信号处理中基于MUSIC算法的空间谱估计

经典功率谱和Burg法的功率谱估计

现代信号处理作业 实验题目： 设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ，其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量，v(n)是单位高斯白噪声。 1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。数据窗采用汉明窗。 2.利用BT 法对序列进行功率谱估计，自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。 3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计，50%重叠，采用汉明窗，L=256,128,64。 4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计，阶数分别为10，13. 要求每个实验都取1024个点，fft 作为谱估计，取50个样本序列的算术平均，画出平均的功率谱图。 实验原理： 1）。周期图法： 又称间接法，它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换，得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方，再除以N ，作为对x （n ）真实功率谱的估计。 2^ )(1)(jw e X N w P N per = ， 其中∑-=-=1 )()(N n jwn N jw N e n x e X 2）。BT 法： 对于N 个观察值x(0),x(1),。。。,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。计算r x （m ）为

∑--=-≤+= m N n N N x N m m n x n x N m r 10 1),()(1 )(,计算其傅里叶变换 ∑-=--≤= M M m jwm x BT N M e m r m v w P 1 ,)()()(^ ^ ，作为观察值的功率谱的估计。 其中v(m)是平滑窗。 3)。Welch 法： 假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1，现将其分段，每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M 其中K 为一整数，L 为分段数，该数据段的周期图为 2)(1)(^w X MU w P i M i per =，其中∑-=-=1 0)()(M n j w n i M i M e n x w X 。由此得到平均周期图为 ∑-==10 ^_ )(1)(L i i per w P L w P 。其中归一化U 取∑-== 10 2 )(1M n n a M U 。 4）。Burg 法： 在约束条件下，使得)(2 1^^^ b f ρρρ+=极小化，其中，约束条件是它所得到的 各阶模型解要求满足Levison 递归关系。 仿真结果： 1.周期图法

功率谱估计方法的比较

功率谱估计方法的比较 摘要： 本文归纳了信号处理中关键的一种分析方法, 即谱估计方法。概述了频谱估计中的周期图法、修正的协方差法和伯格递推法的原理，并且对此三种方法通过仿真做出了对比。 关键词：功率谱估计；AR 模型；参数 引言： 谱估计是指用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的谱。由于谱中包含了信号的很多频率信息，所以分析谱、对谱进行估计是信号处理的重要容。谱估计技术发展 渊源很长，它的应用领域十分广泛，遍及雷达、声纳、通信、地质勘探、天文、生物医学工程等众多领域，其容、方法都在不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。谱估计的理论和方法是伴随着随机信号统计量及其谱的发展而发展起来的，最早的谱估计方法是建 立在基于二阶统计量, 即自相关函数的功率谱估计的方法上。功率谱估计的方法经历了经典谱估计法和现代谱估计法两个研究历程，在过去及现在相当长一段时间里，功率谱估计一直占据着谱估计理论里的核心位置。经典谱估计也成为线性谱估计，包括BT 法、周期图法。现代谱估计法也称为非线性普估计，包括自相关法、修正的协方差法、伯格（Burg ）递推法、特征分解法等等。 原理： 经典谱估计方法计算简单，其主要特点是谱估计与任何模型参数无关，是一类非参数化的方法。它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据的观测区间以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下，经典法的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。现代谱估计方法使用参数化的模型，他们统称为参数化功率谱估计，由于这类方法能够给出比经典法高得多的频率分辨率，故又称为高分辨率方法。下面分别介绍周期图法、修正的协方差法和伯格递推法。修正的协方差法和伯格递推法采用的模型均为AR 模型。 （1）周期图法 周期图法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换得到功率谱。假设随机信号x(n)只观测到一段样本数据，n=0, 1, 2, …, N-1。根据这一段样本数据估计自相关函数，如公式（1） 对（1）式进行傅里叶变换得到（2）式。 ∑--=+=1||0 *) ()(1 )(?m N n xx m n x n x N m r

