摘要
本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程，并将对称变换法应用于求二次曲线的切线以及二次曲面的切平面．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．
关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换
ABSTRACT
This paper mainly studies how to use matrix, determinant and Cramer law to discriminate the relation between lines and planes, and how to use the determinant to express the equation of lines and planes．And symmetric transformation method is used to solve the problem of tangent line of quadratic curve and tangent plane of quadratic surface．Using the theory of linear equations, some easy propositions of analytic geometry are gotten．So it shows the intrinsic relation between linear algebra and analytic geometry which penetrated and affected each other, enabling learners accept algebra method intuitively under the background of specific geometric．
Key words: Matrix; Determinant; Cramer law; System of linear equations; Symmetric transformation
第1章引言
高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础[1]．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．
“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开，并且这个思路也一直是许多高等院校教学改革的一个热门课题．
在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了[3]．
在学习解析几何的过程中，我们经常会碰到这样的问题，如求通过定点的曲线方程、判断平面上三点是否共线、求平面上不共线的三点所围成的三角形面积以及判断空间中平面与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，平面与直线的位置关系．这些问题均是解析几何中最常见的问题，像这些问题大多数学生都只会考虑运用解析几何课程中的本体性知识来解答，思维方式比较单一，不具有灵活性，殊不知，借助高等代数中行列式、矩阵和线性方程组解的理论等基础性知识，这些问题可以轻而易举并且以直观的方法被解决，高等代数知识的运用促使广大学者对几何问题的认识从原来的思维单一模式向思维多元化模式过渡，从而更好地理解“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这一句话，加深对代数与几何之间的融入和理解．应用高等代数方法解决几何问题的应用实例还有很多，如弯管的设计[4]、环叉式万向节的附加力矩[5]、矿脉迹线的绘制[6]、天体定位精度分析[7]等．
总的来说，如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性[8]．但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性．
第2章 高等代数在解析几何中的应用
2.1 判别平面、直线位置关系[9]
直线和平面是解析几何中最基础的内容，那么，毫无疑问，它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础．但是，大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程，且运用到的高等代数中的工具是行列式．本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断． 2.1.1 平面位置关系判别
两个平面有三种位置关系，即相交，平行，重合．以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系．
定理1 设两个平面方程为 11111222220
A x
B y
C z
D A x B y C z D ∏+++=∏+++=：：
则
1 平面1∏与2∏平行 1111
2222
==()2,()1A B C D r A r A A B C D ?
≠?==； 2 平面1∏与2∏重合 1111
2222
==()1,()1A B C D r A r A A B C D ?
=?==； 3 平面1∏与2∏相交
111222::::()2,()2A B C A B C r A r A ?≠?==．
其中,1
112
2
2A
B C A A B C ??= ???,1
11
12
22
2A B C D A A B C D -??
= ?-??
． 证明 应用代数知识，考虑由平面1∏与2∏的方程构成的线性方程组
111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??+++=? (1)
的解．由1()2r A ≤≤，而()()2r A r A ≤≤．所以有：
1 平面1∏与2∏平行?方程组(1)无解，亦即1∏与2∏无公共点?()()r A r A ≠，
()r A =2，()1r A =．由()1r A =，可设111
222
==A B C k A B C =．那么0k ≠且对A 作初等行变换得
1111
121
00
A B C D A D D k -??
?= ?- ??
?
又由()2r A =，有1210D D k -≠，从而11112222
==A B C D
A B C D ≠．
2 当且仅当
12
D k D =，即11112222==A B C D
A B C D =时,()()1r A r A ==，这时方程组(1)有无
穷多解并且只有一个独立的方程．平面1∏与2∏重合，即结论2成立．
3 若111222::::A B C A B C ≠，那么A 的行向量线性无关，从而()()2r A r A ==，这时方程组(1)有无穷多解并且有两个独立的方程．平面1∏与2∏相交于一条直线． 例 1 求过点(4,1,3)及平面1:20x y z π+--=与平面2:3530x y z π+--=交线的平面π的方程．
解 由所求平面经过点(4,1,3)，可设平面方程为
(4)(1)(3)0A x B y C z -+-+-=．
又因平面π与平面1π，2π相交于一条直线，则由定理1可知，线性方程组
203530(4)(1)(3)0x y z x y z A x B y C z +--=??
+--=?
?-+-+-=?
有无穷多解，即()()2r A r A ==．
其中，1111112351,351343A A A B C A B C A B C --????
? ?
=-=- ? ? ? ?++????
