第十九章“四边形”简介
同三角形一样，四边形也是基本的平面图形。也是本学段“空间与图形”的主要研究对象。本章将在前面学生学过的平行线和三角形的基础上进一步研究一些特殊四边形的知识，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的有关性质和常用判定方法，并结合对相关内容的推理证明，发展学生的逻辑思维能力。本章共安排四个小节和三个选学内容，教学时间约需17课时，具体分配如下（仅供参考）：
19.1 平行四边形5课时
19.2 特殊的平行四边6课时
19.3 梯形2课时
19.4 课题学习重心2课时
数学活动
小结2课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
本章知识结构如下图所示：
（二）课程学习目标
1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系；
2．探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算；
3．探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心的物理意义；
4．通过经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力；
5．结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；
6．通过分析四边形与特殊四边形，以及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生认识到特殊与一般的关系，从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的，进一步培养学生的辩证唯物主义观点。
第十九章“四边形”教案
19.1平行四边形的性质（1）
官小霞
[教学目标]
1、知识目标：
理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的边、角的性质，并能初步用其来解决实际问题.
2、能力目标：
通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学生缜密的逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想.
3、情感目标：
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.
[重点与难点]
教学重点：平行四边形的性质
教学难点：理解并应用平行四边形的性质
[教学方法] 探究、启发式
[教学过程]
一、创设情境，引入新课
引入：
在四边形中，最常见、价
值最大的是平行四边形，如竹篱笆格子、推拉门、汽车防护链、书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢？
做一做：
将两张全等的三角形纸片,设法找到某一边的中点,记作点O,将上层的三角
形纸片绕点O 旋转180度,下层的三角形纸片保持不动,此时:
(1)两张纸片拼成了怎样的图形?
(2)这个图形中有哪些相等的角?有没有互相平行的线段? (3)用简洁的语言刻画这个图形的特征,并与同伴交流.
通过观察，让学生勾勒出发现的几何图形：平行四边形，然后举出一些生活中的实例。从而引出平行四边形在日常生活中应用广泛，是一种美观实用的图形,因此我们有必要系统学习平行四边形.
二、感悟图形，明确概念
1、观察质疑：平行四边形如何区别于一般的四边形.
让学生自己归纳定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形引入概念：
2、引入平行四边形对边、邻边、对角、邻角、对角线等概念.
3、平行四边形的表示:通过演示使学生学会用文字语言、图形语言、符号语言来描述.
如图，平行四边形ABCD ，记作ABCD , 根据定义画出平行四边形,得到图形语言 还可以用符号语言来描述平行四边形的定义: AB//CD AD//BC
1、探索平行四边形的性质
由定义可知平行四边形的对边平行
2、质疑：平行四边形除以上性质外还有其他性质吗？鼓励学生大胆猜想（提示：请学生仿照三角形的学习方法从边和角去探索）
第一步：猜想边和角之间的数量关系（对边相等，对角相等）
第二步：小组合作学习探索：让各组学生画平行四边形，用测量、旋转、平移、推理等方法验证上面的猜想.
3、 小组汇报发现： 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等
4、推理：（如何证明上述结论？） 已知：如图ABCD ，
求证：AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ．
A
B C
D
A
1
23
4
四边形ABCD 是平行四边形
分析：作ABCD 的对角线AC ，它将平行四边形分成△ABC 和△CDA ，证明这两个三角形全等即可得到结论．
证明：连接AC ， ∵ AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC ＝CA ，
∴ △ABC ≌△CDA （ASA ）． ∴ AB ＝CD ，CB ＝AD ，∠B ＝∠D ．
又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴ ∠BAD ＝∠BCD 四、例题讲解，活用知识 例1：教材84页
补充问题1：在平行四边形ABCD 中，已知∠A =320，求其余三个角的度数。
解：∵四边形ABCD 是平行四边形且 ∠A =320
∴ ∠A = ∠C=320， ∠B= ∠D （平行四边形的对角相等）
又∵AD ∥BC （平行四边形的对边平行）
∴ ∠A + ∠B =1800（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠B= ∠D= 1800- ∠A = 1800- 320=1480
问题2 ：已知在平行四边形 ABCD 中，AB=6cm,BC=4cm,求平行四边形ABCD 的周长。
解：∵四边形ABCD 是平行四边形（已知）
∴AB=CD ，BC=AD （平行四边形的对边相等） 又∵AB=6cm,BC=4cm(已知） ∴AB=CD= 6cm ，BC=AD= 4cm
∴平行四边形的周长=AB+CD+BC+AD=6+6+4+4=20（cm ）
五、随堂练习,提高能力.
1、如图:在 ABCD 中,∠B=56°根据已知你能得到哪些结论？为什么?
2、如图，四边形ABCD 是平行四边形 ∠B=58°CD=28,AD=32则： 1）∠ADC= , ∠BCD= ； 2）边AB= ,BC = .
3、一个平行四边形的一个外角∠1为 38°,这个平行四边形的每个内角度数分别是多少？为什么？ B A
C D
4.如图
, ABCD 的周长
是28cm,△ABC 的周长是22cm,则AC 的长为( ) A 6cm B 12cm C 4cm D 8cm
六、课堂小结：
1、引导学生自己讨论总结本节课的收获 七、布置作业
平行四边形的性质教案(2)
教学目标
1、通过运用图形的变换探索并掌握平行四边形的有关性质。
2、体验数学研究和发现的过程，并得出正确的结论。
3、进一步体验一些变换思想，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达，培养学生的探索能力和合作交流的习惯。尝试从不同角度寻求解决问题的方法，提高解决问题的能力。
知识与技能：
探索平行四边形的对角线互相平分的性质；会应用平行四边形的三个性质． 重难点、关键
重点：理解并应用平行四边形的对角线互相平分的性质． 难点：理解平行四边形对角线互相平分的性质． 关键：性质的运用 教学过程
一、动手操作，感知轻重
教师活动：操作教具，组织学生分四人小组进行讨论，从操作中发现有的边、角关系：“对边相等，对角相等”，然后进一步启发学生去发现对角线交点O 到平行四
B
A B
C
D
O
边形四个顶点的距离的关系．
学生活动：分四人小组，?画图、??从中领悟并验证平行四边形ABCD绕点O（两个对角线的交点）旋转180°仍和EFGH重合，?从中观察出平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的三个性质．
教师提出下面问题：
已知 ABCD中，AC、BD交于O，图中有哪些三角形全等？哪些线段是相等的？?请同学们用多种方法加以验证．
学生活动：合作学习，相互讨论自己的思维，并交流不同的验证思路．
思路点拨：图中有四对三角形全等，分别是：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，?
