第一讲 等差数列、等比数列
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1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解．
2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．
3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节．
考点一 等差、等比数列的基本运算
1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ；
S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2
d .
2．等比数列的通项公式及前n 项和公式
a n ＝a 1q n －
1(q ≠0)；
S n ＝????
?
na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q
＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).
1．(2019·大连模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
[解析] 由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得
?
????
2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，
即????? 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得?????
a 1＝－2，d ＝4，
故选C. [答案] C
2．(2019·济南一中1月检测)在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( )
A ．144
B ．121
C ．169
D ．148
[解析] 由题意可知，
???
?? a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即?????
a 1(1＋q )＝9，
a 1
(1＋q ＋q 2)＝21， 解得?????
q ＝2，
a 1＝3或?????
q ＝－23，a 1＝27
(舍)．
∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A. [答案] A
3．(2019·广东珠海3月联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 9＝15，则S 8
－S 3＝( )
A ．30
B ．25
C ．20
D ．15
[解析] 因为a 2＋a 7＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋6d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋5d )＝15，所以a 1＋5d ＝5，即a 6＝5，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝25，故选B. [答案] B 4．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .由题意知，a n >0，q >0.由a 5＝3a 3＋4a 1得a 1q 4＝3a 1q 2
＋4a 1，∴q 2＝4，∴q ＝2.由S 4＝a 1(1－24)1－2
＝15，解得a 1＝1.∴a 3＝a 1·q 2＝4，故选C.
[答案] C
5．(2019·河南濮阳二模)《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.73斤
B.72斤
C.5
2斤 D ．3斤 [解析] 金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，设公差为d ，
则2＝4＋4d ，解得d ＝－12，∴a 2＝4－12＝7
2
.故选B.
[答案] B
6．(情境创新)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
[解析] 依题意得，数列{a n }是以2为公比的等比数列，因为最下层的浮雕的数量为a 1，所以S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，解得a 1＝8，所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2(1≤n ≤7，n ∈N *)，所以a 3
＝25，a 5＝27，从而a 3×a 5＝25×27＝212，所以log 2(a 3a 5)＝log 2212＝12，故选C.
[答案] C
(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
(2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公比(或公差)、项数、通项公式或前n 项和等．
考点二 等差、等比数列的性质
1．等差数列的性质
(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d ；
(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列． 2．等比数列的性质
(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；
(2)a n ＝a m q n －
m ；
(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S n ≠0)．
1．(2019·山东烟台一模)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8－a 4＝6，则S 11＝( )
A ．132
B ．108
C ．66
D ．不能确定 [解析] 解法一：依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )＋(a 1＋7d )－(a 1＋3d )
＝6，即a 1＋5d ＝6，S 11＝11a 1＋11×10
2
d ＝11(a 1＋5d )＝66，选C.
解法二：依题意得(a 4＋a 6)－a 4＝6，即a 6＝6，S 11＝11(a 1＋a 11)
2
＝11a 6＝66，选C.
[答案] C
2．(2019·沈阳质量监测(一))在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5
[解析] 解法一：设公比为q (q ≠0且q ≠1)，由题知?
????
a 3＝a 1q 2＝2 ①，a 7＝a 1q 6＝8 ②，②
①得q 4＝4，
故q 2＝2，则a 5＝a 3q 2＝2×2＝4，故选A.
解法二：由等比数列的性质得a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，又a 3，a 5，a 7间隔项是偶数项，所以a 3，a 5，a 7符号相同，所以a 5＝4，故选A.
[答案] A
3．(2019·衡水中学调研)已知数列{a n }的任意连续三项的和是18，并且a 5＝5，a 13＝9，那么a 2019＝( )
A ．10
B ．9
C ．5
D ．4
[解析] ∵数列{a n }的任意连续三项的和是18，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列．∵a 5＝5，∴a 2＝a 5＝5，
∵a 13＝9，∴a 1＝a 13＝9，∵a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 3＝4， ∵2019＝673×3，∴a 2019＝a 3＝4，故选D.