．
而111211
12351302234315002322A A B C A B C C B A C A B ??
?--??
? ?=-→-
? ? ? ?++??-+++ ?
??
． 所以有20
15
3022
C B A C A B -+=??
?++=??，得111A B C ==-，则所求平面方程为 (4)(1)(3)0x y z -+---=20x y z ?+--=．
2.1.2 直线位置关系判别
两直线通常有4种位置关系，即相交，重合，平行与异面．以下同样是应用矩阵的秩来判别．
定理 2 判别两直线1111122220:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?3
33324444
:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?的位置关系的充要条件为： 1 相交()()3r A r A ?==； 2 重合()()2r A r A ?==； 3 平行()3()2r A r A ?==，； 4 异面()4()3r A r A ?==，．
其中1
111
1112222
2
2233333334
4
44
4
4
4,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D -????
? ?- ? ?
== ? ?
- ? ?-????
． 证明 1L 与2L 的相关位置取决于线性方程组
11112222
333344440000
A x
B y
C z
D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=??
+++=??+++=? 的解的情况．
记A 的行向量为1234,,,αααα，A 的行向量记为1234,,,αααα，A ，A 分别表示这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵．注意到()()r A r A =或()()1r A r A =+，而2()3
r A ≤≤． 当()2r A =时，有以下几种情况：
①()2r A =，此时方程组有无穷解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 重合； ②()3r A =，此时线性方程组无解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 平行． 当()3r A =时，有以下几种情况：
①()3r A =,此时线性方程组有唯一解，表明1L 与2L 相交；
②()4r A =,此时线性方程组无解且1L 与2L 的方向向量不共线，表明1L 与2L 异面．
例2 判别下面直线的位置关系．
2503510x y z x y z ++-=??
++-=?与83230
52750
x y z x y z +-+=??++-=? 解 由1
12511250
25143511610
078832328635
2
7500
61A ?? ???-- ?
?
?
?=→-
-
? ?-- ? ?
???- ??
?
知，()3,()4r A r A ==，根据
定理2知，两直线异面． 2.1.3 线面位置关系判别
空间直线与平面有3种位置关系：相交、平行、直线在平面上．利用高等代数来刻画这3种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大简化．
定理 3 直线111122220
:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?与平面:0Ax By Cz D π+++=的位置关
系：
1 相交()3,()3r A r A ?==；
2 平行()3,()2r A r A ?==；
3 直线L 在平面上()2,()2r A r A ?==．
这里，1111
1112
222
2
22,A B C A B C D A A B C A A B C D A B
C A B
C
D -????
? ?==- ? ? ? ?-?
??
?
． 证明 直线L 与平面π的位置关系取决于线性方程组
111122220
00A x B y C z D A x B y C z D Ax By Cz D +++=??
+++=??+++=?
的解的情况．
记这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为A 与A ，则2()3r A ≤≤，
2()3r A ≤≤．
当()3r A =时，只有()3r A =一种情况，此时，线性方程组有唯一解．这表明L 与π相交．
当()2r A =时，有2种情况：
①()2r A =时，此时线性方程组有无穷多解，即直线L 与π有无穷多交点．表明L 在平面π上；
②()3r A =时，此时，线性方程组无解，即直线L 与平面π无交点，表明L 与π平行．
例 3 求过直线:L 220
4310x y z x y z ---=??-+-=?且与平面:π260x y z +++=平行的平面方
程．
解 设所求平面α的方程为0Ax By Cz D +++=,因为平面π与α平行，所以有
11A B =26
C D
=≠，因此此处不妨假设,,2A m B m C m ===，那么平面α的方程可以写为20mx my mz D +++=(0)m ≠．又因为L 在平面α上，根据定理3，可知方程组
220
431020x y z x y z mx my mz D ---=??
-+-=??+++=?
有无穷多解，即()()2r A r A ==．
121212124131077720332A m m m D m m D m ----????
? ?=-→- ? ? ? ?---????