△ABD≌△BCD，△ADC≌△CBA．有如下线段相等：OA=OC，OB=OD，AD=BC，AB=DC 。师生归纳：平行四边形性质三：平行四边形对角线互相平分．
二、范例点击，应用所学
例1如图，在 ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O,AOB
的周长为15,AB=6,那么对角线AC和BD的和是多少?
例2如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，
AC⊥BC，求 BC、CD、AC?、?OA的长以及 ABCD
面积．
思路点拨：可以利用平行四边形对边相等求出BC=AD=8，CD=AB=10，在求AC长度时，因为∠ACB=90°，可以在Rt△ACB中应用勾股定理求出AC= =6，由于OA=OC，因此AO=3，求面积是48．
【活动方略】
教师活动：分析讲例2，教会学生分析思路是本例的重点．?渗透“综合分析法”．
学生活动：参与教师分析，学会几何分析的基本思路．学会“综合分析法”．
【设计意图】对于几何计算或证明，分析思路和方法是根本，通过本例，让学生学会如何分析，学会如何严格的书写突破用几何语言书写表达的难点．
【课堂演练】
演练题1 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，?AC=?12cm，?BD=18cm，AD=13cm，求△BOC的周长．
演练题2 已知 ABCD的周长为48cm，AB比AC长4cm，那么这个四边形的各边长为
多少？
演练题3 在 ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C度数．
演练题4平行四边形的一条边长为12，两对角线长可取以下的（）（A）10和8（B）10和14（C）12和16（D）34，6
教师活动：操作投影仪，显示“课堂演练题”，巡视、启发，关注“学困生”，可以请部分学生上讲台“板演”，然后与学生一起共同纠正存在的问题．
学生活动：独立完成课堂演练题．学会应用平行四边形性质．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P86 “练习”1、2．
四、课堂总结，发展潜能
平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
性质：（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：对角相等，邻角互补．
（3）对角线的性质：对角线互相平分．
备注：小结中应直观应用图形帮助记忆
五、布置作业，专题突破
1．课本P90 习题19．1 2, 3，
《平行四边形的判定》教案
（第一课时）
教学目标
知识与技能
经历并了解平行四边形判别方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；掌握平行四边形的判别方法,能根据判别方法进行初步应用；
过程与方法
在探索判别方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯；在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验.
情感态度与价值观
激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣；通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神.
教学重难点
重点
探索平行四边形的判别方法.
突破方法：为了突出重点，以学生自主探索、合作交流为主线，提出问题让学生动眼观察，动脑猜想，动手验证，进而掌握平行四边形的判别方法.
难点
判别方法的理解和初步运用.
突破方法：采用教师引导和学生合作的教学方法及化归的数学思想. 教法
采用“引导探索法”.
学法
自主探索、合作交流.
教学手段
多媒体辅助教学
学具准备
小木条、橡皮筋.
教学过程
板书设计
A B
C
D E F 1
2
19．1．2平行四边形的判定（二）
教学目的：
1、掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理进行有关的论证和计算；
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定一个四边形是平行四边形。
教学难点：判定定理的证明方法及运用。
教学用具：二对长度相等的纸条、尺、投影仪等。 教学时间：一课时。 教学过程：
一．复习引入： （1）．我们已学过哪些方法来判定一个四边形的平行四边形？（提问回答）
二、新课讲解
设问：若一个四边形有一组对边平行且相等，能否判定这个四边形也是平行四边形呢？
活动：课本P97探究内容，并用事准备好的纸条（纸条的长度相等），先将纸条放置不平行位置，让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点，则组成的四边形是不是平行四边形？若将纸条摆放为平行的位置，则同样用二纸条的端点为顶点组成的四边形是不是平行四边形？
设问：我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢？（让学生找出题设、结论，然后写出已知、求证及证明过程。）
小结：平行四边形判定方法五： 前提：若一个四边形有一组对边平行且相等。 结论：这个四边形是一个平行四边形。 如图用几何语言表达为：
∵AB=CD 且AB ∥CD
∴四边形ABCD 是平行四边形 平行且相等可用符号“ ”∵AB CD
ABCD 是平行四边形
三．例题讲解： 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边 AD 、BC 的中点，连结BE 、DF
求证：21∠=∠
例2（补充）已知：如图，ABCD 中，E 、C B A
DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形． 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD ，且AB ∥CD ．
∴ ∠BAE=∠DCF ．
∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ， ∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）． ∴ BE=DF ．
∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．
分析：今天我们证明角相等，除了平行线，全等三角形外，又多了一个新方法，可以证明平行四边形对角相等，即只要四边形EBFD 是平行四边形。由已知平行四边形ABCD 的性质可得DE//BF ，又AD ＝BC ，E 、F 为中点则有DE ＝BF ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形EBFD 是平行四边形。 证明由学生完成。
提问：此题还有什么方法，证明四边形BEDF 是平行四边形。学生会想到证明CDF ABE ???，得到BE ＝DF ，利用两组对边相等证明四边形是平行四边形。但应指出第二种方法较第一种方法繁，也就是说要找出较简捷的证法，准确地使用判定定理，就要先分析图形的性质，及所具备的条件。
练习：课本P99练习第2及课本P100习题第4题（让两位学生板演证明的过程，教师加以讲评。）
四．小结
今天我们主要研究了利用边的关系来判定平行四边形，注意满足两个条件。
的四边形是平行四边形一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对边分别平行
??
