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高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高数第六章总习题答案

复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面.

高数第六章总习题答案教学提纲

复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =， k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．

高等数学第六章答案

第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a

高数第六章答案

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1 求图6-21 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e

(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3 1] 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1 3] 所求的面积为

3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为

?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1 021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)

第六章 微分中值定理及其应用 2?若 lim 1 acosx -bsin ^ 1 ，则 a = X T 0 x 2 3.曲线y = e x 在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4?设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________ x 6?设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________ 区间； 7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的? = _________________ 8?函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________ 9. 函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的 ?= ______ ; x e 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ; x 3 11. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。 12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取 得极小值 ________________________________________ 。 3 2 13. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____ 2 2 一、填空题 1若a 0,b 0均为常数，贝 U 5. lim (1 x )x -e x —.Q x 2 X a H X X

高数答案(全集)第六章参考答案

第六章 常微分方程 1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 3. (1)-(3)均为微分方程02 2 2=+y dx y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得 dx y dy cos 2 = 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1 c x y +-=此外,还有解0=y (2)分离变量,得dx x x y y d x x dx dy y y )11 1(1)1(2112 222+-=+++=+或 两边积分,得c x x y ln )1ln(ln )1ln(21 2++-=+ 即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2 x (3)将变量分离,得 112 2 =-+ -y ydy x xdx 积分得通解2 1x -+)20(12 c c y =- 还有使因子2 1x -?012 =-y 的四个解. x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2 )e x 2dx-[ ] 0)1( )e y +(1y =+-dy y e x 2dx=dy y y ?? ? ?? ?++- 2y 11 (e 积分得 --=y e e y x arctan 2 12)1ln(212y +-21 (5)令 z=x+y+1, z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z dz =+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到

dz z z z se dz z z dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122 2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c 即-tan( 2 2z -∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2 1 4++-∏y x ) 6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0 分离变量得du x dx 1) -u(u u 2 2-=,即得y 3=c(2y -2 x ) 7. 令x y u = ,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2 222cx x x y +=由定 解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y += 8. 将方程化为x y x y y + -='2 )(1，令x y u =，得,u u x y +'=代入得 dx x du u 1112 =- 得c x u ln ln arcsin +=，cx x y ln arcsin = 9．化为x e x y dx dy x = +，解得)(1x e c x y +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)() (-+=-x ce y x ?? 11.化为 x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x y u =,则原方程化为dx dy y dx du 2 --= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1 2])(ln 2 1 [1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x y u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x 解得1 12 2 +-= -x ce y x 13． 23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx dy -=- 22 2 12+-=-y ce z y ，得通解1)2(22 12=+--y ce x y 14．令x y N x y M +-=-=4,32 有 x N y M ??==??1，这是全微分方程0=du

高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==

高等数学课后习题答案第六章(可编辑修改word版)

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： (1)xy ' = 2 y , y = 5x 2 ; 解：由 y = 5x 2 得 y ' = 10x 代入方程得 x ?10x = 2 ? 5x 2 = 10x 2 故是方程的解. (2) y ' + y = 0, y = 3sin x - 4 cos x ; 解： y ' = 3cos x + 4 s in x ; y ' = -3sin x + 4 cos x 代入方程得 故是方程的解. -3sin x + 4 cos x + 3sin x - 4 cos x = 0 . (3) y ' - 2 y ' + y = 0, y = x 2e x ; 解： y ' = 2x e x + x 2e x = (2x + x 2 )e x , 代入方程得 2e x ≠ 0 . 故不是方程的解. (4) y ' - (+ ) y ' + y = 0, y ' = (2 + 4x + x 2 )e x y = C e 1x + C e 2 x . 1 2 1 2 1 2 y ' = C e 1x + C e 2 x , y ' = C 2e x 1 + C 2e 2 x 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 代入方程得 C 2e 1x + C 2e 2 x - (+ )(C e 1x + C e 2 x ) + (C e 1x + C e 2 x ) = 0. 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： (1)(x - 2 y ) y ' = 2x - y , x 2 - xy + y 2 = C ; 证：方程 x 2 - xy + y 2 = C 两端对 x 求导： 2x - y - xy ' + 2 yy ' = 0 y ' = 2x - y 得 x - 2 y 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. (2)(xy - x ) y ' + xy '2 + yy ' - 2 y ' = 0, y = ln(xy ). 证：方程 y = ln(xy ) 两端对 x 求导： y ' = 1 + 1 y ' x y (*) y ' = 得 y x ( y -1) . (*)式两端对 x 再求导得

