§1加法法则与乘法法则
间接计算
[7] 求小于10000的正
整数中含有数字1的
的数的个数。
二年级下期数学第三学月月考试题 姓名：_______ 一、选择题（4分每题,共60分） 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法 总数是（ ） A.20 B ．16 C ．10 D ．6 3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 4．在8 2x ? ? 的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 5．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是（ ） A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 6．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 7．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是（ ） A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 8．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于（ ） A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 9．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 10．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中，任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ） A 15 B 12 C 23 D 45 11．某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（ ） A 简单随机抽样法 B 抽签法 C 随机数表法 D 分层抽 样法 12．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
教学目标： 知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并 能运用排列数公式进行计算。 过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题. 教学重点：排列、排列数的概念 教学难点：排列数公式的推导 教学内容 师生互动 设计意 图 教学过程： 一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =++ +种不同的方法 2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有 12n N m m m =?? ? 种不同的方法 二、讲解新课： 1问题： 问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 解决这一问题可分两个步骤： 图 1.2一1 把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列， 师：分类，分步的解决问题的区别？ 生：应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制 师分析：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分 复习巩固，为引出排列的概念做准备
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：
小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学二年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
小学数学教案 文讯教育教学设计二年级数学上册《简单的排列和组合》教学案例分析 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学二年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 案例背景： 本课内容是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书数学二年级上册p99数学广角例1简单的排列与组合。“数学广角”是义务教育课程标准实验教科书从二年级上册开始新增设的一个单元，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法应用得很广泛，是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。 教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，而简单的排列组合对二年级学生来说都早有不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，根据学生的年龄特点处理了教材。整堂课坚持从低年级儿童的实际与认知出发，以“感受生 第2页共6页
组合数学课后标准答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
