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概率论与数理统计复习题答案

概率论与数理统计复习题答案
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概率论与数理统计复习题 一.填空题

1.设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件:

, , A B C 都发生_____________;, , A B C 中不多于一个发生______________.

解:ABC ; AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=???

2.一副扑克牌共52张,无大小王,从中随机地抽取2张牌,这2张牌花色不相同的概率为

解:2114131325213

17C C C p C ==或者124132

5213117

C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子,则甲的点数大于乙的点数的概率为 解:155

{(,)|,1,

,6},{},()3612

S i j i j A i j P A ===>=

= 4.设随机事件A 与B 相互独立,()0.5,()0.6P A P B ==,则()P A B -= ,()P A B ?= 。 解:()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-=

5.已知6

1

)(,31)|(,41)(===

B P A B P A P ,则()P A B ?=______________. 解:111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=,1

()()()()3

P A B P A P B P AB ?=+-=

6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解:()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?=

()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=

7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容,则()_____,()_____P AB P AB ==. 解:()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--=

8.在三次独立的实验中,事件B 至少出现一次的概率为19/27,若每次实验中B 出现的

概率均为p, 则p=_______________

解:设X 表示3次试验中事件B 出现的次数,则(3,)X

B p ,

3191{1}1{0}1(1),273

P X P X p p ≥=-==--=

∴= 9.设(),0X

P λλ>,则X 的分布律为

解:{},0,1,2,

!

k e P X k k k λ

λ-==

=

10.设随机变量X 服从泊松分布,且已知{1}{2}P X P X ===,那么{4}P X == 。

解:由{1}{2}P X P X ===即

221!

2!e e λ

λ

λλλ--=

?=,422

22{4}4!3

e P X e --=== 11.设随机变量(0,5)X

U ,则方程22210Xx Xx ++=(x 为未知数)有实根的概率为 .

解:2

3

{0}{(2)420}{2}{0}5

P P X X P X P X ?≥=-?≥=≥+≤= 12.设(1,3),(2,4)X

N Y N ,X 与Y 相互独立,则23Z X Y

=

-

解:()2()3()4,()4()9()48E Z E X E Y Var Z Var X Var Y =-=-=+=,23(4,48)Z X Y N =--

13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,则其中至少有一件是不合格品的概率为 .

解:2

621012

1133

C p C =-=-=

14. 设随机变量),(Y X 的概率分布如 右表,则()E X = ,()Var X = 解:

2212552{1},{2},(),()3,()3()33339

P X P X E X E X Var X ====∴===-=

15.已知随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布,则()E X = ,()Var X = 。

解:13

()22

E X +==,2

(31)1()123Var X -== 16.二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,则(,)f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

1 。

17.设随机变量,X Y 独立且,X Y 的概率密度分别为

201,() 0,X x x f x <

02,()

0,

Y y y f y <

解:X,Y 独立,801,02(,)()()

0,

X Y xy

x y f x y f x f y <<<

,

n X X X 相互独立,且服从同一分布,

()k E X μ=存在,则0ε?>,有1

1lim {||}n

k n k P X n με→+∞=-≥=∑ 0 。

19.设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,(0,10),1,2,3,n

X U n =,那么当n →+∞时

11n i i X X n ==∑依概率收敛于 010

52

+=

20.设X 、Y 相互独立且2()X m χ,2()Y n χ,则X Y +2()m n χ+。

21.设22

1212(,)

(,,,,)X Y N μμσσρ,则(,)Cov X Y = 12ρσσ

22.设12,,

n X X X 是来自总体2

(10)χ的样本,则统计量1

n

i

i Y X ==∑2(10)n χ。

23.设总体X 具有概率密度函数10()0

x

e

x f x else

θθ-??

≥=???,0θ>为已知,

样本为12,,

n X X X ,则()E X = ,()Var X = 。

解:()()E X E X θ==,2

()()Var X Var X n n

θ==。 24.在总体2

(52,6.3)N 中随机抽一容量为36的样本,则样本均值X 落在到之间的概率为 。

解:()52E X =,2

6.3()36Var X =,2

26.3(52,)(52,1.05)36

X

N N =,

53.85250.852

{50.853.8}(

)()

1.05 1.05

(1.71)( 1.14)0.9564(10.8729)0.8293

P X --<<=Φ-Φ≈Φ-Φ-=--= 25.设12,,

n X X X 是来自总体X 的样本且2(),()E X Var X μσ==,2,μσ未知,

则μ的矩估计量为 ,2

σ的矩估计量为

解:11222222

221

()()()[()]E X E X Var X E X μμμμμσμσμμ===??∴??==+==+=-??22

211,n i i X X X n μσ=∴==-∑ 26. 随机抽查某校的7名学生,测得他们的裸眼视力分别为:,,,,,

,,则总体均值μ及方差2σ的矩估计值分别为=μ

? ,=2

?σ .

