第十章 曲线积分与曲面积分
曲线积分
一 基本概念
定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：
()
()0
1
(,)d lim
(,)n
k
k
k
L AB T k f x y s f s
λξη→==?∑?
（2）空间曲线()L AB 的积分：
()
()0
1
(,,)d lim
(,,)n
k
k
k
k L AB T k f x y z s f s λξηζ
→==?∑?
其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或
(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：
()
()0
1
(,)d (,)d lim
[(,)(,)]n
k
k
k
k k k L AB T k P x y x Q x y y f x
f y λξηξη→=+=?+?∑?
（2）空间曲线()L AB 的积分：
()
(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++?
()0
1
lim
[(,,)(,,)(,,)]n
k
k
k
k k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζ
ξηζξηζ→==?+?+?∑
其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或
(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论
定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性
()
()
(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =?
?
．
（2）线性性质 (1)
(,)d (,)d L
L
k f x y s k f x y s =??
；
(2)
[(,)(,)]d (,)d (,)d L
L
L
f x y
g x y s f x y s g x y s ±=±??
?．
（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则
1
2
(,)d (,)d (,)d L
L L f x y s f x y s f x y s =+?
??．
（4）弧长公式
d L
s L =?(L 表示曲线L 的弧长)．
（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，
()
(,)d L AB f x y s ?
存在，则
()()
0,
(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ??=?????关于是奇函数,，关于是偶函数.
其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．
定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性
()
()
(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-?
?
．
（2）线性性质 (1)
(,)d (,)d L
L
kf x y x k f x y x =??；
(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L L
f x y
g x y x f x y x g x y x ±=±???
．
（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则
1
2
(,)d (,)d (,)d L
L L f x y x f x y x f x y x =+?
??．
定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）
()()d d d d d d d d d d L AB L AB x
y z P x Q y R z P Q R s s s s ??++=++ ???
??
()
(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++?
()
d L AB =
??
F s
其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且
d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===
一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线()L AB 是直线时，则()L AB 切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的转换。
定理4 （格林公式）
设D 是由分段光滑的曲线L 围成，函数(,),(,)P x y Q x y 及其一阶偏导数在D 上连续，则有
(,)d (,)d d d L D Q P P x y x Q x y y x y x x ????
+=- ????
??
?? 其中L 是围成区域D 的正向边界曲线。
三 基本方法
1 计算第一类曲线积分（对坐标的曲线积分） 方法一：基本方法——转化为定积分
（1）用参数方程给出的积分曲线：()x t ?=，()y t ψ=，a t b ≤≤，则
()
(,)d ((),(b
L AB a
f x y s f t t t ?ψ=?
?
（2）用一般方程给出的积分曲线：()y y x =，a x b ≤≤，则
()
(,)d (,(b
L AB a
f x y s f x y x x =?
?
（3）用极坐标方程给出的积分曲线：()ρρθ=，αθβ≤≤，则
()
(,)d (()cos ,()sin L AB f x y s f β
α
ρθθρθθθ=?
?
例1 计算22
d L
I x y s =?
，22
:1L x y +=上半圆周。
解（方法1）曲线的参数方程：cos ,sin x y θθ==，0θπ≤≤，
d d s θθ==，于是有
2
2
2420
013!!cos sin d 2(cos cos )d 2()224!!28
I π
π
πππ
θθθθθθ=
=-=?-?=?
?。
（方法2）
曲线的一般方程：y =11x -≤≤
，
d s x x ==，
于是有
1
1
1
22
1
1
(1)2I x x x x
x x x --=-==???。
令sin x θ=，则
220
2
sin cos cos d 8
I π
π
θθθθ=?=
?
。
例2 计算d L
I y s =
?，2
2222:()4()L x
y x y +=-的第一象限部分。
解 令cos ,sin x r y r θθ==，则积分曲线的极坐标方程为：
24cos 2,0
4
r π
θθ=≤≤（第一象限部分）, r r '==
d
s θθ==
，sin 2sin y r θ==。
于是有
444
2sin 4sin d 4cos 412I π
π
πθθθθ
?=
==-=- ??
?
?。
方法二：基本技巧——利用第一类曲线积分性质
例3 计算2()d L
I x y s =
+?
，其中22:4L x y +=。
解 根据曲线积分的线性性质，有
222()d ()d 2d L
L
L
I x y s x y s xy s =+=++???。
根据性质（4）和（5），
22()d 4d 442216L
L
x y s s L ππ+===??=?
?，
根据奇偶性和对称性，
2d 0L
xy s =?，于是
2()d 16L I x y s π=+=?。
例4 计算2
(1)d L
I x s =+?
