相量（复数）表示法
从数学中我们知道，矢量可以用复数表示。那么，表示随时间变化的正弦量的相量，也可以用复数表示，即正弦量可以用复数表示。其中
代数式为极坐标式为：
《电工学（少学时）》第三章正弦量的相量表示法 学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。 2 ．掌握正弦量的相量表示法。 重点：正弦量的相量表示法。 难点：相量图 一、相量法的引入 一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。 由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。 二、复数概述 1 ．复数：形如的式子称为复数，为复数的实部，为复数的虚部，、 均为实数，为虚数单位。 图 4-3 复数的图示法 2 ．复数的图示法
式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。 3 ．复数的表示形式及其相互转换 其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。 4 ．复数的运算法则 ①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。 ②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。 ③乘法运算：模和模相乘，辐角和辐角相加。 ④ 除法运算：模和模相除，辐角和辐角相减。 三、相量表示法 1 ．正弦量与复数的关系 = sin( ψ )= [ ]= [ ] 正弦电压等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。 2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量 ① 有效值相量：= / ψ ② 最大值相量：= / ψ 3 ．相量图
在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。 例 4-4 ：。写出表示 1 和2 的相量，画相量图。 解： 1 =100 /60 ° V 2 =50 /-60 ° V 相量图见图 4-4 。 例 4-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。 解： 1 =100 /0 °A 2 =100 /-120 ° A 1 + 2 =100 /0 ° + 100 /-120 ° =100 /-60 ° A 1 + 2 =100 sin( -60 ° )A 相量图见图 4-5 。 作业： 4-5 、 4-7 、 4-8
英语复数表示方法 英语复数表示方法 piece→pieces，ce发[s]，后面s也发这个音，这样变成俩个[s]的音连一起了，英语里貌似没有这样俩个相同的的音在一起的，所以ce的e要发[i的音。跟在[i后面的s读[z]，(和结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]一致l) 以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。在这5个字母(字母组合)后面的后缀es的e发元音[i的音，所以es的s发[z]。懂复数发音规则的前提是，能区分什么是清辅音、浊辅音和元音。 一辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。读音变化：加读[z]。因为辅音字母加y结尾的词，y常发元音所以后缀es的s发[z]。 以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。读音变化：尾音[f]改读[vz]。可以这样加深理解：变复数时[f]后如果跟[s]，这样读会听不清，所以浊化[f]为，之后，s的发音变成z]。 以O结尾的词，许多加es构成复数，特别是一些常用词。但下面几类词只加s：1.以“元音+o如:videos,radios,studios,,zoos,bamboos,kangaroos,(参照步骤三，可知元音+y结尾的名词，加-s，和哲里类似) 2.一些外来词，特别是音乐方面的词，如：pianos, 3.一些缩写词和专有名词，如：kilos,photos 2英语中名词复数变化 一般加s：清辅音s读{s}丝 浊辅音s读{z}恩 元音s读{Z} 例;black街区canal运河actor演员
以{s}{z}{?}{t?}结尾：加es 例;brush刷子coach长途汽车 以y结尾;前为辅音字母变y为i加es， 例;country国家lorry卡车lady女士dictionary字典 前为元音字母变y为i加s 例;boy男孩key钥匙 以f/fe结尾;变f/fe为v加es读{vz}例;shelf架子loaf一条面包 直接加s读{s}roof房顶safe保险箱proof证据 以上两种都可行例;scarf围巾handkerchief手帕 以o结尾;o前为辅音字母加es读{z}each回音negro黑人 辅音字母加s读{z}例;kilo千克piano钢琴 元音加s读{z}例;radio收音机studio工作室 有生命加es例potato马铃薯tomato西红柿 无生命加s例piano钢琴 以s，x，sh ，ch结尾加es例;class课 3英语可数名词复数形式变化 一般情况，可数名词的复数形式直接在词尾加s。例如：river---rivers 以-ch,-sh,-s,-x结尾的名词直接在词尾加es。例如：class---classes 以“辅音字母+y”结尾的名词，变y为i,再加es;以“元音字母+y”结尾的名词，直接在词尾加s。例如：boy---boys 以“辅音字母+o”结尾的名词(多数情况下)加es;以“元音字母+o”结尾的名词，直接在词尾加s。例如：piano---pianos
河北经济管理学校教案 序号：1 编号：JL/JW/ 河北经济管理学校教案
一、课堂导入与提问（10min） 人们为了便与研究正弦交流电，常用三种方法来表示正弦交流电，对于三种表示方法都有哪些了解 二、讲授新课（25min） 1.解析式法解析正弦交流电 解析式法就是用三角函数式来表示正弦交流电的方法，即写出瞬时值表达式。它是表示正弦交流电最基本的方法。正弦交流电电动势、电压、电流的解析式一般表示为e=Emsin（ωt+Φe）=Em sinα u=Umsin（ωt+Φe）=Um sinα i=Imsin（ωt+Φe）=Im sinα 2.理解波形图法 波形图是与正弦交流电解析式相对应的函数图像，它能形象、直观的表示正弦量用波形图表示正弦交流电u = Um sinωt 3.旋转向量与正弦量（重难点） 一个正弦量可以用一个旋转向量来 表示，如图所示 得出结论：一个正弦量可以用一个 起始位置等于正弦初相的旋转向量来表 示 4.运用向量法分析正弦交流电（重难 点） （1）复数法：正弦量可以用复平面内的矢量表示，复数也可以用复平面内的矢量表示，因此正弦量可以用复数表示 （2）相量图法：向量在复平面上的图形称为向量图。作图时可以根据正弦量的最大值和初相画出最大值向量图，也可以根据正弦量的有效值和初相画出有效值相量图。一般我们使用有效值相量图，有效值相量图简称相量图。用相量图表示正弦量的方法称为相量图法三、计算举例（30min）
四、课堂小结（15min） 1.解析式法就是用三角函数式来表示正弦交流电的方法，即写出瞬时值表达式。它是表示正弦交流电最基本的方法。 2.波形图是与正弦交流电解析式相对应的函数图像，它能形象、直观的表示正弦量 用波形图表示正弦交流电u = Um sinωt 3.一个正弦量可以用一个旋转向量来表示 4.用旋转矢量表示正弦量时： （1）矢量的长度表示正弦交流电的最大值（也可表示有效值）； （2）矢量与横轴的夹角表示初相。 （3）矢量旋转速度表示正弦交流电的角频率。 五、布置作业（10min） 课本P157自我测评4、5、6、7