解:由上22

211

111.2143,0.1755n n i i i i x x x x n n μσ==∴====-=∑∑

27.设1210,,

X X X 是来自总体2

(0,0.3)N 的样本,则10

21

{ 1.44}i i P X =>=∑

解:

102

2

2

21

1(0,1),()(1),(10)0.3

0.30.09i

i i i X X

N X χχ=∴∴∑

10

10102222

0.901

1111{ 1.44}{16}1{16}0.90,((10)15.987)0.090.09i

i i i i i P X P X P X χ===>=>=-≤==∑∑∑ 28.设1210,,X X X 是来自总体2()X

n χ的样本,()E X = ,()Var X = ,2()E S = . 解:()()E X E X n ==,()2()10105

Var X n n

Var X =

==,2()()2E S Var X n == 29.设在总体2

(,)N μσ中抽取一容量为16的样本,这里2,μσ为未知参数,2

S 为样本方差。

则2

2

{

2.041}S P σ≤= ,2()Var S =

解:

2

22

(1)(1),16n S n n χσ

--=

2

22

215{

2.041}{30.615}S S P P σσ

∴≤=≤2

0.99

0.99,((15)30.57830.615)χ==≈ 222244

2

222215152()()()()21515151515

S S Var S Var Var σσσσσσ=?==??=

30.铅的密度测量值服从正态分布2(,)N μσ,测量16次,算得 2.705x =,0.029s =, 则μ

的置信水平为0.95的双侧置信区间为 。 解:

10.95,0.05αα-=

=,2σ未知,μ

的置信区间为

0.9750.9751122((1),(1))(2.705(15),2.705(15))(2.705 2.1314,2.705 2.1314)( 2.6895,2.7205)

X n X n αα----=-=+=-

二.计算题

1.设某人按如下原则决定某日的活动:如该天天下雨,则以的概率外出购物,以的概率去探访朋友;如该天天不下雨,则以的概率外出购物,以的概率去探访朋友,设某地下雨的概率是。(以下要求用字母表示随机事件,写出计算公式)

(1)试求那天此人外出购物的概率。(2)已知此人那天外出购物,试求那天下雨的概率。 解:设A:下雨,B: 购物 C:会友

则()0.3P A =,()0.7P A =,(|)0.2,(|)0.8P B A P C A ==,(|)0.9,(|)0.1P B A P C A == (1)()()(|)()(|)()0.69P B P BA B A P B A P A P B A P A =?=+= (2)()(|)()0.20.32

(|)()()0.6923

P AB P B A P A P A B P B P B ?=

===

2.设随机变量(1,4)X N ,现对X 进行三次独立观察,求至少有两次观察值大于1-的概率。

解:11

{1}1{1}1(

)2

P X P X -->-=-≤-=-Φ1(1(1))0.8413=--Φ=, 设Y 表示三次观察中观察值大于-1的次数,则(3,0.8413)Y

B ,则

32{2}1{0}{1}1(10.8413)30.8413(10.8413)0.9403P Y P Y P Y ≥=-=-==---?-=。

3.某地抽查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X 近似服从正态分布),(2σμN ,平均成绩为72,96分以上的考生占%,求:(1)标准差σ的值.(2)考生成绩在60分到84分之间的概率。 解:72μ=, 9672

2.3%{96}1(

)12P X σσ

-=≥=-Φ?=

84726072

{6084}(

)()2(1)10.68281212

P X --≤≤=Φ-Φ=Φ-= 4.设随机变量X 的概率密度为4

01()0

x cx f x else <

?。

求(1)常数c 。(2)X 的分布函数。(3)13{}2

4

P x ≤≤,(4)21Y X =+的概率密度函数。 解:(1)由1

401(),55

c

f x dx cx dx c +∞

-∞

=

===?

?

(2)45

000()()50111

x

x

x F x f x dx t dt x x x -∞

==≤

≥??

?

