二次函数——定值问题
专题九：二次函数之定值问题 坐标为定值 例题 1 ：抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y 轴交于点C． （1）如图1，若OB＝2OA＝2OC ①求抛物线的解析式； ②若M 是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M 点坐标． （2）如图2，直线 E F∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为 E F下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则 E F所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．
练习1 ．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于 B 点，S△OAB＝1． 1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P 是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P 的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于 D 点，若∠ BAO＝∠ PCD，求证：AC＝2AD； （3）如图3，以 A 为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N 两点，当直角∠ MAN绕A点旋转时，求证：MN 始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．
线段之和为定值 例题 1 ：如图，抛物线 y = x 2 + bx + c 交 x 轴于 A 、 B 两点，其中点 A 坐 在抛物线上且满足 ∠PAB= 2∠ACO.求点 P 的 坐标； 3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M 、N .请问 DM+ DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由 . 2）如图①，连接 AC ，点 P 1）求抛物线的函数表达 式； C(0,-3) .
(整理)二次函数在各种区间上的最值.
二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。
图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．
二次函数的几何最值问题
二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．
（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变
中考数学 求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若-(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)
二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．
二次函数结合定值及等面积问题
二次函数结合定值及等 面积问题 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
二次函数结合定值及等面积问题 1. 已知二次函数23 8-322+=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 交于点C ，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边， 4=ΔPAC S ，求点P 的坐标。 2．抛物线y=－x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （－1， 0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上一点，且PBC S ?=3，请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线22 1x y =交于A 、B 两点 （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标 （2）当2 1-=k 时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使5=ΔABP S 4．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线线交 于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。 （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求△EAC 面积的最大值。 5.如图，抛物线的顶点为A （-3，-3），此抛物线交X 轴于O ，B 两点 （1） 求此抛物线的解析式 （2） 求△AOB 的面积 （3） 若抛物线上另有一点P 满足S ?POB =S ?AOB ，请求出P 点的坐标 O x y A B C B C O A y x P
二次函数结合定值及等面积问题
二次函数结合定值及等面积问题 1. 已知二次函数23 8 -322+= x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 交于点C ，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边，4=ΔPAC S ，求点P 的坐标。 y x
2．抛物线y=－x 2 +bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （－1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上一点，且PBC S =3，请求出此时点P 的坐标。
3.如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线2 2 1x y = 交于A 、B 两点. （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标 （2）当2 1 -=k 时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使5=ΔABP S
4．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。 （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求△EAC 面积的最大值。
5.如图，抛物线的顶点为A（-3，-3），此抛物线交X轴于O，B两点 （1）求此抛物线的解析式 （2）求△AOB的面积 （3）若抛物线上另有一点P满足S?POB=S?AOB，请求出P点的坐标
6.已知二次函数c bx x y ++=2，其图像抛物线交x 轴的于点A （1，0）、B （3，0），交y 轴于点C. (1)求此二次函数关系式； (2)试问抛物线上是否存在点P(不与点B 重合)，使得2BCP ABC S S ??=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请通过计算说明理由． (第26题图)
二次函数的区间最值问题知识讲解
二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.
分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,
二次函数距离与定值
定值与距离问题探究 主讲——周文春 【知识点拨】 1、 点与点距离 2、 点与直线距离 3、 讲线段与图形问题转化为距离问题 4、 熟记各种演化公式 【例1 二次函数与直线、距离、面积问题】 如图，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）求线段的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时 12y x =- 21 64 y x =-+A B ，A B ，AB AB A B ，P AB P A B ，P 图2 图1
【变式练习.成都】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2二次函数中的线段面积最值问题】 如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C (1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由 (3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂 直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写 出X 的取值范围？当E 运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？ (4)在（3）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？ (5)在（4）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？ c bx x y ++-= 2
二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x
①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-二次函数在给定区间上的最值问题
二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.
例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? -
二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选
二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选 【例1】（2013?南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2） 两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0． （1）求b的值； （2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）求证：x1?OB+y2?OA=0． 考点：二次函数综合题 专题：压轴题． 分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值； （2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1?y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2） 得y1?y2=64，又易得x1?x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明 △AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1?OB+y2?OA=0． 解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣， ∴△OCD的面积S=（﹣）?b=﹣． ∵kS+32=0， ∴k（﹣）+32=0，
