1; (ii) 20% of the coins are worth 5; (iii) 20% of the coins are worth 10. Calculate the variance of the value of the coins Tom finds during his one-hour walk to work. (A) 379 (B) 487 (C) 566 (D) 670 (E) 768 game. If 4．A coach can give two ty pes of training, “ light” or “heavy,” to his sports team before a the team wins the prior game, the next training is equally likely to be light or heavy. But, if the team loses the prior game, the next training is always heavy. The probability that the team will win the game is 0.4 after light training and 0.8 after heavy training. Calculate the long run proportion of time that the coach will give heavy training to the team.
寿险精算 一、填空题 1、生命表依据编制对象的不同，可以分为：________和________。 2、根据保险标的的属性不同，保险可分为：________和______________。 3、寿险精算中的基本参数主要有：_________、_______________、_______________。 4、生命表的创始人是___________。 5、生命表方法的实质是_________________________________________________。 6、投保保额为1单位元数的终身寿险，按年度实质贴现率v 复利计息，赔付现值变量为： _____________________。 7、n 年定期两全险是___________和_____________的组合。 8、终身寿险死亡即刻赔付趸缴净保费公式为______________________________。 9、已知05.0,5a ,8a 2===δx x ，则=)(a |T a r V __________. 10、1—_______|:n x a d = 二、选择题 1、世界上第一张简略生命表是（ ） A.1662年约翰?格兰编制的生命表 B ．1693年埃德蒙?哈雷编制的生命表； C ．詹姆斯?道森编制的生命表 D ．1724年亚伯拉罕?棣模佛编制的生命表 2、保险精算遵循的最重要原则是（ ） A ．补偿性原则 B ．资产负债匹配原则 C ．收支平衡原则 D ．均衡保费原则 3、某10年期确定年金，每4月末给付800元，月利率为2%，则该年金的现值为（ ）。 4、 已知死力μ=0.045，利息力δ=0.055，则每年支付金额1，连续支付的终身生存年金的精算现值为（ ）。 A ．9； B.10； C.11； D.12。 5、下列错误的公式是 （） A.()()x s x s ,x =μ B.()()dt P d t x t T =f C.()()()x s t x s x s q x +-=t D.()x s x =p 0 6、设某地新生婴儿未来寿命随机变量Ｘ在区间［0,100］上服从均匀分布，x ∈(0,100) 则（ ） A.s(x)=x/100 B.s(x)=1/100 C.s(x)=1-x/100 D.s(x)=100x 7、 8、 9、下列不是有关分数年龄的假设常用的插值方法的是（） A.线性插值 B.调和插值 C.几何插值 D.牛顿插值 10.下列关系不正确的是（） A.x t x t x p l l ?=+ B.x x x q l d ?= C.x x x L d m = D.t x x x l l p +=t 三、简答题 1.你认为保险精算对保险经营有何重要意义？
精算数学读书笔记 ————数学班 王秋阳 09080124 摘要：利用生命函数，以预定利率和预定死亡率为基础计算定期寿险、终身寿险、延期寿险、生存保险、两全保险的精算现值。 关键字：生命函数、剩余寿命、生命表、精算现值、定期寿险、终身寿险、延期寿险、生存保险、两全保险 一、生命函数 1、初生婴儿未来寿命X 的分布函数()()Pr F x X x =≤ 0x ≥ 生存函数()()Pr S x X x =≥ 初生婴儿在x 至z 之间死亡的概率()()()Pr x X z S x S z <≤=- 3、剩余寿命F （x ）：分布函数Pr(())()()()() t x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+= 生存函数 Pr(())Pr()() () t x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+= ：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x 岁的人将在1年内去世的概率 ：x 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率 整值剩余寿命T(x)：(), ()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+= 概率函数 ()()()()1 1Pr(())Pr(()1) Pr 1Pr k x k x k x k x k x x k x k K X k k T x k T x k T x k q q p p p q q +++==≤<+=≤+-≤= -=-=?