? (3)5

5

1

33131{}()()()()244242

P x F F ≤≤=-=-。 (4)当01x <<, 1213y x <=+<时

11

(){}{21}{}()22

Y X y y F y P Y y P X y P X F --=≤=+≤=≤

= 4

'''

5(1)13111()()()()()32

22200Y Y X X y y y y y f y F y F f ?-<<---?∴===?=???

5.将2个球随机地放入2个盒子中,若X 、Y 分别表示放入第1个,第2个盒子中球的个数, 求(1)(,)X Y 的联合分布律和边缘分布律.(2) 求{1|1}P X Y == (3) X 、Y 是否独立 解:(1)

Y X 0 1 2 P{Y=j}

0 0 0 14 1

4 1 0 12 0 1

2

2 14 0 0 1

4

P{X=i} 14 12 1

4

1

(2) {1,1}{1|1}1{1}P X Y P X Y P Y =====

== (3) 1

{1|1}1{1}2

P X Y P X ===≠==,X,Y 不独立。

6.设X,Y 是独立同分布的随机变量,1

{}{}3

P X i P Y i ====

,1,2,3i =,max(,)M X Y = , min(,)N X Y =,求(M,N)的联合分布律和各自的边缘分布律并求出{}P X Y =.

解: X,Y 独立且 X 1 2 3 Y 1 2 3 k p

13 13 13 k p 13 13 13

1

{,}{}{},,1,2,3P X i Y j P X i P Y i i j =======,所以

故M,N 并且3

1

1{}{,}3

i P X Y P X i Y i ===

===

∑。

7.已知随机向量(,)X Y 的概率密度函数为301

(,)0

x y x f x y ≤≤≤?=?

?其它。

试求:(1) ()Y f y (2 |(|)X Y f x y (3) (),(),(,)E X Var X Cov X Y (4) {1}P X Y +≤。

解:(1)12

33(1)01

()(,)2

0y Y xdx y y f y f x y dx else +∞

-∞

?=-<

=???

??

(2)当()0Y f y ≠即01y <<时2

|21(,)1(|)()0

X Y Y x

y x f x y y f x y f y else

?<

-==??

?

(3)1

1

3

000

3()(,)(3)34

x

E X xf x y dxdy x xdy dx x dx +∞

+∞

-∞-∞=

=?==????? 1122240003

()(,)(3)35

x E X x f x y dxdy x xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????

222333

()()[()]()5480

Var X E X E X =-=-=

11300033

()(,)(3)28x E Y yf x y dxdy y xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????

11400033

()(,)(3)210

x E XY xyf x y dxdy xy xdy dx x dx +∞+∞-∞-∞==?==?????

3333

(,)()()()1048160

Cov X Y E XY E X E Y =-=-=

(4) 1

2

112x y x y x x ?

=?=????

?=-??=

??

, 1

12011222

00{1}(3)333(12)()|228

y y P X Y xdx dy

y dy y y -+≤==-=-=

???. 8.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)

60,0(,)0

x y e x y f x y else

-+>>?=?

?。

试求(1)(,)X Y 落在三角形区域:0,0,236D x y x y ≥≥+≤内的概率。 (2) ()Y f y ,|(|)X Y f x y (3)(),(),(,)E X Var Y Cov X Y 。 解(1) 62623

3

(23)

23330

{(,)}62()|

x x x y x

y

P X Y D e

dydx e

e

dx ---+--∈=

=?-??

?

3

2262636

00

2(1)(2)|17x x x e e dx e e x e -----=?-=--=-? (2)(23)30630()(,)0x y y Y e

dx e y f y f x y dx else

+∞

-+-+∞

-∞

?=>?=

=?

??

??

,即Y 服从参数为3的指数分布.

当0y >时, 2|20

(,)(|)()0x

X Y Y e x f x y f x y f y else

-?>==?

?. (3)观察得出X,Y 独立,则 220

()0

x

X e x f x else

-?>=?

?.即X 服从参数为2的指数分布. 2111

(),()(),(,)0239

E X Var Y Cov X Y ∴=

=== 9.设随机变量X 的分布如下,已知()0.9,()0.49E X Var X ==,试求 a,b,c 的值。

解:2

2

2

1,()20.9,()()(())40.90.49a b c E X b c Var X E X E X b c ++==+==-=+-=, 得0.3,0.5,0.2a b c ===

10.设总体的概率密度函数为111()01

x

e

x f x x θ

θ

-

?≥?=??