???
注意：若一组对边平行，另一组对边相等，是不可以判定为平行四边形的，它是梯形。
五．作业布置： 1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）． （A ）AB ∥CD ，AD=BC （B ）∠A=∠B ，∠C=∠D （C ）AB=CD ，AD=BC （D ）AB=AD ，CB=CD 2．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线相等的四边形是平行四边形；
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
19.1.2 平行四边形的判定（二）
一、平行四边形的判定例题：
练习；
19.1.2 平行四边形的判定（三）
[教学目标]
知识与技能
1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
过程与方法
经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．感悟几何学的推理方法。
情感态度与价值观
培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。
[重点]掌握和运用三角形中位线的性质．
[难点]三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）
[教学过程]
第一步：课堂引入
1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？
2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？
（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）
实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）
图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 第二步： 引入新课
例（教材P98例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=2
1
BC ．
分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=2
1BC ．
（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同） 方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=2
1BC ．
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什
么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）
第三步：应用举例
例1已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连结AC（图（2）），△DAG中，
∵AH=HD，CG=GD，
1AC（三角形中位线性
质）．
∴HG∥AC，HG=
2
1AC．
同理EF∥AC，EF=
2
∴HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．第四步：课堂练习
1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC
和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20
m，那么A、B两点的距离是m，理由
是．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE=
cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜
想．
第五步：课后巩固
1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．
2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中
点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．
3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
第六步：课堂小结
谈谈你的收获
第七步：布置作业
19.1.2 平行四边形的判定（三）
一、平行四边形的判定例题：
练习；
19.2.1 矩形(一)
[教学目标]
知识与技能
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
过程与方法
经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。并渗透运动联系、从量变到质变的观点．
情感态度与价值观
培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值。
[重点]矩形的性质．
[难点]矩形的性质的灵活应用
[教学过程]
第一步：课堂引入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，
它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． 【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 矩形性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形性质2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21
AC=2
1BD ．
因此可以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 第二步：应用举例：
例1已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AC 与BD 相等且互相平分． ∴ OA=OB ． 又 ∠AOB=60°， ∴ △OAB 是等边三角形．
∴矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例2（补充）已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：2)4
2
2
+x
x，解得x=6．则AD=6cm．
=
8+
(
利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：
AE×DB＝AD×AB，解得AE＝4.8cm．
例3（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．
分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部
分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只
要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的
直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，且AD∥BC．∴∠1=∠2．
∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．
∴∠B=∠AFD．又AD=AE，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF=BE．∴EF=EC．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
第三步：随堂练习
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．（选择）
（1）下列说法错误的是（）．
（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
3．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求∠CBE的度数．
第四步：课堂小结
谈谈你的收获
第五步：布置作业
19.2.1矩形(二)
[教学目标]
知识与技能
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
过程与方法
经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法。情感态度与价值观
培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要。[重点]矩形的性质定理1、2
[难点]定理的证明方法及运用。
[教学过程]
第一步：课堂引入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是