，2
2
2
:4L x y z ++=与0x y z ++=相交的圆周。
解 由于积分曲线关于,,x y z 的具有轮换对称性，则有
d d d L
L
L
x s y s z s ==???；222
d d d L
L
L
x s y s z s ==??? 于是，利用积分曲线方程化简被积函数，有
1
d ()d 03L
L
x s x y z s =
++=??，
2
222
11416d ()d 4d 3333L
L L
x s x y z s s L π=++===???， 所以
22(1)d d 2d 1d L
L
L
L
I x s x s x s s =+=++????1628
433
πππ=
+=。 注1 计算第一类曲线积分，有基本方法和基本技巧，在具体问题中可以兼顾考虑。但是在有些问题中，基本方法是没有办法解决的，这可能有两种情况：一是可以建立积分曲线参数方程，转化为定积分，但没办法计算这个定积分；二是很难建立积分曲线参数方程，如例4。
2 计算第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） 方法一：基本方法——转化定积分
设()L AB 的平面曲线：其参数方程：(),()x t y t ?ψ==，起点和终点对应的参数取值分别是α和β，则
()
d d {((),()]()[((),()]()}d L AB P x Q y P t t t Q t t t t β
α
?ψ??ψψ''+=+?
?
设()L AB 的空间曲线：其参数方程：(),(),()x t y t z w t ?ψ===，起点和终点对应的参数分别是α和β，则
()
(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++?
[((),(),())P t t w t β
α
?ψ=?()((),(),())()((),(),())()]d t Q t t w t t R t t w t w t t ??ψψ?ψ'''++
注2 第二类曲线积分转化为定积分，积分的下限是积分曲线的起点对应的参数取值，上限是积分曲线的终点对应的参数取值，所以有时可能下限大于上限。
方法二：基本技巧——利用格林公式转化为二重积分（平面曲线）
设曲线L 是闭合正向逐段光滑曲线，(,)P x y ，(,)Q x y 以及一阶偏导数在L 围成的区域D 内连续，则
(,)d (,)d d d L
D Q P P x y x Q x y y x y x x ????
+=- ????
??
??
方法三：基本技巧——利用斯托克斯公式转化为曲面积分（空间曲线）
设有向分段光滑闭合曲线L 张成分片光滑有向曲面∑，,,P Q R 具有一阶连续偏导数，
则
d d d d d d cos cos cos d d d //////d L
y z z x x y P x Q y R z x y z x y z S P
Q
R
P
Q
R
αβγ∑
∑
++=??????=???????
????
其中L 方向和∑法线方向满足右手系，cos α，cos β，cos γ是曲面∑的法向量的方向余弦。
注3 当曲面∑是平面时，方向余弦是常量。于是，当空间曲线L 比较复杂时，而曲线L 在某个平面上，即张成(围成)的曲面是一个平面，我们常常将第二类空间曲线积分转化为曲面积分。
注4 利用格林公式一定要平面曲线，并且是闭合的。对非闭合曲线积分，如果欲用格林公式，可以补充曲线段。通常情况下，补充的曲线段是平行于坐标轴的线段，这样有利于计算在补充曲线段上的曲线积分。
注5 计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法： （1）平面曲线积分：将曲线积分转化为定积分或重积分； （2）空间曲线积分：将曲线积分转化为定积分或曲面积分。
例5 计算2
2
d d L y x x y +?，其中L 为上半椭圆：22
221x y a b
+=，取顺时针方向．
解 曲线L 的参数方程：cos x a t =，sin y b t =，0t π≤≤，因为顺时针，于是积
分弧段的起点和终点对应的参数分别是t π=和0t =，所以
22
2222d d [sin (sin )cos cos ]d L
y x x y b t a t a t b t t π
+=-+??
?
23230
sin d cos d ab t t a b t t ππ
=-??．
根据三角函数积分公式和性质
3
3
20
2!!4
sin 2sin 23!!3
t dt t dt π
π==?=?
?
，30cos 0t dt π=?．
于是有
22d d L
y x x y +?2
43
ab =
． 例6 计算
322d d d x x zy y x y z Γ
+-?
，其中Γ是从点(0,0,0)A 到点(1,1,1)B -的线段．
解 直线AB 的方程为
111
x y z
==-． 于是，积分曲线Γ的参数方程可表示为：x t =，y t =-，t z =，参数t 从0到1。于是
1
322
3330
1d d d ()d 4
x x zy y x y z t t t t Γ
+-=-+=
?
?． 例7 计算(e sin )d (cos e 1)d x y L
I y y x y y =-++?