。θ为未知参数,12,,n X X X 是一个样本。

(1)试求θ的最大似然估计量和矩估计。(2)试问*

X θ=是θ的无偏估计吗,为什么

解:(1) 最大似然估计: 1

1

11

(1)

()1

1

1

()(,)n

i

i i x n n

x n n x n n i

i i L f x e

e

e

θ

θ

θ

θθθθθ=-----==∑=

===∏∏

1

ln(())ln ()L n n nx θθθ

=-+

-

21

ln(())()0d n L n nx d θθθθ

=---= 1x θ=-为最大似然估计值,1X θ=-为最大似然估计量

矩估计:11

1

()()1x

E X xf x dx x e dx θμθθ

-+∞

+∞

-∞

==

==+?

?

,1θμ=-

矩估计量为 1X θ=- 矩估计值为 1x θ=-。

(2)*()()()1E E X E X θθθ===+≠,所以*

θ不是θ的无偏估计 11.设总体(20,),0X

B p p >为未知参数,12,,,n X X X 是来自X 的一个样本。

(1)试求p 的最大似然估计量p 。(2)试问p 是无偏估计量吗为什么 解:(1)因为总体(20,),X

B p 2020

(,)(1)x

x x f x p C p p -=-,

设 12,,,n x x x 为样本12,,

,n X X X 的一组观察值, 似然函数

202020

201

1

1

()(,)(1)

()(1)i i i

n

n

n

x x x x

n x n n x i

i i i L p f x p C

p p C p p --====

=-=-∏∏∏

201

ln(())ln()ln (20)ln(1)i

n

x i L p C nx p n nx p ==++--∑

1ln(())(20)01d nx L p n nx dp p p

=--=- 20x p =

为最大似然估计值,20

X

p =为最大似然估计量 (2)()20()(

)202020

X E X p

E p E p ====,所以p 是p 的无偏估计 12.设总体X 的概率密度为2

310,(66)

()

0,x x x f x θθθ?<<-?=???

其它,其中,(0)θθ>为未知参数,12,,...,n X X X 是来自总体X 的样本.

(1)求θ的矩估计量θ. (2)验证矩估计量θ是θ的无偏估计. 解: (1)2

30

1

1()()(66),22

E X xf x dx x x x dx θ

μθθθμθ+∞

-∞

==

=?

-=?=?

? θ的矩估计量为θ=2X , θ的矩估计值为θ=2x

(2) ()(2)2()2()E E X E X E X θθ====,θ是θ的无偏估计 13.设某地区在职职工的月薪2(,)X

N μσ,2,μσ未知,今随机地调查6人,算得月薪分别为(单位:

元)2050 1650 2050 1850 2200 1900

试在显著水平0.05α=下检验假设:0:1900H μ≤, 1:1900H μ>。 解:(1)假设0:1900H μ≤, 1:1900H μ> (2)2

σ

未知,检验统计量为X t =

01900,6n μ==

(3)拒绝域为10.95(1)(5) 2.0150t t n t α->-==

(4)根据样本算得1

(205016502050185022001900)19506

x =

+++++= 22221

[(20501950)(16501950)(20501950)5

s =-+-+-

222(18501950)(22001950)(19001950)]+-+-+-185000=

则,192.3538s =

, 0.6367<2.0150t =

=,

t 没落在拒绝域内,接受0H ,即认为该地区职工的月薪不高于1900元.

14.设一批木材的小头直径2

~(,),X N μσ(单位cm),今抽出12根测得11.2x =,2

1.44s =.

(1)若已知 1.2σ=,求μ的置信水平为95%的区间估计.

(2)若σ未知,12μ≥为合格,问该批木材是否合格取显著性水平0.05α=, 即假设检验: 0:12,H μ≥ 1:12.H μ< 解: (1) 1.2σ=,0.97512

12,195%,

0.025, 1.962

n u u αα

α-=-====

μ

的置信区间为12

()(11.2 1.96)(10.5210,11.8790)X α-±

== (2) 假设0:12,H μ≤, 1:12.H μ>

未知,检验统计量为X t =

012,12n μ==

拒绝域为10.950.95(1)(1)(11) 1.7959t t n t n t α-≥-=-== 又11.2, 1.2x s ==

,0.952.3094(11) 1.7959t t =

=-<=,

t 没落在拒绝域内,接受0H ,即认为该批木材不合格.

