常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如2χ2 x - 6 ：：： 0，χ2 2x 1 . O，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于O ,不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。
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2x -X -6 ：：：0 的解为（-一,2）
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当二次项系数大于O ,不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。
X2一2X -1 O 的解为（-：：,1 -..2） _.（1 ? . 2,匸）
当二次项系数小于O时，化成二次项系数大于O的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）
如3x+-9?>2 ,令t =3x,原不等式就变为t2—3t +2 CO ,再算出t的范围，进而算出X的范围
又如χ2ax4-，令t =X，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集
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③含参数的一元二次不等式
解法步骤总结：
如不等式X2ax 1 O ,首先发现二次项系数大于O,而且此不等式无法直接看出两根, 所以，讨论厶=a2-4的正负性即可。
Δ 此不等式的解集为"O,{x? R|x—1} IL Cf C —a —J a — 4 —a + J a —4 ∣ ^>O,^QO, -------------------- 2 ( -------------------- Λc) L 2 2 又如不等式X2-（a2a）x a3O，发现其可以通过因式分解化为（x-a）（x-a2）?O，所以只需要判定a2和a的大小即可。 丄a =Oor a =1,{x RlXP a} 此不等式的解集为O ：：：a ：：1,（-：：,a2） - （a,；） 2 a ：：O Ora 1,（一匚：,a） _ （a ,：：） 又如不等式ax2-2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成 (ax _2)(x _2) .0 ,然后开始判断两根 -和2的大小关系，这样做是有问题的。 a 事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为 0的。讨论完a =0的情况再讨论a ：：：0和a 0的情况。所以此不等式的解集应该是： 'a=0,(-∞,2) 2 a ￡0,( —,2) a I 2 a 1,(-口)_. (2,：：) a a =1,{x壬R∣x ≠2} 2 0 V a <1,( q,2)u (—，七丈) L a 注意，a 0和a ：： 0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。 二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式 这种问题的一般形式是(x - aj(x - a2)(x - a3)...(x - a.) ：：： 0 (或.,込,_) 步骤： ①将不等式化为标准式，一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意！系数为正) 或二次不可约因式(二次项系数为正)。 ②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。 例如，求不等式(X -1)(x -2)(x 一3)(X -4) 0的解集，画出图如下，发现解集为 为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(X -1)(x -2)(x -3)(X -4) 0来说，要满足 四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,；)②两正两负，只能是(x-1),(x-2)正，(X -3),(x-4)负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(-：：,1)。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。 由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。 注意，这种方法要灵活使用，若不等式为(X-1)2(x-2)(x-3)(x-4) ?0 ,使用数轴标根 2 法得到的解集显然和上述不一样，因为(x-1)是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线” 时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。 (X-1)2(x-2)(x-3)(x-4) ?0 的示意图见下。 分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为含X的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为f i X)：： 0 (或 g(χ) ,二一的形式)，此时解f(χ)g(χ) .0就可以解出原不等式的解集。 特别地，若要解f(X)乞o，则解f(X)g(X)=O即可。 g(χ)Ig(X)HO 2 例如j^∑8. 1，移项化简得X2-3X 2 _0 ,使用穿针引线法得到解集为 X ■ X _ 6 X ■ ■ X _ 6 {x|x：：:-2或1乞X乞2或X 3},一定要注意分母不为零，而分子可以为零。 例：一道比较复杂的题，求aχ耳?1(a=1)的解集，现写出此题的完整解题过程。 X -2 解：原不等式通过移项通分可化为H-2) 0 ,由于a=1，所以可以进一步化 x—2 a —2 (a -1)(X) a 2 为J=J ■ 0，两根为丄二和2。 X -2 a -1 当a ?1时，解集为两根的两边，显然有口<2，所以此时解集为(—：：,□)_.(2,；) a —1 a — 1 当a <1时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。 ①当0 ：：：a ：：：1时，厂2 2 ,此时解集为(2,-^-2) a —1 a —1 ②当a =0时，丈≡2=2 ,此时解集为?一 a —1 ③当a ：：：0时，匚2：：：2 ,此时解集为(^-2,2) a —1 a —1 至此，a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了 当然，如果这道题不给a =1的限制条件，只需要再讨论一下 a =1时的解集情况即可。 补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 1 ①求- ? 1的解集 X ② 求1 ::: 1的解集 X ③ 求1 ::： _1的解集 X ④ 求1 . _1的解集 X 1 ⑤ 求-3 ：：：- ：：：2的解集 X — — — — — — —— 1 —— 1 —— 解答：①（0,1）②（一：：,0） 一（1,：：）③（一1,0）④（一：：，一1）_. （0,：：）⑤（一:：，—1） . （1,：:）,注 3 2 意①②的区别 四、绝对值不等式 对于含有绝对值的不等式，解题思想为 ① 直接脱去绝对值符号 f(x) ：：：g(x)u _g(x) ：：： f(X) ：：：g(x)， f(x) .g(x)u f(x) g(x)或f(x)：：：_g(x) ② 构造函数，数形结合 ③ 在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④ 平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用） 类讨论a 的取值，通过观察 y =f （χ）和y =a 的图像，来确定不等式的解集情况。 Λ Λ ② 当a =1时，y = f （x ）的图像与y =a 的图像交点为（1,1）,此时的解集为（一，；） 2 2 1 1 ③ 当0 a ：：：1时，y = f （X ）的图像与y =a 的图像交点横坐标为 ------- 一, ,此时解集为 1 -a 1 +a 1 1 （,） 1 a 1 -a