，其中L 是从(,0)A a 到(0,0)O 的
上半圆周。
解 (e sin )d (cos e 1)d x x L
L OA
OA
I y y x y y +=
-++=-?
?
?
0d d 0d a D Q P x y x x y ????=-+ ????
????2
1d d 8D x y a π==??。 例8计算
()d ()d ()d L
y z x z x y x y z -+-+-?
，其中L 是222
x y a +=与1x z
a b
+=（,0a b >）的交线，曲线是逆时针方向。
解 积分曲线参数方程：cos ,sin x a t y a t ==，(1cos )z b t =-，02t π≤≤，所以
20
{[cos (1cos )](sin )[(1cos )cos ](cos )I a t a t a t b t a t a t π
=---+--?
(cos sin )sin }d a t a t b t t -2()a a b π=-+。
例9计算曲线积分
d d d z x x y y z Γ
++? ，其中Γ为平面1=++z y x 被三个坐标面所
截成的三角形的整个边界，其方向与三角形的上侧满足右手法则．
解 曲线Γ张成曲面∑是三角形，利用斯托克斯公式，得
d d d d d d d d d z x x y y z y z z x x y Γ
∑
++=++?
??．
∑在xOy 面上的投影区域xy D ：x y -≤≤10，10≤≤x ．利用矢量点积法，积分曲面∑
法向量为(1,1,1)，所以
d d d d d d d d d z x x y y z y z z x x y
Γ
∑
++=++???
3
(1,1,1)(1,1,1)d d 3d d 2xy xy
D D x y x y =?==????．
题型 平面曲线积分与路径无关的条件
设D 是平面单连通有界闭区域，L 是D 内的逐段光滑曲线，
若(,)P x y ，(,)Q x y ，P
y
??，Q
x
??在D 上连续，则下面四个命题等价： （1）曲线积分(,)d (,)d L
P x y x Q x y y +?与路径无关，只与起点和终点有关；
（2）在G 内存在一个函数(,)u x y ，使d (,)(,)d (,)d u x y P x y x Q x y y =+； （3）(,)x y G ?∈，
x
Q y P ??=??；
（4）对G 内的任意光滑或逐段光滑闭曲线L ，有(,)d (,)d 0L
P x y x Q x y y +=??．
例10 计算(1,2)
2(0,0)
(e 3)d (e 2)d y y I x x x y y =+++?
，其中L 是过(0,0)，(0,1)，(1,2)的
圆周。
解（方法1）由于
e y P Q
y x
??==??，于是曲线积分和积分路线无关。因此 (1,2)
2
(0,0)
(e 3)d (e 2)d y
y
I x x x y y =+++?
1
2
2
200(13)d (e 2)d e 5y x x y y =+++=+??
（方法2）利用凑微分
23232e d e d 3d 2d d(e )d d d(e )y y y y x x y x x y y x x y x x y +++=++=++
所以3
2
(,)e y
u x y x x y =++，故
(1,2)
22(0,0)
(e 3)d (e 2)d (1,2)(0,0)e 5y y I x x x y y u u =+++=-=+?
练习 10-1
1．计算下列第一类曲线积分： （1）
()d L
x y s +?，其中L 为连接(1,0)和(0,1)两点的线段；
（2）2
2
()d L
x y s +?
，其中L 为(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-，02t π≤≤；
（3）
L
s ??，其中L 为222x y a +=，直线y x =和x 轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界；
（4）s ?
，其中L 为圆周22x y ax +=；
（5）s ?
，其中Γ是2222x y z a ++=与x y =的相交的圆周；
（6）
2(23)d x y z s Γ
++??，其中Γ是2222
x y z a ++=与0x y z ++=的相交的圆周； 2．计算下列对坐标的曲线积分： （1）2
2()d L x
y x -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
（2）
d L
xy x ??，其中L 为圆周2
22()
(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内
的区域的整个边界(逆时针方向绕行)；
（3）d d L
y x x y +?
，其中L 为圆周2cos x t =，2sin y t =上对应t 从0到
2
π
的一段弧；
（5）
d d (1)d x y y x x y z Γ
+++-?
，其中Γ从(1,1,1)到点(2,3,4)的一条直线段；
3．计算2d 2L xy
I x y =
-?，L 为曲线sin y x =从点(0,0)到点(,0)π的弧段．
4．计算下列曲线积分：
（1）3222(2cos )d (12sin 3)d L
xy y x x y x x y y -+-+?
，其中L 为在抛物线2
2x y π=上
从点(0,0)和,12π??