= 死力()() ln[()]()() x s x f x s x s x s x μ''=- ==- 死力与生存函数的关系 0()exp{} exp{} x s x t t x s x s x ds p ds μμ+=-=-?? 死力与密度函数的关系()()}0 exp x x x s f x s x ds μμμ?=?=?-??? x p x q x t u q
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ )3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ；所以 4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n 时，证明： i i d d n n <<<<) () (δ。 证明：①) (n d d < 因为，Λ+?-?+?-?=-=-3)(3 2)(2) (10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d ->所以得到， )(n d d <； ② δ<) (n d )1() (m n e m d δ - -=；m m C m C m C m e n n n m δ δ δ δ δ δ - >-?+?-?+- =- 1)()()(14 43 32 2 Λ 所以， δ δ =- -<)]1(1[) (m m d n ③) (n i <δ i n i n n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+?)1ln()1ln()(i n i n n 所以， )1()(-?=n n e n i δ m m C m C m C m e n n n n δ δ δ δ δ δ + >+?+?+?++ =1)( )( )( 144 33 22 Λ
δ δ =-+>]1)1[() (n n i n ④ i i n <)( i n i n n +=+1]1[) (，)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+?+?+?=+Λ 所以， i i n <) ( 6．证明下列等式成立，并进行直观解释： ⑴n m m n m a v a a +=+； 解：i v a n m n m ++-= 1， i v a m m -= 1，i v v i v v a v n m m n m n m +-=-=1 所以，n m n m m m n m m a i v v v a v a ++=-+-=+1 ⑵n m m n m s v a a -=-； 解： i v a n m n m ---= 1，i v a m m -= 1，i v v s v n m m n m --= - 所以，n m n m m m n m m a i v v v s v a --=-+-=-1 ⑶ n m m n m a i s s )1(++=+； 解： i i s m m 1)1(-+=，i i i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1() 1()1(+-+=-++=++ 所以，n m m n m m n m m s i i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1( ⑷ n m m n m a i s s )1(+-=-。
满期保费：保单年指从保单生效日起至统计区间末已经满期的那部分保费。满期保费＝ 保费收入×【 min （统计区间末，保险责任终止日）－保单生效日】/【保险责任终止日－保单生效日】。满期保费通常是针对一张保单或者是在一个承保年度内起保的所有保单而言。 已赚保费：财务年指在统计区间内所有有效（包括在整个区间有效或在部分区间有效） 的保单在统计区间内已经经过的那部分保费。已赚保费＝统计区间保费收入＋统计区间期初 未到期责任准备金－统计区间期末未到期责任准备金。已赚保费是计算统计区间承保利润的 基础。反映了新承保保单和部分历史保单的保费对于核算区间的收入贡献。通常在业务保持增长的情况下，已赚保费低于保费收入。 已发生未报告未决赔款准备金（IBNR）：指截止至统计区间末已经发生但尚未接到报案的案 件的精算评估金额。广义的IBNR 还包含已发生未立案准备金、未决估损不足准备金、重立 案件准备金以及理赔费用准备金。其中已发生未立案准备金是指为保险事故已经报告但未记 录到理赔系统的案件提取的准备金；未决估损不足准备金是指最初立案金额与最终实际赔付 之间的差额；重立案件准备金是指已赔付案件，出现新的信息，赔案被重新提起并要求额外增加赔付；理赔费用准备金是指为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。