小学奥数─工程问题
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“1”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。
工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
工程问题的基本思路:
工程问题的基本数量关系是：
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作时间=工作效率
工作总量÷工作效率=工作时间
上面这些数量关系式是在题目中给出（或间接给出）工作总量和工作效率的具体数量情况下进行解题用的。
如果题目中没有给出工作总量的具体数量，也没有给出工作效率的具体数量，那么我们通常把工作总量看作整体“1”，工作效率表示单位时间内完成工作量的几分之几。
例1一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少天？
［思路说明］①把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建需要12天，修建1天完成这项工程的1／12；乙队修建需要20天，修建1天完成这项工程的1／20。甲、乙两队共同修建1天，完成这项工程的1／12＋1／20＝2／15，工作总量“1”中包含了多少个2／15，就是两队共同修建完成这项工程所需要的天数。
1÷（1／12＋1／20）＝1÷2／15＝15／2（天）
②设这项工程的全部工作量为60（12和20的最小公倍数），甲队一天的工作量为60÷12＝5，乙队一天的工作量为60÷20＝3，甲、乙两队合建一天的工作量为5＋3＝8。用工作总量除以两队合建一天的工作量，就是两队合建的天数。
60÷（60÷12＋60÷20）＝60÷（5＋3）
＝60÷8＝15／2（天）
评点这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法，前者比较简便。这种解法把工作量看
作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。
例2一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，多少天完成全部工程的3／4？
［思路说明］①把这项工程的工作总量看作“1”，甲队独做8天完成，一天完成这项工程的1／8；乙队独做10天完成，一天完成这项工程的1／10。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的1／8＋1／10＝9／40，工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间的3／4，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需的时间。
1÷（1／8＋1／10）×3／4
＝1÷9／40×3／4＝10／3（天）
②把甲、乙两队合做的工作量3／4，除以甲、乙两队的效率之和1／8＋1／10＝9／40，就是甲乙合做完成全部工程的3／4所需要的时间。
3／4÷（1／8＋1／10）＝3／4÷9／40＝10／3（天）
评点思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完成全部工程的3／4所需的时间。思路②是把“3／4”看作工作总量，工作总量除以两队效率之和，就可以求出完成全部工程的3／4所需的时间。两种思路简捷、清晰，都是很好的解法。
例3东西两镇，甲从东镇出发，2小时行全程的1／3，乙队从西镇出发，2小时行了全程的1／2。两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？
［思路说明］①由甲2小时行全程的1／3。可知甲行完全程要2÷1／3＝6（小时）；由乙2小时行全程的1／2，可知乙行完全程要2÷1／2＝4（小时）。求出了甲、乙行完全程各需要的时间，时间的倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看
作“1”，除以速度之和，就可求出两人同时出发相向而行的相遇时间。
综合算式：
1÷（1／（2÷1／3）＋1／（2÷1／2））
＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小时）
②由甲2小时行了全程的1／3，可知甲每小时行全程的1／3÷2＝1／6；由乙2小时行全程的1／2，可知乙每小时行全程的1／2÷2＝1／4。把东西两镇的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到两人同时出发相向而行的相遇时间。
综合算式：
1÷（1／3÷2＋1／2÷2）
＝1÷（1／6＋1／4）＝1÷5／12＝12／5（小时）
评点本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间，所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度，是解题的关键所在。
例4一项工程，甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成，乙独做多少天可以完成？
［思路说明］把一项工程的工作总量看作“1”，甲、乙合做6天可以完成，甲、乙合做一天，完成这项工程的1／6，甲独做18天可以完成，甲做一天完成这项工程的1／18。把甲、乙工作效率之和，减去甲的工作效率1／18，就可得到乙的工作效率：1／6－1／18＝1／9。工作总量“1”中包含了多少个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。
1÷（1／6－1／18）＝1÷1／9＝9（天）
评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及工程问题的数量关系，解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是：先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
有的同学在解这道题时，由于审题马虎，而且受基本工程问题解法的影响，错误地列成：1÷（1／6＋1／18），这是同学们应引起注意的地方。
例5加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、乙两人合做5天后，剩下的由丙1人做，还要几天完成？
［思路说明］题目要求剩下的工作量由丙1人做，还要几天完成，必须知道剩下的工作量和丙的工作效率。
加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件的1／10；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的1／15；丙要12天完成，丙一天加工一批零件的1／12。甲、乙合做一天，完成这批零件的1／10＋1／15＝1／6，合做5天完成这批零件的1／6×5＝5／6，工作总量“1”减去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做还要几天完成。
综合算式：
［1－（1／10＋1／15）×5］÷1／12
＝［1－1／6×5］÷1／12
＝1／6÷1／12＝2（天）
评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题中的主要题型之一，
也是升学或毕业考试中最常见的试题之一。它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总
量“1”中减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细，又受前面几例工程问题的解法的影响，容易错误地列成：［1÷（1／10＋1／15）×5］÷1／12．
例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙独做又用8天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？