正弦量相量表示 1、基本概念 （1）正弦电路相量表示方法。正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。正弦量的相量表示如表1所示。 表1正弦量的相量式三角函数式 相量的极坐标式相量的直角坐标式电压t U u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I 电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E ）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。 2、正弦交流电路的相量分析方法 正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。 （1）相量式法 1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示； 2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；
3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。 （2）相量图法 1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定； 2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图； 3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。 2、注意事项 （1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。 （2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。 （3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
第九讲 正弦量的相量表示法 一、相量法的引入 1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。 2、正弦量的复数表示法： 假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y a b arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅； 复数的幅角：表示电压的初相。 正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量 1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。 3-2-1 正弦电压和电流的相量 2、正弦电压相量与正弦电压的关系 （1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。 （2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。 实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数 虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数
图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影 （3）正弦量与相量表示法的相互关系 三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1?+=t t i ， A )120314cos(10)(2?--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。 解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1?+=t t i 的相量为 A 605A e 560j m 1 ∠==I 用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。 将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图 3-2-2。从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。 i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=?→←+=∠=?→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A )180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=?→?+=+?+-=--=I t t t t i
宝应职业技术学校07高考班数学教学案课题复数的表示法（一）授课日期 教学目标 1.正确理解复平面的有关概念（复平面、实轴、虚轴、复平面上的点与复数之间和 对应关系） 2.理解并掌握复数模,辐角. 教学 重、难点 教学重点：复数的向量表示和几何表示，模，辐角的概念和公式 教学难点：复数的几何表示和向量表示 教学用具 主备课人陈强梅副备课人授课班级 主备栏副备栏一．复习导入 1.在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示。即实数与数轴上的点形成一一对应的关系 2.类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 二．新授 （一）复数的几何表示法 如图1，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、 b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，那么 实轴、虚轴上的点各表示什么样的数呢？ 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数 对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 按照这种表示方法，每一个复数z=a+bi与复平面内的点(a，b)之间是何种 关系呢？ 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复 平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示 方法. 例1．在复平面内作出下列各复数的点 i+ - =2 z 1 4 2 = z i z2 3 - =2 3 4 + =i z 图1
（二）复向量及复数的向量表示 在复平面内以原点为起点，点Z （a ，b ）为终点的向量OZ ，由点Z （a ，b ）唯一确定．因此复平面内的点集与复数集C 之间存在一一对应关系， 而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应． 常把复数z=a+bi 说成点Z （a ，b ）或说成向量OZ 例2 在复平面内作出表示下列复数的复向量。 i 4z 1-= i z 322+-= 53-=z 424+-=i z （三）复数的模与辐角 （1）向量OZ 的模（即长度）r 叫做复数z =a +bi 的模，记作｜z ｜或｜a +bi ｜.那么r 与a 、b 之间有何种关系？ ｜z ｜=｜a +bi ｜=r =｜OZ ｜=22b a + (r ≥0) （2）复数的辐角计算公式及辐角主值 三．巩固练习 1．复数3-i 的辐角角主值是（ ）。 A 、3π- B 、35π C 、65π D 、6 11π 2．icos50?的辐角主值是（ ） A 、50? B 、90? C 、40? D 、-90? 3. 已知关于x 的方程x 2-2x+m=0的两个虚根为x 1和x 2 若│x 1-x 2│=8，那么实数m 的值是 ( ) A ．17 B ．3 C ．-1 D ．-15 4．若x ∈C 且x 2+ix+6=5x+2i ，则x=______.