???的一段弧； （2）2
2(1)ln d d 12L y x y x y x y
++-++??，其中L 为1x y +=围成的正方形的边界，沿顺时针方向．
5．验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，
并求这样的一个(,)u x y ：
(1) (2)d (2)d x y x x y y +++；
(2) 2
2d (+1)d xy x x y +；
(3) 2
2
3
2
(132)d (2e )d y
x y xy x x x y y +++++ ； (4) 2
2
(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-．
6．证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值： （1）(2,3)
(0,1)
()d ()d x y x x y y ++-?
；
（2）
(1,1)
(0,0)
()d ()d x x y y ?ψ+?
，()x ?和()y ψ为连续函数．
7．利用曲线积分，计算下列曲线所围成的图形面积：
（1）椭圆：2
2
916144x y +=； （2）圆：2
2
4x y x +=．
8．已知曲线积分
[e
2()]d ()d x
L
f x y x f x y +-?与路径无关，且(1)1f =．求
(1,1)
(0,0)
[e 2()]d ()d x f x y x f x y +-?
．
9．设曲线积分
2d ()d L xy x y x y ?+?
与积分路径无关，其中()x ?具有连续的导数，且(0)0?=，计算(1,1)
2(0,0)
d ()d I xy x y x y ?=+?
．
曲面积分
一 基本概念
定义1 第一类曲面积分（对面积的曲线积分）
()0
1
(,,)d lim (,,)n
k
k
k
k T k f x y z S f S λξηζ
→=∑
=?∑??；
其中()T λ表示分割曲面∑的分法T 的细度，即n 块曲面直径的最大值，(,,)k k k ξηζ是第k 块曲面上的任意一点。
物理意义：第一类曲面积分表示物质曲面∑的质量，其中被积函数(,,)f x y z 是曲面∑的面密度。
定义2 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
++??
()0
1
lim
[(,,)()(,,)()(,,)()]n
k
k
k
k yz k k k k zx k k k k xy T k P S Q S R S λξηζ
ξηζξηζ→==?+?+?∑；
其中()T λ表示分割曲面∑的分法T 的细度，(,,)k k k ξηζ是第k 块曲面上的任意一点。
()k yz S ?，()k zx S ?，()k xy S ?是k S ?分别在坐标面yoz ，zox ，xoy 上的投影。
物理意义：第二类曲面积分表示单位时间内流速场V 流经曲面∑一侧的流量，其中被积函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 是流量场V 在个坐标轴方向上的分量。
二 基本结论
定理1（第一类曲面积分性质）
（1）线性性质 (1)
(,,)d (,,)d kf x y z S k f x y z S ∑
∑
=????；
(2)
[](,,)(,,)d (,,)d (,,)d f x y z g x y z S f x y z S g x y z S ∑
∑
∑
±=±??????．
(2) 曲面可加性 1
2
(,,)d (,,)d (,,)d f x y z S f x y z S f x y z S ∑
∑∑=+??????．
(3) 面积公式
d S ∑
=∑??．
（∑表示曲面∑的面积） (4) 恒等变换 被积函数可以用积分曲面方程作变换．
(5) 奇偶性与对称性 如果光滑或逐片光滑曲面∑关于xOy 坐标面对称，函数
(,,)f x y z 在∑上连续，则
1
0(,,)(,,)d 2(,,)d ,(,,)f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑
∑??
=?
????
??，关于是奇函数关于是偶函数
．
其中1∑是∑被xOy 面分成的半部分． 定理2 （第二类曲面积分性质）
(1) 有向性 设-∑是与∑有相反侧的同一光滑曲面， (,,)d d (,,)d d f x y z x y f x y z x y -
∑
∑=-????．
(2) 线性性质 (1) (,,)d d (,,)d d kf x y z x y k f x y z x y ∑
∑=????；
(2)
[](,,)(,,)d d (,,)d d (,,)d d f x y z g x y z x y f x y z x y g x y z x y ∑
∑
∑
±=±??????．
(3) 曲面可加性
1
2
(,,)d d (,,)d d (,,)d d f x y z x y f x y z x y f x y z x y ∑
∑∑=+??????
定理3 （两类曲面积分关系）
d d d d d d d d d d d d []d d d d y z z x x y
P y z Q z x R x y P
Q R s s s s
∑
∑
++=++???? [cos cos cos ]d P Q R s αβγ∑
=++??
{}{},,d d ,d d ,d d P Q R y z z x x y ∑=
???
d
∑
=???F s
其中cos ,cos ,cos αβγ表示∑处法线的方向余弦。且
d d cos d ,d d cos d ,d d cos d y z s z x s x y s αβγ===。
定理4（高斯公式）
d d d d d d d d d P Q R P y z Q z x R x y x y z x y z ∑Ω??