［思路说明］一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作1天完成这件工程的1／6，甲、乙合作2天，完成这件工程的1／6×2＝1／3。用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量1／3，所得的差1－1／3＝2／3，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了8天正好做完，用余下的工作量除以8，就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作总量“1”除以甲的工作效率，就可得到甲独做这件工程所需要的天数了。
综合算式：
1÷［1／6－（1－1／6×2）÷8］
＝1÷［1／6－（1－1／3）÷8］＝1÷［1／6－2／3÷8］
＝1÷［1／6－1／12］＝1÷1／12＝12（天）
评点这也是一道复杂的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解题的步骤较多，只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路，熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的技能、技巧，才能正确顺利地解答本题。
例7完成一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？
分析与解答：
分析：先对比如下
一项工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，显而易见甲干2天的工作量，若换成乙干，则需要4天。因此，甲干1天的工作量，若换成乙来干，则需要2天。
解答：甲完成这件工作需要的天数：
5＋6÷2=8（天）
乙完成这件工作需要的天数：
5×2＋6=16（天）
评注：我们在解难题无从下手时，不妨把题目所交代的条件罗列下来，认真地观察、比较，有时会柳暗花明的。本题运用了整体代换的数
学思想，使题目的解答巧妙、简练，更具创造性。
例8一件工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天半可完成一半。现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等。问：共用多少天？
分析与解答：
分析：甲队的工作效率的1/12，乙队的工作效率是1/8，甲、乙两队的工作效率和是1/8＋1/12=5/24。由于甲、乙两队合做的时间与乙队单独做的时间相同，所以甲、乙两队合做的工作量与乙队独做的工作量之比是：
（1/8＋1/12）：1/8=5：3。
解答：乙队的工作效率：（1/2－1/12×3）÷2=1/8
甲、乙两队合做工作量是这件工程的5/8，乙队单独做的工作量是这件工程的3/8。
完成这件工程的总天数：
3/8÷1/8×2=6（天）
说明：适时、恰当地运用正、反比例概念，会使问题简单化。
例9师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个。完成任务时，徒弟比师傅少加工120个。这批零件共有多少个？
分析与解答：
分析：徒弟每小时比师傅少加工4个零件，徒弟比师傅少加工120个零件需要120÷4=30小时，那么这批零件的总个数是（9＋5）×30=420个。
例10一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成。现在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？
分析：由已知条件可知，甲、乙的工作效率和是1/6，乙、丙的工作效率和是1/9，甲、丙的工作效率和是1/15，1/6＋1/9＋1/15=31/90，这是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是31/90÷2=31/180，那么甲、乙、丙三人合做需要的天数是
1÷31/180=180/31天。
例11一件工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作，那么完成任务用了多少小时？
分析：由已知条件可知甲的工作效率是1/12，乙的工作效率是
1/18。先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，看作是甲、乙合做1小时。可得甲、乙合作完成任务需要的时间是1÷（1/12＋1/18）=36/5小时，实际上可以理解为甲工作了7小时，乙工作了7小时，剩下
的1/36的工作由甲再单独完成。
例12甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多1/4，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A，结果A、B 两项工程同时完成。问：丙队与乙队合作了多少天？
分析：令A工作总量为1，则B工程的工作总量是5/4，A、B两项工程的工作总量是9/4，则甲、乙、丙三队完成A、B两项工程的时间就可以求出，是9/4÷（1/20＋1/24＋1/30）=18天。乙队干18天的工作量为
1/24×18=3/4，剩下的5/4－3/4=1/2就是丙做的：1/2÷1/30=15天。
说明：正确地区分整体与部分的关系，会使我们准确、全面地把握问题，本题就是把A、B两项工程看作一个整体来思考，不要把A、B两项工程分开。
例13一水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，当甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟的注水量是甲管每分钟注水量的2倍，则该水箱最多可容纳多少吨水？
分析：不妨设这个水箱能装X吨水，当甲管注入18吨水时，丙管注入（X－18）吨水；当乙管注入27吨水时，丙管注入（X－27）吨水。
甲、丙两管的工作效率比是18：（X－18），乙、丙两管的工作效率比是27：（X－27）。
又因为乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，所以甲、丙两管的工作效率比是（27×1/2）：（X－27）。列方程：
18：（X－18）=（27×1/2）：（X－27）
X=54
说明：解答工程问题时，方程更是我们的好帮手，尤其是运用等比作等量关系式时更为奇妙！
例14某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。
问：如果同时交换A与B、C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？
分析：本题已知几种情况，都是工作效率在变化，因此可以求出各种情况的工作效率，然后再研究时间的变化。
解答：设工作总量为1，则原来全组每小时完成1/9。
小学六年级数学教案：“工程问题” 教学目的：1.使学生认识工程问题的结构特点，掌握它的数量关系、解题思路和解题方法，并能正确地解答工程问题的基本题。 2.培养学生解题的迁移能力，以及数学思维能力。 教学准备：投影片若干张 教学过程： 一、导入： 今天，老师让每位同学当公司经理，看哪位经理最精明。 出示：假如你是某工程队的经理，要修一段路，现有甲、乙两个工程队，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。你想承包给哪个队？为什么？（学生分组讨论，派代表发言）生1：给甲队做，因为他完工时间比乙队少， 师：仅考虑时间少行吗？ 生2：给乙队做，虽然他时间较长，可能修路质量好， 师：有没有更好的方案呢？ 生3：由甲乙两队合做，完工时间更短，可让两队优势互补，师：若甲乙两队合做，猜猜看，大约需要几天完工？ 生1：小于10天，但大于5天。 生2：6天，可假设一段路长120千米， 师：我们不妨计算一下，具体是几天？ [从实际事例入手，学生成为经理，突出了学习的主动性。选