一、内容及内容分析 本课是人教版新课标实验教科书八年级上册第十九章的第一课时，其主要内容是平行四边形的概念及平行四边形的边、角的相关性质。 四边形是几何中的基本图形，它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多的平行四边形图案，更重要的是，它的性质在日常生活及生产实践等各个领域中均有广泛的应用。 关于平行四边形的概念，学生在小学已经学过，所以，本节课在原有学习的基础上进行更深一步的学习。平行四边形的定义，大前提是“四边形”，条件是“两组对边分别平行”。综合起来就是平行四边形的定义，并且可以让学生更好的结合原有知识去掌握和理解，同时又能很好的区分“四边形”与“平行四边形”的概念。平行四边形的定义，它既是平行四边形的判定，又可以作为平行四边形的一个性质。 通过对平行四边形的定义的理解，平行四边形从属于四边形，所以一般四边形所具有的性质它都具有，如：四边形的不稳定性等。同时，它还具有自己特有的性质：对边平行且相等、对角相等、邻角互补等。两条性质的证明，渗透的是将四边形问题转化为三角形问题的一种转化思想，而添加对角线，介绍的是将四边形问题转化为三角形问题的一种常用的转化手段．这些性质为学生证明或解决线段相等、角相等等问题提供了全新的思路，拓展了学生的视野。另外，平行四边形的这些性质还是所有特殊平行四边形的基本性质，如：后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础。 本课还注意了使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图形处理能力、探索及解决问题的能力等方面，都起着较为重要的作用。 教学重点：平行四边形的概念和性质。 二、目标和目标解析 1、知识目标 (1)理解平行四边形的定义及有关概念。 (2)能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。 (3)了解平行四边形在实际生活中的应用,能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。 2、能力目标 (1)经历用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维。
第一章特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定（1） 【教学目标】 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形的关系。 2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学重难点】 重点：掌握菱形的性质。 难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。 【教学过程】 一、回顾复习 1.平行四边形的定义。 2.平行四边形的性质。 3.平行四边形的判定。 二、新课讲授 1.出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论： （1）菱形是轴对称图形； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的对角线互相垂直。
3.证明这些结论。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=BC=AD；（2）AC⊥BD。 证明： 由此可以得到菱形的两条性质定理： 菱形的四条边相等。 菱形的对角线互相平分。 4.总结菱形所有的性质： 边：菱形的四条边相等； 角：菱形的对角相等，领角互补； 对角线：菱形的对角线互相垂直且平分。 对称性：菱形是轴对称图形（两条对称轴是对角线所在的直线）
菱形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）5.范例学习（P3） 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 6、随堂练习，巩固新知 1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2）菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______. 3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）4）菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。 5）“P4随堂练习”
第5单元平行四边形和梯形 第6课时四边形之间的关系 【教学内容】：教材第66页例4 【教学目标】: 巩固平行四边形和梯形的概念及特征，探讨学过的几种四边形之间的 【重点难点】: 【教学过程】: 1. 2. 3.长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形吗？这些图形之间 （板书课题 1.出示例4 2. 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几
教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么 师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互 师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚 师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四 师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家 学生用各种形式表示：语言叙述、画图表示 师：大家一起来看（点击课件），我们就可以把四边形看成是一个大 家庭，但其中不仅仅包括这四种图形，还有任意四边形。教师用集合图的形式表示这些图形之间的相互关系，你有什么问题吗？用语言叙
3.巩固练习： 教材“练习十一”第8 1.教材“练习十一”第9 学生动手摆一摆，小组内互相说一说，重叠的部分是什么图形？有没有不同的意见？ 2.教材“练习十一”第10 先说说各是什么图形，再量出各图形中每个角的度数，并填表，你发 学生动手测量，小组内合作完成，检查交流测量结果，再议一议：发 四边形四个角的度数和是360 3.教材“练习十一”第14* 图中有哪些我们学过的图形？每种图形有几个？看谁最细心，数得又
18.1.1 平行四边形及其性质(一) 学习目标： 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 学习过程： 一、自主预习（10分钟） 1.由条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有条边，个角,四边形的内角和等于度； 2.如图AB与BC叫边， AB与CD叫边；∠A与∠B叫角，∠D与∠B叫角; 3多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有条，它们是 自学课本 1.有两组对边的四边形叫平形四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD记作。 2.如图□ABCD中，对边有组，分别是，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。 你能归纳ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。 二、合作解疑（15分钟） 1、如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其 中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？ 2、一个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是： 3 ABCD有一个内角等于40°，则另外三个内角分别为： 4、平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为： 5、在ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（） A.1：2：3：4 B.3：4：4：3 C.3：3：4：4 D.3：4：3：4 5、ABCD 的周长为40cm，△ABC的周长为27cm,AC的长为（） A.13cm B.3 cm C.7 cm D.11.5cm