???++=++ ?????
?????? ∑表示Ω的外测。
三 基本方法
3 计算第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 方法一：基本方法——转化为二重积分
（1）曲面∑方程：(,)z z x y =，(,)x y D ∈有界闭区域，则
(,,)d (,,(,d D
f x y z s f x y z x y x y ∑
=??
??
其中D 是积分曲面∑在xoy 面的投影。
类似的，曲面方程：(,)x x y z =或(,)y y z x =时，得到相应公式。
（2）曲面∑参数方程：(,),(,),(,)x x u v y y u v z z u v ===，(,)u v D ∈有界闭区域
222u
u u E x y z '''=++，u v u v u v F x x y y z z ''''''=++，222v v v G x y z '''=++，则
(,,)d ((,),(,),(,d D
f x y z s f x u v y u v z u v u v ∑
=??
??
方法二：基本技巧——利用第一类曲面积分性质
例1 计算曲面积分d S z ∑
??，其中∑是球面2
222a z y x =++被平面h z =)0(a h <<截出的顶部。
解 积分曲面∑的方程：222y x a z --=
，于是∑在xOy 坐标面上的投影区域
xy D ：2222h a y x -≤+．
又由于
=
于是有
222d d d xy
D S a
x y z a x y ∑=--??
??22200d d ar r a r πθ=-?(极坐标变换)
220
12ln()2ln
2a
a a r a h
ππ?=-
-=????． 例2 计算曲面积分
(2)d x y z S ∑
++??，其中∑是平面1=++z y x 在第一卦限部分．
解(方法1) 曲面∑的方程：y x z --=1，则
==．
根据公式(1)，有
(2)d (d xy
D x y z S x x y ∑
++=+????，
其中}10,10|),({≤≤-≤≤=x x y y x D xy ．所以
110
(2)d d (1)d x
x y z S x x y -∑
++=+??
?
1
(1)(1)d 3
x x x =-+=
. 用曲面积分的性质解此题：
(方法2) 由于积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性，所以有
d d d x S y S z S ∑
∑
∑
==??????．
于是
1d d d d 3x S x S y S z S ∑∑∑∑?
?=++ ? ???
???????? 111
()d d 333
x y z S S ∑∑=++==∑????． ∑
是积分曲面块的面积，即等腰三角形的面积：1302∑=
=o ．所以
(2)d 2d d d 4d x y z S x S y S z S x S ∑
∑
∑
∑
∑
++=++==
??????????． 例3 计算曲面积分2
()d y z S ∑
+??
，其中∑：2222x y z R ++=． 解 由于
2(1)d y S ∑
+??2222
(2)d d 2d z d y yz z S y S yz S S ∑
∑
∑
∑
=++=++????????． 根据曲面积分的对称性和奇偶性，有d 0yz S ∑
=??．又由于积分曲面关于,,x y z 具有轮换对
称性，于是
222
d d d x S y S z S ∑
∑
∑
==??????． 所以
222
()d d d y z S x S z S ∑
∑
∑
+=+??????2222()d 3x y z S ∑=++??24
28d 33R S R π∑
==?? 。 例4 计算曲面积分
()d x y z S ∑
++??
，其中∑
：z = 解 根据积分线性性质，有
()d x y z S ∑
++??=d d d x S y S z S ∑
∑
∑
++??????．
根据第一类曲面积分的对称性和奇偶性，有
d d 0x S y S ∑
∑
==????．
于是
()d d x y z S z S ∑
∑
++=????
3d d d D
D
x y a x y a π===??．
4 计算第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 方法一：基本方法——转化为二重积分
（1）投影法：将第二类曲面积分化为二重积分
d d d d d d P y z Q z x R x y
∑
++??
((,),,)d d (.(,),)d d (,,(,))d d yz
zx
xy
D D D P x y z y z y z Q x y x z z z x R x y z x y x y =±±±??????
其中±号取决于∑的侧方向与坐标轴方向是相同还是相反，若相同，则取正；若相反，则取负。xy D ，yz D ，zx D 分别是曲面∑在坐标面xoy ，yoz ，zox 上的投影。
（2）矢量点积法：积分曲面:(,)z f x y ∑=，(,)x y D ∈（∑在xoy 上的投影）
{}{}d d d d d d ,,,,1d d x
y
D
P y z Q z x R x y P Q R f f x y ∑
''++=±--????
其中：±号取决于∑的侧面与z 轴方向是相同还是相反，若相同，则取正，若相反，则取负。
方法二：基本技巧——利用高斯高斯转化为三重积分
（3）高斯公式
d d d d d d d d d P Q R P y z Q z x R x y x y z x y z ∑Ω??