《排列、组合》练习 一、选择题： 1、由0、1、 2、3组成无重复数字的四位数，其中0不在十位的有（ ） A ．A A 3 31 3 B ．A A 3 31 2 C ．A A -3 34 4 D ．A A A -2 22 32 2 2、8人排成一排，其中A 、B 、C 三人不在排头且要互相隔开，则不同排法的种类为（ ） A ．A 8 8 B ．A A 3 35 5 C ．A A 3 55 5 D ．A A 3 65 5 3、集合}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=A ，每次取五个元素，按由小到大顺序排列，这样的排列共有（ ） A ．A 5 9个 B ． A 5921个 C ．C 5 9 个 D ．C 59 21个 4、4名职校生选报三个单位实习，每人选报一个单位，则不同的选报种类有（ ） A ．43种 B ．34种 C ．A 34种 D ．C 3 4种 5、有1元、2元、5元、10元的人民币各一张，取其中的一张或几张，最多可组成不同币值（ ） A ．10种 B ．14种 C ．15种 D ．30种 6、满足},,,,,{},{65432121a a a a a a A a a ??的集合A 的个数有（ ） A ．4 B ．15 C ．16 D ．32 7、从1，2，3，…，9这九个自然数中任取3个数组成有序数组),,(c b a ，且c b a >>，则不同的数组有（ ） A ．84组 B ．21组 C ．28组 D ．343组 8、某小组有4名男生，3名女生，现在组成一个由男生、女生参加且男生数目为偶数，女生数目为奇数的小组，则组成方法共有（ ） A ．18种 B ．324种 C ．28种 D ．36种 9、从0、1、2、3、4中取出四个数字组成无重复数字的四位数，其中个位数字小于百位数字的四位数有（ ） A ．48个 B ．54个 C ．96个 D ．120个 10、从字母a 、b 、c 、d 、e 、f 中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且a 、b 必须相邻（a 在b 的前面），这样的排列方法有（ ） A ．36种 B ．72种 C ．90种 D ．144种 二、填空题： 1、一架天平有4个不同的砝码，它们的重量分别是1，2，4，8克，用这些砝码可以称出__________种不同的重量物品。 2、在一个平面内有两组平行线4321||||||l l l l 和54321||||||||m m m m m 分别相交，共构
李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3
第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17
小学二年级数学上册《数学广角》 一、说教材 （一）说教学内容： 人教版小学数学二年级上册第八单元数学广角第一课时简单的排列与组合。这节课内容是在学生已经接触了一点排列与组合知识的基础上继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。《标准》中指出“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入”。所以，这节课内容重在向学生渗透数学思想，并逐步培养学生有顺序地、全面的思考问题的意识。 （二）说教学目标： 1、通过观察、比较，找出最简单数的排列和组合的规律。 2、经历探索找规律的过程。 3、感受数学与生活的紧密联系，培养学生学习数学的兴趣和用数学方法解决问题的意识。 （三）说教学重难点 重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。 难点：做到既不重复，也不遗漏。 （四）说教学准备 教具准备：乒乓球、纸箱、每组三张“1、2、3”数字卡片、人民币5角一张、1角5张、2角两张。 二、说教法和学法 动手实践、小组合作、自主探究 三、说教学流程 （一）、激趣定标 师：今天很高兴和这么多可爱的同学们一起学习新知识，除了和大家学习知识外，我还特别想和同学们成为好朋友，你们愿意吗？ 师：来握握手，成朋友。（教师随机握手） 师：如果老师要和全班同学都握手成为朋友的话，一共要握几次手？为什么？
师：那样的话，你们对刚才握手的顺序有什么看法呀？（引导：有顺序的握） 生：像老师那样握手，容易遗漏或重复。（教师有序的握手） 师：现在呢？你有什么发现？（有序的握手能做到不重复、不遗漏）不重复、不遗漏也是一种很重要的数学思想，这节课我们要学习的排列和组合中就会用上它。带着这种思想让我们一起来做游戏好不好？（板书课题：排列与组合） 定标：口述目标：这节课我们要掌握“通过观察、比较等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。” （二）、自学互动、适时点拨。 1、排数： 活动一： 师:有一天乐乐的好朋友来到他家。他们在一起快乐的玩数学排数游戏，他们玩得可高兴了。你知道他们在玩什么游戏吗？（用1、2这两个数字可以组成几个两位数？） 提问：①同学们，你们会玩吗？用1、2可以排成几个两位数？ ②你是怎么排的？能说一说你排数的方法吗？ ③小结：用1和2组成一个数，再交换这2个数字之间的位置就可以组成新的两位数。 乐乐说：如果再增加一个数字3，从这三个数字中，选其中的两个数字组成的两位数，你还会排吗？ 活动二： 提问：①你能排成多少个两位数？把你们排出的数记录在纸上。 ②你是怎么排的？能说一说你排数的方法吗？ ③小结排列方法：第一种：先取两个数字组成一个数，再交换这两个数字之间的位置就可以组成新的两位数，依次取数排列。第二种：先固定这个数的十位或个位，再用这个数与另外的一个数分别组合在一起，就得到一个新的两位数，这种方法又快又准，不容易重复，也不容易漏掉。 2、握手 同学们，你们也是一群善于动脑的好孩子。来，咱们握握手，祝贺祝贺！加油！