经典功率谱估计方法实现问题的研究

1 随机信号的经典谱估计方法 估计功率谱密度的平滑周期图是一种计算简单的经典方法。它的主要特点是与任 何模型参数无关，是一类非参数化方法[4]。它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下，周期图的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。本章主要介绍了周期图法、相关法谱估计（BT ）、巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法和Welch 法这四种方法。 2.1 周期图法 周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取N 长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱)(jw x e S 的估计)(jw x e S 的抽样. 周期图这一概念早在1899年就提出了，但由于点数Ｎ一般比较大，该方法的计算量过大而在当时无法使用。只是1965年FFT 出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。周期图法[5]包含了下列两条假设： 1．认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段 )(n x N 来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。 2．由于对)(n x N 采用DFT ，就默认)(n x N 在时域是周期的，以及)(k x N 在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段)(n x N 的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。与相关法相比，相关法在求相关函数)(m R x 时将 )(n x N 以外是数据全都看成零，因此相关法认为除)(n x N 外 x(n)是全零序列，这种处 理方法显然与周期图法不一样。 但是，当相关法被引入基于FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。通过比较我们发现：如果相关法中M=N ，不加延迟窗，那么就和补充（N-1）个零的周期图法一样了。简单地可以这样说：周期图法是M=N 时相关法的特例。因此相关法和周期图法可结合使用。 2.2 相关法谱估计（BT ）法

现代数字信号处理复习题

现代数字信号处理复习题 一、填空题 1、平稳随机信号是指：概率分布不随时间推移而变化的随机信号，也就是说，平稳随机信号的统计特性与起始 时间无关，只与时间间隔有关。 判断随机信号是否广义平稳的三个条件是： （1）x(t)的均值为与时间无关的常数：C t m x =)( （C 为常数） ； （2）x(t)的自相关函数与起始时间无关，即：)(),(),(ττx i i x j i x R t t R t t R =+=； （3）信号的瞬时功率有限，即：∞<=)0(x x R D 。 高斯白噪声信号是指：噪声的概率密度函数满足正态分布统计特性，同时其功率谱密度函数是常数的一类噪 声信号。 信号的遍历性是指：从随机过程中得到的任一样本函数,好象经历了随机过程的所有可能状态,因此,用一个 样本函数的时间平均就可以代替它的集合平均 。 广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： ，其时间自相关函数的定义为： 。 2、连续随机信号f(t)在区间上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 离散随机信号f(n)在区间 上的能量E 定义为： 其功率P 定义为： 注意:(1)如果信号的能量0

现代信号处理方法1-3

1.3 时频分布及其性质 1.3.1 单分量信号与多分量信号 从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2），图中所示的是信号)()()(t j e t A t s ?=的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果)(t z 是信号)(cos )()(t t a t s φ=的解析信号，)(f Z 是)(t z 对应的频谱， 图1.2.2 单分量信号时－频表示及其特征 则其瞬时频率定义如下： )]([arg 21)(t z dt d t f i π= （1.2.1） 与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下： )]([arg 21)(f Z dt d f g πτ= （1.2.2） 而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时 频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。 图1.2.3 多分量信号时－频表示及特征

1.3.2 时－频分布定义 Fourier 变换的另一种形式 ?∞ ∞ --=dt e t s f S ft j π2)()( ?∞ ∞ -=df e f S t s tf j π2)()( Cohen 指出，尽管信号)(t z 的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现 在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做Cohen 类时－频分布，连续时间信号)(t z （)(t z 为连续时间信号)(t s 的解析信号）的Cohen 类时－频分布定义为 ττφτττπdudvd e v u z u z f t P vu f vt j ) (2*),()2 1()21(),(-+-∞ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ --+=?? ? （1.3.1） 式中),(v τφ称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延τ和频偏v 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为 ττφττπdvd e v v A f t P f vt j z )(2),(),(),(+-∞ ∞ -∞ ∞ -? ? = （1.3.2） 式中),(v A z τ是双线性变换（双时间信号）)2 ()2(),(*τ τ τ-+ =t z t z t k z 关于时间t 作 Fourier 反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即 dt e t z t z v A tv j z πτ ττ2*)2 ()2(),(-+=?∞ ∞- （1.3.3） 因为Cohen 类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维Fourier 变换，所以Cohen 类 时－频分布又称为广义双线性时－频分布。 两个连续信号)(t x ，)(t y 的互时－频分布定义为： ???∞ ∞-∞ ∞--+-∞ ∞ --+= ττφτττπdudvd e v u y u x f t P vu f vt j xy ) (2*),()2 1()21(),( ? ? ∞ ∞-∞ ∞ -+-=dv d e v v A f tv j xy ττφττπ)(2),(),( （1.3.4） 式中 du e u y u x v A vu j xy πτ ττ2*)2 ()2(),(?∞ ∞--+= （1.3.5） 是)(t x 和)(t y 的互模函数。