???++=++ ?????
?????? 其中∑表示Ω的外侧。
例5 计算曲面积分d d xyz x y ∑
??，其中∑是球面1222
=++z y x
的0≥x ，0≥y 部分
的外侧．
解（投影法）将∑分成1∑与2∑，1∑：221y x z ---=，下侧；
2∑：221y x z --=，上侧，1∑与2∑在xOy 面上投影区域xy D ：12
2
≤+y x 的第一象限部分，因此
1
2
d d d d d d xyz x y xyz x y xyz x y ∑
∑∑=+??????
(d d xy
xy
D D xy x y xy x y =-+????
2d xy
D xy x y =??(极坐标变换，sin ,cos x r y r θθ==)
1
20
2sin cos d r r πθθθ=??．
1
r r =?(三角变换，sin r α=)
3
2
35220
sin cos d (sin sin )d π
παααααα==-??
2!!4!!2
3!!5!!15??=-= ??
?．
注1 计算d d xyz x y ∑
??，只能往xOy 投影，将积分曲面∑表示为：(,)z f x y =，被积
函数的z 用(,)f x y 去替换。
例6 计算d d d d d d I x y z y z x z x y ∑
=
++??
，其中∑是22
z x y =+在第一挂限和01z ≤≤
部分的上侧。
解（矢量点积法）积分曲面∑的法向量{}
{},,12,2,1
x y z z x y ''=--=--n ，∑在xOy 面的投影：22:1xy D x y +=，从而有
d d d d d d I x y z y z x z x y ∑
=++??{}{}22,,2,2,1d d xy
D x y x y x y x y =+--??
1
2
2
220
()d d d d 8
xy
D x y x y r r r π
π
θ=-+=-?=-
????。
注2 若曲面积分中含有两种或两种以上坐标面，常常用矢量点积法，当然也可以用投影法，但是需要做多次投影，这样会很麻烦，工作量也很大。
例7 计算曲面积分323232()d d (2)d d (3)d d I x z y z y x z x z y x y ∑
=
+++++??
，其中∑
是上半球面z =的上侧。
解 补充曲面片1:0z ∑=，下侧，使其变成闭曲面积分，于是有
1
1
323232()d d (2)d d (3)d d I x z y z y x z x z y x y ∑+∑∑=+++++-??
??
1
2223()d d d x y z x y z ∑Ω
=+++-?????
（利用高斯公式）
由于
2
2
2
3()d d d x y z x y z Ω
++???21
22
2
00
03d d sin d r r r π
π
θ??=????65π=。 1
323232()d d (2)d d (3)d d x z y z y x z x z y x y ∑+++++??
223d d 3d d xy
xy
D D y x y y x y =-=-????
2122003
3d cos d 4
r r r πθθπ=-?=-??，
所以
6339
5420
I πππ=+=。
注2 应用高斯公式计算闭曲面积分，是计算闭曲面积分的基本技巧，但是如果不是闭曲面，我们常常通过补充曲面片，变成闭曲面，再应用高斯公式，但是补充的曲面片一般是平行于坐标面的平面，因为这样有利于计算函数在补充曲面片上的曲面积分。
例 8 设()f u 具有连续的导数，计算
3331
1d d d d d d y y I x y z f y z x f z x y z z y z ∑
??????
??=++
++ ? ????
?????????
?? 其中∑是z =与球面2221x y z ++=与2224x y z ++=所围成的立体表面的外
侧。
解 本题是闭合曲面的第二类曲面积分，满足高斯公式条件，又由于
23P
x x
?=?，2213Q y f y y z z ???'=+ ????，2213R y f z z z z ???
'=-+ ????
，根据高斯公式 3331
1d d d d d d y y I x y z f y z x f z x y z z y z ∑
??????
??=++++ ? ????
?????????
?? 2223()d d d x y z x y z Ω
=++??? （利用球面坐标变化） 22
224
1
3d d sin d r r r π
π
θ??=????93
(25
π=
-。 练习
10-2
1．计算下列对面积的曲面积分： （1）22()d x y S ∑
+??，其中∑是由锥面z =及平面1z =围成的区域的整个边界曲面；
（2）(23)d x y z S ∑
++??
，其中∑是球面2222x y z a ++=上0z ≥的部分； （3）2
d x S ∑
??
ò，其中∑是球面2221x y z ++=； （4）
2
(1)d x y S ∑
++??
，其中∑是2222x y z a ++=球面． 2．计算下列第二类曲面积分： （1）
d d d d d d z x y x y z y z x ∑
++??