因此有
7732m D m
-=--，所以有D m =．因此平面α的方程为 210x y z +++=．
通过以上介绍的几个简单定理和几道例题，可以看出利用矩阵及其秩方法不仅大大减少了计算量，而且掌握了上述方法以后有利于原有知识和方法的迁移，活跃了解题思维，丰富了解题经验．对于初学高等代数与解析几何的广大学生来说，有利于建立两门课程之间更广、更深的联系，有利于拓展知识，形成技能，发展能力．
2.2 Cramer 法则在解析几何中的应用
解析几何中经常会碰到这类问题，比如给定若干个点求过这些点的曲线或者曲面方程．解这类题时,有时候思路会局限于使用基本的代数方法．本节会将Cramer 法则引入这类问题的解法中，用行列式表示所求曲面或曲线的方程．这种解法思路比较清晰，只须牢固掌握Cramer 法则以及线性方程组解的理论即可轻松解决这类问题．
1 多点确定的曲线方程
平面上的二次曲线方程的一般方程为
221234560a x a xy a y a x a y a +++++= (2)
其中，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不全为0．要求通过五个不同的点()11,x y ，()22,x y ，
()33,x y ，()44,x y ，()55,x y 的曲线方程．将这五点代入(2)，得到五个方程并与(2)
联立得到线性方程组
22123456221121131415162212222324252622
1323333435362214244344454622152553545556000
000a x a xy a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a ?+++++=?+++++=??+++++=??+++++=?+++++=+++++=???? (3) 把1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 看作未知量，这是关于它们的一个齐次线性方程组，由于它有非零解，其系数行列式必为0，即
222
2111111222222222
2
333333224444442
2
555
55
51110111
x xy y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y = (4)
此即为所求的二次曲线方程[10]．
易知，当1230a a a ===时，方程变为平面上的直线方程4560a x a y a ++=，用上
述方法可以求出过两不同点()11,x y ，()22,x y 的直线方程为1
12
21
101
x
y
x y x y =． 例 4 平面上通过横坐标互不相同的n 个点(,)(1,2,,i i i P x y i
n =的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++有且仅有一条[11]
．
证明 把n 个点的坐标带入曲线方程210121n n y a a x a x a x --=++++，得到含n
个方程n 个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D ：
2110112111212012221221
0121n n n n n n n n n n y a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x ------?=++++?=++++???
?=+++
+
?
211
11
212222
1
111n n n n
n n x x x x x x D x x x ---=
将0a ，1a ，2a ，，1n a -看作未知量，系数行列式D 是n 阶范德蒙德行列式，由于
(1,2,
,)i x i n =互不相同，所以0D ≠，依据Cramer 法则，上述方程组有唯一解，故
通过(,)(1,2,,i i i P x y i n =
的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++有且仅有一条，
21
312
n n D D D D y x x x D D D
D
-=
++++
，其中(1,2,)j D j n =是用方程组的常数项代替系
数行列式中的第j 列元素后得到的n 阶行列式．
例5 过平面上不共线的三点(,)(1
,2,3)i i i P x y i =的圆的方程为 22
2211112
2
222222
333
31
1
011
x y x y
x y x y x y x y x y x y ++=++． 证明 设圆的方程为220x y Ax By C ++++=，把三个点的坐标代入圆的方程，得含3个方程3个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D
221111222222223
333000
x y Ax By C x y Ax By C x y Ax By C ?++++=?
++++=??++++=?
D =1
12
23
3111
x y x y x y 将A ，B ，C 看作未知量，由1P ，2P ，3P 不共线以及可知
0D ≠，所以上述方程组有唯一解，
221112222222333()
1()1()
1
x y y x y y x y y A D
-+-+-+=
,2211122222223
33()1()1()1
x x y x x y x x y B D
-+-+-+=
,2211112222222233
33()()()x y x y x y x y x y x y C D
-+-+-+=
代入220x y Ax By C ++++=，整理得：
2222221
11111111111222222222
2222222222
22222223
3333333333
3
1()1()1()()1()1()1()01
()
1
()
1
()
x y x y y x y x x y x y x y x y x x y y y x y x x y x y x y x y y x y x x y x y ++++-+++-+=+++即
2222111122222222
333
311
011
x y x y
x y x y x y x y x y x y ++=++． 2 多点确定的曲面方程
设通过空间中不在同一个平面上的四个点()111,,x y z ，()222,,x y z ，()333,,x y z ，
()444,,x y z 的球面方程为
22212345()0a x y z a x a y a z a ++++++= (5)
得到关于1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的齐次线性方程组
22212345222111121314152221222223242522213
332333435222
14442434445()0()0()0()0
()0
a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a ?++++++=?
++++++=??