现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

81 为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。 图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD 例3.3.5 令 ()21 4 2 t x t e ααπ-??= ??? （3.3.5） 可求出其WVD 为 ()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω （3.3.6） 这是一个二维的高斯函数，，且()Ω,t W x 是恒正的，如图3.3.5所示。 由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在()()0,0,=Ωt 处，峰值为2。参数α控制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。α越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD 的等高线为一椭圆。当WVD 由峰值降到1 -e 时，该椭圆的面积π=A 。它反映了时－频平面上的分辨率。 如果令 ()21 42t h t e ααπ-??= ???，()214 2 t x t e ββπ-??= ??? ，则()t x 的谱图 ()?? ????Ω+-+-+=Ω222 1exp 2,βαβααββααβ t t STFT x （3.3.7）

82 图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD 它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到1 -e 时，椭圆面积π2=A 。这一结果说明，WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。 如果令 ()()t j e t t x t x 001Ω-= （3.3.8） 式中()t x 是（3.3.5）式的高斯函数。()t x 1是()t x 的时移加调制，其WVD 是： ()12 2 00,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω （3.3.9） 它将（3.3.6）式的()Ω,t W x 由()()0,0,=Ωt 移至()()00,,Ω=Ωt t 处。其WVD 图形请读者自己画出。 例3.3.6 令 ()2201 4 22j t t j t z t e e e αβαπΩ-??= ??? （3.3.10） 它是由（3.3.5）式的()t x 与

功率谱估计

功率谱估计及其MATLAB仿真 詹红艳 （201121070630控制理论与控制工程） 摘要:从介绍功率谱的估计原理入手分析了经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法。 关键词:功率谱估计;周期图法;AR参数法;Matlab Power Spectrum Density Estimation and the simulation in Matlab Zhan Hongyan （201121070630Control theory and control engineering） Abstract:Mainly introduces the principles of classical PSD estimation and modern PSD estimation,discusses the characteristics of the methods of realization in Matlab.Moreover,It gives an example of each part in realization using Matlab functions. Keywords:PSDPstimation,Periodogram method,AR Parameter method,Matlab 1引言 现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。它是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。 功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作用。 Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,人称矩 阵实验室,它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境,成为目前极为流行的工程数学分析软件。也为数字信号处理进行理论学习、工程设计分析提供了相当便捷的途径。本文的仿真实验中,全部在Matlab6.5环境下调试通过;随机序列由频率不同的正弦信号加高斯白噪声组成。 2经典功率谱估计 经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗。经典功率谱估计方法分为:相关函数法(BT法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法即平均周期图法和平滑平均周期图法,其中周期图法应用较多,具有代表性。 1.1相关函数法(BT法) 该方法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n),然后对R(n)进行傅立叶变换,便得到x(n)的功率谱估计。当延迟与数据长度相比很小时,可以有良好的估计精度。 Matlab代码示例1: Fs=500;%采样频率 n=0:1/Fs:1;

利用经典谱估计法估计信号的功率谱(随机信号)