19.1.1 平行四边形及其性质(一) 一、教学目标： 知识目标 1．理解并掌握平行四边形的概念 2．平行四边形对边平行且相等 3．平行四边形的对角相等、邻角互补的性质． 能力目标 会用平行四边形的性质解决简单计算问题，并会进行有关的论证． 情感态度目标 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点 1．平行四边形的定义， 2．平行四边形对角、对边相等的性质，邻角互补的性质，以及性质的应用． 三、难点 1、运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 2、难点的突破方法： 本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础． 学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识． 四、例题的意图分析 例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证． 五、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平 行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚） 2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角． （相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一 章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．） （2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到：
《平行四边形的认识》教学设计 教学目标： (一)使学生理解平行四边形的概念及其特性，并会画平行四边形的高． (二)使学生掌握长方形、正方形和平行四边形的关系． (三)进一步提高学生观察、比较能力和作图能力． 学情分析： 四年级学生以具体形象思维为主，具有一定的抽象思维能力，动手操作能力。因此，本着“边操作边感悟”的原则，让他们动手实践，在做中学，同时学生也参与到了获取新知识的过程中去。学生通过探究，观察比较容易得出结论。在动手实践过程中将抽象的知识变成了学生能看得见、摸得着的现实东西。让孩子们体会数学就在身边，进一步激发学生学习数学的热情。 教学重点和难点： 理解和掌握平行四边形的定义及其特性，画平行四边形的高是教学重点；理解长方形、正方形与平行四边形之间的关系是难点． 教具：电教 教学过程： (一) 复习导入 我们已经学过一些几何图形，观察一下这些图形有什么共同的特点？(投影) 在明确它们都是由四条线段围成的基础上概括出：由四条线段围
成的图形是四边形 提问：我们学过哪些四边形呢？(学过的四边形有长方形、正方形、平行四边形．) 你能举例说说哪些物体表面是平行四边形吗？ 教师出示挂图，让学生初步感知平行四边形． 我们已初步认识了平行四边形，那么什么叫平行四边形？它有什么特性？这就是我们今天要研究的课题．(板书课题：平行四边形) (二)学习新课 1．理解平行四边形的定义． 首先出示一组图形：这些图形是什么形？它们有什么特征？ ①动手测量． 指名一学生到黑板上用三角板检验一下，每个图形的对边怎样．其余同学用三角板检验课本151页3个图形的对边．然后再用尺子度量一下每组对边的长怎样． ②抽象概括． 根据你测量的结果，能说说什么叫平行四边形吗？ 小组先议论一下，(可能说出每组对边分别相等，也可能说出平行四边形每组对边平行)再让到黑板上测量的同学说出检验与测量的结果，从而引出平行四边形的确切含义． 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(板书) 教师强调说明：只要四边形的每组对边分别平行就能确定它的两组对边相等，因此平行四边形的定义是“两组对边分别平行的四边形”．
第十九章四边形复习学案 考点透视 1.平行四边形与特殊的平行四边形的关系： 4.梯形、等腰梯形、直角梯形的性质与判定. 例题选讲 类型一、平行四边形的性质与判定 例1.如图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，①求证：AECF 也是平行四边形；②连接BD ，分别交CE 、AF 于G 、H ，求证：BG =DH ；③连接CH 、AG ，则AGCH 也是平行四边形吗？ A B C D E F G H 例2. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60 o ，
CE =3cm ，FC =1cm ，求AB 、BC 的长及ABCD 面积. 60o A B C D E F 类型二、矩形、菱形的性质与判定 例3. 如图，在矩形ABCD 中，对角线交于点O ，DE 平分∠ADC ，∠AOB ＝60°，则∠COE ＝ ． A B C D E O 例4. 如图，矩形ABCD 中的长AB ＝8cm ，宽AD ＝5cm ，沿过BD 的中点O 的直线对折，使B 与D 点重合，求证：BEDF 为菱形，并求折痕EF 的长． O E D C B A 类型三、正方形的性质与判定 例6. 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若∠EAF =50°，则∠CME +∠CNF = ． F E D C B A M N 类型四、与三角形中位线定理相关的问题 例7. 如图，BD =AC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，AC 、BD 交于E ，MN 与BD 、AC 分别交于点F 、G ，求证：EF =EG . N M G F E D C B A 类型五、梯形、等腰梯形、直角梯形的相关问题 例8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则你可得到哪些结论？
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．1．1平行四边形的性质第一课时 修订：陈广营教学目标： 1.知识目标 经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，使学生理解平行四边形的概念和性质；探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质. 2.能力目标 在进行探索的活动过程中发展学生的探究能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力； 3.情感目标 在探索讨论中养成与他人合作交流的习惯，提高克复困难的勇气和信心. 教学重点：探索平行四边形的性质 教学难点：通过操作、思考、升化、归纳出结论 教学过程： 一、揭题示标 1.创设情境，引入课题 老师给大家准备一些生活中常见的有关平行四边形的事物图案和标志，请大家欣赏（投影显示），激起学习兴趣 2、板书课题：平行四边形的性质 3、出示学习目标 过渡语：本节课我们要达到什么样的学习目标呢？请看：（投影显示） 学习目标 1、理解平行四边形的定义，理清四边形与平行四边形的关系. 2、熟记平行四边形的性质，并会利用性质解决问题. 今天的目标有信心实现吗？为了实现本节课的学习目标，请大家在学习指导的帮助下进行自学！ 二、学习指导（见投影）
【学习指导】 认真看课本（P41-43练习前）注意： 1、理解平行四边形的定义，理清四边形与平行四边形的关系.并举例说明。 2、动手画一个平行四边形，量一量，猜想它的边之间有什么关系角呢利用三角形全等来证明你的猜想.怎样用几何语言表示平行四边形的性质 3、回答云图中的问题，并思考解题依据是什么？ 4、认真分析例1，并注意例1的解题格式和步骤. 5、类比两点间的距离，点到直线的距离来理解两平行线之间的距离。并思考它们之间有何联系与区别？ 自学6分钟，不能独立解决的问题上作标记，便于对子交流或组内讨论。 三、自研共探 1、自主学习（6分钟） 学生看书、思考，教师巡视，督促每个学生都认真、紧张的自学，对学生自学过程中出现的问题做到心中有数，进行二次备课。 2、合作交流 师：自学完了吗全部问题都能独立解决吗 生：不能。 师：对于依然存在的问题，下面开始对子交流，对子交流不了的问题，进行组内解决，也可以问老师，下面开始交流。 （1）对子交流：自学指导问题1 （2）小组讨论：自学指导问题2、5 （学生把解决不了的问题讨论完毕自动坐下） 3、汇报成果 口答：学习指导中的问题1、:5 1、平行四边形的定义，四边形与平行四边形的有什么关系.并举例说明。
3.多边形中不相邻顶点的连线 它们是___ ___ 【新知探究】观察课本平行四边形的图片
8．如图，□ABCD中， （第8题）（第9题）（第10题）9．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．(A)∵AB∥CD∴∠ (C)∵AD∥BC∴∠ 15. 如图，AD∥BC，AE
鸡西市第十九中学学案
5.在□ABCD 中，AE⊥ 则□ABCD的面积为______ □ABCD的对角线交于点 6.有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； (A)2 (B)(1) (2) (3) (A)3n(B)3n(n＋1) (C)6n(D)6n 10．如图所示，在□ABCD中，∠D-∠A=∠1=60° 11．如图，已知平行四边形 且∠EAF=30°，求AB 12．如图，E、F是平行四边形 求证：（1）△ABE≌△CDF；（2） 13．如图，平行四边形ABCD 求ABCD周长．