[答案] D
4．(2019·江西七校联考)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝38n ＋14
2n ＋1
(n
∈N *)，则a 6
b 7
＝( )
A ．16 B.24215 C.43223 D.494
27
[解析] 令S n ＝38n 2＋14n ，T n ＝2n 2＋n ，∴a 6＝S 6－S 5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b 7＝T 7－T 6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴a 6b 7＝38×11＋142×13＋1＝432
27＝16.
故选A.
[答案] A
5．(2019·山西长治二模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n
＋3恒成立，则a 1的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．－3或1
D ．1或3
[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，
所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q
，
代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成
立，则有????? 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得????? a 1＝1，q ＝2或?????
a 1＝－3，
q ＝－2，
故a 1＝1或－3，故选C. [答案] C
6．(2019·呼和浩特模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝1，S 10＝3，则S 15的值是________，S 100的值是________．
[解析] ∵数列{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，∴(S 10－S 5)2
＝S 5·(S 15－S 10)，4＝1×(S 15－3)，得S 15＝7.
S 100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S 100＝1×(1－220)
1－2＝220－1.
[答案] 7 220－1
应用等差、等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等差、等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
考点三 等差、等比数列的判定与证明
1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． 2．证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法
(1)利用定义，证明a n ＋1
a n
(n ∈N *)为一常数；
(2)利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．
【例】 (2019·福建厦门一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列．
(2)在(1)的条件下证明????
??
a n 2n 是等差数列，并求a n .
[解] (1)证明：由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2①
知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，
∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34
， ∴数列????
??a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列．
∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －1
4，a n ＝(3n －1)·2n －2.
等差、等比数列的判定与证明应注意的两点
(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式的特征，但不能作为证明方法．
(2)a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．
(2019·山西长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.
(1)求a n 及S n ；
(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
[解]
(1)由题意可得?????
a 1q 3＝9a 1q ，
a 1
(1－q 3
)1－q
＝13，
q >0，
解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3
n －1
，S n ＝1－3n 1－3
＝3n －1
2.
(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝1
2×3n ，则S n ＋1＋
1
2S n ＋
1
2
＝3，
故存在常数λ＝12，使得数列???
?
??S n ＋12是等比数列．
1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )
A ．－12
B ．－10
C ．10
D ．12
[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3?
???
3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d
＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3
2
a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选
B.
解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4
－a 3，∴3a 1＋3×2
2
d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
[答案] B
2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10
C ．S n ＝2n 2－8n
D ．S n ＝1
2
n 2－2n
[解析] 设{a n }的公差为d ，依题意得，4a 1＋4×3
2d ＝0，①
a 1＋4d ＝5，②
联立①②，解得a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝2n －5，S n ＝n 2－4n .故选A. [答案] A
3．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
12
2.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )
A.32f
B.322f
C.1225f
D.12
27f
[解析] 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为12
2的等比数列，设该等
比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝
12
27f ，故选D.
[答案] D
4．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10
S 5＝________.
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝3a 1， ∴a 2＝a 1＋d ＝3a 1，∴d ＝2a 1，
∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×4
2d ＝25a 1，
又∵a 1≠0，∴S 10
S 5
＝4.
[答案] 4
5．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 2
4＝a 6
，则S 5＝________.
[解析] 设{a n }的公比为q ，由a 24＝a 6，得a 24＝a 4·q 2，∴a 4
＝q 2. 又∵a 4＝a 1·q 3，∴a 1·q 3＝q 2，又a 1＝1
3，∴q ＝3.
由等比数列求和公式可知S 5＝1
3×(1－35)1－3
＝121
3.
[答案] 121
3
高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或13～14题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．
热点课题2 数列中的最值问题
1．(2019·江西五校联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( )
A ．S 5
B ．S 6
C ．S 7
D ．S 8
[解析] 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，
∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9(a 1＋a 9)
2＝9a 5<0，
∴a 5<0，a 6>0，
∴S 1、S 2、…、S 9中最小的是S 5，故选A. [答案] A
2．(2019·山东青岛模拟)已知a n ＝n －2018
n －2019
(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中，最小
项和最大项分别是( )
A ．a 1，a 50
B ．a 1，a 44
C ．a 45，a 50
D ．a 44，a 45
[解析] a n ＝n －2018n －2019
＝
n －2019＋2019－2018
n －2019
＝1＋
2019－2018n －2019
.
