教学目标：
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：
（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+
（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，
则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+
（4）船速为，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+ 二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
A B C
A B
C
A B
C
O
A
B
a
a
a b
b b
如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量
AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a +
0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|
a |-|
b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加
３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b
作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
a A B
C
a +b
a +b
a
a b b a
ｂ
ｂ ａa
证：如图：使=， =， =
则(+) +==+，+ (+) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：
例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结
1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；
３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：
P103第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题
1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.
3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60?，求1v 和2v .
4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是
km/h ，最小是
km/h
５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60?，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
数学《平面向量》复习卷 一、填空题 1、向量的两个要素是： 和 。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。 二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B
6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则
向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？ 答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 1.0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2.AB →＋BC →＝AC → .( √ ) 3.AB →＋BA → ＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC → .( × ) 5.|AB →|＋|BC →|＝|AC → |.( × )
一、向量加法法则 例1(1)如图①所示，求作向量a＋b. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. →＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. 解(1)首先作向量OA
练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法 姓名 学号 成绩 一、选择题 (每小题3分，共18分) 1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、长方形 D 、正方形 2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A 、是平行四边形 B 、是梯形 C 、是平行四边形或梯形 D 、不是平行四边形，也不是梯形 3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( ) A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 4．下列说法中不正确的是 ( ) A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 5．下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、()A B CD B C ++ B 、()()A D MB BC CM +++ C 、A D AD BM +- D 、OC AO CD ++ 6．下列说法中，正确的有 ( ) ① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =± ③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题 (每小题4分，共40分) 7．规定了方向的线段叫做 8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示 9．AB BA + = ；a a - = 第10题到15题的图 10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有 11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有 12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有 13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有 14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有 15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有 16．设a 表示“向东走1km ”，b ”，则a b +表示 三、简答题 (每小题6分，共24分) 17．判断下列命题是否为真命题 (1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★ 向量b 的长度记作||b ( ) (3)★ 用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( ) 18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例；并写出此命题的逆命题 D
3、向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 法则：①三角形法则；②平行四边形法则． 运算律：交换律＋＝＋， 结合律(＋)＋＝＋(＋)． 4、向量的减法 向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量） 求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点． 二、重难点知识剖析 1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 在平面内任取一点O，作，则向量． 4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量． 只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题： （1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=. 特殊情况：两向量平行