C 2 B A C 《两条平行线间的距离》专题 班级 姓名 死亡教会人一切，如同考试之后公布的结果……虽然恍然大悟，但为时晚矣！ 1．按要求画图： （1） 在直线AB 上任取两点E 、M ； （2） 过点E 作EF ⊥CD 于F ；过点M 作MN ⊥CD 于N （4）观察并猜想：线段EF 和MN 有什么关系。 （5）再画一条垂线段，那么它与线段EF 和MN 有什么关系， 如果是画无数条垂线段，你的结论会改变吗？为什么？ 例：在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 上两点，判断△EBC 与△FBC 的面积关系？ 解：过点E 作EH ⊥BC 于H ，过点F 作FG ⊥BC 于G ， ∵四边形ABCD 是 ∴AD ∥ ∴EH FG （ ）∵△EBC 的面积= △FBC 的面积= ∴△EBC 的面积 △FBC 的面积 当堂训练： 1．如图，1l ∥2l ，点A 、B 、C 在2l 上，且AB=BC ， 点D 、E 在2l 上，则△ABD 的面积 △BCE （填“>”、“<”或“=”） 2．如图，在□ABCD 中，AE 、AF 分别垂直于BC 、垂足为E 、F ， 若∠EAF ＝30°，AB ＝6，AD ＝10，则CD ＝______ ；AB 与CD 的距离为______；AD 与BC 的距离为______；∠D ＝______． 3．如图，已知平行四边形ABCD ，AD 、BC 的距离AE=15cm ，AB 、DC 的距离AF=30cm ，且∠EAF=30°，求AB 、BC 、及平行四边形ABCD 面积． 4．在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若AB ＝10cm ，BC ＝15cm ，BE ＝6cm ， 则□ABCD 的面积为______． 5．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，已知AE =4，AF =6，□ABCD 的周长为40，试求□ABCD 的面积。 C F E D C B A
第十九章平行四边形的性质（培优） ： 1、叫做平行四边形，记作“”，读作“”。 2、在平行四边形ABCD中，如果∠A=150°，那么∠B= °，∠C= °。 3、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（） A、邻角互补 B、邻角相等 C、对角相等 D、对边相等 知识扩展： 1.平行四边形的对边从位置上看是平行的，从数量上看是相等的。 2.利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决。 3.过对角线交点画出的任意一条直线，把四边形分成大小相等的两个图形。 知识点1. 平行四边形的定义 1、如图，在□ABCD中，已知∠ODA=900，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）。 A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm 2.点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A,B,C,D, 四点恰好能够构成一个平行四边形，则在这个平面内符合这样条件的点D有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 知识点2. 平行四边形的性质 3、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC、BD的长分别为8cm、10cm，则AD长 度xcm的取值范围是（） A.2＜x＜6 B.3＜x＜9 C.1＜x＜9 D.2＜x＜8 4、（2011年湘西）下列说法错误的是（） A.两点之间，线段最短 B.1500的补角是500 C.全等三角形的对应边相等 D.平行四边形的对边互相平行 5、是□ABCD内的任意一点，若S□ABCD=6cm2，则 图中阴影部分的面积为（） A. 5 cm2 B. 4cm2 C. 3cm2 D. 以上都不对
<四边形专题复习之弱特殊四边形>学案 一、学习目标： 1. 理解中点四边形等特殊四边形的概念，掌握相关弱特殊四边形的应用方法； 2. 激发学习兴趣，培养勇于探索、勇于创新的精神； 3. 渗透转化思想，培养独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。 二、学习重点：相关弱特殊四边形及其应用 三、学习难点：相关弱特殊四边形及其应用 六、学习过程： 环节一：复习回顾，引入课题 1.三角形中位线的概念和性质及判定； 三角形中位线的概念：连接三角形 叫三角形的中位线。 三角形中位线的性质：三角形的中位线 第三边，且 。 三角形中位线的判定：过三角形一边的 ，且 第三边的直线必 第二边。 2.中点四边形的概念及性质。 中点四边形的概念：顺次连接四边形 构成的四边形叫这个四边形的中点四边形。 中点四边形的性质： 问题1：我们之前学习的一些四边形的中点四边形的形状是什么？ 任意四边形的中点四边形是 ；平行四边形的中点四边形是 ； 矩形的中点四边形是 ； 菱形的中点四边形是 ； 正方形的中点四边形是 ；等腰梯形的中点四边形是 。 问题2：具备什么特征的四边形的中点四边形是特殊的四边形？ 的四边形的中点四边形是矩形；
的四边形的中点四边形是菱形； 的四边形的中点四边形是正方形。 总结：一个四边形的中点四边形的形状由原四边形什么特征决定？ 。 除了平行四边形，矩形，菱形和正方形这些特殊的四边形之外，还有一些四边形具备一定的特殊性，主要涉及到某些边（角或对角线）相等（或位置上的平行），但条件比前述特殊四边形的弱，象这样的四边形我们称之为弱特殊四边形，例如：前面学习的梯形，又比如，刚刚学习的两条对角线相等的四边形。 环节二：深入探究，获取思路 对于等对角线四边形 1、等对角线四边形的概念：。 2、等对角线四边形的性质：等对角线四边形的中点四边形是。 3、经典例题：（2006年北京中考第25题） 给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。 请解答下列问题： （1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； （2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 总结： 环节三：发散思维，提升能力 为考查学生的阅读理解能力，分析和解决问题的能力，许多中考试题，都是我们课本上的改编题。往往在原题的基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些我们不熟悉的命题。有效地考查了同学们的数学思维能力，体现了新课程理念。
18.1.1平行四边形的性质（一） 学习目标 1、掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质； 2、会用平行四边形的性质进行简单的推理和计算问题； 3、经历“实验——猜想——验证——证明”的过程，发展学生的思维水平. 教学重难点 重点：平行四边形的性质及其应用. 难点：平行四边形性质的应用. 导学过程 一、情境引入 1、请同学们拿出准备好的两个全等三角形，将它们相等的一边重合，你能拼出什么样的图形？有几种拼法？ 2、平行四边形是我们常见的图形，如学校的伸缩门，庭院搭的竹篱笆，载重汽车的防护栏等.（见课本） 以上的四边形，你们是如何知道它们是平行四边形的？说说你的理由？ 二、探索新知 （一）平行四边形的定义 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. “”，如下图的平行四边形可记作： 2、表示方法：平行四边形用 ________________，读作：平行四边形ABCD。 如何用符号语言来描述平行四边形的定义？ 符号语言：∵____∥____，____∥____ ∴四边形ABCD是平行四边形 3、解读平行四边形定义的双层含义： 如果两组对边分别平行，则这个四边形就是_________________； 如果一个四边形是平行四边形，则它的两组对边_____________．
4、相关概念： ____ 与_____，_____与_____，叫做对边；AB与______，叫做邻边； ____ 与_____，_____与_____，叫做对角；∠A与______，叫做邻角； （二）探索平行四边形的性质 由平行四边形的定义可知，平行四边形具有两组对边分别平行这一性质，那么平行四边形还有其他的性质特点吗？ 1、猜一猜：在ABCD中 AB=______,AD=______，即对边相等； ∠A=_____,∠B=_____，即对角相等. 你有什么方法验证你的猜想吗？（度量法、叠合法） 2、前面我们得到的结论是通过观察、猜想、度量或叠合的方法得到的，那么我们能否加以证明呢？ 已知：ABCD （如图） 求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠BAD=∠DCB 证明：连接AC ∵AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的对边平行） ∴∠1＝______，∠3＝______ 又AC是△ABC和△CDA的公共边 ∴△ABC≌△CDA（_______） ∴AB＝_____，BC＝_____，∠B＝______ 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3 即∠______＝∠______ 3、你能说明平行四边形邻角之间的关系吗？ 归纳总结：平行四边形具有以下性质： 对边平行且相等记作“” 对角相等 邻角互补 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD BC , _________ （对边平行且相等） ∠A＝∠C， _________ （对角相等） ∠A＋∠B＝180o .... （邻角互补）