++++++=??++++++=??++++++=? (6)
由(6)有非零解得到球面方程为
222222
111111222
222222222333333222
4444
4
411
0111
x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++=++++++． (7) 例6 过空间中不共线3点(,)(1
,2,3)i i i P x y i =的平面方程是
1112223
3
311011
x
y z x y z x y z x y z =．
证明 设平面π的方程为0ax by cz d +++=（a ，b ，c 不全为0），因为点1P ，
2P ，3P 均在平面上，则其坐标必满足π的方程，从而得到以a ，b ，c ，
d 为未知量的齐次线性方程组及其行列式D
111
2223330
000
ax by cz d ax by cz d ax by cz d ax by cz d +++=??+++=??
+++=??+++=? 1112223
3
31111
x y z x y z D x y z x y z =
因a ，b ，c 不全为0，说明上述齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式
0D =，即所求平面π的方程．
以上通过运用Cramer 法则以及线性方程组解的理论介绍了如何用行列式表示曲线或曲面的方程，虽然只是给出了几个常见的曲线和曲面的求法，但是，这种方法比较系统，容易举一反三．所以，这种方法一经掌握，关于这种类型的题目便可迎刃而解了．
2.3 利用对称变换求二次曲线的切线与二次曲面的切面
在解析几何这门课程研究的所有问题中，求二次曲线的切线方程与求二次曲面的切面方程是一类重要的问题．其中，解析几何教材给出了这类问题的一般解法，但是求解过程过于繁琐且结论不易记忆，从而在解决这类问题时极易出错．以下将应用对称变换的思想解决这类问题，这不仅为解决这类问题提供了一种全新的方法，而且方法简练，便于记忆． 2.3.1 求二次曲线的切线方程
设二次曲线:(,)0L F x y =，00(,)M x y 是曲线L 上的正常点，对L 上的点(,)P x y 作以点M 为中心的对称变换T ，将点P 变换成'(',')P x y ，则
00'2'2x x x
y y y =-??
=-?
那么L 在对称变换T 下的像'L 的方程为00(2,2)0F x x y y --=．
定理 4 记00(,)(2,2)(,)f x y F x x y y F x y =---，则:(,)0l f x y =是一条直线，且直线(,)0f x y =就是二次曲线L 在点00(,)M x y 处的切线[12]．
证明 由于M 在变换T 下的象就是M 自身，所以M 是L 与'L 的一个交点． L 与'L 除M 之外不会再有别的交点，否则，设'A 是L 与'L 的另一交点，那么'A 应是
L 上一点A 在变换T 下的象，于是A 、M 、'A 应在同一条直线上．但是由于一条非
退化的二次曲线上任何三点都不会共线，于是，产生了矛盾[13]．容易看出，L 与'L 的交点在l 上，故M 也是l 与L 的交点．此外，由l 的方程可以看出，l 与L 的交点也必在'L 上，而L 与'L 只有唯一交点．如果L 是椭圆，那么已断言l 是切L 于M 的直线．如果L 是双曲线，则只要证明l 不与其渐近线平行，即可断定l 是L 的切线．如果L 是抛物线，则只要证明l 不与其对称轴平行，就可断言l 是L 的切线，以下对L 进行分类讨论．
1 当L 为椭圆时，设其方程为
222222(,)0(0)F x y b x a y a b a b =+-=>>
则l 的方程为
2222222200(2)(2)0b x x a y y b x a y -+---=
化简得
2222220000b x x a y y b x a y +=+
由于00(,)M x y 在L 上，所以22222200b x a y a b +=．于是，l 的方程为
222200b x x a y y a b +=即
00221x x y y
a b
+= 这就是与椭圆L 相切于点00(,)M x y 的直线，与欲证结论一致． 2 当L 为双曲线时，设其方程为
222222(,)0(0,0)F x y b x a y a b a b =--=>> 则l 的方程为
2222222200(2)(2)0b x x a y y b x a y ----+= 化简得
2222220000b x x a y y b x a y -=-
若00y =时，明显地，l 不与L 的渐近线平行；
若00y ≠时，l 的斜率为20
20
b x a y ，如果l 平行于L 的渐近线b y x a =±，则
202
0b x b a y a
=±，从而22
2002b y x a =． 于是22
2
2
2
222200002(,)0b F x y b x a x a b a b a
=-?-=-≠．这与00(,)M x y 是L 上一点矛盾，
可见l 也不与L 的渐近线平行，因此l 应是L 的切线．另外，由于
22222200b x a y a b -=，故l 的方程可化为00221x x y y
