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华东师范大学数学分析第10章

第十章定积分的应用

课后习题全解

§1 平面图形的面积（教材上册P242）

1．求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围成图形的面积。解该图形如图10-1所示.

先由2

22{

y x y x ==-求出两线交点(±1,1),所求面积为

A=22

211[(2)](22)11

x x dx x dx --=---??=()31212|x x --=83. 2.求有曲线|ln |y x =与直线1,10,0x x y ===所围成图形的面积.

解该图形如图10-2所示.

110ln ln 0.11A xdx xdx =-+?

=1100.11(ln )|(ln )|x x x x x x -++- =110(99ln1081)-

3.抛物线22y x =把圆228x y +≤分成两部分,求这两部分面积之比.

解先由22228{

y x x y =+=

求出圆与抛物线交点为()2,2±. 设这两部分面积分别为1s 及2s (图10-3)

120

2)y s dy =?

=328

026arcsin )|y =432π+

128s s π+= 12/(32)/(92)s s ππ∴=+-

4.求内摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围成图形的面积.(图10-4).

解 40

s ydx =?

22422

460

4(3sin cos )12(sin sin )a a t t dt

a t t dt

ππ=-=-=

5.求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围成图形的面积. 解如图10-5所示

()2

212

21cos 0

s a d π

θθ

232

a π

6.求三叶形曲线所围成图形的面积. 解如图10-6所示. 2

6sin 3a s

d a ππ

θθ=?

§2 由平行截面面积求体积(教材上册p246)

1. 如图10-9所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截.试求截得楔形体的体积.

解如图10-10所示,用垂直Oy 轴的平面截割,得一直角三角形PQR 设OP=z,则

高5

1102OR x x ==从而它的面积为

112

24x x x ??=

xOz 平面上椭圆方程为

41x z +

则PQR ?面积为()

4251Z -于是所求体积

()(

)

22425100

04422512|0

z z z V dz -=-=?

4003=

2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围立体的体积.

2(1)sin ,0,2,1,y a b y x x t ππθ=≤≤≤≤+=2x 绕x 轴.

(2)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a<0),0绕x 轴.(3)r=a(1+cos )(a>0),绕极轴。（4）绕y 轴.

解

()21()b V y x dx a

π=?

sin

0V xdx ππ

2(2)()()b

V y t dx t a

π=?

223

2(1cos )(1cos )50

V a t a t dt a πππ=--=? 3

(3)()sin ,0,0()V r d r r π

βθθθαθβπθα=

≤≤≤≤≤≤?

32283

32(1cos )sin a V

a d ππβθθθα

+=?

222

2224

31,2(1)0

y x a b b a y a a V y dx b dx ab a ππππ+====-=-??(4)由得则 3．以知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积（图10-11）

3()()h

V h r h r π=-≤

解 22()r h

r x dx π-=-?

()

x r r x r h π

=--

()2

3h h r π=-

§3 平面曲线的弧长与曲率（教材上册P252）

1．求下列曲线的弧长

(

)()3

33331,04;

(3)cos ,sin (0),02;

(4)cos sin ,(sin cos )(0,02);(5)sin (0,03);(6)(0),02.

y x

x x a t y a t a t x a t t t y a t t t a t r a a r a a θππθπθθπ=≤≤+===>≤≤=+=->≤≤=>≤≤=>≤≤ 解

(1)s =?

827

1)s ==?

44(2)cos (),sin x t y t ==

s =

4sin cos

2[2(sin)](sin)

1ln(1

t d t

=--

=++

222

333

(3),cos,sin(0,02)

x y a x a t y a t a tπ

+==?=>≤≤化为设

则

sin2

a t dt

S atdt t a

ππ

===

sin1012

aθ

（图）

sin a

S a d

ππ

(6)Sπθ

ln(

[ln(2

ππ

=++

§4 旋转曲面的面积（教材上册P225）

1．求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积

2222(1)sin ,0,(2)(sin ),(1cos )(0),02;

(3)1,()(),y x

a b

y x x x a t t y a t a t y a r r a ππ=≤≤=-=->≤≤+=+-=<2绕x 轴;

绕y 轴;(4)x 绕x 轴.

解 (1)'cos y x = 由旋转体侧面积公式得

2sin 2S π

ππ==-??

2ln 1]π=++

(2)2(1cos )0

S a t π

π=-??

643

22(1cos )2sin 0

16sin 0

a t a dt a

udu

a πππ

ππ=-?==

212(3)'()[(1),y a b

b y a y ?-=?=--?

22222122

['()][(1)](1)y b a

a b b

y y y y b ?-=--?=-? 22222

122222(),a b y a y y b b b y

--=?=-

2(2b b

S y b b π?π==--??