第二节 交流电的表示法 一、 基础知识梳理 1．解析式表示法：u=U m sin(ωt+φu ) ，i=I m sin(ωt+φi ) 。根据三要素，可以方便的写出解析式。解析式表示法是表示正弦交流电最简洁，但也是最精确的表示法。 2．图像表示法：用正弦曲线直观的表示正弦交流电的表示方法。根据波形图，可以写出三要素，反之也可以。（如图所示） 图像表示法是表示正弦交流电最形象的表示法。 3．相量表示法：为了分析正弦交流电路时计算的方便，我们人为引入了正弦交流电的相量表示法。 复数 正弦量 复数 复数表示正弦量，这种复数叫做正弦量的“相量”用 表示。用复数画的向量图称“相量图”。 只有正弦交流电路才应用相量法。 )(b a A 22长度+=)(a b tg 1幅角-=有效值:初相角角度:有效值模数:初相位 幅角:I ,E ,U A )30t ωsin(1002i e 100I 0130J 10+=?= V )45t ωsin(2202u e 220U 0145J 10 -=?=-A )120t ωsin(502i 20501I 0202+=?= tV ωsin 3802u 380U 22=?=
相量形式是当频率一定时，正弦量瞬时值表达式的代表符。所以，采用相量法后，交流电路和直流电路中的定律和公式在形式上是相似的。所不同的是，交流电在计算时应按复数运算法则进行。 二、 应用举例 应用一：相量表示法 应用分析：相量形式：用复数的极坐标形式来表示交流量 正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。 有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长度大小)、用初相角做为相量 的幅角，通式为：e E E ?∠= u U U ?∠= i I I ?∠= 相量图形式：把交流电的相量画到复平面中。（同频率的可画在同一复平面中） 例1：写出下列正弦电压的相量 (1) .U =10∠0 V (2) .U =10∠ /2V (3) . U =10∠- /2V (4) .U =10∠-3/4 V 举一反三： 如图所示为两个同频率的正弦交流电压u 1、u 2的波形，求u 1、u 2的解析式和相量形式，并画出相量图。
复数的各类表达形式 一、代数形式 表示形式：表示一个复数 复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。 二、几何形式 点的表示形式：表示复平满的一个点 在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。 复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 三、三角形式 表示形式 复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 四、指数形式 表示形式 将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形 式z＝rexp (iθ) 。
向量 在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。 向量的运算法则 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
5．2 正弦量的相量表示法 一、复数及其运算 1、复数的形式及其相互转换 （1）代数形式（直角坐标形式）：A j a b =+ 其中：a 为实部，[]A a Re =，b 为虚部,[]A b Im =；每一个复数在复平面上都可找到唯一的点与之对应，而复平面上的每一点也都对应着唯一的复数。 复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数A j a b =+，可以用一个从原点O 到P 点的矢量来表示，这种矢量称为复矢量。由图可知： 复数A 的模——矢量的长度：A r == 复数A 的辐角：矢量和实轴正方向的夹角?：规定 π?≤ a b arctan =?（复数落于第Ⅰ、Ⅳ象限） 或π?±=a b arctan （复数落于第Ⅱ、Ⅲ象限） 实部：??cos cos A r a == 虚步：??sin sin A r b == （2）复数的三角形式：()????sin j cos sin j cos +=+=A A A A （3）复数的指数形式：? j e A A =（欧拉公式：??? jsin cos j +=e ） （4）复数的极坐标形式：?∠=A A 例5-3 写出复数12A 4j3 , A 3j4=-=-+的极坐标形式。 解 1A 的模 15r = = 辐角 3 arctan 36.94 ?1-==-? （在第四象限） 则1A 的极坐标形式为1A 5=∠-36.9?。 2A 的模 25r = = 辐角 9.1261803 arctan 2=+-=?（在第二象限） 则 2A 的极坐标形式为2A 5126.9=∠?。 例5-4 写出复数A 10030=∠?的三角形式和代数形式。 解 三角形式： A 100(cos30jsin 30)=?+?