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形全章教案合集 18.1.1平行四边形的性质 （第1课时） 学习目标 1.理解平行四边形的定义及有关概念。 2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。 3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和 证明。 重点难点 重点：平行四边形的概念和性质。 难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法（即为什么要添加对角线） 新课导入 现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物，铺满地砖的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影。在小学，我们已经学过一些特殊的四边形，如长方形、正方形、平行四边形和梯形等，这些特殊的四边形与我们的生活关系更为密切。在章前图中，你能找出它们吗？在本章，我们将进一步认识这些特殊的四边形，分析它们的联系与区别，探索并证明它们的性质及判定方法，进一步提高分析问题、解决问题的能力。 学习新知： 阅读教材内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1.什么叫做平行四边形？如何表示一个平行四边形？ 2.四边形与平行四边形有怎样的从属关系？你能举出生活中的平行四边形的例子吗？ 3.平行四边形有什么性质？你能证明吗？ 课堂练习 1.教材练习第1，2，3题。 2.如图在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（ D ） A．4个 B.5个
C.8个 D.9个 3.在平行四边形ABCD中，∠A，∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（C ） A.60° B.80° C.100° D.120° 【要点归纳】 通过学习，本节课你学到了哪些知识？与同伴交流一下。 【拓展训练】 已知任意三点A、B、C，是否存在点D，使A、B、C、D围成一个平行四边形？如果存在，请你作出平行四边形；如果不存在请说明理由。
四边形之间的关系 教学目标 1、认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形和梯形的特征。 2、通过活动，在对各种四边形分类整理中，了解平行四边形与长方形和正方形的关系。 3、培养学生动手操作能力，发展空间观念和想像力。 教学重点 通过操作和讨论掌握平行四边形和梯形的特征。 教学难点 理解平行四边形与长方形和正方形的关系。 【教学过程】: 一、导入 师:同学们,你们喜欢做游戏吗?好,我们玩一个游戏,名字叫做猜图形。谁想来?其他同学们向他提供准确的信息,不能比图形的形状,信息里不能包括这个图形的名字。好,开始! 教师逐个板贴长方形、正方形、平行四边形和梯形,学生逐个提供信息逐个猜(在此过程中老师及时评价学生或纠正学生的错误) 师:长方形和正方形我们已经很熟悉了,大家提供的信息既准确又充分,(拿下长方形和正方形)今天这节课我们重点研究哪两种图形呢?平行四边形和梯形。(揭示课题:平行四边形和梯形) 【设计意图:立足于学生的学习起点,之前学生已经初步认识了平行四边形和梯形,通过猜图形唤醒学生的知识记忆,同时为下面的探究做好铺垫】
二、自主探究 1.出示例4。 根据学生前面的回答，出示几个不同的四边形。 2.探讨图形之间的关系。 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几个图形之间又有什么联系呢？ 学生回答长方形、正方形和平行四边形的共同之处。 教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么形状？ 师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互相平行吗？ 师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚才的平行四边形特殊了一点，你知道它特殊在哪儿吗？ 学生回答出角的特点，四个角都是直角。 师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四边形的关系吗？ 长方形是特殊的平行四边形。 （用同样的方法让学生发现正方形和长方形之间的关系） 师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家
第十讲四边形 学习目标 1、掌握四边形和多边形内角和定理，外角和定理。 2、熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及它们的性质。 3、了解梯形的概念及梯形中的常用辅助线添法。 4、掌握梯形中位线的性质及三角形中位线的性质。 知识框图 直角梯形 梯形 等腰梯形 四边形 矩形 平行四边形正方形 菱形 【典型例题】 例1：如图正方形ABCD中，P是直线BD上的一点，引PE⊥BC，E为垂足，PF⊥CD于F，求证：AP=EF。 分析（1）要证两条线段相等可设法找出分别含AP、EF的两个 全等三角形 （2）通过计算来证几何线段相等 A D G 证法一：延长AD交PE于点G ∵∠BDC=∠PDG=450 ∴四边形DGPF为正方形 ∴PF=GP 从而GA=EP PG=GD=PF B C E ∴RtΔPAG≌RtΔFEP ∴AP=EF 证法二：设BC=a ,CE=b 则CF=a+b PG=b ∵EF２=AG２+CE２=(a+b)２+b２ AP２=AG２+PG２=(a+b)２+b２∴AP=EF 评注：在证几何线段相等时，当然经常想到用几何的角度去考虑问题，但用代数法来解几何题也是一种非常重要的方法。 例2：如图，梯形ABCD中，CD∥AB，M、N分别是DC和AB的中点，且∠A+∠B= 900。 求证MN= （AB-CD） D M C 证明：作CE∥AD交AB于点E，则AE=DC A E N F B ∠A=∠CEB ∴∠CEB+∠B=900 作CF∥MN交AB于F ∵BE=AB-CD BF=BN-NF= （AB-DC） ∴F是RtΔBEC的斜边BE的中点∴CF= BE= （AB-DC） 即：MN= （AB-DC） 评注：作CF∥MN，既平移了MN ，又使BN与NF共线，也就是使BF= （AB-CD），从而使原题转化为证明CF=BF ，作CE∥AD，可以使∠A+∠B=90 集中到ΔBEC中，这种把梯形分割成平行四边形和三角形或分割成已知条件相联系的其他图形的方法，我们应把它掌握起来。
第18章平行四边形 【教学目标】 1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法，三角形的中位线定理等； 2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系； 3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。 【教学重点】 1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。 2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及应用方法。 【教学难点】 平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。 【教学模式】 以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺-----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率。 【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。 【教学过程】 一、以题代纲，梳理知识 （一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。 （二）诊断练习 1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O： （1）AB＝CD,AD＝BC （平行四边形） （2）∠A＝∠B＝∠C＝90°（矩形） （3）AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形（菱形） （4）OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （正方形） （5）AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？) 2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为5厘米。 3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。 4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是50平方厘米。 5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形、菱形、正方形。 （三）归纳整理，形成体系 1、性质判定，列表归纳