，其中∑是柱面22
1x y +=被平面0z =和3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧； （2）
[(,,)]d d [2(,,)]d d [(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑
+++++??，其中函数
(,,)f x y z 连续，∑是平面1x y z -+=在第四卦限内的部分的上侧；
（3）
d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑
++??ò，其中∑是平面1x y z ++=，0x =，0y =，0
z =所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；
（4）
333d d d d d d yx y z xy z x z x y ∑
++??，其中∑是抛物面22
z x y =+在0z =和1z =之间部分的外侧．
3． 计算曲面积分
22d d ()d d d d yz y z x z y z x xy x y ∑
+++??，其中∑为曲面22
4y x z -=+在xOz 平面的右侧部分的外侧．
4．计算曲面积分3
23232()d d ()d d ()d d x
az y z y ax z x z ay x y ∑
+++++??，其中∑为上半
球面z =
5．计算曲面积分
(1)d d d d z x y y z x ∑
+-??
，其中∑为圆柱面22
4x y +=被平面2x z +=和0z =截得的部分的外侧．
6．计算曲面积分
d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++??，
其中∑为上半球面z =
7．利用高斯公式计算曲面积分 （1）d d d d d d x y z y z x z x y ∑
++??
ò，其中∑为球面2222
x y z R ++=的外侧；
（2）
22d d d d d d xz y z yz z x z x y ∑
+-??ò，其中∑为曲面z =与z =所围成的立体表面的外侧．
8．设∑为单位上半球面z 的外侧，计算
d d d d d d I y z x z x y ∑
=++??．
9．利用斯托克斯公式计算
d d d L
I y x z y x z =++??，
其中L 是2222
x y z a ++=与0x y z ++=的交线，从x 轴正向看逆时针方向．
第十章答案与提示
练习10-1答案与提示
1．（1；（2）2
3
2
2(12)a ππ+； （3）e 224a
a π?
?
+
- ??
?
．提示：将曲线积分表示为在三段曲线积分的和； （4）22a ．提示：令cos 22a a x t =
+，sin 2
a
y t =，则 2
20sin d 222
t a
s a t a π=?=??；
（5）2
2a π．提示：积分曲线是2
2
2
2
x y z a ++=与x y =的交线，也是2
2
2
2y z a +=
与x y =的交线；于是
2d 2s a s a πΓ
==?
?．
（6）3
23
a π．提示：由于积分曲线关于,,x y z 是轮换的，于是有
222d d d x s y s z s Γ
Γ
Γ==?
?? 和
d d d x s y s z s Γ
Γ
Γ
==?
??
所以有
22222
3112d ()d d 333x s x y z s a s a πΓ
ΓΓ=
++==?
??； 11d ()d 0d 033
x s x y z s s Γ
ΓΓ=
++==?
??． 2．（1）56
15
-；（2）32a π-；（3）0；（5）13；
3．
2
4
π．
4．（1）2
4
π．提示：验证与路径无关或补充线段利用格林公式；（2）2．提示：利用格
林公式．
5．（1）2211
222
x xy y ++； （2）2x y y +； （3）322y x x y x y e +++； （4）22
sin cos y x x y +．
6．（1）4；（2）
1
1
()d ()d x x y y ?ψ+?
?．
7．（1）12π；（2）4π．
8．1-．提示：由积分和路径无关，则有
(1,1)
(0,0)[e 2()]d ()d x f x y x f x y +-?
(1,0)
(0,0)
[e 2()]d ()d x
f x y x f x y =+-?
(1,1)(1,0)
[e 2()]d ()d x f x y x f x y ++-?
1
1
00
[e 2()]0d (1)d x
f x x f y =+?-??1=-． 9．12
．由积分
2d ()d L
xy x y x y ?+?