;

,2[

[ln

b S a a

a a

<=+

当a=b时，S=4

当a时

当a>b时,S=2

（4）此圆分成两个单支

2(2(

y a y a

r r

S a a

r r

ππ

=+=-

=++-

4ar

2．设平面光滑曲线由极坐标方程

[]()

(),([,]0,,0 r r r

θαθβαβπθ

=<<<≥

给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。

解

sin,cos

y r x r

θθ

''sin cos,''cos sin

y r r x r r

θθθθ

=+=-

旋转曲面

S y

πθθ

2sin

πθθ

3．试求下列极坐标曲线绕极轴所得旋转曲面的面积

（1）心形线(1cos)(0)

r a a

=+>

（2）双纽线22

2cos2(0)

r a a

解

(

)12(1cos )sin 0

S a π

πθθ=+?

324

24cos 028cos

sin

325

a a d a ππθθ

πθ

π===

(

222sin 0y π

πθθ=??

42a π=-

§5 定积分在物理中的某些应用（教材上册P259）

1．有一等腰梯形闸门，它的上、下两底边各长10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。解如图（10-14）所示

阴影部分即从深度x 到x+x ?这一窄条上的静压力为 F P S ?=?

106

(10)

(105)(Vx x x Vx x x V -=??+

?=-?为液体比重，下同）

20(10)05

F Vx dx

∴=-?所求静压力为 32

20(5)

15209.8(520)15

14373.33x V x kN

=-=??-=

2.边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成(090αα<< )角斜沉于液体中。设a>b ，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为V 。试求薄板每侧所受的静力。

解如图（10-15）所示

(sin )sin dx

F V a h b x αα

?=?+-

()sin 1

sin 0sin b F Va h b x dx ααα

∴=+-?

22sin sin (sin )00

sin 2sin 1

sin 2

b b aV aV h b x x

abVh Vab αααααα=+?-=+??

3．直径为6米的一球浸入水中，其球心在水面下10米处。求球面上所受静压力。

解如图10-16所示建立坐标系球面在水深xm 处所受压力的微元为

213

27dF F ππ=∴=?球面所受总压力

1108.35()kN ≈

即球面上所受总压力为1108.35kN.

4．设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点，在区间[,][0]a a l a +>上有一质量为M 的均匀细杆，试求质点与细杆之间的引力。

解如图10-17，以质点为原点，取一微元x ?，距原点x ，m 与x ?间的引力为

x km M

???=

∴m 与M 间的引力为

2111()a l kmM kmM kmM

F dx a l x l a a l a a l +??=?=?-= ?++??

? 5．设有两条各长为l 的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c ，每根细杆的

质量为M 。试求它们之间的万有引力。（提示：在第4题的基础上再作一次积分）。

解如图10-18所示

在2l 上取一微元x ?，则x ?与1l 引力为

()

x kM m l F x x l ???

?=?+

则1l 与2l 引力为

()

c l k M F dx c lx x c +?=+?

()2

22211ln (2)

c l c l k M k M dx c l x x c l c c l ++????=-= ?++??? 6．设有半径为r 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为δ，在圆心处有单位正电荷，试求它们之间作用力的大小。（图10-19）解取θ?所对应的一段导线，电荷其电量为dQ r

d δθ=?? 它与圆心处正电荷在垂直方向上引力为

2sin sin r k F k

r r

δθθ

δθ

θ????==

则导线与电荷作用力为

sin 20

k k d r

πδθ

θ=

? 7．一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水。试问把水抽尽需做多少功？（如图10-20）

解取一小薄层为微元

2222

()10()0

W V x r x x

W V x r x dx

ππ?=?-∴=-?做的总功为

224101

102

4250076969.02V x r x V kJ

ππ??=- ?

??== 8．长10米的铁索下垂于矿井中，以知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？解取铁索的一小段为微元。（如图10-21），

华东师范大学2004数学分析试题

华东师范大学2004数学分析一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim .

4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-

数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性 §1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0

华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答第一章实数理论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．证设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证：（１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１）据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２）为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ，就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =．现证明如下．由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有

S A S x inf inf inf ≥?≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明：（１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?；（２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?．并举出等号不成立的例子．证这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有．于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ，这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+；（２）B A B A inf inf )(inf +=+．

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04

第四章函数的连续性习题 §1 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）()x x f 1 = ；（2） ()x x f = 2．指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）()x x x f 1+ =；（2）()x x x f sin =；（3）()[] x x f cos =；（4）()x x f sgn =；（5）()()x x f cos sgn =；（6）()?? ?-=为无理数；为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3．延拓下列函数，使其在R 上连续：（1）()2 8 3--=x x x f ；（2）()2cos 1x x x f -=；（3）()x x x f 1cos =. 4．证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？ 5．设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6．设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点 7．设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8．设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9．举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数：（1）只在 41,31,21三点不连续的函数；（2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；