4－１ 正弦交流电路的分析方法 一、用向量表示正弦量 表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。 一、正弦量的旋转矢量表示 1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量， 称为相量。如：?m I 、? m U 、? m E 。 有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。如：? I 、? U 、? E 。 2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。 二、同频率正弦量的加、减 确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。 １、 相量作图法的步骤：先用出相量 1? I 和2 ?I ，而后以1?I 和2? I 为邻边作一平行四 边形，其对角线即为合成电流i 的相量? I 。 ? I 的长度为有效值，? I 与横轴正方向的夹角 即为初相ψ。 ２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： ? ????-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减 两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。 两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。 多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。 三、相量的复数表示式 把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。 jb a I +=? 其中，a----实部，b----虚部 ψ ψsin ,cos I b I a == 则 ： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=? ， 式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角 a b tg b a I = += ψ,2 2 复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：
§8.2 复数的表示法 预备知识 ?向量的有关概念 ?坐标平面的概念 重点 ?用复平面上的点、向量和三角形式表示复数 ?复数模的概念 难点 ?复数几何表示的理解 ?复数几种表示形式的互化 ?幅角的多值性 学习要求 ?理解复数几种表示法的关系 ?会以不同形式表示已知复数
一个复数z ，除了表示为a +bi 这种形式之外，还有其它多种表示形式．在这一节中，将介绍这些形式，并阐明它们之间的关系和意义． 1. 复数的几何表示及有关概念 (1)复数的向量表示形式 你已经知道，实数可以用数轴上的点来表示，且实数集R 和数轴上的点构成的集合是一一对应的．在此基础上，引进了平面直角坐标系后，有序实数对(a ,b )与平面直角坐标系中的点也可以建立一一对应关系． 任何一个复数z 都能唯一表示成a +bi (a ,b ∈R )的形式，这表明复数z 与有序实数对(a , b )之间，也有一一对应的关系，因此当我们在平面建立了一个直角坐标系后，以复数z 的实部a 、虚部b 分别作为横坐标和纵坐 标，可以唯一对应一个点Z (a ,b )(见图8-2) 面上一点(a ,b )，就对应着一个复数z =a +bi ． 这样，复数与平面上点之间也有一一对应关系． 因为这样的直角坐标系，是用以表示复 数的，因此称横轴(x 轴)为实轴，纵轴(y 轴) 为虚轴，并且称建立了这样的直角坐标系的 平面为复平面．上述复数与点的一一对应关系，可以更明确地表述为 复数z =a +bi 与复平面上的点Z (a ,b )一一对应． 根据实轴、虚轴的规定，你立即可以发现： z =a +bi 为实数 ? 对应点Z 在x 轴上； z =a +bi 为纯虚数 ? 对应点Z 在除原点外的y 轴上． 用复平面上的点来表示复数，称为复数的几何表示法． 课内练习1 1. 在复平面内，描出表示下列各复数的点： (1)3+2i ； (2)-4+6i ； (3)2-4i ； (4)-3-i ； (5)5； (6)-4i ． 2. 写出图中复平面内各点Z i (i =1,2,...,7) 表示的复数z i (见附图)． 3. 如果P 是复平面内表示复数a +bi (a , b ∈R )的点,试分别指出在下列条件下点P 的位置： (1)a >0,b >0； (2)a <0,b >0； (3)a =0,b <0； (4)b >0． 在解析几何中，你已经知道，平面的 点集与平面上的向量的集合之间是一一对应的：点P (a ,b )对应向量OP ．这样， 复数z =a +bi ? 复平面上点Z (a ,b ) ? 向量 (见图8-3)．因此复数z 与向量一一对应． 称复平面上的以原点O 为始点的向量为复向量．上面讨论表 图8-2 (第2题图)
复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)) )） =r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ 2 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ=cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
3.2 正弦量的相量表示法 正弦量的三角函数表示法较为简单， 正弦量的波形图表示法较为直观， 但这两种方法都不便于运算。 正弦量的“相量表示法”， 相量表示法，就是用复数表示正弦量， 下面，先回顾复数→ → 并且把正弦量的各种运算，也以复数的代数运算的形式进行， 这样，大大简化了正弦交流电路的分析计算过程。 抓住频率、幅值和初相位三要素即可；能形象地描述各正弦量的变化规律；不仅简明、扼要，而且便于运算。