a b
-=，这也与欲证结果一致． 3 当L 是抛物线时，设其方程为
2(,)20(0)F x y y px p =-=> 则l 的方程为
2200(2)2(2)20y y p x x y px ----+= 化简得
20000px y y y px -+-=．
若00y =时，l 不与L 的对称轴平行； 若00y ≠时，l 的斜率为
0p
y ≠，故l 也不与L 的对称轴平行，因此l 是L 的切线． 由于2002y px =，则l 的方程可化为00()y y p x x =+，这也与欲证结果一致．
对一般形式的二次曲线
22:(,)0(,,)L F x y ax bxy cy dx ey f a b c =+++++=不全为0
l 的方程为
22000000(2)(2)(2)(2)(2)(2)a x x b x x y y c y y d x x e y y -+--+-+-+- 22()0f ax bxy cy dx ey f +-+++++=
即 220000000000(2)(2)(222)0ax by d x cy bx e y ax cy bx y dx ey +++++-++++= 由于22000000()f ax bx y cy dx ey =-++++，代入l 的方程，化简得l 的方程为 0000
00(
)()()0222
x x y y x x y y ax x b cy y d e f ++++++++=． 与已知结果相比可知，这正是与L 相切于00(,)M x y 的切线方程．
综上所述，如果点00(,)M x y 是二次曲线(,)0F x y =上一点，则
00(2,2)(,)0F x x y y F x y ---=
就是与这条二次曲线相切于00(,)M x y 的直线的方程．
例7 求二次曲线222430x xy y x y -++--=在点(2,1)的切线方程． 解 此处 22(,)2430F x y x xy y x y =-++--= (,)(4,2)(,)10812f x y F x y F x y x y =---=-++
则该曲线在点(2,1)处的切线方程为5460x y --=，且验证得(2,1)为该二次曲线的正常点．
2.3.2 求二次曲面的切面方程
设二次曲面:(,,)0C F x y z =，000(,,)M x y z 是二次曲面C 的正常点，对于C 上的点(,,)P x y z 作以点M 为中心的对称变换T ，将点P 变换成'(',',')P x y z ，则
000'2'2'2x x x
y y y z z z
=-??
=-??=-?
那么C 在变换T 下的像'C 的方程为000(2,2,2)0F x x y y z z ---=．
记222112233122314243444(,,)22222F x y z a x a y a z a xy a yz a x a y a z a ≡++++++++
111121314(,,)F x y z a x a y a z a =+++，212222324(,,)F x y z a x a y a z a =+++ 313233334(,,)F x y z a x a y a z a =+++，414243444(,,)F x y z a x a y a z a =+++
定理5 记000(,,)(2,2,2)(,,)g x y z F x x y y z z F x y z =----，则:(,,)0
g x y z α=
是一个平面，且平面(,,)0g x y z =就是二次曲面C 在点000(,,)M x y z 处的切平面．
证明 经整理得
000(2,2,2)F x x y y z z ---
0004(,,)(,,)F x y z F x y z =+100020004(,,)4(,,)F x y z x F x y z y --30004(,,)F x y z z - 40004(,,)F x y z -
由于000(,,)M x y z 在曲面C 上，所以000(,,)0F x y z =，则
000(,,)(2,2,2)(,,)g x y z F x x y y z z F x y z =----
10002000300040004(,,)4(,,)4(,,)4(,,)F x y z x F x y z y F x y z z F x y z =----
那么平面α的方程为
1000200030004000(,,)(,,)(,,)(,,)0F x y z x F x y z y F x y z z F x y z +++=
因为000(,,)M x y z 为C 上的正常点，所以1000(,,)F x y z ，2000(,,)F x y z ，3000(,,)F x y z 不全为零，不妨设1000(,,)0F x y z ≠．
1 用平面0y y =去截割二次曲面(,,)0F x y z =，得截线方程为00(,,)0
F x y z y y =??=?
，经整
理得截线在点000(,,)M x y z 的切线方程为
1000
200003000400010(,,)(,,)(,,)(,,)0
:F x y z x F x y z y F x y z z F x y z l y y +++=??=?