2020届中职数学第十部分《排列组合二项式定理》单元检测 (满分100分,时间：90分钟) 一.选择题(3分*10=30分) 1.3名女生和4名男生中选一人主持班会，则不同的选法和数为() A.3 B.6 C.7 D.8 2.A、B、C、D、E五人排成一排，其中A正好在中间的概率为() A.1 5B.1 4 C.1 2 D.1 10 3.二项式(1+x)16展开式中系数最大的项是() A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 4.二项式(1+2x)5展开式中的第三项系数为（） A.10 B.20 C.40 D.80 5.二项式(x-2)6展开式中的第4项为（） A.160x3 B.-160x3 C.240x2 D.-240x2 6.(x+1)6展开式中的常数项为（） x A.-20 B.-15 C.20 D.15 7.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门,一位同学从中共选择3门课程，要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有() A.30种 B.35种 C.42种 D.48种 8.若(x-1)4=a+a x+a x2+a x3+a x4，则a+a+a的值为（） 01234024 A.9 B.8 C.7 D.6
A 3 4 9.从 6 名男生和 4 名女生中选出 3 名男生和 2 名女生承担 5 种不同的职务，不 同的分配方案有( )种 A. C 3C 2 A 5 B. A 3 A 2 C. C 3C 2 D. (C 3 + C 2 ) A 5 6 4 5 6 4 6 4 6 4 5 10.12 名同学分别到 3 个不同的路口进行汽车流量调查，若每个路口 4 人，同 不同的分配方案共有( ) A. C 4 C 4 A 3 种 12 8 3 B. C 4 C 4C 4 种 C. A 4 A 4 A 4 种 D. C 12C 84C 4 种 12 8 4 12 8 4 3 二.填空题(4 分*8=32 分) 11.把 4 名工人分配到 3 个车间去劳动，共有 种不同的分配方案 12.口袋中有大小相同的 7 个白球和 5 个红球，从中任意摸出 2 个球，则两球全 是白球的情况有 种 13.5 个男生，4 个女生中任意选 2 个，则至少有一个女生的概率是________ 14.二项式 (2 - 2 x )5 展开式中的第 4 项为____________ 15.用 0，1，2，3 四个数字可以组成 个没有重复数字的三位数. 16.4 名男生 4 名女生排成一排，女生不排在两端有______种不同的排法 17.在 (1+ x)n 的展开式中，若第 3 项与第 6 项的系数相等，则 n=________ 18.若 ( x - a )9 的展开式中 x 3 的系数是-84，则 a= _______ x 三.解答题(共 6 题,共计 38 分) 19.求 (1- x 2 )(1+ x)6 展开式中， x 5 的系数。(6 分)
习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
2.2任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整 数倍。 证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有 两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通 过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学中的概率论方法 概率方法的背景和出发点— 当今科学的发展表明：概率方法是组合数学中最强大和应用广泛的数学工具。导致它迅速发展的一个主要原因在于理论计算机科学与统计物理学中重要研究对象的随机性。 概率方法的基本出发点可以描述如下： 为了证明具有某一个组合结构性质的存在性，人们需要构造一个概率空间并且用它证明：在这个空间中随机选取的一个具有此组合性质的元素的概率值为正。 历史上最早运用这个方法的是伟大的数学家P.Erdos ！在过去的五十多年里面他对于这门学问的贡献是如此之大，以至于人们称之为“P.Erdos 方法”。他在这个邻域里面的众多深邃的研究结果不但多如天上的繁星，更因为许多著名的公开问题和猜想而成为这门学科蓬勃发展的发动机。 这个讲义不可能完全介绍这门学科的全貌，它主要是介绍概率方法在组合数学邻域中的运用,尤其强调通过典型例子的形式来介绍这一方法。 知识背景： 概率是描述事件发生可能性大小的数量指标，它是逐步形成可发展完善起来的。最初人们讨论的是古典概型（随机）试验中事件发生的概率。所谓古典概型试验是指样本空间中的点的样本点的个数是有限的且每一个样本点（组成事件）发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可加性。例如：掷一枚均匀骰子的试验与从一个装有n 个相同（编了号）的求中随机模一个球的试验都是古典概型试验。对于古典概型试验，人们给出概率的如下定义： 定义1.设试验E 是古典概型的，其样本空间Ω由n 个样本点组成，其中一事件A 由r 个样本点组成，则定义事件A 的概率为 n r ，记为 n r A A P =Ω= 中样本点数目中样本点数目)( 古典概率有下面几个基本性质： （1） 对于任意一个事件A ，有;1)(0≤≤A P （2） .1)(=ΩP （3） 设m A A A ,...,,21为互斥的m 个事件，则有 ∑===m i i m i i A P A P 1 1 )()( 注意：在实际应用当中，古典概型受到限制！因为他只用于有限概率空间。而对于无限的情形，则要用到一点定义：