教学目标: 1.通过观察思考和动手操作，建构平行四边形和梯形的概念，发展学生的空间观念。 2.通过观察和辨析，理解各种四边形之间的关系，感受数学的严谨。 3.在自主探究的过程中，树立学习的信心，在合作交流的过程中，感受数学的价值。 教学重点:对比建构平行四边形和梯形的概念。 教学难点:理解各种四边形之间的关系。 教学准备: 1.教具:PPT 课件，四边形的关系图板贴，长方形、正方形、平行四边形、梯形各若干。 2.学具:直尺，三角板，粗水笔，课堂练习题卡。 教学过程: 一、游戏导入，激发兴趣。 师:同学们，喜欢玩游戏吗?好，我们来玩一个“猜图形”的游戏，谁想来? 面向全体:请同学们提供准确的信息。 面向猜者:请你根据大家的描述来猜是什么图形，好吗?准备好了吗?开始! 教师逐个板贴长方形、正方形、平行四边形和梯形，学生逐个提供信息逐个猜，在此过程中教师注意即时评价学生或纠正学生的错误。 师:长方形和正方形我们已经很熟悉了，所以大家的描述既准确又充分，(拿下长方形和正方形)而描述平行四边形和梯形的时候，有些同学的描述就不够准确了。本节课我们就来进一步认识它们。(板书课题:平行四边形和梯形) 【设计意图:课始，用“大家提供信息一人猜”这种形式的“猜图形”游戏导入，旨在调动学生已有的知识经验，激发学生学习的兴趣，作为学习的起点。长方形、正方形的特征是学生熟悉的，因此提供的信息既准确又充分，而平行四边形和梯形的特征学生描述起来就有些困难，这样学生对要学习的问题就能产生浓厚的兴趣，从而激起学生求知欲望，自然进入了新课的学习。】
二、联系生活，感知图形。 师:其实生活中就有许多物体的表面是平行四边形或梯形。 这是一张“校园一角”的图片(课件出示)，请看屏幕。请同学们找一找，有平行四边形和梯形吗? 学生汇报。 师:来看看同学们找得对不对。(课件演示图片中隐藏的平行四边形和梯形) 师:看来平行四边形和梯形在生活中应用十分广泛。 【设计意图:平行四边形和梯形在实际生活中有着广泛的应用，老师通过一张图片(教材中的主题图)说明几何图形无处不在，启发学生用数学的眼光去观察、去思考、从而激发学生求知的欲望。】 三、自主探究，建构概念。 师:那什么叫做平行四边形，什么叫做梯形呢?要想研究它们，观察是个好办法。请大家观察一下，这两种图形有什么共同的特点? 学生说明，当学生说出“平行”时要让学生到黑板前用手指出平行的对边。 学生指黑板图形说明平行四边形和梯形中平行的对边。 师:这只是我们通过观察得出的结果，真的是这样吗? 师:一号题卡上就有一个平行四边形和一个梯形，请同学们利用直尺和三角板，用画平行线的方法来验证一下它们的对边真的平行吗?拿出一号题卡和工具，开始吧! 学生独立操作，教师巡视指导。 师:请大家快速收好工具。谁能说说你的验证结论? 学生汇报。(指定一名学生到实物投影前就图说明。) 师:你们的结论也是这样吗?那么其它平行四边形和梯形是不是也具备这样的特征呢?我们先来看一组平行四边形。(课件演示:出示3个平行四边形。) 师:请大家看屏幕:第一个平行四边形我们已经验证过了，我们用电脑来验证另外两个。
18.1.2 平行四边形的判定（二） 学习目标： 1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题． 3、使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质 与判定之间的区别与联系。 教学过程 第一步：课堂引入 1．平行四边形的性质； 2．平行四边形的判定方法； 3．【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 第二步：应用举例： 例1、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、 BC的中点， 求证：BE=DF．
分别是AC上两点，且BE⊥AC于E， DF⊥AC于F． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 例3、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且 （A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠ D （C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD 2．已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由．
3．已知：如图，在ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线． 求证：四边形AFCE 是平行四边形． 4、. 如图，平行四边形ABCD 中，BE ＝DF ，AG ＝CH 。 求证：四边形GEHF 是平行四边形。 5．判断题： (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (5)对角线相等的四边形是平行四边形； (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6．延长△ABC 的中线AD 至E 使DE=AD ．求证：四边形ABEC 是平行四边形．
第18章勾股定理复习课教学设计 时间地点B301 主备人课题第18章勾股定理复习课时第 6 课时科任教师 教学目标1.熟练应用勾股定理解决实际问题及直角三角形相关问题； 2.会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形； 3.灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，体会其应用价值。 4.体验数与形的内在联系，感受勾股定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系。 重难点重点：应用勾股定理及其逆定理解决简单实际问题； 难点：应用勾股定理及其逆定理解决简单实际问题。 教学过程一知识要点复习： 勾股定理： 勾股定理逆定理： 活动二: 例１：在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）若a=3,b=4，则c=______； (2)若c=13,a:b=5:12，则a=_______ ,b=________； 例2： 1.已知三角形的三边长为 6 ,8 ,10 ,则这个三角形的最大角是_____度; 2.若△ABC中 ,AB=7 ,BC=24 ,AC=25 ,则AC边上的高 长为__________; 思考：三个正方形面积之间有什么关系？ 活动三： （一）分类讨论思想 1.已知:直角三角形的三边长分别是 3, 4, X , 则X=________ 讨论补 充记录
教学2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC 二、方程思想 3、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他 算出来吗？ 4、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，译文：有一个水池， 睡眠时一个边长为10尺的正方形，在水池正中央又一根芦苇，它高出水 面一尺，如果把真芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的 水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？请用学过的数学知识回 答这个问题。 三、折叠问题 5、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的 点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 1.CF 2.EC. 6、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6 ㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它 落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 四、展开图问题 7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽 和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个 讨论补 充记录