随机信号 利用经典谱估计法估计信号的功率谱

作业综述： 给出一段信号“asd.wav”,利用经典谱估计法的原理，通过不同的谱估计方法，求出信号的功率谱密度函数。采用MATLAB语言，利用MATLAB语言强大的数据处理和数据可视化能力，通过GUI的对话框模板，使操作更为简便！在一个GUI界面中，同时呈现出不同方法产生出的功率谱。 这里给出了几种不同的方法：BT法，周期图法，平均法以及Welch法。把几种不同方法所得到的功率谱都呈现在一个界面中，便于对几种不同方法得到的功率谱作对比。 一．题目要求 给出一段信号及采样率，利用经典谱估计法估计出信号的功率谱。 二．基本原理及方法 经典谱估计的方法，实质上依赖于传统的傅里叶变换法。它是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有BT法，周期图法，平均法以及Welch法。 1. BT法(Blackman-Tukey) ●理论基础： (1)随机序列的维纳-辛钦定理 由于随机序列{X(n)}的自相关函数Rx(m)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m上，设取样间隔为，则可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为 等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密度 (2)谱估计 BT法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值。即 其中可有式得到。 2. 周期图法 ●理论基础： 周期图法是根据各态历经随机过程功率谱的定义来进行谱估计的。在前面我们已知，各态历经的连续随机过程的功率谱密度满足

式中 是连续随机过程第i 个样本的截取函数 的频谱。对应在随机序列中则有 由于随机序列中观测数据 仅在 的点上存在，则 的N 点离散傅里叶变换为： 因此有随机信号的观测数据 的功率谱估计值（称“周期图”）如下： 由于上式中的离散傅里叶变换可以用快速傅里叶变换计算，因此就可以估计出功率 谱。 3.平均法： 理论基础： 平均法可视为周期图法的改进。周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的，有一个定理：如果 ， ， ， 是不相关的随机变量，且都有个均值 及其方差 ，则可以证明它们的算术平均的均值为 ，方差为 。 由定理可见：具有 个独立同分布随机变量平均的方差，是单个随机变量方差的 ， 当 时，方差 ，可以达到一致估计的目的。因此，将 个独立的估计量经过算术 平均后得到的估计量的方差也是原估计量方差的 。 平均图法即是将数据 ， ， 分段求周期图法后再平均。例如，给定N=1000个数据样本（平均法适用于数据量大的场合），则可以将它分成10个长度为100的小段，分别计算每一段的周期图 ()()2 1001100,100(1) 1 ,1,2,```,10100 l j l n l G w X e l ω-=-= =∑ 然后将这10个周期图加以平均得谱估计值： ()() 10 100100,1 110l l G w G w ==∑ 由于这10小段的周期图取决于同一个过程，因而其均值相同。若这10个小段的周期图是统计独立的，则这10个小段平均之后的方差却是单段方差的 。

(完整版)功率谱估计性能分析及Matlab仿真

功率谱估计性能分析及Matlab 仿真 1 引言 随机信号在时域上是无限长的，在测量样本上也是无穷多的，因此随机信号的能量是无限的，应该用功率信号来描述。然而，功率信号不满足傅里叶变换的狄里克雷绝对可积的条件，因此严格意义上随机信号的傅里叶变换是不存在的。因此，要实现随机信号的频域分析，不能简单从频谱的概念出发进行研究，而是功率谱[1]。 信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。谱估计方法分为两大类：经典谱估计和现代谱估计。经典功率谱估计如周期图法、自相关法等，其主要缺陷是描述功率谱波动的数字特征方差性能较差，频率分辨率低。方差性能差的原因是无法获得按功率谱密度定义中求均值和求极限的运算[2]。分辨率低的原因是在周期图法中，假定延迟窗以外的自相关函数全为0。这是不符合实际情况的，因而产生了较差的频率分辨率。而现代谱估计的目标都是旨在改善谱估计的分辨率，如自相关法和Burg 法等。 2 经典功率谱估计 经典功率谱估计是截取较长的数据链中的一段作为工作区，而工作区之外的数据假设为0，这样就相当将数据加一窗函数，根据截取的N 个样本数据估计出其功率谱[1]。 周期图法( Periodogram ) Schuster 首先提出周期图法。周期图法是根据各态历经的随机过程功率谱的定义进行的谱估计。 取平稳随机信号()x n 的有限个观察值(0),(1),...,(1)x x x n -，求出其傅里叶变换 1 ()()N j j n N n X e x n e ω ω---==∑ 然后进行谱估计