人教版二年级数学上册 《简单的排列》 一、教学目标 （一）知识与技能 让学生在操作、观察、猜测等活动中了解并发现最简单事物的排列数的基本思路和解决方法，培养学生有序、全面地思考问题的意识，初步体会排列的思想方法。 在发现最简单事物的排列数的过程中，培养学生初步的观察、分析、推理能力，以及恰当地进行数学表达的能力。 （三）情感态度和价值观 使学生初步感受排列的思想方法在日常生活中的应用，初步感受数学与生活的密切联系。 二、目标解析 创设情境，让学生在动手操作中探究排列问题的解决方法，在操作探究中引导学生有序、全面地思考问题，在解法交流中体会解法多样化，在巩固提高中体会到数学和生活的密切联系，同时帮助学生感悟数学思想。 三、教学重难点 教学重点：经历探索最简单事物的排列的过程，并掌握其解决方法。 教学难点：体会排列的思想方法。 四、教学准备课件、数字卡片等 五、教学过程 （一）创设情境，引发探究 1．猜一猜一个密码箱的密码是由1、2两个数字组成的两位数，猜一猜：密码箱的密码可能是多少？ 2．做一做 （1）小组内动手操作，用数字卡片来摆一摆，然后小组内交流，重点交流：找出密码的方法（交换数字的位置）。 （2）补充条件，找出密码。 ①补充条件：个位上的数字比十位上的数字大。 ②根据补充的条件，找出密码，密码箱的秘码是12。 3．揭示课题 像上面找密码的问题，实际上就是我们数学上的排列问题，今天这节课我们就来学习──简单的排列。 【设计意图】让学生在“找密码”的活动中初步感知排列问题，初步掌握组数的方法，培养学生全面思考问题的意识，拓展学生的思维。并放手让学生动手摆卡片，既增强学生的动手能力，又为新知的建构提供直观的表象。 （二）动手操作、探究新知 1．摆数游戏，初步感知 （1）呈现问题，引导探究。 ①课件出示第97页的例1。用1、2和3组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？ ②小组内交流解决问题的方法。 （2）动手操作，交流排法。 ①学生动手摆卡片，尝试解答，组内交流摆法。
《组合》精品教案 教学内容 组合。(教材第98页) 教学目标 1. 使学生通过观察、操作、猜测等数学活动,找出简单事物的组合数。 2. 培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3. 使学生感受数学在现实生活中的应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题。重点难点 重点:经历探索简单事物组合规律的过程。 难点:初步理解简单事物排列与组合的不同。 教具学具 课件、数字卡片。 教学过程 问题情境 师:同学们,老师要带你们去一个非常有趣的地方——“数学广角”,你们想去吗?要想进入“数学广角”,首先要买门票。票价是每人5角,老师为每位同学准备了1张5角、2张2角、5张1角的人民币,你知道有几种付钱方法吗? 学生汇报5角钱的付法。 师:买好了门票,我们可以顺利进入“数学广角”了。 【设计意图:根据低年级学生的年龄特点,创设游玩情境,激发学生的学习兴趣。课始,将“做一做”中的“买5角钱拼音本”改为“买票价5角的门票”,利用学生已有的知识经验,让学生初步感知5角钱的几种不同组合方式】 自主探究 1.师:大家在“数学广角”里这么快就学会了一项新本领,老师提议每组的3位同学每两个人握一次手,互相加油,争取在下面的活动中有更精彩的表现。 (1)猜一猜:3人中每两个人握一次手,一共握几次? (2)各小组3个同学互相握一握,验证猜想。 (3)指名演示,感受方法。
(4)小结:3个人握手时,可以先确定一个人和另外两个人分别握一次,剩下的两个人再互相握一次,一共握3次。 【设计意图:让小组3人互相握手,亲身体验组合,有助于学生在接下来的学习中理解排列与组合的不同】 师:上节课我们用1、2、3三个数字能组成6个两位数,而3个同学每两个人握一次手,只握了3次,这是为什么呢? 学生小组讨论后汇报交流。 生:排数时两个不同的数字交换位置可以组成一个新的两位数,而握手时两人交换位置还是他们两个人。 师:排数时要考虑数字的排列顺序,而两个人相互握手与顺序无关。 2.师:同学们用1、2、3组数有6种可能,那么我们再来看这组数字。(出示教材第98页例2) 小组讨论。集体汇报交流。 生1:5+7=12,5+9=14,7+9=16,7+5=12,9+5=14,9+7=16。而5+7=12与7+5=12、5+9=14与9+5=14、7+9=16与9+7=16的结果一样,所以得数有3种可能。 生2:我们用的填表法。(课件出示表格) 生3:有3种可能。因为两个数的和与顺序没有关系。 【设计意图:初步感受排列与组合的不同是本节课的难点。引导学生对排数个数和握手次数进行比较,引发讨论,让学生在比较中明白排列与顺序有关,组合与顺序无关。通过小组讨论,集体交流,集思广益得出两个数的和与顺序没有关系,从而得出排列与顺序有关,组合与顺序无关】 总结提升 师:今天,同学们和老师一起游玩“数学广角”,你们玩得开心吗?除了开心之外,你们还有什么收获呢? 师:几个物体摆在一起,有时要讲究排列的位置,如摆数,位置不同,数的大小就不同。有时却不需要讲究排列的位置,只要组合在一起就可以了。如握手、搭配事物、凑钱等。希望同学们遇到问题时要认真思考,做出准确判断。 【设计意图:师生总结既调动了学生的学习积极性,又给新知识理清了思路,有利于学生建构新知】
2019届中职对口升学考试数学考点 知识点完美总结汇编 目录 第一章集合 (1) 第二章不等式 (3) 第三章函数 (7) 第四章指数函数与对数函数 (10) 第五章三角函数（含三角计算及应用） (14) 第六章数列 (20) 第七章向量 (21) 第八章解析几何（直线、圆的方程及圆锥曲线） (23) 第九章立体几何 (27) 第十章排列组合二项式定理(拓展模块) (32) 第十一章概率、统计 (33) 第十二章逻辑代数与数据表格（职业模块） (34) 中等职业学校毕业生对口升学考试数学考试大纲 (35) 中等职业学校毕业生对口升学数学考试说明 (39)
第一章 集合 1.1元素与集合的关系：∈、?； 1.2 集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性 1.3常用数集 R(实数集)、Q(有理数集)、Z(整数集)、N(自然数集)、N + (N*)正整数集 1.4 集合的表示法 ①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ②描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ③图示法：用韦恩图来表示集合. 1.5集合的分类 ①有限集.②无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，记作φ 1.6集合之间的关系(区分∈、?、?、?、≠ ? 、 ≠ ? 、 =）；子集与真子集的区别； 1.7 区分0、｛0｝、φ、}{φ； 1.8 集合的子集个数： 个。真子集个数为个子集个数为个的子集个数为集合12;2;2},,,,{321-?????n n n n a a a a 个。有关系的集合满足m n n m A a a a a A a a a a -????????2},,,,{},,,,{321321