华东师大数学分析答案

第四章函数的连续性第一连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1） x x f 1 )(= ；（2）x x f =)(。证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ，故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时，有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时，有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型：（1）=)(x f x x 1 + ；（2）=)(x f x x sin ；（3）=)(x f ]cos [x ；（4）=)(x f x sgn ；（5）=)(x f )sgn(cos x ；（6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71

数学分析华东师大反常积分

数学分析华东师大反常积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第十一章反常积分 §1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为

r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其极限 mg R 就是火箭无限远离地球需作的功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆柱形桶的内壁高为 h , 内半径为 R , 桶底有一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式（1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

华东师大数学分析试题

华东师大2019年数学分析试题一、（24分）计算题：（1）求011lim()ln(1)x x x →-+；（2）求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数，试求grad z 。二、（14分）证明：（1）11(1)n n +??+???? 为递减数列：（2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明：五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段

绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题：（1）其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2）宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数。证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差大于第三边，所以有

数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章

第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是

可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编

1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案10

习题十 1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y = ===1 14，，，0=； (2) 轴； y x y y ==3 8，， (3) ； y e y e x x x ==?，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2 380，，=1； (6) y x y y x y =+===14，，，；3 (7) ； y x x y 2 24=?=， (8) ． x y y x =?=2 10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =?+?2 4(,)03?和处的切线所围图形的面积． (,)30 3. 设曲线与直线y x x =?2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为 a 92 ． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2 g x cx c ()=>3 0（）(,)11 2 c c ，求的值，使位于区间c [,01 c 上，两曲线所围图形的面积等于 23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t y a t t ==?????≤≤cos sin 3 3 02　（）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积． (1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =?31(sin )θ； (3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ． 7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为： h V h R = ?13 32 π()h

8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积． x y a 22+=2 2 x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积． x y a 2 2 +=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为． h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． (1) ； y x x =≤sin ()　0π≤；(2) y x x y ===2 20，，(3) y x y x == 2，； (4) ； y x x e =≤ln ()　1≤3 (5) ． y x y x ==2 2 ， 12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体积． 13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =?3 2y x =2 y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长． (1) ； y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38； (3) x y y y = ?≤≤141 2 12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ　，()003； (5) r a =≤sin ()3 3 03≤θ θπ，； (6) ． x a t t t y a t t t t =+=?≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2 2 20+=≥　()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密度x a y a ==cos sin 3 θ，3 θρ为常数）． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ； y ay x a ==>2 2 0，　() (2) x a y b x a y b 222 2100+=≤≤≤≤，，()； (3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ； 18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3 （c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功． 20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米，

数学分析教案华东师大第三版

§6 重积分的应用 (一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容：曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式．基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式． (三) 教学建议：要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． ________________________________________ 一曲面的大面积设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 D y x y x f z ∈=),(,),( 所确定的曲面S 的面积i σ? ==i i i i 1 1当 0||||→T 时，可用和式∑=?n i i A 1的极限作为S 的面积首先计算i A ?的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则

),(),(11 cos 22 i i y i i x i f f ηξηξγ++= i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ?++=?= ?),(),(1cos 22 ∑∑==?++=?n i i i i y i i x n i i f f A 1 221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得到 ∑=→?++=?n i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D i i y i i x ??++=),(),(122 或 ∑??=→=?=?n i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z += 在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ??++= ?),(),(122 x y x D ≤+22: 所求曲面方程为 ?+= 22y x z 2222,y x y z y x x z y x +=+=

华师大04数分

华东师范大学2004数学分析一、（30分）计算题。 1、求12 0)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y . 3、求?--dx x xe x 2) 1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f . 5、L 为过)0,0(O 和)0,2(π A 的曲线)0(sin >=a x a y ,求?+++L dy y dx y x .)2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =12n n a 收敛. 5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上

【精品】数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章

数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1- 10章

第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 32 sin、实数定义等问题引入. 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration) 两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.

3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法:

华东师范大学数学分析电子教案1-2

§２数集?确界原理【教学目的】1．使学生知道区间与邻域的表示方法； 2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 【教学重点】确界的概念及其有关性质（确界原理）. 【教学难点】确界的定义及其应用. 引言为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间与邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视. 一区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <. {}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,) .|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ???? ∈<<=???? ∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=??? ? ?∈≥=+∞?∈≤=-∞?? ∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间? ?? ?? ? ? ?????? 注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。２．邻域联想字面意思：“邻近的区域”. 设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数. (1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+ (2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<-