![人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_提高](https://img.doczj.com/imgf8/1t1y6y6a92ydd3v6ifnv08biflbp549z-81.webp)
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人教版高中数学选修2-1
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
《空间向量与立体几何》全章复习与巩固
【学习目标】
1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；
2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；
4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：空间向量的有关概念
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；
空间向量的表示：一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点；
一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示．
向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||
AB或||a．
向量的夹角：过空间任意一点O作向量a b,的相等向量OA和OB，则∠AOB叫作向量a b,的夹角，记作
a b．如图：
??
，
，
≤??≤
a b，规定0π
零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．
共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．
a 平行于
b 记作b a
//，此时．a b ??，
=0或a b ??，=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：
（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可
能是平行直线．
（3）对于任意一个非零向量a
，我们把
a a
叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a
同向．
（4）当a b ??，
=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b ??，=2
π
时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算：
AB BC=AC + 0AB BA=+
a 与a 异向；
a λ=0
)a a a μλμ+=+
∥b a b λ?=
b 是一个数：||||cos(b a b =．0a =，0b=或a b ⊥
?b a ?=0．
a b b a =
()()a b a b λλ==2
2||a a =
||||||a b a b ≤
要点三：空间向量基本定理
共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b a
λ=．
共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数
,x y ，使p xa yb =+．
要点诠释：
（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：
如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使
p x a y b z c
=++. 要点诠释：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式
若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则
①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---； ②2
||(AB AB =
=；
③ AB 的中点坐标为1212122
22x +x y +y z +z ??
???，，．
空间向量运算的的坐标运算
设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈； ④ 121212a b x x y y z z ?=++；
⑤ 222111a a a x y z ==++，222
222b b b x y z ==++；
⑥ ()2
2221
22cos 00a b a b a b a b
x x y =
=
≠≠+++，，．
空间向量平行和垂直的条件
若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则
①12//a b a b x x λλ?=?=，12y y λ=，12()z z R λλ
=∈?
111
222
x y z x y z ==
222(0)x y z ≠； ②121212
00a b a b x x y y z z ⊥??=?++=．
要点诠释：
（1）空间任一点P 的坐标的确定：
过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
a b
a b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|
??=?=
?，其中θ的范围是[0,]π．
（３）0与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行
0=u v
，β的法向量）要点诠释：
（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．
（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．
要点六：用向量方法求角
||||AC BD ?上不同的两点，
要点诠释：
①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,??n n 的大小。
②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角的补角
12,π-??n n 的大小。
要点七：用向量方法求距离
PA n n
的法向量）
PA n n
的公共法向量）
PA n n
的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择． （2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．
（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．
要点八：立体几何中的向量方法
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算） 3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题） 用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系； 2．写出相关点的坐标及向量的坐标； 3．进行相关的计算； 4．写出几何意义下的结论． 【典型例题】
类型一：空间向量的概念及运算
例1． 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点． 若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）
A ． 11
22a b c -++ B ．
11
22a b c ++ C ． 1122a b c --+ D ． 1
1
22
a b c -+ 【思路点拨】本题以向量的加减法为前提，考查了向量相等的概念：
（1）相等向量指的是方向相同且模相等的向量；
（2）注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则的正确运用；注意公式AB BC=AC +，AB AC=CB 的灵活应用．
【答案】A 【解析】
法一：
1111()2BM BB B M AD AB AA =+=-+=11
22
a b c -++．
法二：
()
11111111111
=++=++=D+=+=222222a b c AB AD AA BA AD AA B AA B M BB BM -++-； ()
11111111111
=++=++=+=+=222222a b c AB AD AA AB AD AA AC AA A M AA AM ++； ()
11111111=++=+==2222a b c AB AD AA AC AA C M CC CM ++； ()
11111111
=+==+2222
a b c AB AD AA DB AA D M DD DM -+-=+=． 故选A ．
【总结升华】类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途． 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加减法，考查学生的空间想象能力． 举一反三：
【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式： （1）
1CB BA +； （2）11
2
AC CB AA ++
； （3）1AA AC CB --． 【答案】（1）11CB BA CA +=；
（2）11
2
AC CB AA AM ++
=； （3）11AA AC CB BA --=．
【变式2】在四边形ABCD 中，?→
?AB ＝?→
?DC ，且?→
?AC ·?→
?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）
A ． 矩形
B ． 菱形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形 【答案】B
类型二：空间向量的直角坐标运算
例2．已知空间三点()202A －，，，()112B －，，，()304C －，，．设a =AB ，b=AC ． （1）求3-2a b ；
（2）求a 和b 的夹角θ的余弦值；
（2）若向量ka +与ka －2b 互相垂直，求k 的值． 【思路点拨】根据空间向量直角坐标的相关公式进行运算．
【解析】∵()202A －，，
，()112B －，，，()304C －，，， ∴a =AB =(1，1，0)，b=AC =（－1，0，2）． （1）()3330a=，，
，()2204b=－，，， ∴()3-2534a b =，，
． （2）cos θ=
|
|||b a
=
∴a 和b
的夹角的余弦值为
(2)ka +=（k ，k ，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2），
ka －2b =（k +2，k ，－4）， ∵(ka +)⊥（ka －2），
∴(ka +b )?（ka －2b ）=（k －1，k ，2）·（k +2，k ，－4）
()22(1)28210
=k k k k k ++=+=－－－
∴5
2
k =－或2k =．
举一反三：
【变式1】已知A B C 、、三点坐标分别为()()()212451223---，，，，，，，
，，求点P 的坐标使得=()
1
2
AB AC ． 【答案】1502P ??