择的素材紧密联系本课时的内容，学生在探讨解决问题的同时，兴趣盎然地进入学习新知的准备状态。] 二、教学例9 1．出示例9：一段公路长30千米（60千米）[用黑卡纸盖住]，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天修完？ 师：各位经理算一算，几天完成呢？[同学们议论纷纷，跃跃欲势，都想当个精明的经理。] 学生汇报计算的方法：30（3010+3015）=6（天）（板书）师：请你说说每步计算的含义。教师依次对应板书甲的工效乙的工效工作总量合做时间并小结数量关系式：工作总量工作效率和=合做时间 师：如果把30千米改成60千米，其他条件不变，合做时间是多少呢？（揭去黑卡纸）[同学们思考片刻，纷纷举手] 生：60（6010+6015）=6（天）（板书） 师：仔细比较这两道题，你发现了什么？ 生1：合做时间都是6天。 生2：无论公路长多少，只要各自单独做的时间不变，合做时间不变。 师：是这样吗？同学们用不同的公路长度试一试。[学生为了得到证实，即刻得出了结论。学生有了展现自我的机会，同时启发了学生探索数学奥秘的方法。]师板书省略号
课题：行程问题 -----谁先到重庆 重庆市涪陵区浙涪友谊学校王保华 学习目标知识与技能：会分析行程问题中的相遇问题中已知和未知之间的相等关系。提高用方程解决实际问题的能力，培养用方程解决问题的意识。掌握运动中的物体，速度、时间、路程之间的数量关系，会利用路程、时间和速度三量关系，列一元一次方程解相遇问题。过程与方法：经历解决问题的过程，体验数学与日常生活密切相关，体现数学是源于生活的思想。 情感态度价值观：让学生经历实际生活中就会遇到的问题，经历数学是源于生活的思想，激发他们的兴趣。 教学重点理解相遇问题的结构特点，学会抓相遇问题的等量关系，能根据速度、时间、路程的数量关系解决求相遇时间的问题。 教学难点掌握相遇问题的解题规律，让学生学会如何抓相遇问题的等量关系。 教学工具课件 环节教前设想设置原则 1. 复习回 顾（1）、回顾列方程解应用题的步骤。 （2）、行程问题中经常用到的公式：s=vt。 回顾先前学习的 内容，为新课做铺 垫。 2、理解什么 是相遇通过动画演示，让学生理解什么是相遇，相遇的情况又有哪些。理解相遇，引出课 题（对面相遇，同 向相遇） 3、情境引 入一、在自学中，发现…… 观察： 说说生活中，有那些是相遇，那些是追及？ （时钟、龟兔赛跑、运动会比赛的一些相目……） 问题：A地距重庆150km,小汽车每小时行驶80km，中巴车每 小时60km，中巴车从A地先开出40min后，小汽车从A地出 发，问中巴车和小汽车谁先到重庆？ 想一想 （1）40min= ______ h (2)路程= ______×_____ 分析：填写下表 路程(km) 速度（km/h) 时间（ h） 小汽车150 80 先板书画线段图， 让学生感觉到画 示意图来解决应 用题的好处。找出 等量关系。通过动 画来验证，加强学 生对题目的理解。 在第二问的时候 强调单位的统一。 通过此题目，让学 生来总结对面相 遇问题的等量关 系该如何抓，关键 点抓路程和。
小学五年级-奥数-- 行程问题
第二十四讲行程问题---相遇问题 例1：甲乙两人分别从相距27.3千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6.2千米，乙每小时走4.3千米。两人几小时后相遇？ 练习 1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18.5千米，乙船每小时行驶15.6千米，经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？ 2，甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出发后多少小时相遇？ 3、一列快车和一列慢车分别从甲乙两地同时相向而行。快车10小时可以到达乙地，慢车15小时可以到达甲地。已知快车每小时比慢车多行20千米，两车出发后几小时相遇？ 例2 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56.4千米，乙车每小时行48.6千米。两车在距中点42.9千米处相遇，东、西两地相距多少千米? 练习1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。甲汽车每小时行52.6千米，乙汽车每
2.一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行62.5千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距30千米。求A、B两城之间的距离？ 3.甲乙两地相距60千米，甲乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是多少？ 例3 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？ 练习 1、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米？ 2.汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？
小学六年级奥数工程问题及答案 工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时，丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解； 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 1-45/80＝35/80表示还要的进水量 35/80÷【9/80-1/10】＝35表示还要35小时注满 答；5小时后还要35小时就能将水池注满。 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解；由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为【16-x】天 1/20*【16-x】+7/100*x＝1 x＝10 答；甲乙最短合作10天 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解； 由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 【1/4+1/5】×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。 1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。 答；乙单独完成需要20小时。 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解；由题意可知
行程问题（一） 一、情境导入（5分钟） （1）创设情景：（课件） 师：今天我来给大家介绍遗址公园的两位工作人员张叔叔和王阿姨，在工作中，发生了这样一件事。请听他们的电话录音： 张叔叔：喂，王芳吗？我是小张，公园的历史画册做好了，我给你送去。 王阿姨：太好了，正好要到那边去开会，我去迎你，咱们8点同时出发，见面后再细说。张叔叔：好就这样，一会见。师：发生了一件什么事？生：张叔叔要给王阿姨送画册，王阿姨去迎张叔叔。 （2）出示情境图： 师：这是当时的具体情况。认真观察你知道了哪些数学信息？ 生：张叔叔和王阿姨约定两人同时坐车出发。遗址公园和天桥的距离是114千米。生：王阿姨乘坐面包车，面包车的速度是每时40千米。张叔叔乘坐小轿车，小轿车的速度是每时55千米。 师：为了便于我们观察理解，把这条路线拉直，用一条线段表示遗址公园到天桥的距离，是114千米。 板书画图： 师：他们是怎样做的呢？结果会怎样？ 生：开始的时候是同时走的，方向是面对面的，也就是相对，可以说相向而行。结果是相遇了。（演示） 师：你们说得真好.这就是今天我们要学习的相遇问题（板书课题相遇问题） 二、新授（15分钟） 1、学习【知识要点】
师：行程问题有各种各样的类型，主要有相遇问题和追及问题。 相遇问题一般指两人（或两车）从两地出发相向而行的行程问题，是研究速度和相遇时间与两地距离之间数量关系的应用题。相遇问题的基本数量关系你们知道吗？ 生：速度和×相遇时间=两地距离两地距离÷速度和=相遇时间 两地距离÷相遇时间=速度和 师：追及问题是指两个物体同时从不同地点出发，或不同时间从同一地点出发按同一方向运动。两个运动物体速度有快、慢之分，慢的在前，快的在后，经过一段时间，快的物体追上慢的物体。 追及问题的数量关系式是什么呢？ 生： 追及时间=追及路程÷速度之差 追及距离=速度之差×追及时间 速度之差=追及距离÷追及时间 师：这些关系式希望同学们都能牢记在心，并记录在积累作业薄上，最为资料储存起来。下面我们一起走进生活，解决生活中的问题去吧。 【例1】 出示例1 1.两辆汽车同时从甲、乙两地出发，相向而行，一辆客车每小时行45千米，一辆货车每小时行38千米，5小时后，两车还相距42千米。求甲、乙两地间的路程。 师：相向而行是什么意思？ 生：就是对着开。 师：请同学们们认真审题，找出已知条件与问题。 生：已经知道两种车的速度，和时间，还知道剩余的路程。