其中为直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的为直接理赔费用准备金；为非直接发生于具体赔案的费用而提取的为间接理赔费用准备金。 未到期责任准备金：指对在统计区间末仍然有效的保单的尚未终止的保险责任提取的保费责 任准备金。每张保单的未到期责任准备金＝保费收入×【该保单的保险责任终止日－统计区 间末】 / 【该保单的保险责任终止日－保单生效日】。上述计算方法为三百六十五分之一法。 统计区间末的未到期责任准备金为在统计区间末仍然有效的所有保单的未到期责任准备金 之和。未到期责任准备金是计算统计区间已赚保费的基础 纯风险保费：纯风险保费＝出险频度×案均赔款×损失发展因子×趋势发展因子 【损失发展因子：损失在未来的发展。原因：报案的延迟、立案的延迟、理赔的延迟。 趋势发展因子：将经验期中的损失调整到费率有效期，反映未来变化的趋势。原因：通货膨胀、法律环境变化、消费习惯等。 案均赔款：案均赔款＝已发生赔款÷出险次数 出险频度：统计区间内每张保单每年的平均出险频度，出险频度 =统计区间内报案件数 / 已赚风险暴露。】 满期赔付率：保单年指统计区间内的保单发生的赔案（已决金额与统计区间末的未决金 额之和）与相应的满期保费的比率。满期赔付率 =（已决赔款＋未决赔款）/ 满期保费，满期赔付率是反映保单质量的重要赔付率指标之一，核保常采用，但是没有考虑已发生未报告案 件对应的赔款责任。在反映统计区间的综合赔付水平时存在一定程度的滞后，且短期波动大。【存在一定程度的滞后，短期波动大；不含IBNR】 终极赔付率：保单年含 IBNR终极赔付率 = （已决赔款＋未决赔款＋IBNR） / 已赚保费＝最终赔付 / 保费收入，适用于保单年度，全面反映保单的业务品质，包含已发生未报告 案件对应的赔款责任（IBNR），能真实、全面和及时的反映承保保单的整体赔付状况。 【赔付状况能较真实、全面和及时的反映】 已报告赔付率：财务年不含 IBNR已报告赔付率 =（已决赔款＋未决赔款提转差）/ 已赚保费，已决赔付率的改善，不含IBNR，主要用于财务年度数据统计。
1 假设某人群的生存函数为()1,0100100 x S x x =-≤≤ 求： 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 2 已知给出生存函数()20S x = ,0100x ≤≤，计算(75),(75)F f ,()75μ 3、已知 10000(1)100 x x l =- 计算下面各值： （1）30203030303010,,,d p q q （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命（假定极限年龄为100）。 4、设 ()1 , 0100100 0.1x S x x i =- ≤≤= 求：第一问： 130:101 (2)()t A Var z （） 第二问： 30:101 (2)()t A Var z （） 5、设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为 1 , 060(t)60 0 , T t f ?<≤?=???其它 计算 0.90.91(2)() (3)Pr()0.9. x t A Var z z ξξ≤=（）的 6、假设（x ）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知0.040.06(),0x S x e x δ-==≥， 求：10t (1) (2)Var(z )x A ,
7、90岁的人生存情况如下表。求 1、死亡年末给付1000元的趸缴浄保费 8、现年30岁的人购买了一份递减的5年定期寿险保单。保险金于死亡年末给付，第一个保单年度内死亡，则给付5万元；第二个保单年度内死亡，则给付4万元——；第5个保单年度内死亡，则给付1万元，设年利率为6%，用中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男表计算其趸缴纯保费。 9、假设有100个相互独立的年龄为x 岁的被保险人都投保了保险金额10元的终身寿险,随机变量T 的概率密度是()()0.04,0t T f t e t μμμ-==≥.保险金于被保险人死亡时给付,保险金给付是从某项基金中按利息强度0.06δ=计息支付.试计算这项基金在最初()0t =时的数额至少为多少时,才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到95% 10、 假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且0.05δ=，计算（30）所购买的终身连续生存年金。用三种方法计算。 11、有一种终身年金产品，每年连续给付生存年金1000元。 现在开发一种新产品，在原来年金给付的基础上增加死亡即刻给付X 万元。 假定利息力为5％，求：当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值的方差最小？ 12、 在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 （1）x a （2）T a 的标准差 （3） T a 超过x a 的概率。 13、 8x a =，25x a =，0.05δ= 14、 设一现值变量为,0(),()n T a T x n Y a T x n ≤≤??=?>?? 计算()x n E Y a - 15—20题 课本45页课后习题。