和路径无关，
则()2y x xy ?'=，所以2
()x x C ?=+，根据条件(0)0?=，得到2
()x x ?=．
练习10-2答案与提示
1.（1）
11)2π；
（2）3
3a π．提示：由奇偶性和对称性d d 0x S y S ∑∑==????； （3）43
π．提示：利用积分曲面关于,,x y z 的轮换对称性，有
222
d d d x S y S z S ∑
∑
∑
==??????乙?；
（4）2
2
1
4(1)3
a a π+．提示：由于
22(1)d d d d x y S x S y S S ∑
∑
∑
∑
++=++????????， 而且222
222
1d ()d d 333a a x S x y z S S ∑∑∑
=++==∑??????，d 0y S ∑=??，d S ∑=∑?? 2．（1）3
2
π；（2）12；（3）18；（4）3π-．
3．32
3π．
4．52920
a π．
5．8π-． 6．3
2a π。 7．（1）3
4R π；（2）2
π
． 8．π．
9．2
a ．
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+ 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . １ (一)含有ax+b 的积分 1.C b ax a b ax d b ax a dx ++=++=+??ln 1)(11b ax 2.()()C u a b ax b ax d a dx u u u +++= ++=+??)1()()(b ax 1b ax 3. C b ax b b ax a b ax b ax d a b dax b ax b ax a dx b ax b b ax a dx b ax ax a dx b ax x ++-+=++-++=+-+=+=+?????)ln (1 )(111222 4.?? ????++-+-++=+--+=+=+??????b ax b ax d b b ax d b b ax d b ax a dx b ax b abx b ax a dx b ax x a a dx b ax x )()(2)()(12)(11232222222 C b ax b b ax b b ax a +?? ????+-+-+= ln )(2)(2112 23 5. ()C x b ax b x C a b b ax b C ax b ax b dx ax b ax b a b ax x dx ++-=++++-=+-+-=??? ??-+-=+??ln 1ln ln 1ln 1ln ln 111)(11 6.()()C x b a b ax b a bx x dx b a b ax dx b a dx x b dx bx a b ax b a x b b ax x dx +-++-=-++=??????-++=+?????ln ln 11111222222222 C x b ax b a bx +++= ln 12 7.()()()()C b ax a b b ax a b ax dx a b b ax dx a dx b ax a b b ax a b ax xdx ++?++=+-+=?? ????+-+=+????1ln 11122222 C b ax b b ax a +?? ? ??+++= ln 12 8.()()()()()???? +??? ? ??+-+-=+-+-=+--+=+C b ax b b ax b ax a b ax dx a b b ax xdx a b a x dx b ax a b a bx b ax a dx b ax x 23222222 2 22 22ln 21221 9. ()()()()C x b ax b b ax b C b x b ax b b ax b x dx b b ax dx b a b ax b adx b ax x dx ++-+=+++-+=++-+-=+????ln 11ln ln 111222 2222 （二）含有b ax +的积分 10. ()()C b ax a b ax d b ax a dx b ax ++=++= +??3 321 11.()()()()()???+-= ++-+= +-++=+3 2 32 5 22315232521b ax b ax a C b ax a b b ax a dx b ax a b dx b ax b ax a dx b ax x C + 12. () ()()?--+=+-+-++=+????b ax a a b b ax a dx b ax a b dx b ax x a b dx b ax b ax a dx b ax x 23152 [ 272 21 2 73 222 2 2 ()()()() C b ax b abx x a a C b ax a b b ax +++-= ++-+3 2223 33 2 3 812151052 32] 第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］ Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［ Ｃ ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ; 导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-=' 31． ＝1arsh x C a +＝ln(x C ++ 32． C + 33． x C + 34． x ＝C + 35．2 x 2ln(2a x C -++ 39．x 2 ln(2a x C +++ 43．d x x ?＝ln a a C x ++ 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x C 53．x 2 ln 2 a x C + 57．d x x ?arccos a a C x + 59． ＝arcsin x C a + 61． x ＝C 第十二章曲线积分与曲面积分 一．基本要求 1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两 类曲面积分之间相互关系。 3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握 二元函数全微分方程的求解方法。 4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。 5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、 重心、转动惯量、功及流量等）。 二．主要内容(见第二页至第十三页) 1．主要内容联系（框图） 2．曲线积分和曲面积分（表格） 3．曲线和曲面积分的解题步骤（框图） 4．格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 5．在平面区域G上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6．全微分方程（框图） 7．注解（注一至注十）（表格） 三．考点与难点 考点： 1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算 方法。 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。 4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点： 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。 四．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例1至例15 五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五） 六．试卷（见第三十一页至第三十八页） 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页） 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 答案及题解 二．主要內容 1。主要内容联系（框图） 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2． ()d ax b x μ +?＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二） 课堂练习题 一、填空题 1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z ???αβγ???∑++??ò= 。 2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-??ò= 。 3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑ ??ò 。 4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。 5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y ??????αβγ?????∑-+-+-???ò 。 二、选择题 1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。 A ．12zds zds ∑∑=????； B ．1 2zdxdy zdxdy ∑∑=????； C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=????； D ．zdxdy ∑ ??=0。 2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑ ??等于 。 A ．200d rdr πθ? ?； B ．200d rdr πθ??； C ．20d rdr πθ?； D ．2π。 3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑ ??等于 。 A ．2xy D x y ??； B ． 22xy D x y ??； 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。(完整)高等数学常用积分公式查询表
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