15. 自动车床加工的某种零件的直径(单位:mm )服从正态分布2

(,)N μσ,原来的加工精度2

0.09σ≤,经过一段时间后,需要检验是否保持原来的加工精度,为此,从该车床加工

的零件中抽取30个,测得数据如下:2

10.267,0.1344x s ==,问加工精度是否变差(取显

著水平0.05α=)

解:假设2

201:0.09:0.09H H σσ≤>

μ未知,检验统计量为2

2

20

(1)n S χσ-=

,2

00.09,30n σ==

拒绝域为222

10.95(1)(29)42.557n αχχχ-≥-==

又2

2

20.9520

(1)290.1344

43.3067(29)42.5570.09

n S χχσ-?=

=

=>=,

2χ落在拒绝域内,拒绝0H ,即认为加工精度变差了。

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计(二) 课程代码:02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为( A ) A .C B A B .C B A C .C B A D .C B A 2.设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A .253 B .2517 C .5 4 D .2523 3.设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A .0.352 B .0.432 C .0.784 D .0.936 解:P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4.已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2<X ≤4}= ( C ) A .0.2 B .0.35 C .0.55 D .0.8 解:P {-2<X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55,故选C. 5.设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A .2,3- B .-3, 2 C .2,3 D .3, 2 与已知比较可知:E(X)=-3,D(X)=2,故选B. 6.设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A .4 1 B .2 1 C .2 D .4 解:设D 为平面上的有界区域,其面积为S 且S>0,如果二维随机变量 (X ,Y )的概率密度为 则称 (X ,Y )服从区域D 上的均匀分布,

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好? 解: 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >,即乙机床的平均次品数比甲机床少,所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号,求E (X ). 解:X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ;3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ; 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数,求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ,下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数, 易知幂级数的收敛半径为1=R ,于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜

色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件,且P (A)=,P (B)=,P (B A)=,则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量,若)? ()?(21θθD D <,则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件,且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=,则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布,Y =2X +1,则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是: ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ,且{}784 .0=≥αX P ,则α= 。 6. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ,则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X 与Y 相互独立。设Z =X -Y +3,则Z ~ N (2, 13) 。 * 8. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=,P (A -B)=,则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ=,Φ=,则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ,则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ,则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ,B 为随机事件,且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ,其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ,则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在,令DX EX X Y /)(-=,则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立,且D (X )=4,D (Y )=2,则D (3X -2Y )= 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51,则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ~N (2,2σ),且P {2 < X <4}=,则P {X < 0}= 。 ! 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:对立不是独立。两个集合互补。第2题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A发生,必然导致和事件发生。第3题

您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:密度函数在【-1,1】区间积分。第5题

您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:A答案,包括了BC两种情况。 第6题 您的答案:A 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中,且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第8题 您的答案:D 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数,加绝对值。第9题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用概率密度的性质,概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用分布函数的性质,包括分布函数的值域[0,1]当自变量趋向无穷时,分布函数取值应该是1.排除答案。 第11题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用上分位点的定义。 第12题 您的答案:B 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P(AB)小于等于P(C)。第13题

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1.[一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计,并求样本方差S 2。 解:μ,σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2.[二]设X 1,X 1,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 (1)? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知,θ>1,θ为未知参数。 (2)?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0,θ为未知参数。 (5)()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解:(1)X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令, 得c X X θ-= (2),1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 (5)E (X ) = mp 令mp = X , 解得m X p =? 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解:(1)似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和; (2)在单位圆内任意一点,记录它的坐标; (3)10件产品中有三件是次品,每次从其中取一件,取后不放回,直到三件次品都取出为止,记录抽取的次数; (4)测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 (1)S= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (2)S= {(x, y)| x2+y2<1} (3)S= {3,4,5,6,7,8,9,10} (4)S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列事件: (1)A发生,B和C不发生; (2)A与B都发生,而C不发生; (3)A、B、C都发生;

(4)A、B、C都不发生; (5)A、B、C不都发生; (6)A、B、C至少有一个发生; (7)A、B、C不多于一个发生; (8)A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3.在某小学的学生中任选一名,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是三年级学生,事件C表示该学生是运动员,则 (1)事件AB表示什么? (2)在什么条件下ABC=C成立? ?是正确的? (3)在什么条件下关系式C B (4)在什么条件下A B =成立? 解所求的事件表示如下 (1)事件AB表示该生是三年级男生,但不是运动员. (2)当全校运动员都是三年级男生时,ABC=C成立. ?是正确的. (3)当全校运动员都是三年级学生时,关系式C B

