考点08 探索勾股定理
1.（2020·甘肃·期中试卷）已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3:4，则较短直角边的长为（）
A.3
B.6
C.8
D.5
【答案】B
【解析】根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可．
【解答】设两直角边分别为3x，4x．
由勾股定理得(3x)2+(4x)2＝100．
解得x＝2．则3x＝3×2＝6，4x＝4×2＝8．
∴ 直角三角形的两直角边的长分别为6，8．
较短直角边的长为6．
2.（2020·河南·期中试卷）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为()
A.13
B.13或√119
C.13或15
D.15
【答案】B
【解析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：当12是斜边时，第三边是√122?52=√119；
当12是直角边时，第三边是√122+52=13．
3.（2020·广东·期中试卷）如图，在△ABC中，∠C=90°，则AC=()
A.3
B.4
C.5
D.7
【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得，AC=√AB2?BC2=√52?42=3.
4.（2020·广西·月考试卷）直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知b=5，c=13，则a= ()
A.13
B.12
C.11
D.10
【答案】B
【解析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∴ 直角三角形的两条直角边分别为a和b，
斜边长为c，c=13，b=5，∴ a=√c2?b2=√132?52=12．
5.（2020·云南·期中试卷）在△ABC中，AB=10，AC=2√10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
【答案】C
【解析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：如图1所示，
AB=10，AC=2√10，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=√AB2?AD2=8，CD=√AC2?AD2=2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，
AB=10，AC=2√10，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD=√AB2?AD2=8，CD=√AC2?AD2=2，
此时BC=BD?CD=8?2=6，
则BC的长为6或10．
6.（2020·四川·月考试卷）以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是9和16，则斜边长为（）
A.25
B.5
C.15
D.225
【答案】B
【解析】根据勾股定理可知，直角三角形的两直角边为边长，进而求出斜边长即可．
【解答】解：根据以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是9和16，
故直角三角形的两直角边为边长分别为：3和4，
故以斜边为：√32+42=5．
7.（2020·福建·期中试卷）在Rt△ABC中，若斜边AB＝3，则AC2+BC2等于（）
A.6
B.9
C.12
D.18
【答案】B
【解析】利用勾股定理将AC2+BC2转化为AB2，再求值．
【解答】∴ Rt△ABC中，AB为斜边，∴ AC2+BC2＝AB2，∴ AB2+AC2＝AB2＝32＝9．
8.（2020·辽宁·期末试卷）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（）
A.a2+b2＝c2
B.b2+c2＝a2
C.a2+c2＝b2
D.c2?a2＝b2
【答案】C
【解析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．
【解答】∴ 在△ABC中，∠A+∠C＝90°，
∴ ∠B＝90°，
∴ △ABC为直角三角形，
则根据勾股定理得：a2+c2＝b2．
9.（2021·河南·月考试卷）在直角三角形中，两直角边a=5，b=12，则斜边c=________.
【答案】13
【解析】解：由勾股定理得，斜边c=√52+122=13．
10.（2020·福建·期末试卷）若Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，则AC=________．
【答案】10
【解析】根据勾股定理，即可解答.
【解答】解：∴ ∠ABC=90°,AB=6,BC=8，∴ AC=√AB2+BC2=10.
11.（2021·陕西·月考试卷）如图，在△ABC中，∠C=90°，则BC=________.
【答案】4
【解析】直接根据勾股定理求解即可.
【解答】解：∴ 在△ABC中，AB=5，AC=3，∠C=90°，
则△ABC为直角三角形，∴ BC=√AB2?AC2=√52?32=4.