???
，，
【变式2】已知向量()=24a x ，，
，()=22b y ，，，若=6a ，a ⊥b ，则x y +的值是（ ） A ．3－或1 B ．3或1－ C ． 3－ D ．1 【答案】A
由题意可知2416364420.
x y x ?++=?++=?， 解得43x y =??
=?，或41.x y =??=?，
【变式3】设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC =，0AC AD =，0AB AD =，
则△BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定 【答案】B
由题意知，过点A 的棱两两垂直，设AB =a ，AC =b ，AD =c ， 则2()()||0BC
BD =--=>b a c a a ，
故∠CBD 为锐角．
同理，∠BCD 、∠CDB 均为锐角． 所以△BCD 为锐角三角形． 类型三：共线和共面向量定理的应用
例3． 已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE kOA =，OF kOB =，OG kOC =，
OH kOD =． 求证：
（1）四点E F G H 、、、共面； （2）平面AC //平面EG ．
【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点E F G H 、、、共面； （2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明． 【证明】
（1）()()()
===OE kOA k OB BA k OB CD k OB OD OC kOB kOD kOC OF OH OG =+=+=+++，
∵1111+-=，
由共线向量定理可知，点E F G H 、、、共面． （2）()
EF OF OE kOB kOA k OB OA k AB ====，
∴EF AB ?，
又∵EF ?平面AC ，AB ?平面AC ， ∴EF ∥平面AC ． 同理FG ∥平面AC ， ∵=EF
FG F ，
∴平面AC //平面EG ．
【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解． 若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系a b λ=即可．在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试． 举一反三：
【变式1】已知3240a m n p =--≠，(1)82b x m n yp =+++，且,,m n p 不共面． 若a b ?，求y x ,的值． 【答案】13,8x y =-=
由题意列等式：
182324
x y
+==
--，解得13,8x y =-=． 【变式2】(2015秋 辽宁校级月考)下列各组向量共面的是（ ）
A ． a =(1，0，-1)，b =(1，1，0)，c =(0，1，1)
B ． a =(1，0，0)，b =(0，1，-1)，c =(0，0，1)
C ． =(1，1，1)，=(1，-1，0)，=(1，0，1)
D ． =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) 【答案】A
类型四：空间向量在立体几何中的应用
例4． 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =． 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ．
D
B
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （3）求点N 到平面ACM 的距离．
【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题，再通过向量运算判断向量的平行、垂直及计算向量的夹角，最后再翻译成图形语言．
（1）将证明平面ABM ⊥平面PCD 转化为证明平面ABM 的法向量与平面PCD 的法向量垂直；
（2）直线CD 与平面ACM 的夹角的正弦值就是直线CD 的方向向量与平面ACM 的法向量的夹角的余弦值的绝对值；
（3）由于N 点坐标不确定，故将求点N 到平面ACM 的距离，转化为求求点P 到平面ACM 的距离． 【解析】
（1）方法一：
∵AC 是所作球面的直径， ∴AM MC ⊥。 又∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA CD ⊥， ∵CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥AM ， ∴AM ⊥平面PAD ， ∴平面ABM ⊥平面PCD ． 方法二：
如图所示，建立空间直角坐标系，则
(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ．
∴()=200AB ，
，，()=022AM ，，， 设平面ABM 的法向量为()1x y z =，，n ，则
()()()()11
=200=2=0=022=220.AB x y z x AM x y z y z ???