小学奥数行程问题及 答案
小学奥数行程问题及答案一 1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。 解：第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米， 通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米， 所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。 2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 解：那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差 所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。
3．A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 解：根据总结：第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3） ×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。 4、小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题） 解：原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是 =100×30=3000米。 5．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
小学奥数工程问题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
小学奥数-工程问题 一。基本知识点 1.我们往往把“一项工程”看成单位“1” 基本公式：工作总量=工作效率×工作时间 2.工程问题常见的思想方法有假设法、转化法、代换法等。 学会运用工作效率之间的关系，往往能化难为易 3.工程问题的核心在于“工作效率”，抓住工作效率这一点，往往使得题目中的数量关系变得更加清晰 1、甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务。如果甲单独加工，需要12小时完成。现在甲、乙两人共同生产了2小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务，问乙一共加工多少个？ 2、有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天。现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完。当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成？ 3、抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙一人单独抄，需要多少天才能完成？ 4、游泳池有甲、乙、丙三个注水管。如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池。那么单开丙管需要多少小时注满水池？ 5、一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水，若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 6、蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后，水开始溢出水池？ 7、一项工作，甲、乙两人合作8天完成，乙、丙两人合作9天完成，丙、甲两人合作18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？ 8、一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？ 9、甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，18天完成，已知甲单独完成这件工作需10天，问：乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？ 10、某项工程，如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起干，需要多少天才能完成这项工程？ 11、规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做1个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那么，乙单独做这个工程需要多少小时？
一元一次方程应用题专题复习 ------行程问题 教学目标： 1、 复习巩固通过“线段图”分析复杂问题中的数量关系。 2、 能用一元一次方程解决实际生活中的相遇、追及、航行问题。 3、 培养学生的分析、解决问题能力。 教学重点：运用方程解决实际问题。 教学难点：能画出“线段图”分析行程中相遇、追及、航行的等量关系。 教学过程： 一、 导入：○ 1回顾列一元一次方程解实际问题的一般过程和步骤 过程； 步骤； 申、设、找、列、解、答 ○ 2回顾已经学过的方程应用题的类型，引出复习行程问题 二、 教学过程； （一）相遇问题； ○ 1在直线上相遇； 例题；阿超的家长来学校看他，阿超在他的家长进校门的同时以2m/s 的速度从班 里出发向大门口去迎接他，他的家长以1m/s 的速度向他走来，班级到大门 口的距离是180m,若设x 秒后，阿超可以见到他的家长，则可列方程________ 提问1：同学们能说出路程、时间、速度三个量之间的关系吗? 提问2：此题的等量关系是什么？ 答；阿超行的路程+他的家长行的路程=180m 提问3；找同学根据等量关系列出方程（能画线段图） ○ 2在环形跑道上相遇； 变式训练；课间操期间，阿豪和秦祥栋在400米长环形跑道上练习跑步，阿豪每秒 跑5米，阿秦每秒跑7.5米，若两人同时同地反向出发，多长时间两人首次 相遇？（只列方程） 找同学在黑板上做（要求找到等量关系，列出方程） ○ 3小结； 路程＝ × 相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝ ______ (二)追及问题； ○ 1在直线上同时、同方向、不同地出发追及； 例题;甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列火 车从乙站开出，每小时走60公里,试问：两车同时同向而行（快车在后面），几小 时后快车可以追上慢车？设x 小时后快车能追上慢车，下列方程符合题意的是（ ） A 、48x+60x=162 B 、60x-48x=162 C 、 + =162 D - =162 48x 60x 48x 60x
小学六年级奥数教案：行程问题 第一讲行程问题 走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度×时间 很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间. 因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧. 这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米 一、追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， 甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间. 通常，“追及问题”要考虑速度差.