高数第六章总习题答案

复习题A 一、判断正误: 1、 解析 2、 解析 3、 解析两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4 ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1、 D )； 解析 (A)0，(B)，(C) 2、下列平面方程中，方程( C ) 解析C． 3、( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．

解析 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、( C )； 解析 5、( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) (D) 解析，1，-1}，，-1，1}， 三、填空题: = 0 ； 1、 2 解． 2、 解平面的法向量，-1，2}

3、 ； 解 (-3，1，-2) 和(3，0，5)代入方程， 即 4、 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 ，2，-1} ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为 ． 5、 解: 投影柱面为 影曲线方程． 四、解答题: 1、 (c) 解:

， 2、 试求：(1) 标表示； (2) (3) (4) 向量． 解:(1) ； (2) (3) 在 三个坐标轴上的方向余弦分别为 3、 . 解： 4、 解：

5、求满足下列条件的平面方程： (1) (2) 解(1)解1： 解2： 量为 解3： 再根据点法式公式写出平 面方程也可． 于是所求平面方程为 （2） 时，所求平面方程为 又，即 ．这样它与已知平面 所 ，则有

6、 求该平面方程； 解法1： ，得 ，则（0， 4）为平面上的点． 相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 ，5，1}，0，-1} ， 2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即 ，2，-5} ， ，解方程组 所求平面方程为 解法2：用平面束（略） 7、 直线方程. 解法1 从而根据点向

高等数学课后习题答案第六章

高等数学课后习题答案 第六章 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 61 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1|)()(1010=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 111=--=-==??e e dy y y ydy A e e e

(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 332]2)3[(132=--=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[1 3] 所求的面积为 332 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积

(1) 221x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 88282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππtdt 346)22(122-=-=ππS A (2)x y 1=与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 23)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为

高等数学习题详解-第6章-定积分

习题6-1 1． 利用定积分的几何意义求定积分： (1) 1 2xdx ? ； (2) 220 a a x dx -? (0)a >． 解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10 2xdx ?表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角 形的面积,而此三角形面积为1,所以 1 21xdx =?． (2) 根据定积分的几何意义知, 220 a a x dx -? 表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及 x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201 4 a a x dx a -=?π. 2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1) 1 2 x dx ? 与1 3 x dx ?； (2) 1 x e dx ?与1 (1)x dx +?． 解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2 3 2 (1)0x x x x -=-≥,即23 x x ≥, 又2 x 3x ,所以1 1 230 x dx x dx >??． (2) 令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以1 1 0(1)x e dx x dx >+? ?. 3． 估计下列各积分值的范围： (1) 4 2 1 (1)x dx +? ； (2) 33 arctan xdx ? ； (3) 2 a x a e dx --? （0a >)； (4) 2 2 x x e dx -? ． 解 (1) 在区间[]1,4上，函数2 ()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4 21 2(41)(1)17(41)d x x -≤ +≤-? , 即 42 1 6(1)51x dx ≤+≤?． (2) 令()arctan f x x x =,则2 ()arctan 1x f x x x '=+ +,当[3]3 x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363 πm f ==所以 33 23arctan 3)9363333xdx =≤≤=?ππππ