(4)当全校女生都在三年级,并且三年级学生都是女生时,A B =成立. 4.设P (A )=,P (A -B )=,试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ,已知P(A) = P(B)=P(C)=1 4 ,P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球,现从中随机地取出两只球,试求下列事件的概率: A ={两球颜色相同}, B ={两球颜色不同}. 解 由题意,基本事件总数为2a b A +,有利于A 的事件数为2 2a b A A +,有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件,则i =1,2,…,n ,且 X 1,X 2,…,X n 独立同分布,p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部,每部机床开动的概率为,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1.概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ,如果它满足如下三个条件: (1)非负性 A A P ?≥,0)( (2)正规性 1)(=ΩP (3)可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2.几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ,每一基本事件与S 内的点一一对应,则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。(若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比,而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。)==(每点等可能性)则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3.条件概率与乘法公式: 设A,B 是试验E 的两个随机事件,且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率。(其中)(AB P 是AB 同时发生的概率) 乘法公式:)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4.全概率公式与贝叶斯公式: (全概率公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 (贝叶斯公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5.事件的独立性: 两事件的独立性:(定义)设A 、B 是任意二事件,若P(AB)= P(A)P(B),则称事件A 、B 是相互独立的。(直观解释)A 、B 为试验E 的二事件,若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0<

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A -B)=(0.3 )。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌 机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求 敌机被击中的概率为(0.94 )。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为(0.496 )。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立 射击4次,则击中二次的概率为 ( 0.3456 )。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都 不发生可表示为(ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中 不多于一个发生可表示为(AB AC BC I I); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=(0.5 );

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机 的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为(0.8 ); 10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=(0.5 ) 11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864 )。 12.若事件A?B且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=(0.3 ); 13.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=(0.5 ) 14.A、B为两互斥事件,则A B= U(S )15.A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰 有一个发生可表示为 (ABC ABC ABC ++) 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=,() P A=,()0.2 ( 0.2 ) 17.A、B为两互斥事件,则AB=(S ) 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次 )。 就能打开保险箱的概率为(1 10000

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计(经管类)》考试题型分析: 题型大致包括以下五种题型,各题型及所占分值如下: 由各题型分值分布我们可以看出,单项选择题、填空题占试卷的50%,考查的是基本的知识点,难度不大,考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查,要求考生不仅要牢记重要的公式,而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查,要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习,就会很容易的掌握解题思路。总之,只要抓住考查的重点,记住解题的方法步骤,勤加练习,就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计(经管类)》考试重点说明:我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级,即一级重点、二级重点、三级重点,其中,一级重点为必考点,本次考试考查频率高;二级重点为次重点,考查频率较高;三级重点为预测考点,考查频率一般,但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1.随机事件的关系与计算 P3-5 (一级重点)填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2.古典概型中概率的计算 P9 (二级重点)选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 (一级重点)选择、填空 ,(考得多)等,要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 (一级重点)选择、填空记住条件概率的定义和公式: 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 (二级重点)计算记住全概率公式和贝叶斯公式,并能够运用它们。一般说来,如果若干因素(也就是事件)对某个事件的发生产生了影响,求这个事件发生的概率时要用到全概率公式;如果这个事件发生了,要去追究原因,即求另一个事件发生的概率时,要用到贝叶斯公式,这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性(概念与性质) P18-20(一级重点)选择、填空定义:若,则称A与B 相互独立。结论:若A与B相互独立,则A与,与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21(一级重点)选择、填空在重贝努利试验中,设每次试验中事件的概率为(),则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8.离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29,P31(一级重点)选择、填空、计算、综合。记住分布律中,所有概率加起来为1,求概率时,先找到符合条件的随机点,让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值,和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33(一级重点)选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主,记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37(一级重点)选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数,记住利用分布函数计算概率的公式:①;②其中;③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39(一级重点)选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算,如①;;反之,满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③;④ 设为的

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次,观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是:S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于 2,则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次, A:第一次出现正面,则 A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= ;b5E2RGbCAP ;p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C 都不发生表示为: .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为: .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为: .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为: .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为: .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}:则 (1) A ? B ? (4) A ? B = , (2) AB ? , (5) A B = , (3) A B ? 。 ,
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ,则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签,其中 2 个“中” ,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

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