例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米? 解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间. 此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此 所用时间=9÷6=1.5(小时). 小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是 面包车速度是 54-6=48(千米/小时). 城门离学校的距离是 48×1.5=72(千米).
数学-《工程问题》的教学设计 四年级数学教案 教学内容：人教版第九册第四单元 P95 例9 教学目标：使学生认识工程问题的结构特点，掌握它的数量关系，解题思路和解题方法，并能正确地解答工程问题的基本题。 教学过程 ●一、创设情境，设疑激趣 出示小黑板 本班语、数两学习委员分发数学作业本，语文学习委员单独分发要2分钟，数学学习委员单独分发要3分钟，大家猜一猜，两人一起分发要几分钟？ 1、学生读题 2、先让学生大胆猜想 3、然后老师提出： 我们一起来探究这个问题好吗？ ●二、由浅入深，辅路搭桥 出示小黑板： 1、一迭作业本60本，聪聪分发需要2分钟，每分钟发多少本？明明分发需要3分钟，每分钟发多少本？ 2、一迭作业本60本，聪聪每分钟发30本，明明每分钟发20本，两个人合发，几分钟发完？ 3、一迭作业本60本，聪聪单独分发需要2分钟，明明单独分发需要3分钟，两人合发需要几分钟？ 让学生独立完成，然后指名回答，教师板书： 1、60/2=30（本） 60/3=20（本） 2、60/（30+20）=1.２（本）或者：设X分钟发完？ （30+20）x=60 X=60/50 X=1.2
3、60/（60/2+60/3）或者：设两人合发需要X分钟 X*（60/2+60/3）=60 ●三、引导探究，挑战问答 老师质疑： 假如上面三道题都隐去“60本作业本”这个条件，你们能探究出解决问题的办法吗？ 1、要求学生分小组合作思考、探究。 2、让各小组组长把解决问题的办法讲出来，老师板书： A、1/2=1/2 1/3=1/3 B、1/（1/2+1/3）或者：设需要X分钟完成 X*（1/2+1/3）=1 在学生合作探究过程中，教师应参与其中一小组，并成为其中的一员，在恰当时机提问： “你怎么知道这是对的？” “还有没有别的思路或可能性？” “列式为1/（2+3）你们认为对吗？为什么？” ●四、促进思维，拓展发散 解决好“分发本子”问题后，我问学生： 你能利用今天所学的知识，解决实际生活中类似的“做套装衣服问题”、“相遇问题”吗？ ●五、反馈练习，以促双基 1、P95 “做一做” 2、练习二十五第1题 3、指导学生自学例9 ●六、总结 1、今天学习了什么内容？ 2、这节课你最大的收获是什么？哪些地方你还不太懂？ 家庭作业：
六年级奥数行程问题汇总 行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况： （1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和 （2）相背而行：相背距离=速度和×时间。 （3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离÷速度差 在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？ 解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。可以先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。 解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时） 甲行完全程的时间：165÷30—=4.7（小时） 解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时） 答：甲车行完全程用了4.7小时。 1、甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？ 2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地到A地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？ 3、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。到10点钟时两车相距112.5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米？ 两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？
教学过程 一、知识点 行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种： （1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。（4）行船问题。 1、行程问题的主要数量关系是：距离= 速度+时间。它大致分为以下三种情况： （1）相向而行：相遇时间二距离宁速度和。 （2）相背而行：相背距离二速度和X时间。 （3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间二追及距离+速度差 在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离二速度差x时间 2、行船问题： 船顺水速度= 船静水速度+水流速度 船逆水速度= 船静水速度- 水流速度 水流速度二（船顺水速度-船逆水速度）宁2 船静水速度二（船顺水速度+船逆水速度）宁2 解决行程问题时，要注意充分利用图标把题中的情节形象地表示出来，有助于分 析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。