教学主题向量加法 教学目标： 1、能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出 已知两向量的和向量掌握向量加法概念； 2、理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义； 3、掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、 共终点向量等。 教学设计： 求和向量的问题→法则→简单应用。 教学方法： 引导启发式，讲练结合。 教学过程 （一）组织教学 （二）复习回顾 ①复习向量的概念； ②思考下面问题。 我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断. 另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法. 我们先给出向量加法的定义 1.向量加法的定义 已知ａ，ｂ，在平面内任取一点A，作AB＝ａ，BC＝ｂ，则向 量AC叫做ａ与ｂ的和，记作ａ＋ｂ. 即ａ＋ｂ＝AB＋BC＝AC. 求两个向量和的运算叫向量的加法. 2.向量加法的三角形法则 师：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点
指向第二个向量的终点的向量即为和向量. 3.向量加法的平行四边形法则 如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量ｂ的起点由B 移到A，即AD =BC =ｂ，则：AC＝AB＋BC＝AB＋AD 即：在平面内过同一点A作AB＝ａ，AD＝ｂ，则以AB、AD为邻边 构造平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线向量AC即ａ与ｂ的和，这种方法即为向量加 法的平行四边形法则. 说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. 4.向量加法所满足的运算律 交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ 结合律：(ａ＋ｂ)＋с＝ａ＋（ｂ＋с） 说明：运算律验证引导学生完成. 下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则. 例1、如图，已知向量ａ，ｂ，求作向量ａ＋ｂ. 分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则求解， 但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，则应平移为两 向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移为两向量同起点情形. 作法一：设ａ＝AB，ｂ＝CD，过点B作BE＝CD＝ｂ，则根据向量加法的三角形法则可得AE＝AB＋BE＝ａ＋ｂ 作法二：过A作AE＝CD＝ｂ，然后根据向量加法的平行四边形法则，以AB、AC 作出的平行四边形的对角线AF＝ａ＋ｂ. 评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法的三角形法则和平行四边形法则，
各位评委：大家好！我的说课题目是向量加法运算及其意义 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节内容是选自人教版高中数学必修4第2章第2节第1部分的内容 是高中数学的重要内容之一。向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究， 初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定了基础 2、学情分析 从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生注意力易分散，喜欢发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 3、教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的 学习重点：向量加法的两个法则及其应用 学习难点：对向量加法定义的理解 二、教学目标分析 知识目标:掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算 能力目标：体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识 情感目标:注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心 三、教学方法分析 1、教法分析 本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。 2、学法指导 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。。 四、教学过程分析 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：复习引入探究深化精讲点拨当堂达标总结提升作业布置
平面向量的加减法练习题 一、选择题 １、下列说法正确的有 ( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线，④零向量只能与 零向量共线. Ａ.１? B.2 ? C.３?Ｄ．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有（ )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程 Ａ.０ B．1 C.２ D.3 ３、已知正方形ABCＤ的边长为1, = a， =b, =c，则|a+b+ｃ｜等于 （ ） A．０B．３? C.2 ? D.22４、在平行四边形ＡBＣD中，设= a, = b，＝c, = ｄ,则下列不等式中不正确的是( ) A.a+b=c? B.a－b＝dＣ.b－a＝d?D．c－d＝b-ｄ 5、△ABＣ中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A.Ｂ.C．?D． 6、如图．点Ｍ是△ABC的重心,则MA+MB-ＭC为（ ) Ａ.0 Ｂ．4
?C ．４ D ．4 7、在正六边形ＡＢＣDEF 中，不与向量相等的是 （ ) ?Ａ. + B.- C ． ＋ ?Ｄ.+ ８、a =－ｂ是|a ｜ = |b |的 ( ) A.充分非必要条件 ?B ．必要非充分条件 ?C ．充要条件 ? D.既非充分也非必要条件 二、填空题: 9、化简： ＋ + + + ＝ ＿_＿＿__. 1０、若a ＝“向东走８公里”,b ＝“向北走8公里”,则| a + b |=___,a +b 的方向是＿ __＿＿. 1１、已知Ｄ、Ｅ、F 分别是△ABC 中ＢC 、ＣA 、ＡB 上的点,且 ＝ 3 1 ， = 3 1 , ＝ 3 1,设 = a , = ｂ ，则 = ___＿___＿__. 1２、向量ａ,b 满足:｜ａ|=2，|ａ＋ｂ|=3，|a -b |=3,则|b |=_＿___． 三、解答题: １３、如图在正六边形AB ＣDEF 中,已知： = ａ， ＝ b ，试用a 、b 表示向量 , ， ， .
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块—*下册》 年级：______________ 高一 ___________ 撰写教师：_____________ 徐艳__________ 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法、减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的 三角形法则和运算律?向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用?因此，本节学习起着承上启下的作用? (2)教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知?同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情? 教学目标： (1)知识目标 ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算? (2)能力目标 ①经历向量加法的概念、三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力?⑶情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析：学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. ⑵能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，学生对数学学习尚有一定兴趣。所以在教学中应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流? 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法、启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作、自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：—两岸直航视频 _____________________ 媒体格式：—avr ___________________________ 媒体资源2 名称： _________ 《爱的直航》_____________ 媒体格式： ______ MP3—