《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造 第一节生命表函数 一、生存函数 1、定义： 2、概率意义：新生儿能活到的概率 3、与分布函数的关系： 4、与密度函数的关系： 二、剩余寿命 1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。 2、剩余寿命的分布函数 5、：， 它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记 3、剩余寿命的生存函数：， 它的概率意义为：能活过岁的概率，简记 特别： （1） （2） （3） （4）：将在岁与岁之间去世的概率 4、整值剩余寿命
（1）定义：未来存活的完整年数，简记 （2）概率函数： 5、剩余寿命的期望与方差 （1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记 （2）剩余寿命的方差： 6、整值剩余寿命的期望与方差 （1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记 （2）整值剩余寿命的方差： 2 三、死亡效力 1、定义：的人瞬时死亡率，记作 2、死亡效力与生存函数的关系 3、死亡效力与密度函数的关系 4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则 第二节生命表的构造 一、有关寿命分布的参数模型 1、de Moivre模型（1729） 2、Gompertz模型（1825） 3、Makeham模型（1860） 4、Weibull模型（1939） 二、生命表的起源 1、参数模型的缺点 （1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 （2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差 （3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 （4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 2、生命表的起源
保险精算练习题
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4．假设1000元在半年后成为12０0元,求 ⑴ )2(i ,⑵ ｉ, ⑶ )3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ;所以4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+;所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ;34335.0)3(=d 5．当1>n 时,证明: i i d d n n <<<<) () (δ。 证明:①) (n d d < 因为, +?-?+?-?=-=-3)(3 2)(2) (10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d ->所以得 到,) (n d d <; ② δ<)(n d )1() (m n e m d δ - -=;m m C m C m C m e n n n m δ δ δ δ δ δ - >-?+?-?+- =- 1)()()(14 43 32 2 所以, δ δ =- -<)]1(1[) (m m d n ③ )(n i <δ i n i n n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+?)1ln()1ln()(i n i n n 所以， )1()(-?=n n e n i δ m m C m C m C m e n n n n δ δ δ δ δ δ + >+?+?+?++ =1)( )( )( 144 33 22 δ δ =-+>]1)1[()(n n i n ④ i i n <)( i n i n n +=+1]1[) (,)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+?+?+?=+
学习心得 保险精算是以数理统计方法为基础理论，综合运用数学、金融学、经济学及保险理论的交又性、应用性学科。概括而言，它是运用数理模型对未来不确定的事件产生的影响做出评估。由微观经济学的理论可知，大部分的人是风险厌恶的个体，愿意为规避风险付出一定量的风险贴水或者保证金，这正是保险业存在的前提和理论基础。虽然单个风险无规律可言，但是把大量的风险聚集起来，就呈现出了明显的规律性。可以说保险业是建立在对大量风险的统计规律的认识上的，而精算就是要对这些规律进行研究的学科。随着保险业成为独立的金融分支出现，精算学科产生发展已有三百余年的历史。 寿险精算学是以人的寿命为风险标的，主要研究寿命风险评估和厘定的一门专业课程。寿险精算是精算学的核心内容，揭示了对未来的不确定的财务事件提供数量化意见的精算方法。它以概率统计为基础的生命模型研究人的死亡和疾病的不确定性，以复利函数研究资产的时间价值对未来事件进行量化，并将生命模型和复利函数结合，形成了一整套全面量化未来不确定的财务事件的方法。