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320 第11章 正交小波构造 我们在上一章中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。所谓“正交小波”，指的 是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。 Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。 11.1 正交小波概述 现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。 1.Haar 小波 我们在10.1节中已给出Haar 小波的定义及其波形，见图10.1.1(d)，Haar 小波的尺度函数 )(t φ如图10.1.1(a)所示。重写其定义，即 ??? ??-=011 )(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (11.1.1) ? ??=01 )(t φ 其它10<≤t (11.1.2) 显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(' 'k k k t k t -=--δψψ，即它们

321 是正交的。同理， )()(),(',,' k k t t k j k j -=δψψ。 很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是 4 /4 /sin )(22 /ωωωωj je -=ψ 2 /2 /sin )(2 /ωωωωj e -=Φ 注意式中ω实际上应为Ω。由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好的定位功能。但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。 上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是： ??????=21,21)(0n h ，??????-=21,2 1 )(1 n h (11.1.5) 它们是最简单的两系数滤波器。 2.Shannon 小波 令 t t t ππφsin )(= (11.1.6) 则 ?? ?=Φ01)(ω 其它π ω≤ (11.1.7) 由于 ?ΦΦ= --ωωωπ φφd k t k t k k )()(21 )(),(',0*,0' )(21')(' k k d e k k j -==? ---δωπ π π ω (11.1.8) 所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。 由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此 ???=Φ-0 1 )(,1ωk 其它πω2≤ (11.1.9) 这样，对0)(W t ∈ψ，有

现代数字信号处理习题

1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。 证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为 ()001,w -w w 0, w -w w H w ???? 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w = 输出随机过程()y n 的平均功率为()()()00201 1r 022w w y y w w S w dw S w dw π π π+?-?= =?? 当频率宽度w 0???→时，上式可表示为()()()01 r 00y S w w π =?≥ 由于频率0w 是任意的，所以有()w 0 S ≥ 3、已知：状态方程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测方程 )()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H =νν 滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ } )]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --= 请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。 解：步骤1 状态一步预测，即 1 *11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ ξξ 步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即 1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n z n z n ∈-=-=--ξξα 步骤3 一步预测误差自相关矩阵 N N H H C n n n Q n n n n F n P n n F n n P *1)1,()1()1,() 1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=- 步骤4 新息过程自相关矩阵M M H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益M N H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或 )()()()(1 2n Q n C n P n K H -= 步骤6 状态估计 1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x ∈+=-αξξ 步骤7 状态估计自相关矩阵 N N C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或 )()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P H H +---= 步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法：

2012《现代数字信号处理》课程复习...