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5， 由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对 所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。 1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若 (a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：(a) 可以考虑插空的方法。 n 个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为 p p n m n n 1+? (b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有)!1(!+?m n 种可能。 (c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2-+?n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！ 1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！ n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)! 所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！=(n+1)!－１ 1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n 除尽。 证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n !)!12(2 !)! 2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n n n n 因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(n n n ++能被2n 除尽。
人教版二年级上册数学教学设计（第8单元数学广角-搭配（一）） 第2课时简单的组合 教学内容 教材第98页例2及“做一做”。 内容简析 例2 紧密结合学生已有知识,让学生从3个数中任取2个求和,确定得数的种类数。两个数相加之和与数的位置无关,是组合问题。其编排层次有2层,第一层次是找出所有满足条件的和,第二层次是数出满足条件的和的个数。 教学目标 1.让学生在摆一摆、写一写、画一画等活动中了解并发现最简单事物的组合数的基本思路和解决方法,培养学生有序、全面地思考问题的意识,初步体会组合的思想方法。 2.在发现最简单事物的组合数的过程中,培养学生初步的观察、分析、推理能力,以及恰当地进行数学表达的能力。 3.在排列问题和组合问题的对比中,感悟两类问题的联系与区别,进一步体会解决问题的策略与方法。 4.使学生初步感受组合的思想方法在日常生活中的应用,初步感受数学与生活的密切联系。 教学重难点 经历探索最简单事物的组合过程,并掌握其解决方法。 教法与学法 1.基于学生已有的排列问题的解题策略和方法,让学生在操作中探究组合问题的解决方法,引导学生有序、全面地思考问题,在解法交流的过程中体会解法多样化,同时能比较出排列问题和组合问题的相同点和不同点。 2.通过操作、观察、猜测等活动,使学生了解发现最简单事物的排列数和组合数的基本思路、基本方法。 承前启后链 复习:最简单事物学习:探索最简单事延学:发现图形排
教学过程 一、情景创设,导入课题 复习导入: 1.复习“排列”。 师:用数字卡片1、2能摆出几个不同的两位数? 生:能摆出两个不同的两位数:12和21。 2.引出“组合”。 师:如果把这两张数字卡片上的数字相加,和会有几种呢? 学生讨论汇报。 师:因为是求两张卡片的和,调换位置的和都是3,和不会变化,得数只有一种。这种不受位置影响的方式叫“组合”。(板书:组合)今天我们就来研究“简单的组 合”。(把板书补充完整) 【品析 ．．．．．．．．．．．,．并通过两张 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．调动学生已有的知识经验 ．．．:．让学生回顾解决排列问题的策略和方法 数字卡片求和引出“组合” ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．突出强调“组合”与“排列”的不同点 ．．．．．．．．．．．．．．．．．:．不受位置影响。】谈话导入: 同学们,在前面的学习中,我们发现平时的吃饭、穿衣、走路中都蕴含着搭配、排列等数学问题。通过有序思考,我们将它们一一解决了。今天我们继续走进数学广角,探索简单的组合知识。(板书:简单的组合) 【品析 ．．．．．．．．．．,．鼓励学生以积极的态度投入新课的学习。】 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．:．通过谈话激发学生兴趣 情景导入: 1.师:今天这节课,数学广角里的数学小精灵来了,她今天将带领我们在数学广角里学习、游戏。你们高兴吗?(高兴) 师:不过,要进“数学广角”必须得买门票,儿童票5元一张。如果你能用1张5元、2 张2元、5张1元的钱币说出5元钱的几种不同的付法,就可以免费到数学广角去玩。 2.学生小组合作:展示学生的不同付法。 …… 师:真了不起!想出了这么多种付钱方法,有重复或遗漏的吗?真棒,全员免费进入