它不仅在保险、金融等领域发挥着巨大的作用，对于可以通过类似方法描述不确定性和时间价值函数的事务，也是一个重要的工具，如可以参考死亡保险的量化模型分析大型设备寿命等。 本书主要包括三部分，利息理论、生命的不确定性以及风险理论。 在资金的使用过程中，资金的周转会带来资金价值的增值，一般来说，资金周转的时间越长，其价值的增值也就越大。等额的货币在不同时间点上，由于受到通货膨胀的影响，其实际价值也不相同。利息理论是进行精算科学研究的基础.利息是货币的时间价值，是资金的拥有人将资金的使用权转让给借款人所获得的租金。在各项金融活动中，资金的提供者的最终目的是获得尽可能多的收益，资金的使用者希望以最低的成本获得资金的使用权，只有二者达成统一，资金才能顺利地融通。所以，对资金的使用成本，.即利息，进行精确的计量，具有十分重要的意义。 利息是指借用某种资本的代价或借出某种资本的报酬，可用利息率或者贴现率来度量。计息期与基本的时间单位一致与否，导致了有效利率与名义利率的不
保险精算学公式
《精算技术》公式 第一章 利息理论 1n n v a i -= ； ()11n n n v a a i d -=+= ； () ()11 1n n n n i s a i i +-=+= ； ? ? ? ?? -=11511000x l x ； 1a i ∞= ； 1a d ∞= ； 1n n v a δ -= ； ()11 n n i s δ +-= ； ()n n n a nv Ia i -= ； ()()()1n n n n s n Is Ia i i -=+= ； ()n n n a Da i -=； ()()1n n n n i s Ds i +-= ； ()211Ia i i ∞ =+。
终身年 金一年给 付一次 期末付x a1x x N D + 期首付x a x x N D n年定期一年给 付一次 期末付:x n a11 x x n x N N D +++ - 期首付:x n a x x n x N N D + - n年延期一年给 付一次 期末付|n x a1x n x N D ++ 期首付|n x a x n x N D + n年延 期的m年定 期一年给 付一次 期末付|n m x a11 x n x n m x N N D +++++ - 期首付|n m x a x n x n m x N N D +++ - 终身年 金一年给 付m次 期末付()m x a x a+1 2 m m - 期首付()m x a x a-1 2 m m - n年延期一年给 付m次 期末付()|m n x a |n x a+12m m-n x E 期首付()|m n x a |n x a-12m m-n x E n年定期一年给 付m次 期末付():m x n a:x n a+12m m-(1-n x E ) 期首付():m x n a:x n a-1 2 m m -(1- n x E) 终身年 金连续年 金 ——x a x x N D
1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。 解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元） （2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元） 2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 解：5000（1+8%） 5 ×（1+11%）5=12385（元） 3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 解：（1）10000×（1+11%） -4 =5934.51（元） （2）10000×（1-11%）4=6274.22（元） 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ ) 3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ；所以4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n 时，证明： i i d d n n <<<<) () (δ。 证明：①) (n d d < 因 为 ， Λ +?-?+?-?=-=-3) (3 2)(2)(10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d -> 所以得到， ) (n d d <； ② δ<) (n d
1.(x)=1-F ()=P (X>x) >=0x X r S r x x 生存函数： 2.我们约定：x (0)=0,S (0)=1;x F 3.r ()(X>y )= ()X X S y P X x S x > 4. =Pr(T(x)>t)=Pr(X>x+t ) (+)=()t x X X p X x S x t S x > 5. ++q =Pr[t 满期保费指从保单生效日起至统计区间末已经满期的那部分保费。满期保费＝保费收入×【min（统计区间末，保险责任终止日）－保单生效日】/【保险责任终止日－保单生效日】。满期保费通常是针对一张保单或者是在一个承保年度内起保的所有保单而言。 已赚保费指在统计区间内所有有效（包括在整个区间有效或在部分区间有效）的保单在统计区间内已经经过的那部分保费。已赚保费＝统计区间保费收入＋统计区间期初未到期责任准备金－统计区间期末未到期责任准备金。