一、选择题
1．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=?，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =
（ ）
A ．6
B ．12
C ．15
D ．30
2．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）
A ．（一3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，0）
D ．（1，0） 3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，
E ，
F ，
G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点
H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12
EH EG =；成立的个数有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
4．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是
（ ）
A ．::a b CD BC =
B ．D ∠的度数为α
C ．若60α=?，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABC
D 面积的一半
D ．若60α=?，则平行四边形ABCD 的周长为()433
a b + 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A ．当A
B B
C =时，四边形ABC
D 是菱形
B ．当A
C B
D ⊥时，四边形ABCD 是菱形
C ．当90ABC ∠=时，四边形ABC
D 是矩形
D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形
6．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A ．90D ∠=；
B ．AB CD =；
C ．A
D BC =； D ．BC CD =． 7．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件：
①AB ∥CD ，AD ∥BC ；
②AB CD =，AD BC =；
③AO CO =，BO DO =；
④AB ∥CD ，AD BC =．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A ．1组；
B ．2组；
C ．3组；
D ．4组．
8．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
9．如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长不变
C ．线段EF 的长逐渐减小
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 10．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，
E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB C
F ==，2BC CE ==，则EH =（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．5
11．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.4
D ．2.5
12．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．144°
二、填空题
13．已知菱形的面积为962cm ，两条对角线之比为3∶4，则菱形的周长为__________． 14．如图：在ABC ?中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ?的周长是___．
15．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=?将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．
16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为_____．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．
18．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45?，该平行四边形的面积为_______．
19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．
20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．
参考答案
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝12cm ，AB ＝18cm ，CD ＝23cm ，动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，以2cm/s 的速度向点D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）当t ＝3时，PB ＝ cm ．
（2）当t 为何值时，直线PQ 把四边形ABCD 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）四边形PBQD 能否成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
22．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．
（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．
（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．
23．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，点E 在BA 的延长线上，且PB PE =，连结DE ．
（1）求证：PD PE =．
（2）试判断DE 和BP 的数量关系，并说明理由．
24．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．
（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．
（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．
参考答案
25．已知：如图所示，在平行四边形ABCD 中，DE 、BF 分别是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，交AB 、CD 于点E 、F ，连接BD 、EF ．
（1）求证：BD 、EF 互相平分；
（2）若∠A ＝60°，AE ＝2EB ，AD ＝4，求线段BD 的长．
26．“半角型”问题探究：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．
（1）小明同学的方法是将△ABE 绕点A 逆时针旋转120°到△ADG 的位置，然后再证明△AFE ≌△AFG ，从而得出结论：
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12
∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，AE ＝CF ＝1，O 为
EF 的中点，动点G 、H 分别在边AD 、BC 上，EF 与GH 的交点P 在O 、F 之间（与O 、F 不重合），且∠GPE ＝45°，设AG ＝m ，求m 的取值范围．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，
BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得22
2
462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．
【详解】
解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，
在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=?
90ADG B ∴∠=∠=?，
ADG ABE(SAS)∴△≌△，
,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，
45EAF ∠=? ，
45DAF BAE ∴∠+∠=? ，
GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=?，
GAF=EAF ∴∠∠，
又AF=AF ，
AFG AEG ∴△≌△(SAS)，
EF=FG ∴，
设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，
在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，
()()22
246=2x x ∴+-+，
解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，
AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522
∴??△△， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
2．D
解析：D
【分析】
由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．
【详解】
如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．
若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，
∴△CDE 的周长最小．
∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，
∴OD ＝2，
∴D （0，2），
∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，
∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，
∵OE ∥BC ，
∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B
=''， 即：
6
23OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查轴对称??最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．
3．A
解析：A
【分析】
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED ⊥CA ，根据三角形中位线定理可得EF =12AB ；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG =12
CD ，即可得EF ＝EG ；连接EG ，可证四边形DEFG 是平行四边形，即可得EH=
12EG ． 【详解】
解：如图，连接FG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∵BD ＝2AD ，
∴OD ＝AD ，
∵点E 为OA 中点，
∴ED ⊥CA ，故①正确；
∵E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，
∴EF ∥AB ，EF=12AB ， ∵∠CED ＝90°，CG ＝DG=
12CD ， ∴EG=12
CD ， ∴EF ＝EG ，故②正确；
∵EF ∥CD ，EF ＝DG ，
∴四边形DEFG 是平行四边形，
∴EH ＝HG ，
即EH=12
EG ，故③正确； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合
一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．
4．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=?，求出180EAF C ∠+∠=?，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=?，则60B D ∠=∠=?，求出30BAE DAF ∠=∠=?，由直角三角形的性质得出33BE AE ==，
DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形
ABCD 的周长2())AB AD a b =+=
+；求出ABE ?的面积212BE AE =?=，
ADF ?的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =?=?=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -?的面积ADF -?的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，
180D C ∴∠+∠=?，
AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，
360290180EAF C ∴∠+∠=?-??=?，
B D EAF α∴∠=∠=∠=；
平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =?=?，AE a =，AF b =，
BC a CD b ∴?=?，
::a b CD BC ∴=；若60α=?，
则60B D ∠=∠=?，
30BAE DAF ∴∠=∠=?，
BE AE ∴==，DF =，
2AB BE ∴==，2AD DF ==，
∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；
ABE ?的面积21122BE AE a =?=?=，ADF ?的面积
21122DF AF b =?=?，平行四边形ABCD 的面积
BC AE a =?=
?=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -?的面积ADF -?的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四
边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】
解：A 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，它是菱形，故本选项不符合题意；
B 、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当A
C B
D ⊥时，四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；
C 、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90ABC ∠=时，四边形ABC
D 是矩形，故本选项不符合题意；
D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD =时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
综上所述，符合题意是D 选项；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
6．D
解析：D
【分析】
由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【详解】
解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD 为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD 为正方形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查正方形的判定．掌握相关判定定理正确推理论证是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
【详解】
解：①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边
形是平行四边形；；
③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键． 8．B
解析：B
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ＝12AC ＝12
?4＝2， 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF 的长不变．
【详解】
解：因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF 平行与AR ，且等于AR 的一半． 所以当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变．
故选：B ．
【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．
10．A
解析：A
【分析】
延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90?，AR=2，根据勾股定理求出210AG =，得到HG=10，利用1122AEG S EG AR AG EN =??=??，求出2105
EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．
【详解】
如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90?，AR=AR-CE=4-2=2，
∴222222061AG AR RG =+==+，
∵H 是AG 中点，
∴HG=10，
∵1122
AEG S EG AR AG EN =??=??， ∴21204EN ?=，
∴2105
EN =， 在Rt △ENG 中，226105EG EN NG =
-= ， ∴10NH NG HG =-=
， ∴222NH EH EN +=
=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．【详解】
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=2222
345
AC BC
+=+=，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=1
2
EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=1
2AB×CM=
1
2
AC×BC，
∴CM=
?