+=??，，，
，，，，，，n n 即=0.x y z ??=?， 取=1z ，则=01x y =，， ∴平面ABM 的一个法向量()1011=，
，n ， N
O
同理可得平面PCD 的一个法向量()2011=，，n ． ∵1101+1=0=n n ，即11⊥n n ， ∴平面ABM ⊥平面PCD ．
（2）设平面ACM 的一个法向量(,,)n x y z =，
由,n AC n AM ⊥⊥可得：240220
x y y z +=??+=?，
令1z =，则(2,1,1)n =-。
设所求角为α，则6sin 3
CD n CD n
α?=
=
，
（3）由题意可得，AN NC ⊥．
在Rt PAC ?中，2PA PN PC =?,
∴83PN =
,则103NC PC PN =-=, 59
NC PC =， ∴所求距离等于点P 到平面C A M 距离的5
9
，
设点P 到平面C A M 距离为h ，则26
3
AP n h n
?=
=
，
∴所求距离为59h ．
【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题． 举一反三：
【变式1】正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC
沿CD 翻折成直二面角A -DC -B (如图②所示)．在图②中求平面ABD 与平面EFD 的夹角的余弦值．
【答案】由已知CD ⊥AD ，CD ⊥BD ，
∴ ∠ADB 就是直二面角A -CD -B 的平面角， ∴ AD ⊥BD ．
以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则D (0，0，0)、A (0，0，2)、B (2，0，0)、C (0
，0)，
E 、
F 分别是AC 、BC 的中点，
∴ E (0
，1)，F (1
0)．
设=m (x ，y ，z )是平面DEF 的一个法向量．
由0
0DE DF ?=??=??m m ，
得00z x +=+=??，
， 令y ＝1．
得1x y z ?=?
=??
=?， ∴
(1)=，m ．
同理可求得平面ABD 的一个法向量n ＝(0，1，0)， ∴
cos ||||7??=
==
，m n m n m n ． ∴ 平面ABD 与平面EFD
夹角的余弦值为
7
． 【变式2】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且=1PD ，E F ，分别是AB BC ，的中点．
(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．
【答案】（1； （2. 例5． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP=m 。
（Ⅰ）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为
（Ⅱ）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明你的结论．
【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，写出各个已知点的坐标：
（Ⅰ）设出点P 的坐标，可以确定向量AP 与平面11BDD B 的法向量，可以确定它们夹角的余弦值，从而可得直线AP 与平面11BDD B 所成角的正弦值，由同角三角函数可得关于m 的方程，解方程即可．
（Ⅱ）假设存在点Q ，并设出其坐标，要使“对任意的m ，1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ”，只要1D Q AP ⊥即可． 由
1
=0DQ AP 可以得到点Q 的坐标． 【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则
()()()()()()111,0,0,1,1,0,(0,1,)0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,1.A B P m C D B D ， 所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=
(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-
由110,0AC BD AC BB AC D D ?=?=1知为平面BB 的一个法向量． 设AP 与11BDD B 面 所成的角为θ， 则||sin cos(
)2
||||2AP AC AP AC π
θθ?=-==
?
=
1
3
m =
．
故当1
3
m =
时，直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为 （Ⅱ）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则(),11Q x x -，
，()1=,1,0D Q x x -， 依题意，对任意的m ，要使1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，等价于
()111
=010=
2
D Q AP D Q AP x x x ⊥??+=?． 即Q 为11A C 的中点时，满足题设要求。
【总结升华】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。 举一反三：
【变式】(2014 湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，
A 1
B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2) (Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线B
C 1∥平面EFPQ ；
(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解析】
(Ⅰ)证明：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立坐标系，则B(2，2，0)，C 1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)， ∴→
1BC ＝(－2，0，2)，→FP ＝(－1，0，λ)，→
FE ＝(1，1，0) λ＝1时，→
1BC ＝(－2，0，2)，→
FP ＝(－1，0，1)， ∴→
1BC ＝2→
FP ，
∴BC 1∥FP ，
∵FP ?平面EFPQ ，BC 1?平面EFPQ ， ∴直线BC 1∥平面EFPQ ；
(Ⅱ)设平面EFPQ 的一个法向量为→
m ＝(x ，y ，z)，则??