例题1 :两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车 比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了 多少小时？ 解题思路：解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。这句话的实质就是：“乙48分钟行了24千米”。可以先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以 先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。 解法一：乙车速度：24-48 X 60= 30 （千米/小时） 甲行完全程用的时间：165-30- 48= 4.7 （小时） 60 解法二：48X（165-24）- 48=282（分钟）=4.7 （小时） 答甲车行完全程用了4.7小时 例题2 :两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回。又 在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？ 解题思路：从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时， 从东站出发的汽车行了60千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了3个60千米。这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于东、西两站路程的 1.5倍。找到这个关系，东、西两站之间的距离也就可以很快求出来了。所以 （60X 3+30）- 1.5=140 （千米） 答：东西两站相距140千米。
分数应用题 (工程问题) 一、教学目标 1．让学生经历用假设法来解决分数工程问题的过程,理解并掌握把工作总量看作单位”1”的分数工程问题的基本特点,解题思路和解题方法. 2.通过自主探究,评价交流的学习活动,培养学生分析、比较、综合、概括能力。 3．培养学生运用所学到知识解决生活中的实际问题． 二、教学重点: 能利用假设法掌握分数工程问题的解题思路与方法。 三、教学难点: 理解理解假设不同的数据得出的相同结果的道理． 四、教学过程 一、课前学习． （一）口答下列各题 思考:下面各题研究的是哪三种量的关系？仔细读题,了解每一道题已知哪些数学信息，要求什么？分别写出数量关系式. 1．挖一条全长100米的水渠，用5天挖完，平均每天挖多少米？ 2．挖一条水渠，用5天挖完，平均每天挖全长的几分之几？ 3．挖一条水渠100米，平均每天挖20米，几天可以挖完？ 4．挖一条水渠，每天挖全长的，几天可以挖完？
二、展示交流 1.学生通过交流展示,总结出工程问题就是探究工作效率、工作时间、工作总量三种量之间的关系。 工作效率X工作时间＝工作总量 工作总量÷工作时间＝工作效率 工作总量÷工作效率＝工作时间 2.解决问题 课件出示:例7．这条道路，如果我们一队单独修，12天能修完，如果我们二队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？ 三、关键点拨． 1．阅读与理解： ①从题目中你知道了那些数学信息？ 学生交流对题意的理解:这道题是工程问题,工作总量就是公路的总长,工作时间就是修路的时间,工作效率就是每天修的路的长度.如果两队合修,那么工作效率就是两队的工作效率和. ②要解决“两队合修，多少天修完？”这个问题，需要知道哪些信息？ 工作总量(这条路的总长度)和工作效率和 ③如果知道了这两个信息，这个问题可以怎样解决？ 工作总量÷工作效率(和)＝工作时间 2.分析与解答
行程问题之相遇问题 相遇问题关系式： 速度和×相遇时间=相遇路程 相遇路程÷相遇时间=速度和 相遇路程÷速度和=相遇时间 例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人经过3小时相遇。问A、B两地相距多少千米？ 例2.小明和小华两家相距3千米，他俩同时从家里出发相向而行，小明骑车每分钟行175千米，小华步行每分钟行75米，多少分钟后两人相遇？ 例3.甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米； 出发后5小时，两车相遇。A、B两地相距多少千米？ 例4.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，两车相遇点距中点20千米。求A、B两地相距多少千米？ 路程差÷速度差=相遇时间 例5.甲、乙两地相距300米，小明和小军各从甲、乙两地相背而行，7分后两人相距860米。小明每分走多少米？
例6.A、B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，有经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行160米，小明步行速度是每分钟多少米？ 例7.甲、乙两艘舰船，由相距418千米的两个港口同时相对开出，甲舰船每小时航行36千米，乙舰船每小时航行34千米，开出1小时候，甲舰船因有紧急任务，返回原港，又立即起航与乙舰船继续相对开出，经过几小时两舰船相遇？ 例8.一支1800米长的队伍以每分钟90米的速度行进，队伍前端的通讯员用9分钟的时间跑到队伍末尾传达命令，通讯员每分钟跑多少米？ 例9. 甲、乙两车从相距360千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。几小时后两车相距120千米？（提示：分相遇前、相遇后讨论） 随堂练笔