高数(上)第六章习题册答案

第五章 向量代数与空间解析几何 作业7 向量代数 1．填空题 （1）已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，则向量21M M 的模是 2 ,方向余 弦是11 ,,222 - - ，方向角是23,,343πππ。 （2）一向量的终点在)7,1,2(-，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4,-4和7,则这个向量的起点坐标为()2,3,0-。 （3）向量→ a 与向量}2,1,2{-平行，2=→a ，则→ a =}2,1,2{3 2-± 。 （4）设}2,2,1{-=→ a ,}2,1,2{-=→ b ,则=+?-→→ → → )()(b a b a 0，=+?-→ →→→)()(b a b a }6,12,12{-。 （5）设一质点在力→ → → → ++-=k j i F 432的作用下沿直线运动,从点)3,2,1(1-M 运动到点)4,1,3(2M ,此力所做的功是 21 。 2．设}0,2,1{-=AB ,}1,3,0{=BC ,}8,6,5{-=CD ,四边形ABCD 对角线AC 的中点为M ,BD 的中点为N ,求向量MN 。 解：BD AB CA MN 2121+ += = )(2 1)(2 1CD BC AB BA CB ++ ++ ={3,2,-4 。 3．设向量→ →→c b a ,,两两垂直,且,1=→ a ,2=→ b ,3=→ c 计算→ → → ++c b a 。 解：2 → →→++c b a =)()(c b a c b a ++?++=14

→ →→++c b a =14。 4．已知π2,1,(,)3 a b a b ∧→→ →→ === ,问系数λ为何值时,向量→→+b a λ与→ →+-b a 3垂直？ 解：)(→ → +b a λ)3(→ → +-?b a =02=+-λ，2=λ。 5．设→→→→--=k j i a 23,→→→→-+=k j i b 2,求:(1) b j a Pr ; (2) ),cos(∧ → →b a 。 解：14 3Pr = = b j a ， ),c o s (∧→ → b a 21 23= =。 6．已知三点)1,2,1(-M ,)1,3,2(-A 和)0,3,1(B ,计算:(1)以MA ,MB 为邻边的平行四 边形的面积；(2)求同时垂直于MA ,MB 的单位向量→ 0n 。 解：3}1,1,1{= -==S ，→ 0n }1,1,1{3 3-± =。

高数部分习题解答(第6章)

第六章 微分方程 习题6.1 3．用微分方程表示下列命题. (1)曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数. (2)某大洲的人口总量Q (t )的增长速度与当时的人口总数成比例. 解: (1) 根据导数的几何意义, y = f (x ) 在点（x ，y ）处的切线的斜率可用导数y = f (x )来表示, 由题目的条件知 y =y x - , 这就是所求的微分方程. (2) 人口总量Q (t )的增长速度可用导数Q (x ) 来表示, 设题目所说的比例系数为k >0，就得到所求的微分方程: Q (t ) = kQ (t ) 或简写成Q = kQ. 4. 已知曲线族y = C 1cos2x +C 2sin2x ，求其中满足条件y (0) = 2，y (0) = 0的曲线. 解: 对y = C 1cos2x +C 2sin2x 求导得到y = -2C 1sin2x +2C 2cos2x. 把初始条件y (0) =2，y (0) = 0分别代入这两个方程得: 2 = C 1, 0 = 2C 2, 即C 1 = 2, C 2 = 0. 把它们代入曲线族方程得到 y = 2cos2x , 这就是所求的曲线的方程. 习题6.2 3．放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q 成正比，比例系数k = - 0.00433，求①在时刻t （以年为单位）镭的存量与时间t 的函数关系，②经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？ 解: 设镭的存量与时间t 的函数为Q = Q (t ), 那么衰变速度可用导数Q (x ) 来表示, 根据题目条件得到微分方程: Q = - 0.00433Q, 解这个方程得出镭的存量与时间t 的函数为Q = Q 0e -0.00433t . 假定经过T 年后，镭的质量只剩下原始量的一半, 即Q (T ) = 0.5 Q 0. 代入Q (t )中得到 0.5 Q 0 = Q 0e -0.00433T , 由此可求出T = 00433 .02 ln ≈160(年). 4．在某种化学反应中，物质A 转变成物质B 的速度与物质A 的瞬时存量的平方成正比. 如果物质A 的初始质量为60克，1小时后物质A 的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A 的瞬时存量. 解: 设物质A 在时刻t 的存量为y = y (t ), 那么由题目条件得到微分方程 y (t ) = k (y (t ))2, 或y = ky 2, 其中k 是比例系数, 且y (0)=60, y (1)=10. 解这个方程得到通解 y (t ) = C kt +-1 , 把t = 0, y =60代入通解表达式, 可求出C =1/60, 即得出特解y (t ) =60 11+ -kt = 1 6060 +-kt ;

