(-∞,x1)∪(x2,+
∞)
（x1,x2）
Δ=0
y
o x x1=x2= -a
b
2{x∣x≠-a
b
2}
?
Δ<0
y
没有实根（-∞，+∞）?
例1：已知：y= x2－x－6
问：x取何值时，y>0 y=0 y<0 ？
例2：已知二次函数y＝x2＋(2m+1)x＋m2的图象与x轴有两个交点．
⑴求m的取值范围；⑵当这两个交点的横坐标的平方和为7时，求m的值．
⑵设二次函数y＝x2＋(2m+1)x＋m2的图象与x轴有两个交点为（x1，0），（x2，0），
考点14、二次函数的应用
1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）
2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）
3、跨学科综合题（动点问题、存在性问题、探索性问题等）
例1: 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
x
例2: 当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;
(1)列表表示I与v的关系.
(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？
上,二次函数应用的类型
教师一对一个性化教案 学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时 教学目标 教学内容 二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题 教学重 点、难点及 考点分析 重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题 教学过程Part1桥·隧道 【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴， 且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为， 点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的 解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。 例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时： （1）求水面的宽度CD为多少米？ （2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ y x O A B
教学过程 例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为2 11040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长； （2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长； （3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示） , 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？ 图1 图2 例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值
二次函数辅导讲义
名思教育辅导讲义
当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0） 2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a 2b 时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数 y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。 当- a 2b =0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。 3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。 当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。 4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。 5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。 6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6） 二、考点分析 考点一、图象 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其 中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a 、b 、c 相关的代数式的大小 例2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，且P=| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q=| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 。 3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解
二次函数最大利润辅导(带答案)
二次函数最大利润应用题姓名_______ 2018.10.7 1．多个变量，只能确定一个自变量，其余都是因变量（函数），即x（自变量）→y（函数）→z（函数）→w（函数）； 2．求最大利润，先建立二次函数关系式，再由对称轴求最值（注意：对称轴是否在取值范围内）。 1．某大众汽车经销商在销售某款汽车时，以高出进价20%标价．已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同． （1）求该款汽车的进价和标价分别是多少万元？ （2）若该款汽车的进价不变，按（1）中所求的标价出售，该店平均每月可售出这款汽车20辆；若每辆汽车每降价0.1万元，则每月可多售出2辆．求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大？最大利润是多少？ 解：（1）设进价为x万元，则标价是1.2x万元，由题意得： 1.2x×0.9×9﹣9x=（1.2x﹣0.2）×4﹣4x， 解得：x=10，所以售价为 1.2x=1.2×10=12（万元）， 答：进价为10万元，标价为12万元； （2）设该款汽车降价a万元，利润为w万元，由题意得： w=（20+×2）（12﹣10﹣a）， =﹣20（a﹣）2+45，∵﹣20＜0， ∴当a=时，w最大=45，答：该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大，最大利润是45万元． 2．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本） （1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100） =﹣2x2+136x﹣1800， ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）； （2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43 所以，销售单价定为25元或43元， 将z=﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512（x＞18）， 答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象可知，当25≤x≤43时z≥350， 又售价不能高于32元，得25≤x≤32， 根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小， ∴当x=32时，每月的销量最少，故制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）， 答：每月最低制造成本为648万元． 3．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销 售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系． （1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
二次函数和一元二次方程-辅导讲义
讲义内容 知识概括 知识点一： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x 1，0)(x 2 ，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0) ax bx c a ++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0 a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?>抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ?=抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 ?<抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
初三试讲 二次函数
二次函数 知识点归纳： 1、二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二 次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的自变量的取值范围 （1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围 为全体实数． （2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0． 3、回顾学过的函数 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0). 反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些 函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 知识归纳: 1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式， 因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形 状相同，只是位置不同． 2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2 ＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线． 3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下： ①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时， y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大； 时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点． ②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时， y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； 时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点． 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质 知识归纳: 1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状 与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k 的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．
一元二次函数辅导讲义
一元二次函数解法讲义 【知识梳理】 1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y 2。二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 44,22 -=-= 3。抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当 时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当 a b x 2-= ,y 值最小，最小值为 a b ac 442- （2）当 时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当 a b x 2-= ,y 值最大,最大值为 a b ac 442- （3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于y 轴（或重合）的直线记作 ．特别地,ｙ轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1)公式法：a b a c a b x a c bx ax y 44)2(2 22 -++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2 )(的形式，得到顶点为),(k h , 对称轴是直线 . (３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失． 6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2 ++= （１）决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的完全一样.