已赚保费是计算统计区间承保利润的基础。反映了新承保保单和部分历史保单的保费对于核算区间的收入贡献。通常在业务保持增长的情况下，已赚保费低于保费收入。 已发生未报告未决赔款准备金（IBNR）：指截止至统计区间末已经发生但尚未接到报案的案件的精算评估金额。广义的IBNR还包含已发生未立案准备金、未决估损不足准备金、重立案件准备金以及理赔费用准备金。其中已发生未立案准备金是指为保险事故已经报告但未记录到理赔系统的案件提取的准备金；未决估损不足准备金是指最初立案金额与最终实际赔付之间的差额；重立案件准备金是指已赔付案件，出现新的信息，赔案被重新提起并要求额外增加赔付；理赔费用准备金是指为尚未结案的赔案可能发生的费用而提取的准备金。其中为直接发生于具体赔案的专家费、律师费、损失检验费等而提取的为直接理赔费用准备金；为非直接发生于具体赔案的费用而提取的为间接理赔费用准备金。 未到期责任准备金：指对在统计区间末仍然有效的保单的尚未终止的保险责任提取的保费责任准备金。每张保单的未到期责任准备金＝保费收入×【该保单的保险责任终止日－统计区间末】/【该保单的保险责任终止日－保单生效日】。上述计算方法为三百六十五分之一法。统计区间末的未到期责任准备金为在统计区间末仍然有效的所有保单的未到期责任准备金之和。未到期责任准备金是计算统计区间已赚保费的基础 纯风险保费：纯风险保费＝出险频度×案均赔款×损失发展因子×趋势发展因子 【损失发展因子：损失在未来的发展。原因：报案的延迟、立案的延迟、理赔的延迟。 趋势发展因子：将经验期中的损失调整到费率有效期，反映未来变化的趋势。原因：通货膨 精算学习书目 [1]王晓军，孟生旺主编保险精算原理与实务（第三版）/2014-07-01 /中国人 民大学出版社 [2]范兴华，邹公明编著，保险精算学通论，北京:清华大学出版社，2007.1 F840/19 [范兴华, 邹公明, 2007] [3]杨全成主编，陈飞跃李一鸣副主编，保险精算技术，复旦大学出版社，2006 年7月第一版 [杨全成, 2006] [4]张博著精算学/北京大学经济学教材系列出版社：北京大学出版 社出版时间：2005年11月 [5]周渭兵著中国新型农村养老保险制度精算研究/2014-05-01 /经济科学出 版社 [6]S.G.凯利森著;尚汉冀译，利息理论，上海:上海科学技术出版社，1995.11 F84-51/3/1 5 本 [凯利森, 1995] [7]刘占国主编，利息理论，北京:中国财政经济出版社，2006.11 F032.2/3 [8]N.L.鲍尔斯等著;余跃年,郑韫瑜译，精算数学，上海:上海科学技术出版社 /1996.6 544页,大32开 [9]中国精算师资格考试全真模拟试题邹公明主编上海:上海财经大学出版 社，2005.8 F84-44/2 [10]精算数学N.L.鲍尔斯等著;余跃年,郑韫瑜译上海:上海科学技术出 版社，1996.6 [11]精算学基础第1卷:复利数学李晓林编著北京:中国财政经济出版 社，1999.6 [12]精算学基础第2卷:风险统计基础李晓林编著北京:中国财政经济出 版社，1999.6 [13]社会保障精算理论与应用张思锋，雍岚，封铁英等编著北京:人民 出版社，2006. [14]寿险精算基础杨静平编著北京:北京大学出版社，2002.10 [15]寿险精算数学卢仿先张琳主编北京:中国财政经济出版社，2006.12 [16]寿险精算实务李秀芳主编北京:中国财政经济出版社，2006.11 [17]卓志主编，李恒琦等副主编保险精算通论出版时间：2006年05 月 [18]李秀芳，曾庆五主编保险精算（第二版）——21世纪高等学校金融 学系列教材出版社：中国金融出版社出版时间：2005年01月 [19]周渭兵著社会养老保险精算理论、方法及其应用出版社：经济管 理出版社出版时间：2004年12月 [20]曾庆五,陈迪红,黄大庆编著保险精算技术出版社：东北财经大学出版 社出版时间：2002年06月 [21]保险精算/21世纪高等院校教材出版社：科学出版社出版时间：2004 年08月 [22]李秀芳主编寿险精算实务出版社：中国财经出版社出版时间： 2006年11月 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 () 222 x x v b q e p +与δ。 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。 8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 9．基金A 以每月计息一次的年 名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t t δ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金 存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。 10. 基金X 中的投资以利息强度 0.010.1 t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以 年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987 第二章：年金 练习题保险精算基础知识点总结
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