12.（2021·广东·期末试卷）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为________．【答案】32或42
【解析】在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求出CD的长度，由BC＝BD+CD或BC＝BD?CD可求出BC的长度，再将三角形三边长度相加即可得出△ABC的周长．【解答】在Rt△ABD中，BD=√AB2?AD2=9；
在Rt△ACD中，CD=√AC2?AD2=5，
∴ BC＝BD+CD＝14或BC＝BD?CD＝4，
∴ C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．
13.（2021·吉林·期末试卷）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是AB边上的高．则CD的长为________．
【答案】12
5
【解析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【解答】∴ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴ AB=√32+42=5，
∴ 1
2×AC×BC=1
2
×CD×AB，
∴ 1
2×3×4=1
2
×5×CD，
解得CD=12
5
．
14.（2021·湖南·期末试卷）如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________．
【答案】√26
2
【解析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】根据勾股定理，AB=2+52=√26，
BC=√22+22=2√2，AC=√32+33=3√2，
∴ AC2+BC2＝AB2＝26，∴ △ABC是直角三角形，
∴ 点D为AB的中点，
∴ CD=1
2AB=1
2
×√26=√26
2
．
15.（2020·广东·期中试卷）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
【解析】先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的长，再由面积法求得CD的长，然后在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长．
【解答】∴ Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴ 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=10
又∴ CD⊥AB
∴ S△ABC=1
2AC×BC=1
2
AB×CD
∴ 1
2×8×6=1
2
×10×CD
∴ CD＝4.8
∴ 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=√AC2?CD2=√82?4.82=6.4
16.（2020·江苏·期末试卷）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．
【解析】
（1）欲证明PB＝PC，只需推知∠BCM＝∠CBH即可；
（2）设AB＝x，则AH＝x?4．在Rt△ABH中，利用勾股定理列出方程并解答．
【解答】证明：∴ AB＝AC，
∴ ∠ABC＝∠ACB．
∴ BH，CM为△ABC的高，
∴ ∠BMC＝∠CHB＝90°．
∴ ∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．
∴ ∠BCM＝∠CBH．
∴ PB＝PC．
∴ PB＝PC，PB＝5，
∴ PC＝5．
∴ PH＝3，∠CHB＝90°，
∴ CH＝4．
设AB＝x，则AH＝x?4．
在Rt△ABH中，
∴ AH?2+BH?2＝AB?2，
∴ (x?4)?2+(5+3)?2＝x?2．
∴ x＝10．
即AB＝10．
17.（2020·安徽·月考试卷）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【解析】
（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：∴当∠APB为直角时，∴当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
【解答】解：(1)在Rt△ABC中，
BC2=AB2?AC2=52?32=16，
∴ BC=4cm.
(2)由题意知BP=tcm，
∴当∠APB=90°时，点P与点C重合，如图∴，
BP=BC=4cm，此时t=4；
∴当∠BAP=90°时，如图∴，
BP=tcm，CP=(t?4)cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=32+(t?4)2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
即：52+[32+(t?4)2]=t2，
解得：t=25
，
4
.
故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=25
4
18.（2020·湖南·单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边．
（1）如图1，已知：a=7，c=25，求b；
（2）如图2，已知：c=25，a:b=4:3，求a、b．
【解析】本题考查勾股定理.
【解答】解：(1)由勾股定理，得
a2+b2=c2，
∵a=7，c=25，
∴72+b2=252,
b2=576，
∴b=24（负值不符合题意，舍去）.
(2)由勾股定理，得
a2+b2=c2，
∴ a:b=4:3，
∴a=4
3
b，
∴（4
3
b）2+b2=252，
b2=225,
∴b=15（负值不符合题意，舍去），
∴a=4
3
×15=20.
19.（2020·陕西·月考试卷）如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
【解析】此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
【解答】证明：∴ 1
2(a+b)(a+b)=2×1
2
ab+1
2
c2，
∴ (a+b)(a+b)＝2ab+c2，
∴ a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ a2+b2＝c2．
20.（2020·江苏·期中试卷）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．
（1）AB＝50cm，AB边上的高为24cm；
（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高；
（2）分三种情况：
∴当BD＝BC＝30cm时，得出2t＝30，即可得出结果；
∴当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，则BE＝DE=1
2
BD＝t，由（1）得出CE＝24，由勾股定理求出BE，即可得出结果；
∴当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，证明DA＝DC，得出AD＝DB=1
2
AB，即可得出结果．
【解答】
作AB边上的高CE，如图1所示：
∴ Rt△ABC的面积=1
2AB?CE=1
2
AC?BC，
∴ CE=AC?BC
AB =40×30
50
=24(cm)；