直线1l 的方向数为30001000[(,,)]:0:(,,)F x y z F x y z -，即直线1l 的方向矢量为
}{130001000(,,),0,(,,)V F x y z F x y z =-．
2 用平面0z z =截割二次曲面(,,)0F x y z =，同理可求得截线在点000(,,)M x y z 处的切线2l 的方向矢量}{220001000(,,),(,,),0V F x y z F x y z =-．
3 12V V ? 3000100020001000(,,)
0(,,)(,,)(,,)0
i
j
k
F x y z F x y z F x y z F x y z =--
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
中考数学几何图形旋转典型试题 一、填空题 1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R 与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针 连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径 的长为cm． 4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝ 3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车
百度文库-让每个人平等地提升自我 巧用旋转法解几何题 将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全 等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法, 主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F" 分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF , AE BF 三条线段不在同一个三角 形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。 证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC ???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF 2 2 2 ? EF=AE+BF 例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数. 分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转 中心。 解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM F E A
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
中考旋转问题汇编（经典） 一、选择题 1.如图，把一个斜边长为2且含有300 角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900 到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（ ） A ．π B ． 34π D ．1112π 2.如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转 中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④ AOBO S 四形边AOC AOB S S += ．其中正确的结论是（ ） A ．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 3.如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（ ）。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 5.如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：（ ） A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900 ,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2 .则AC 长是 cm.
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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【篇二：各门课程课后答案】 式]《会计学原理》同步练习题答案 [word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [word格式]《实用成本会计》习题答案 [word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案 [word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎） [pdf格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [jpg格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [pdf格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版）
高等代数与解析几何（上） 一、选择题（每题3分，共5题，共15分。） 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7 -垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。（ ） 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题（每题3分，共7题，共21分。） 1、已知1b a == ， 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(，D A =，则 当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类 基本模型图: 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连 结B′D，则B′D的 最小值是（）． A． B.6 C. D.4 【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解. 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A． 22 -=-
【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立. 【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解. 【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中 点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝， OD ＝，∴DH 的最小值为112 AB =OD －OH . 1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决. DH OD OH ≤-【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）. A B C ． D ．31
《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １
1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的 三大基础课程，南开大学数学系孟道骥 出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日) 丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材 平装: 480页https://www.doczj.com/doc/f915521234.html,/jpkc/gdds/ 第二版在以下几个方面作了修改。 为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。 在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它，发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。 第一章向量代数 本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量，如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念，但是在空间中建立了坐标系后，向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标（数组）间的代数问题，为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之，取定了原点和坐标系后，一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数（或公式）与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”，抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起，既是为了给几何问题提供代数工具，也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上，为以后的代数化作准备。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册，第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包括用行列式解线性方程组的Craner法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。 个人认为这套教材总体还算不错（虽然系里大多数人都认为很烂），内容、观点还是比较新颖的，不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方）在于有些比较重要的定理写的过于简略，进展太过
几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
初中几何旋转典型例题归类 1、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长？ 解： 将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ 所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形DCBA是正方形 所以∠CBA＝90° 所以∠ABP＋∠CBP＝90° 所以∠CBQ＋∠CBP＝90° 即∠PBQ＝90° 所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ＝2√2a，CQ＝a 所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2 所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° 所以∠BQC＝90°＋45°＝135° 所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2 所以AB＝[√(5＋2√2)]a 三个已知距离为1、2、3的问题： 2、在正方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长？
解： 将△ABP旋转到△BCM，连接PM 显然BP＝BM＝4，CM＝PA＝2，∠ABP＝∠CBM，∠BMC＝∠APB＝135° 所以∠PBM＝∠ABC＝90° 所以△PBM是等腰直角三角形 所以PM＝√2*PB＝4√2，∠PBM＝45° 所以∠PMC＝135°－45°＝90° 所以三角形是直角三角形 根据勾股定理得：PC^2＝PM^2＋CM^2＝36 所以PC＝6 3、有正方形ABCD,E是其内一点，且E到B,C,D距离之比为3：2：1，求角CED=？ 解： 将△CDE绕C点旋转90°使CD与CB重合，E点旋转后到F点，连接EF 因为△CDE≌△CBF 所以DE＝BF，CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∠CED＝∠CFB 因为四边形ABCD是正方形 所以∠BCD＝90° 所以∠DCE＋∠BCE＝90° 所以∠BCF＋∠BCE＝90° 即∠ECF＝90° 所以△CEF是等腰直角三角形 所以EF＝√2*CE，∠CFE＝45 因为BE∶CE∶DE＝3∶2∶1 所以可设BE＝3K，CE＝2K，DE＝K 所以EF＝2√2K，BF＝K
习题7.4 习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ? ? ? ??=n B λλλ 21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而 E a a a a B nn 112211=???? ? ? ? ??= ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：
（1）s V V V +++ 21是直和； （2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有 021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。 现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得 ?????? ?=+++=+++=+++---0 00 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(111),,,(11221 1121 =? ? ?? ??? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵? ??? ??? ? ?=---11221 11111s s s s s B λλλλλλ 的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。 这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++ 21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，