第二讲行程问题 1基本公式 1.1路程（和、差） = 速度（和、差）×时间 1.2时间 = 路程（和、差）÷速度（和、差）速度（和、差）= 路程（和、差）÷时间 1.3速度差 = 快速–慢速速度和 = 慢速 + 快速 1.4慢速 = （速度和–速度差）÷ 2 快速 = （速度和 + 速度差）÷2 2三类基本行程问题：相遇、追及、环形跑道。 2.1相遇的含义：如果出发时间相同，则所走的时间相同；相遇时，两方都处于同一个位置。在超过2人的行 程问题中，相遇就是时间和距离的等量代换点；如果一方先出发或者有一方中间停止，则这一方还要算上先出发的时间或去掉停止的时间。 2.2相遇：速度和，对应路程和，相遇时，有公式： 路程和 = 速度和×时间时间 = 路程和÷速度和速度和 = 路程和÷时间。 2.3追及：速度差，对应路程差，相遇时，有公式： 路程差 = 速度差×时间时间=路程差÷速度差速度差 = 路程差÷时间。 2.4环形跑道的同向追及，速度差，每相遇一次，路程差1圈。 距离差= 圈数×跑道长=速度差×时间时间 =（圈数×跑道长）÷速度差速度差=（圈数×跑道长）÷时间2.5环形跑道反向碰头，速度和，每相遇一次，路程和等于1圈。 距离和=圈数×跑道长=速度和×时间时间=（圈数×跑道长）÷速度和速度和= （圈数×跑道长）÷时间2.6再次相遇问题相当于环形跑道，跑道距离相当于2倍总路程 如果到对方出发点都又返回，再次相遇，与第一次相遇相比，二次相遇所走的总路程相当于环形跑道的总路 程，即2倍总路程和2倍时间。再次相遇与第一次相遇相比，共走3 倍的总路程，花费3倍的总时间。以后每次相遇，总路程等于环形跑 道的距离即2倍总路程。规律就是1、3、5、7倍的总路程（时间） 时相遇。 ① 3其它边界问题 三角形面积；三角三边种树；4×4的方形每边平均方块；共10页书，读了3页，从第几页开始；3到50的自然数是49个数；锯木头，锯3下，成4节。切4刀，成5块。 4复杂行程问题解题的关键是过程中的等量代换
小学六年级数学工程问 题教学设计 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
分数应用题 (工程问题) 一、教学目标 1．让学生经历用假设法来解决分数工程问题的过程,理解并掌握把工作总量看作单位”1”的分数工程问题的基本特点,解题思路和解题方法. 2.通过自主探究,评价交流的学习活动,培养学生分析、比较、综合、概括能力。 3．培养学生运用所学到知识解决生活中的实际问题． 二、教学重点: 能利用假设法掌握分数工程问题的解题思路与方法。 三、教学难点: 理解理解假设不同的数据得出的相同结果的道理． 四、教学过程 一、课前学习． （一）口答下列各题 思考:下面各题研究的是哪三种量的关系？仔细读题,了解每一道题已知哪些数学信息，要求什么 分别写出数量关系式. 1．挖一条全长100米的水渠，用5天挖完，平均每天挖多少米？ 2．挖一条水渠，用5天挖完，平均每天挖全长的几分之几？ 3．挖一条水渠100米，平均每天挖20米，几天可以挖完？
4．挖一条水渠，每天挖全长的，几天可以挖完 二、展示交流 1.学生通过交流展示,总结出工程问题就是探究工作效率、工作时间、工作总量三种量之间的关系。 工作效率X工作时间＝工作总量 工作总量÷工作时间＝工作效率 工作总量÷工作效率＝工作时间 2.解决问题 课件出示:例7．这条道路，如果我们一队单独修，12天能修完，如果我们二队单独修，18天能修完。如果两队合修，多少天能修完？ 三、关键点拨． 1．阅读与理解： ?①从题目中你知道了那些数学信息 学生交流对题意的理解:这道题是工程问题,工作总量就是公路的总长,工作时间就是修路的时间,工作效率就是每天修的路的长度.如果两队合修,那么工作效率就是两队的工作效率和. ②要解决“两队合修，多少天修完？”这个问题，需要知道哪些信息？工作总量(这条路的总长度)和工作效率和 ③如果知道了这两个信息，这个问题可以怎样解决？
【教育资料】小学四年级数学教案《工程问题》的教学设计教学目标：使学生认识工程问题的结构特点，掌握它的数量关系，解题思路和解题方法，并能正确地解答工程问题的基本题。 教学过程 一、创设情境，设疑激趣 出示小黑板 本班语、数两学习委员分发数学作业本，语文学习委员单独分发要2分钟，数学学习委员单独分发要3分钟，大家猜一猜，两人一起分发要几分钟？ 1、学生读题 2、先让学生大胆猜想 3、然后老师提出： 我们一起来探究这个问题好吗？ 二、由浅入深，辅路搭桥 出示小黑板： 1、一迭作业本60本，聪聪分发需要2分钟，每分钟发多少本？明明分发需要3分钟，每分钟发多少本？
2、一迭作业本60本，聪聪每分钟发30本，明明每分钟发20本，两个人合发，几分钟发完？ 3、一迭作业本60本，聪聪单独分发需要2分钟，明明单独分发需要3分钟，两人合发需要几分钟？ 让学生独立完成，然后指名回答，教师板书： 1、60/2=30（本） 60/3=20（本） 2、60/（30+20）=1.２（本）或者：设X分钟发完？ （30+20）x=60 X=60/50 X=1.2 3、60/（60/2+60/3）或者：设两人合发需要X分钟 X*（60/2+60/3）=60 三、引导探究，挑战问答 老师质疑：
假如上面三道题都隐去60本作业本这个条件，你们能探究出解决问题的办法吗？ 1、要求学生分小组合作思考、探究。 2、让各小组组长把解决问题的办法讲出来，老师板书： A、1/2=1/2 1/3=1/3 B、1/（1/2+1/3）或者：设需要X分钟完成 X*（1/2+1/3）=1 在学生合作探究过程中，教师应参与其中一小组，并成为其中的一员，在恰当时机提问： 你怎么知道这是对的？ 还有没有别的思路或可能性？ 列式为1/（2+3）你们认为对吗？为什么？ 四、促进思维，拓展发散 解决好分发本子问题后，我问学生：