一对一家教教案(二次函数)
1对1辅导教案 学生学校年级九年级 教师授课日期12月1日授课时段9:00~11:0 课题二次函数 重点难点重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； ⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 难点：⑴二次函数图象的平移； ⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 教学步骤及教学内容一. 教学内容： 二次函数小结与复习 二. 重点、难点： 1. 重点： ⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念； ⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式； ⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点： ⑴二次函数图象的平移； ⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 三. 知识梳理： 1. 二次函数的概念及图象特征 二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数． 通过配方可写成，它的图象是以直线 为对称轴，以为顶点的一条抛物线． 2. 二次函数的性质
值 函数的图象及性质 ＞0 ⑴开口向上，并且向上无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最小值 ； 当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大． ＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最大值 ； 当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小． 3. 二次函数图象的平移规律 抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论． 4. 、、及的符号与图象的关系 ⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下． ⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置： a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧； a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧. ⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置： c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上； c＝0，抛物线经过原点； c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
用三种方式表示二次函数
课时课题：第二章第5节用三种方式表示二次函数 课型：新授课 授课时间：2012年12月21日星期五第1节课 教学目标： 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究． 3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和特点，培养学生的观察、类比能力． 4．通过用二次函数解决实际问题，让学生体验数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识． 教学重点与难点： 重点：能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究． 难点：能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 教法与学法指导： 教法：以“学生发展为本”，整个教学过程主要采用启发探究式教学方法，体现“分析”——“研究”——“总结”的学习环节，并以多媒体为教辅手段．引导学生主动参与学习，指导学生学会学习方法，培养学生积极探索的精神． 学法：通过创设问题情境，营造学习氛围，组织学生讨论，让学生尝试探索中不断发现问题，以激发学生的求知欲，并在寻求解决问题的方法尝试的过程中获得自信心和成功感，在完成知识目标的同时，也完成情感目标的教育． 教学准备： 教师准备:多媒体课件， 学生准备:课前预习，刻度尺、三角板． 教学过程: 一、创设情境，引入新课 （多媒体展示“龟兔赛跑”故事图片及问题）
师：“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是() 生：选B（齐声） 师：回答的很好，通过这个故事我们可以看出小兔子骄傲自大，以为自己跑得快，不去努力，结果导致自己的失败．小乌龟自强不息，踏踏实实，最终取得了成功．平时的学习中，有的同学稍微取得一点成绩，就沾沾自喜，觉得自己比别人强，学习也不如以前认真，后来考试成绩不理想，才知道自己不应该太骄傲．因此同学们永远不要骄傲，要想取得最终成功，必须要通过自己的不懈努力． 师：B答案主要用函数图像法来刻画龟兔赛跑的过程情况，除了用图像法来表述函数关系外，还有什么方法可用？ 生1：解析式法和列表法． 师：解析式法、列表法和图像法是我们学常用的表述函数关系的方法．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用 哪一种方式更好?（教师板书课题：2.5用三种方式表示二次函数） 设计意图：师生共同回顾经典故事，引发学生的学习热情，培养了他们的学习兴趣，主动参与思考，为知识迁移做准备．并不失时机的进行德育渗透． 二、探究学习，获取新知 试一试：（多媒体出示） 长方形的周长为20 cm，设它的一边长为x cm，面积为y cm2．y随x变化而变化的规律 是什么?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? （1）用函数表达式表示：y= ． （2）用表格表示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-x y
一元二次函数解法 辅导讲义
课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
高中数学一对一讲义——函数
高中数学函数知识点总结 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； ● 对 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ?? ? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ， 函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解 出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。 例 若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y= x 1的值域
二次函数专题复习(讲义)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数专题复习 专题一：二次函数的图象与性质 本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现. 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2 44ac b a -）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值； （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第 一、三、四象限 考点3、二次函数的平移 当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0 ）的图 图1
象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习1 1.对于抛物线y=13 -x 2+103 x 163 -，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 专题复习二：二次函数表达式的确定 本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主. 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1、如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与 图2 A B C D 图1 菜园 墙
二次函数中考真题选练大智学校山东最大的小班一对一辅导机构大智学校资料有济南临沂青岛分校
二次函数中考真题选练 姓名：__________ 1. （2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0， 1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 2、（2011，山东德州）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象 如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是（ ） 3、（2011山东菏泽市，8，4分）如图为抛物线2y ax bx c =++的图像,A B C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1， 则下列关系中正确的是 A. 1a b +=- B. 1a b -=- C. b<2a D. ac<0 4、 （2011山东，滨州）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平 移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 5、（2011山东济南，13，3分）竖直向上发射的小球的高度h (m )关于运动时间t (s )的函数表 达式为h ＝at 2＋bt ，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 则下列时刻中小球的高度最高的是（ ） A ．第3秒 B ．第3.5秒 C ．第4.2秒 D ．第6.5秒 6、（2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标 是 . 7、（2011湖南湘潭，8，3分）在同一坐标系中，一次函数1 +=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是 8、（2011广东深圳,10,3分）对抛物线223y x x =-+-而言，下列结论正确的是（ ） A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上 C ．与y 轴的交点坐标是（0，3） D ．顶点坐标为（1，－2） 9、（2011河北省，8，3分）一个小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒） 满足下面函数关系式：()2516h t =--+，则小球距离地面的最大高度是（ ） y x 1 1 O y x 1 -1 O y x -1 -1 O 1 -1 x y O （D ） 第6题图 (第3题图) h /m t /s O 2 6