向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+
a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）
向量概念加减法·基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．∥且、方向相同B．=C．=-D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）
a b A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和 四边形法则） （2）b a
第2课时 §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题 的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律， 并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， A B C A B C
O A B a a a b b b 则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和：AC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且 |+|=||+||，当与反向时，若||>||，则 +的方向与相同，且|+|=||-||；若 ||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量、，求作向量+ A B C A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
平面向量及其加减运算（基础）知识讲解 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB”符号标记为AB，且AB表示点B相对于点A的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量； （b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （2）向量的表示方法: a b c等. ①小写英文字母表示法: 如,,, AB CD等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如, （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
向量的加法 授课人：王勇 【教学目标】 1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和 向量； 3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。 【教学重、难点】1．向量加法的运算及其几何意义； 2．向量加法法则定义的理解。 【课前复习】 向量的定义:______________________________________________ 向量的表示：_____________________________________________ 零向量：_________________________________________________ 单位向量：_______________________________________________ 相等向量__________________________________________________ 相反向量：________________________________________________ 共线向量：________________________________________________ 【问题情境】 问题1: 图1某人从A 地经B 地到C 地，两次位移BC AB ，的结果与从A 地直接到C 地的位移C A ，有什么关系？用式子表示出来。 问题2: 图2（1）表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC 的方向伸长了EO 长度；图2(2)表示撤去F 1和F 2,用一个力F 作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度. F 与力F 1、F 2有怎样的关系呢? 由图2(3)发现,力F 在以F 1、F 2为邻边的平行四边形的什么位置？,并且大小等于哪段长？. 结论：位移和力可以看成向量。从物理的角度，力F 和位移A C 都得到相同的效果，我们把它们称为合力和合位 移，从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加。 思考:怎么定义任意二个向量的和呢？ 1. 向量加法的定义： 已知向量 a ， b ，在平面内任取一点A ，作 ,A B a B C b == ，则向量AC 叫做 ．记作a b + ， 即 ．求两向量和的运算，叫向量的加法． 2.向量加法的两个运算法则： A B C
向量的加法运算讲义 姓名 一.向量的加法运算 （1）几何加法 （2）代数加法 二.向量加法的运算律 三.向量加法运算的模长公式 四.向量加法运算的应用 1.若向量a 表示向东走1km ，向量b 表示向南走1km ，则向量a b +表示（ ） A.向东南走2km B.向东南走2km C.向东北走2km D.向东北走2km 2.AO OB OC CA BO ++++等于（ ） A.AB B.0 C.BC D.AC 3.化简()AB MB BO OM +++ 4.已知正方形ABCD 的边长等于1，设,,AB a BC b AC c ===，求作向量a b c ++，并计算|a b c ++| 5.点D 、E 、F 分别是ΔABC 三边AB 、AC 、BC 的中点，求证： （1）AB BF AC CF +=+； （2）0FA EB DC ++= 6.若三个向量,,a b c 恰能首尾相接构成一个三角形，则a b c ++= 7.正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A.0 B.BE C.AD D.CF 8.已知P 为ΔABC 所在平面内一点，当PA PB PC +=时，点P 位于ΔABC （ ） A.AB 边上 B.BC 边上 C.内部 D.外部 9.设P 为ΔABC 所在平面内一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 10.已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是ΔABC 内一点，若0OA OB OC ++=，求证：O 是ΔABC 的重心 11.向量,a b 均为非零向量，下列说法不正确的是（ ） A.向量a 与b 反向，且||||a b >，则向量a b +与a 的方向相同 B.向量a 与b 反向，且||||a b <，则向量a b +与a 的方向相同 C.向量a 与b 同向，则向量a b +与a 的方向相同 D.向量a 与b 同向，则向量a b +与b 的方向相同
向量加法运算及其几何意义 【教学目标】 1、知识与技能 （1）了解向量的概念，掌握向量加法的定义及其几何意义； （2）熟练掌握加法的“三角形法则”和“平行四边形法则”； （3）掌握向量加法的交换律和结合律，并用它进行向量计算； 2、过程与方法 通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些量，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，平面向量的有关概念，向量间的关系。 3、情感态度与价值观 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 【教学重点】向量加法的定义，向量的加法及其运算法则； 【教学方法】启发式 【教学类型】概念课 【教学用具】尺规 【教学过程】 一、提出课题 我们都知道，数能够进行四则运算，正因为有了这些运算，使数变得如此强大，生活中也离不开这些计算。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？下面我们大家一起来学习向量的线性运算。 1、定义 我们把求两个向量a、b的和的运算叫做向量的加法，a+b叫做向量a和b的和向量。记为a+b。 2、运算法则 （1）如图1.已知非零向量a、b，在平面内任取一点A,