AC BC
AB
=
34
2.4
5
?
=，
∴CP=1
2EF=
1
2
CM=1.2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题
13．40【分析】依题意已知菱形的面积以及对角线之比首先根据面积公式求出菱形的对角线长然后利用勾股定理求出菱形的边长【详解】解：设两条对角线长分别为3x和4x由题意可得：解得：x=±4（负值舍去）∴对角线
解析：40cm
【分析】
依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．
【详解】
解：设两条对角线长分别为3x和4x，由题意可得：
1
x x ，解得：x=±4（负值舍去）
3496
2
∴对角线长分别为12cm、16cm，
又∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长，
则菱形的周长为40cm．
故答案为：40cm．
【点睛】
此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．
14．30【分析】根据三角形的中位线性质求出AC的长再求出ΔABC的周长【详解】∵点DE分别是ABBC的中点∴DE是ΔABC的中位线
∴DE=AC∵DE=25∴AC=5∵AB=13BC=12∴C△ABC=A
解析：30
【分析】
根据三角形的中位线性质，求出AC的长，再求出ΔABC的周长．
【详解】
∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
∴ DE=
12
AC ， ∵ DE=2.5 ，
∴ AC=5 ， ∵ AB=13 ， BC=12 ，
∴ C △ABC =AB+BC+AC=13+12+5=30．
故答案为：30.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
15．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG
解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=?，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=?，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
16．【分析】连接CM 由题意易证即得到PC=DC=3设AN=x 则PN=xBN=3-xCN=3+x 在中利用勾股定理即可求出x 即可得到CN 的长【详解】如图连接CM 由题意可知在和中∴∴PC=DC=3设AN=x 则 解析：133
【分析】
连接CM ，由题意易证DMC PMC ?，即得到PC=DC=3．设AN=x ，则PN= x ，BN=3-x ，CN=3+ x ．在Rt BCN △中利用勾股定理即可求出x ，即可得到CN 的长．
【详解】
如图，连接CM ， 由题意可知122AM DM PM AD ====， 在Rt DMC 和Rt PMC 中，PM PD MC MC =??=?
， ∴DMC PMC ?，
∴PC=DC=3．
设AN=x ，则PN= x ，BN=3-x ，CN=3+ x ．
在Rt BCN △中，222BC BN CN +=，即2224(3)(3)x x +-=+，
解得：43
x =， ∴CN=3+413333
CN +==．
故答案为：
133
． 【点睛】 本题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．
17．18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC （SAS ）得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出
OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
解析：18-a ．
【分析】
过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．
【详解】
过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，
∵点()9,9A ，
AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90o，
四边形AEOD 为正方形，
∵AB AC
⊥，∠EAD=90°，
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB AC
=，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，
∵EB=EO-BO=9-a，
∴CD=9-a，
OC=OD+CD=9+9-a=18-a，
故答案为：18-a．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
18．【分析】画出图形证明四边形EFGH是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG得到四边形EFGH的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD是平行四边形EFGH分别是各边中点过点G作EH的垂线垂足
解析：2
【分析】
画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果．
【详解】
解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，
过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8，
可得：EF=HG=1
2
AC=3，EH=FG=
1
2
BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC和BD夹角为45°，
可得∠EHG=45°，
∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，
∴MG=2332
22
=，
∴四边形EFGH的面积=MG EH
?=62，
∴平行四边形ABCD的面积为122，
故答案为：122．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．
19．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M交BC于N则直线MN是矩形ABCD的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E即可；②过A′作PQ∥AD交
解析：2
23
【分析】
分两种情况：①过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD 的对
称轴，得出AM=BN=1
2
AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E即可；②
过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=1
2
AD=2，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=2，
∴22
A B BN
'-，即A′与N重合，
∴A′M=2= A′E，
∴AE=2；