“现代数字信号处理”复习思考题 变换 1.给出DFT的定义和主要性质。 2.DTFT与DFT之间有什么关系？ 3.写出FT、DTFT、DFT的数学表达式。 离散时间系统分析 1.说明IIR滤波器的直接型、级联型和并联型结构的主要特点。 2.全通数字滤波器、最小相位滤波器有何特点？ 3.线性相位FIR滤波器的h(n)应满足什么条件？其幅度特性如何？ 4.简述FIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 5.简述IIR离散时间系统的Lattice结构的特点。 采样 1．抽取过程为什么要先进行滤波，此滤波器应逼近什么样的指标？ 维纳滤波 1．画出Wiener滤波器结构，写出平稳信号下的滤波方程，导出Wiener-Hopf方程。 2．写出最优滤波器的均方误差表示式。 3．试说明最优滤波器满足正交性原理，即输出误差与输入信号正交。 4．试说明Wiener-Hopf方程和Yule-Walker方程的主要区别。 5．试说明随机信号的自相关阵与白噪声的自相关阵的主要区别。 6．维纳滤波理论对信号和系统作了哪些假设和限制？ 自适应信号处理 1．如何确定LMS算法的μ值，μ值与算法收敛的关系如何？ 2．什么是失调量？它与哪些因素有关？ 3．RLS算法如何实现？它与LMS算法有何区别？ 4．什么是遗忘因子，它在RLS算法中有何作用，取值范围是多少？ 5．怎样理解参考信号d(n)在自适应信号处理处理中的作用？既然他是滤波器的期望响应，一般在滤波前是不知道的，那么在实际应用中d(n)是怎样获得的，试举两个应用例子来加以说明。 功率谱估计 1.为什么偏差为零的估计不一定是正确的估计？ 2.什么叫一致估计？它要满足哪些条件？ 3.什么叫维拉－辛钦(Wiener-Khinteche)定理？ 4.功率谱的两种定义。 5.功率谱有哪些重要性质？ 6.平稳随机信号通过线性系统时输入和输出之间的关系。 7.AR模型的正则方程(Yule-Walker方程)的导出。 8.用有限长数据估计自相关函数的估计质量如何？ 9.周期图法谱估计的缺点是什么？为什么会产生这些缺点？ 10.改进的周期图法谱估计有哪些方法？它们的根据是什么？ 11.既然隐含加窗有不利作用，为什么改进周期图法谱估计是还要引用各种窗？ 12.经典谱估计和现代谱估计的主要差别在哪里？ 13.为什么AR模型谱估计应用比较普遍？ 14.对于高斯随机过程最大熵谱估计可归结为什么样的模型？ 15.为什么Levison-Durbin快速算法的反射系数的模小于１？ 16.什么是前向预测？什么是后向预测？ 17.AR模型谱估计自相关法的主要缺点是什么？ 18.Burg算法与Levison-Durbin算法的区别有哪些？

现代信号处理论文(1)

AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真 钱平 （信号与信息处理 S101904010） 一．引言 现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。 现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。 实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 二．AR 模型的构建 假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为 ，现在，我们希望建立AR 模型 的参数和x(n)的自相关函数的关系，也即AR 模型的正则方程(normal equation)。 由 )}()]()({[)}()({)(1 n x m n u k m n x E m n x n x E m p k k x a r ++-+-=+=∑= )()()(1 m k m m r r a r xu x p k k x +--=∑= (1) 由于u(n)是方差为 的白噪声，有 ?? ?=≠=-0 00)}()({2 m m m n x n u E σ （2） 由Z 变换的定义， ，当 时，有h(0)=1。综合（1）及（2）两式， ???????=-≥--=∑∑==0)(1)()(1 2 1 m k m k m m p k x k p k x k x r a r a r σ （3） 在上面的推导中，应用了自相关函数的偶对称性。上式可写成矩阵式：

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1 第1章 信号分析基础 1．1 信号的时－频联合分析 我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是我们本书要讨论的主题——信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。 对一个给定的信号，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它，如)(t x 的函数表达式， 通过傅立叶变换所得到的)(t x 的频谱，即)(Ωj X ，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。显然，时间和频率与我们的日常生活关系最为密切，我们时时可以感受到它们的存在。时间自不必说，对频率，如夕阳西下时多变的彩霞，音乐会上那优美动听的旋律以及在一片寂静中突然冒出的一声刺耳的尖叫等，这些都包含了丰富的频率内容。正因为如此，时间和频率也成了描述信号行为的两个最重要的物理量。 信号是变化着的，变化着的信号构成了我们周围五彩斑斓的世界。此处所说的“变化”，一是指信号的幅度随时间变化，二是指信号的频率内容随时间变化。幅度不变的信号是“直流”信号，而频率内容不变的信号是由单频率信号，或多频率信号所组成的信号，如正弦波、方波、三角波等。不论是“直流”信号还是正弦类信号都只携带着最简单的信息。 给定了信号)(t x 的函数表达式，或x 随t 变化的曲线，我们可以由此得出在任一时刻处 该信号的幅值。如果想要了解该信号的频率成分，即“在××Hz 处频率分量的大小”，则可通过傅立叶变换来实现，即 ?∞ ∞ -Ω-=Ωdt e t x j X t j )()( （1.1.1a ） ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= d e j X t x t j )()(21π （1.1.1b ） 式中f π2=Ω，单位为弧度/秒，将)(Ωj X 表示成) (|)(|ΩΩ?j e j X 的形式，即可得到 |)(|Ωj X 和)(Ω?随Ω变化的曲线，我们分别称之为)(t x 的幅频特性和相频特性。 如果我们想知道在某一个特定时间，如0t ，所对应的频率是多少，或对某一个特点的频