作 a AB =, b BC =，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即 AC BC AB b a =+=+,我们把这种求向量和的方法叫做向量加法的三角 形法则，以一个向量的终点作为一个向量的起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点和向量叫做合向量。尾首相连，首尾连。 （2）如图2.在平面内任取一点O ，以同一点O 为起点的两个向量a 、 b 为邻边 作平行四边形OACB ,则以O 为起点的对角线OC 就是 a 、 b 的和，我们把 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 特别地，对于零向量与任一向量a ，我们规定： a a =+0， 二、强化新知 例1，如图3，已知向量 a 和 b ，求作向量 b a +。 作法1：在平面内任取一点O （图4），作a OA =， b AB =， 则向量b a OB += 作法2：在平面内任取一点O （图5），以O 为起点，以 a 、 b 为邻边作平行四边行 OACB ,连接OC ,则 b a OB OA OC +=+= b a a b A B C 图1 图2
平面向量及其加减运算 教案 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义. 3.理解两个向量共线的含义. 【要点梳理】 要点一、平面向量 1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向. 要点诠释： （1）“有向线段AB ”符号标记为AB u u u r ，且AB u u u r 表示点B 相对于点A 的位置差别. （2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面. 2.平面向量的定义及表示 （1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）. 要点诠释： ①向量的两要素：向量的大小、向量的方向. ②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小. ③向量与有向线段的区别： （a ）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量 就是相等的向量； （b ）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是 不同的有向线段. （2）向量的表示方法: ①小写英文字母表示法: 如,,,a b c r r r L 等. ②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如,AB CD u u u r u u u r 等. （3）向量的分类： 固定向量：有大小、方向、作用点的向量； 自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量. 要点诠释：我们学习的主要是自由向量. 3. 特殊的向量 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.
a b b a a a b b =?→ ?OB a +b A B A a +b 向量的运算:加法 教学目标： 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力； 3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 【复习】：1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。 【情景设置】：利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为→ --OA ，从景点A 到景点B 的位移为 → --AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→ --OB ●这里，向量→ --OA ,→ --OB ,→ --OC 三者之间有什么关系？ 二、研探新知 1.向量的加法 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：→ --AB ?→ ?+BC =→ --AC ． 规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=． 【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 作法：在平面内任意取一点O ，作→ --OA =a ，→--→--=→--OA +→ --AB =b 2.向量的加法法则 （1）共线向量的加法 同向向量 反向向量
（2）不共线向量的加法 几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。 三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示： → --AB ?→?+BC =→ --AC ． 平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→ --AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 如图，已知向量a 、b A ，作→--AB =a ，=?→?BC b ，则向量?→ ?AC 叫做a 与b 的和， 记作a +b ，即a +b +=?→?AB =?→?BC ?→ ?AC 【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况： 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |. （4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 3.向量加法的运算律 （1）向量加法的交换律：a +b =b +a （2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) a a a b b b a +b a +b A A B 三角形法则平行四边形法则
6．2平面向量的运算6．2.1向量的加法运算 考点学习目标核心素养平面向量加法的几何意义 理解向量加法的概念以及向量 加法的几何意义 数学抽象、直观想象 平行四边形法则 和三角形法则 掌握向量加法的平行四边形法 则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律 掌握向量加法的交换律和结合 律，会用它们进行计算 数学抽象、数学运算 问题导学 预习教材P7－P10的内容，思考以下问题： 1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 2．向量加法的运算律有哪两个？ 1．向量加法的定义及运算法则 定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法 法则 三角 形法 则 前提已知非零向量a，b 作法在平面内任取一点A，作AB → ＝a，BC → ＝b，再作向量AC → 结论 向量AC → 叫做a与b的和，记作a＋b， 即a＋b＝AB → ＋BC → ＝AC → 图形 法则 平行 四边 形法 则 前提已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a， b为邻边作?OACB 结论对角线OC → 就是a与b的和
图形 规定 对于零向量与任一向量a ，我们规定a ＋0＝0＋a ＝a (1)两个法则的使用条件不同． 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同． (3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． 2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系 一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：D 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＋BA → ＝( )