人教版小学六年级数学上册教案 第三单元分数除法 工程问题 --------教学设计 武安市康二城中心学校付继平 教学内容： 教科书第42页例7及相应的“做一做”和练习九的6、8、9题。 教学目标： 知识与技能目标： 1、掌握工程问题应用题的解题方法，并能正确解答。 2、通过教学，使学生初步理解工程问题的解题方法，会解答简单的工程问题。 过程与方法目标： 1、结合具体情境，理解工程问题的特征，形成解题规律。 2、使学生经历自主探究、解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略。 情感态度与价值观目标： 1、体会知识间的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力。 2、让学生感悟解决问题方法的开放性和多样化。 德育渗透点： 1、结合例题的主题背景进行快乐课堂的构建。
2、培养合作意识，树立自信心，养成认真学习、一丝不苟的好习惯。 美育渗透点： 1、使学生在学习活动中获得积极的情感体验，激发学生的学习兴趣。 2、利用创设修路工程队的修路情景，进行美育渗透。 教学重点: 1、掌握工程问题的解题方法。 2、能利用假设法掌握分数工程问题的解题思路与方法。 教学难点: 1、理解假设不同的数据得出的相同结果的道理 2、理解工作效率的表示方法。 教学过程： 一、复习铺垫,导入课题 （1）列式（口答）： 1、修一条跑道，一个工程队每天修20米，5天修完，这条跑道长多少米？ 2、一条100米得跑道，工程队5天修完，平均每天修多少米? 3、一条100米得跑道，工程队每天修20米，多少天修完？ （2）回答下列问题 以上各题都是与什么有关的问题？ （一项工程）
（3）此类问题在解决问题当中称为“工程问题” （板书）， 二、引入情境，探究新知。 1、教学例7 （1）出示例题: 修一条道路，一队单独修，12天能完成，二队单独修，18天能完成，两队合修，多少天能完成？ 2、阅读与理解： （1）从题目中你知道了什么？ （2）要解决“两队合修，多少天修完？”这个问题，需要知道哪些信息？ （3）如果知道了这两个信息，这个问题可以怎样解决？ 3、分析与解答 分析题意： 要想求出两队合修需要多少天，就要先出两队的工作效率和，而要求两队的工作效率和就要先求出两队各自的工作效率。 假设知道这条路有多长，根据两队单独修完这条路的工作时间，便可以求出两队的每天修的长度（工作效率）。 再根据这条路的总长度和两队每天合修的长度就可以求出两队合修所需的天数。 解题方法： 方法一、（1）假设这条路长为36米，列式计算
行程问题 枫小--叶剑 教学内容：第53页例5 教学目标： 知识与技能：理解和掌握行程问题应用题中的数量关系,并能运用数量关系解决实际问题. 过程与方法：经历行程问题应用题的解答过程，体验抽象、归纳的思想和方法。 情感态度与价值观：下学习过程中，体验数学知识中的逻辑美，体会数学知识与实际生活之间的密切联系，培养解决问题的能力。 重难点： 重点：理解行程问题中的数量关系。 难点：概括行程问题中的数量关系。 教法与学法：讲解法，独立思考与小组合作相结合。 教学准备：多媒体课件。 教学过程： 一、情境引入 （1）大家知道在神话故事中，月亮上住着谁吗？（嫦娥）那谁来说说嫦娥是怎么到月亮上去的？（学生说一说）那你们有没有想过地球到月亮有多远呢？不急，学完今天的知识就知道了。 我们来看看跑的最快的人是谁。 出示课件，百米冠军博尔特每秒跑10.4米。
（板书：10.4米/秒）读作：10.4米每秒 那最快的动物是谁？ 出示猎豹每分钟跑2千米。 （板书：2千米/分）读作：2千米每分钟。 最快的交通工具是什么呢？（飞机） 课件出示飞机的速度是800千米∕小时。 （板书：800千米∕时）读作：800千米每小时，表示飞机在1小时行驶800千米 （2）明确：所通过的距离叫路程，单位时间内所通过的路程就是速度。今天我们就来研究这三个量之间的关系。 （板书：行程问题） 二、探究新知 （1）教学例5 ①课件出示例5,分别指名读题. 想一想,题中我们知道了什么？要解决的问题是什么？ 组织学生在小组中议一议，说一说。 汽车的速度是80千米/小时，行驶的时间是3小时，要求的是汽车行驶的路程。 ②怎样求汽车2小时行驶的路程呢？ 教师引导学生：汽车每小时行驶80千米，行驶了3小时，就有3个80千米，因此求汽车3小时行驶的路程是80×3=240（千米）【板书：80×3=240（千米）】
小学六年级奥数教案：行程问题第一讲行程问题 走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量： 距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等; 速度在单位时间内(例如1小时内)行走或移动的距离; 时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示： 距离=速度×时间 很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如 总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间. 因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题. 当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数
学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧. 这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米 一、追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内， 甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =(甲的速度-乙的速度)×时间. 通常，“追及问题”要考虑速度差. 例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米? 解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.