现代信号处理考试题

一、 基本概念填空 1、 统计检测理论是利用 信号 与 噪声 的统计特性等信息来建立最佳判决的数学理论。 2、 主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题 3、 信号估计主要解决的是在受噪声干扰的观测中，信号参量 和 波形 的确定问题。 4、 在二元假设检验中，如果发送端发送为H 1，而检测为H 0，则成为 漏警 ，发送端发送H 0，而检测为H 1，则称为 虚警 。 5、 若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称为 FIR 滤波器 6、 若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为 匹配 滤波器；若使输出滤波器的 均方估计误差 为最小，称为 维纳 滤波器。 7、 在参量估计中，所包含的转换空间有 参量空间 和 观测空间 8、 在小波分析中，小波函数应满足 ∫φφ(tt )ddtt =0+∞?∞ 和 ∫|φφ(tt )|ddtt =1+∞ ?∞ 两个数学条件。 9、 在小波的基本概念中，主要存在 F (w )=∫ff (tt )ee ?ii ii ii ddtt +∞?∞和f(t)=12ππ∫FF (ww )ee ii ii ii ddww +∞?∞ 两个基本方程。(这个不确定答案，个人感觉是) 10、 在谱估计中，有 经典谱估计 和 现代谱估计 组成了完整的谱估计。 11、 如果系统为一个稳定系统，则在Z 变换中，零极点的分布

应在单位圆内，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中， 零极点的分布应在左边平面。 二、问题 1、在信号检测中，在什么条件下，使用贝叶斯准则，什么条 件下使用极大极小准则？什么条件下使用Neyman-Pearson准 则？ 答：先验概率和代价函数均已知的情况下，使用贝叶斯准则，先验概率未知，但可选代价函数时，使用极大极小准则，先验 概率和代价函数均未知的情况下，使用Neyman-Pearson准则。 2、在参量估计中，无偏估计和渐进无偏估计的定义是什么？ 答：无偏估计：若估计量的均值等于被估计量的均值（随机变 量），即E?θθ??=EE(θθ)或等于被估计量的真值（非随机参 量）E?θθ??=θθ，则称θθ?为θ的无偏估计。 渐进无偏估计：若lim NN→∞EE?θθ??=EE(θ ),称θθ?为θ的渐进无偏估计。 3、卡尔曼滤波器的主要特征是什么？ 答：随机过程的状态空间模型，用矩阵表示，可同时估计多参 量，根据观测数据，提出递推算法，便于实时处理。 4、在现代信号处理中，对信号的处理通常是给出一个算法， 对一个算法性能的评价，应从那些方面进行评价。 答：算法的复杂度，算法的稳定性和现有算法的比较，算法的 运算速度、可靠性、算法的收敛速度。

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第5章信号的抽取与插值 5.1前言 至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率 f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会s 遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如： 1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换； 2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。 3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换； 4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的； 5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。 以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。 推荐精选

功率谱估计浅谈汇总

功率谱估计浅谈 摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计 前言 功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。 周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。 下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。 经典谱估计法 经典法是基于传统的傅里叶变换。本文主要介绍一种方法：周期图法。 周期图法 由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。 连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：