3.2.1 复数ψ b a 实部 虚部+j +1 A 辐角ψ=arctg(b /a)实部a=|A|cos ψ;虚部b=|A|sin ψ 模|A|= 复数的表示形式: 22a b +；A=a + j b 2.复数的三角函数形式1.复数的代数形式 A =|A|(cos ψ+j sin ψ) 3.复数的指数形式j ψ A =A e 4.复数的极坐标形式∠ψ A =A 复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 一、正弦量的相量表示法若，令复数A 绕原点， 以ω的角速度、逆时针方向旋转， 则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为： b (t)=|A|sin(ωt +ψ) *用旋转复数虚部表达式，可表示正弦量的解析式，*用来表示正弦量的复数，叫做相量， 形式完全相同 i (t)=I m sin(ωt +ψ)*这说明，正弦量可以借用复数来表示，用大写字符上加“·”来表示。 ψ +j +1 A b (t) A ωt ω
以i (t)=I m sin(ωt +ψ)为例极大值相量式=I m (cos ψ+jsin ψ)有效值相量式I m = I m e j ψ 指数形式极坐标形式 = I m ∠ψ 三角函数形式=I(cos ψ+jsin ψ) =I e j ψ=I ∠ψ I I I 二、正弦量相量表示法的几种形式I m I m 所以在相量表达式中仅包含幅值与初相位的信息是可行的。在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的响应将是同频的正弦量。 说明 因此在分析正弦交流电路时，可以不考虑频率，仅用幅值(或有效值)和初相位两个量来表示正弦量。 但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
表示名词复数,在中文方面显得很简单,如:一个苹果、五个苹果;一座桥、两座桥;一匹马、五十匹马……名词完全相同。英文名词的复数表示法就复杂得多了,往往让初学者感到混淆。我总觉得英文实在不能算是一种理想的语文,可是…… 一、最常见的名词复数(Plural)就是在单数(Singular)名词后边加上一个s boy boys cat cats room rooms horse horses tree trees rose roses 二、如果名词是以sh,ch,s或x结尾的话,那就要在单数的后面加上es lash lashes 鞭子 push pushes branch branches match matches coach coaches 教练
gas gases ass asses 驴子 class classes box boxes fox foxes 三、如果名词结尾是一个子音(consonant,就是除了a,e,i,o,u之外的字母)加一个y, 那就要将y换成i,再加上es baby babies family families pony ponies city cities country countries 四、可是,如果名词结尾是一个母音(vowel,就是a,e,i,o,u)加一个y,那只要在单 数词后加一个s就成了 play plays way ways
valley valleys 山谷 donkey donkeys toy toys boy boys guy guys 五、当单数名词的结尾是f或fe时,复数的写法就是将f改为v,再加es thief thieves shelf shelves leaf leaves calf calves half halves wolf wolves wife wives life lives 可是,f结尾的单数字,有许多只需加个s就成复数(你看,这又是英文的bugs) roof roofs hoof hoofs
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)） 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ= cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
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复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。 坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。 自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。 （a,b）对应复数在复平面上的坐标。 三角形式：z=r(cosθ+isinθ) 这个结合几何意义容易看出来： 记复数z的模为r，幅角为θ， 显然有a=rcosθ,b=rsinθ 代入坐标形式里即有： Z 1z 2 =r 1 r 2 (cosθ 1 cosθ 2 -sinθ 1 sinθ 2 +i(sinθ 1 cosθ 2 +cosθ 1 sinθ 2 )) =r 1r 2 （cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )） 通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如： 在旋转的几何背景下，我们还容易发现： Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ)) 特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式： （cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ) 这个公式很有用，我们下一次再谈。 指数形式：z=re iθ 因此有e iθ=cosθ+isinθ 从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ 借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式 e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n 这里面还藏着一个号称数学最美的式子： 特别地，令θ=π，则e iπ=-1。 我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。