?=+-=+0
z x y x λ，
∴取→
m ＝(λ，－λ，1)．
同理可得平面MNPQ 的一个法向量为→
n ＝(λ－2，2－λ，1)， 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则→
→n ·m ＝λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，∴λ＝1±
2
2
． ∴存在λ＝1±
2
2
，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫 做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ ?//。 当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ 存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在 实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在 一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序 实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6.空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
平面向量及空间向量高考数学专题训练（四） 一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ， 则锐角α为（ ） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（ ） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（ ） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（ ） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为 （ ） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数 λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
一、选择题； 1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ） A 、a b b a +=+r r r r B 、() a b a b λλλ+=+r r r r C 、()() a b c a b c ++=++r r r r r r D 、b a λ=r r 2、已知向量a r =（1，1，0），则与a r 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（ 22，2 2，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 2 55 Ｄ．2或255 - 6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，， 则D 的坐标为（ ） Ａ．7412 ?? - ??? ， ， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ｃ．12 9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角 P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ） Ａ． Ｃ．2
高二数学向量知识点总结 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学向量知识点总结》的内容，具体内容：数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相... 数学数学是高考的三大必考主科之一，数学成绩的好坏也将直接关系到你是否能够考入理想的大学，高二数学也是整个高中数学学习承上启下的一年，所以一定要下功夫学好数学。以下是我为您整理的关于的相关资料，供您阅读。 (一) 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐
标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐
空间向量期末复习 知识要点: 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示?同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 运算律：⑴加法交换律：a + h =b +ci ⑵加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e） ⑶数乘分配律：= + 3.共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5 ,记作allb o 当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）, allb存在实数2,使a=kb o 4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数 x^y\^p = xa-\-yb。 5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。 若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC。 6.空间向量的数量积。 （1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OM a9b＞＜7T, 显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。 （2）向量的模：设0A = a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：\a\o
高中数学向量专项练习 一、选择题 1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-r r 若(2).a b b -⊥r r r 则a =r （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+ + + 的结果是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-v v ，若2a b +v v 与a v 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8 4．已知向量(1,1)a =-r ，(1,)b m =r ，若(2)4a b a -?=r r r ，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 5．设向量(12)a =-r ， ,(1)b m =r ，，若向量a r 与b r 平行，则a b ?=r r A ．27- B ．21- C ．23 D ．2 5 6．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ?=u u u r u u u r （ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =u u u v u u u v ，则AD =u u u v （ ） A ．1233AC A B +u u u v u u u v B ．5233AB A C -u u u v u u u v C ．2133AC AB -u u u v u u u v D ．2133 AC AB +u u u v u u u v 8．在ABC ?中，已知90BAC ∠=o ，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ?u u u r u u u r 的值为 （ ）． A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 9．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→ → =+=+若()()m n m n → → → → +⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a b A ．()1,5- B ．()1,5 C ．()1,6- D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a b A ．()1,5- B ．()1,5 C ．()1,3-- D ．()1,3
zk ，有序实数组(,x 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(A x 叫纵坐123,b a b a λλ?===2）若11(,A x y 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。）//a b b ?=)R 设b a ,是空间两个非零向21a a x =?=+2 (AB x ==
12)(x y y -+-cos |||| b a b ?．空间向量数量积的性质： cos ,a e <>．②0a b a b ⊥?=．③2 ||a a a =?． 、运算律 a b b ?=?； ②)(a ?λ四、直线的方向向量及平面的法向量 b = ④解方程组，取其中的一组解即可。 存在有序实数对μλ,使AB =n ⊥
六、计算角与距离 1、求两异面直线所成的角 已知两异面直线b a ,，,,,A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ?= 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定比2， N 分PD 成定比1，求满足 的实数x 、y 、z 的值。 ] 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用 、 、 表示出来， 即可求出x 、y 、z 的值。 如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则 。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量， 而且a,b,c 的系数是惟一的。 ） 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F 。 （1）证明：PA 方形ABCD —中，E 、F 分别是，的中点，求：
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；
空间向量基础知识和应用
知识网络 知识要点梳理 知识点一：空间向量 1.空间向量的概念 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要 素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2.共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使 ＝λ。 3.向量的数量积 （1）定义：已知向量，则叫做的数量积，记作，即 。 （2）空间向量数量积的性质： ①； ②； ③． （3）空间向量数量积运算律： ①；
②（交换律）； ③（分配律）。 4.空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使 。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示； （2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系, 点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平面，平面，平面； 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律： （1）若，，则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若，，则 ， ， ， ，
第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D
精品文档 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ???ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与 a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中