曲面的切平面与法线方程
处可微，且z)在曲面Σ上点(x , y , , 设中曲面Σ的方程为F (xy , z) = 0，函数F
Γ。设其方程为任意引一条位于曲面Σ上的曲线，过点
Γ则有由于曲线不全为零。在Σ上，，且对应于点；
的曲线在该点的切。该方程表示了曲面上任意一条过点及
点线都与向量处的切平面垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点. 称
处的一个法向量。记为。称为曲面Σ在点. 为切点向量
基本方法：
且三个偏导数不同时为零，, ()=0, 在曲面F(x1、设点y, z上，而Fx, yz)在点处存在连续偏导数，
处的切平面方程为x(, 在点zy, )=0F则曲面
.
法线方程为
.
处存在连续偏导数，则该曲面在点(= 上，且yxf z 在曲面、2设点= (, )z f x) x () y, 在点M, y 0 00
处的切平面方程为
.
的法线方程为过
X0．
.
.的情形2实际上是方法1中取注：方法
若曲面∑由参数方程3、)
vz(u, y(u, v) , z = x = x(u, v) , y =
曲面∑在v）处可微. , v)在（u, ) , x(u , v) , y(u , vz(u, 给出，∑上的点与uv平面上的点（uv）对应，而0 0 0 0处的切平面方程及法线方程分别为X点0和三、答疑解惑
）v平面上的点（u, vu = z( , v)，∑上的点与u , uu 问题：曲面∑的参数方程为x = x(, v) , y = y( , v) , z00
处的法向量？对应，怎样确定∑在点X0.的两条曲线）处可微，考虑在∑上过点, v) 在（u, vXux注释：设(u , v) , y( , v) , z(u000
Γ);z(uv , v) , u , vy = y(u , ) , z = (：x = x0001Γ). , ) , z = z(uv , yvux ：= x( , ) , y = (uv0200处的切向量分别为它们在点X0
处的法向量为当时，得∑在点X0
处的法向量为X则∑在点0
.
四、典型例题
222.）处的切平面方程与法线方程1, 1, 1在（= 6z+3y+2x求椭球面1 例
222）处在全平面上处处连续，在（1, 1, 1－) = x6+2y，由于+3z, 解设F(xy, z
则所求切平面方程为(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). ，椭球面在点
，= 6.z + 2即x y + 3
，所求法线方程为
. 即
.的切平面方程y 例2求曲面平行于z = 2x+2
.，因此. 解设切点为曲面
.则曲面在处的法向量为
处的切平面方程为曲面在点X0平行，因此x+2y = 2又切平面与已知平面z
，解得切点坐标为
所求切平面方程为
，
.即
在点求曲面例3处的切平面方
.程和法线方程
其中点解对应曲面上的点
.
.则曲面在点处的法向量为
处的切平面方程为所求曲面在点X0
. 即
所求的法线方程为
. 即
.，且与曲面例4求过直线相切之切平面方程
过直线的平面方程可设为解
，
，即
.其法向量为
，则记
.设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为
且有．
解得(3)、由(1)
,
得代入(2)
.
=7. = 3t，故λλ= 3 , 解得t = 1, 2112则所求切平面方程为
，
. 或= 5.+ 5 10x y + 6z或y 即6x + + 2z = 5
.)为可微函数f 例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中(x