一元二次函数解法辅导讲义
龙文教育教师辅导讲义 课题一元二次方程的解法 教学目标掌握一元二次方程的四种解法，以及学会根据实际问题列出方程及灵活运用四种方法解出方程 重点、难点熟练掌握一元二次方程的四种解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-41.2y-0.04=9y2(2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x 2-6x=-8 练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2)65( ，得: .3625323625352+=+-x x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
二次函数辅导讲义
名思教育辅导讲义 学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三 授课教师 刘琳琳 课题 二次函数 授课时间 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、知识点梳理 一、定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0） 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ） 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x= 2 x x 2 1+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a 2b 三、二次函数的图像 从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 四、抛物线的性质
1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = - a 2b ，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0） 2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a 2b 时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数 y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。 当- a 2b =0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。 3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。 当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。 4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。 5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。 6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6） 二、考点分析 考点一、图象 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其 中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二次函数同步辅导讲义
二次函数同步辅导讲义 目录 第一讲二次函数的认识与待定系数法、配方法 (1) 【总结归纳】 (1) 【精选例题】 (2) 【课后作业】 (7) 第二讲二次函数的图象和性质 (10) 【知识归纳】 (10) 【精选例题】 (12) 【课后作业】 (18) 第三讲二次函数与一元二次方程 (20) 【知识归纳】 (20) 【精选例题】 (21) 【课后作业】 (30) 第四讲二次函数的应用 (32) 【知识归纳】 (32) 【精选例题】 (33) 【课后作业】 (42)
第一讲二次函数的认识与待定系数法、配方法 【知识归纳】 要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④ （a≠0），其中；⑤（a≠0）. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x、y对应也就是说： 1、二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等； 2、满足二次函数解析式的每一组(,) x y的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。 要点三、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系 交点式 因式分解一般式 配方法 顶点式图像与轴交点图像与轴交点图像的顶点
二次函数综合复习试题
2017年秋季班学晟教育九年级数学一对一辅导资料 2018.01.14 学校：____________ 姓名：__________ 成绩：__________ 一、基础巩固。 1、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A.（2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3） 2、已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 （ ） A ．（－2，－1） B ．（2，1） C ．（2，－1） D ．（－2，1） 3、抛物线y=-2x 2+1的对称轴是（ ） A.直线12x = B. 直线12 x =- C. y 轴 D. 直线x=2 4、抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 5、对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（ ） A.图象开口向下 B.当x ＞1时,y 随x 的增大而减小 C.x ＜1时，y 随x 的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1 6、如图为二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7、二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac >0； ② 2a +b <0；③ 4a －2b+c =0；④ a ︰b ︰c = －1︰2︰3.其中正确的是（ ） A. ①② B.②③ C . ③④ D.①④ 8、如图，已知二次函数y =a （x ﹣h ）2+ 的图象经过原点O （0，0），A （2，0）． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？ 二、能力提升。
初三试讲二次函数
二次函数 具体内容 知识技能要求过程性要求⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ 二次函数的定义、表达式√√ 二次函数的图象及性质√ 二次函数图象的顶点、开口方向、对称轴√ 二次函数的应用√ 利用二次函数求一元二次方程的近似解√ 知识点归纳： 1、二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二 次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的自变量的取值范围 （1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围 为全体实数． （2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0． 3、回顾学过的函数 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0). 反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函 数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系． 领军教育·一对一讲义
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质 知识归纳: 1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式， 因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形 状相同，只是位置不同． 2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2 ＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线． 3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下： ①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时， y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大； 时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点． ②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时， y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； 时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点． 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质 知识归纳: 1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状 与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k 的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．