(完整版)【高数】第六章定积分答案

高等数学II 练习题 第六章 定积分 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题6.4 反常积分 一．选择题 1．下列反常积分发散的有 （ C ） （A ） 20 1dx x +∞+? （B ）10? （C ）ln e x dx x +∞? （D ）0x e dx +∞-? 2．下列反常积分收敛的有 （ D ） （A ） 1 dx x ? （B ）120dx x ? （C ）10ln x dx x ? （D ）10? 二．填空题 1．若反常积分 2(ln )k dx x x +∞ ?收敛， k 。 2．若2 11A dx x +∞-∞=+?，则A = 。 三．判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值 1．41dx x +∞ ? 2．0ax e dx +∞-? （0>a ） 3 ． 2 1 ? 311133x -+∞=-=0 0111d(-)ax ax e ax e a a a +∞--+∞ =-=-= ?22 11 2310 001,d 2d 1021(1)182d 2(1)d 2() 33 t x t x t t x t x t t t t t t t t t ==+=→→==+=?=+=+= ?? 解：令当时，，当时，原式1 >1 π

4． ()f x dx +∞ -∞ ? ，其中21 ,012,01()0,1 x x x f x x ?-∞<≤?+?? <≤=???>?? 5．求c 的值，使2lim ( )c x t x x c te dt x c -∞→+∞ +=-?。 0120 1 010 1()d d 2d 0d 1arctan 20 22f x x x x x x x π+∞ +∞ -∞ -∞-∞=+ ++=++=+???? 222222222222lim ()lim (1)lim (1)1111d d (d )()22221 111()1,24242x c c c x x c c x x x c c c t t t c t c t c c x c c c e x c x c x c te t t e te e t ce e c e c c -?+→+∞→+∞→+∞-∞-∞-∞-∞-∞+=+=+=---==-=-=-∴-=??? Q 解：5即=

(完整版)高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +

第六章 定积分应用 复习题答案

第六章 定积分应用 复习题答案 一、单项选择题： 1、设函数()f x 在[],a b 上连续，则下列等式中正确的是（ C ） A. () ()()b a f x dx f x ' =? ； B. () ()()f x dx f x C ' =+? ； C. ()() ()x a f t f x ' =? ； D. ()()f x dx f x '=?。 2、 所围成的图形面积 和直线由曲线2,1)(=-==x x e x f x =? -dx x f 2 1 )( ( C ) A 、e -3； B 、e +3 ； C 、12--e e ； D 、12-+e e 。 二、填空题： 1、已知生产某种产品的边际成本为2()31830C x x x '=-+,则当产量x 由 12单位减少到3单位时，总成本减少 756 单位 ； 2、若某商品的边际成本为()Q e Q C 15.05.7=',且固定成本为80，则总成本 函数为 x e 15.05030+ ； 3、某产品的边际收入()8R x x '=-（万元/百台），则产量由1百台增加到5百台时 总收益的增加了 20 万元； 三、应用题： ； ，，x 元成本增加了 件时到件增加销售量从件元函数为已知某产品的边际成本__________ 7725____205)/(103.42 -; 2 92 9|)3221()2()1,1()4,2(,2 ; 2.12 13 2 2 1 22 2 形面积为 曲线与直线所围成的图答得交点解联立方程组 解所围成的图形的面积与直线求由曲线：x x x dx x x S 、x y x y ：x y x y =-+=-+= ∴-?? ?+==+==--?