结合函数y ＝a ＋
c
x －b
(c >0)的图象，要使a n 最大，则需n －2019最小且n －2019>0， ∴当n ＝45时，a n 最大，当n ＝44时，a n 最小． [答案] D
专题强化训练(十四)
一、选择题
1．(2019·惠州一调)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，a 4＝7，则S 5＝( ) A ．28 B ．25 C ．20 D ．18
[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则????? a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＝7，解得?????
a 1＝1，
d ＝2，
所以
S 5＝5a 1＋5×4
2
d ＝5×1＋10×2＝25，选B.
解法二：S 5＝5a 3＝5×a 2＋a 4
2
＝25，选B.
[答案] B
2．(2019·泉州二模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5
S 6
＝
( )
A.13
B.17
C.23
D.37
[解析] 解法一：由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a (1－26)1－2＝63a 1，
所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13
，故选A.
解法二：由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5＋(a 2＋a 4＋a 6)＝a 1＋a 3＋a 5
＋2(a 1＋a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 3＋a 5)，故a 1＋a 3＋a 5S 6＝1
3
，故选A.
[答案] A
3．(2019·四川绵阳一模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱( )
A.53
B.32
C.43
D.54
[解析] 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即
???
2a 1＋d ＝52
，
3a 1
＋9d ＝52
，解得???
a 1＝43
，
d ＝－1
6，
故甲
得4
3
钱，故选C. [答案] C
4．(2019·云南大理模拟)已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝1
8
，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 则k 的取值范围是( ) A.????12，23 B.????12，＋∞ C.????12，23 D.??? ?23，＋∞ [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝1 8 ， 解得q ＝12，所以a n ＝1 2n － 1， 所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝1 22n － 1， 所以数列{a n a n ＋1}是以12为首项，1 4 为公比的等比数列， 所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝12?? ??1－14n 1－14 ＝23 ????1－14n <2 3，因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1 3 .故k 的取值范围是????23，＋∞.故选D. [答案] D 5．(2019·湖南永州三模)已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论： ①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①③ D ．①②④ [解析] ∵a 1＋5a 3＝S 8，∴a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，∴a 1＝－9d ，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，∴a 10＝0，故①一定正确．S n ＝na 1＋ n (n －1)d 2＝－9nd ＋n (n －1)d 2＝d 2 (n 2－19n )，∴S 7 ＝S 12，故③一定正确．显然②④不一定正确，故选C. [答案] C 6．(2019·郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若 a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16 a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.9 2 [解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1， ∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2， ∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2 .令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3 ＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时等号成立，∴2S n ＋16 a n ＋3的最小值为4.故选A. [答案] A 二、填空题 7．(2019·福建四地六校联考)已知等差数列{a n }中，a 3＝π 4 ，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝________. [解析] ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 6＝a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 3 4 π＝－2 2 . [答案] －2 2 8．(2019·山东菏泽一模)在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则 a 2a 16 a 9 的值为________． [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2a 16 ＝2，所以a 29＝2，则a 2a 16a 9 ＝a 9＝± 2. [答案] ±2 9．(2019·安徽淮北一模)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝(a n －1)(a n ＋2)．若数列{a n ＋λa n ＋1}总是等差数列，则此数列的公差为________． [解析] 当n ＝1时，2S 1＝(a 1－1)(a 1＋2)，∵a 1>0，∴a 1＝2.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n － 1)＝a 2n －a 2 n －1＋a n －a n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴数 列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n ＋1.∵(a n ＋1＋λa n ＋2)－(a n ＋λa n ＋1)＝(a n ＋1－a n )＋λ(a n ＋2－a n ＋1)＝1＋λ，∴不论λ取何值，数列{a n ＋λa n ＋1}总是等差数列，且此数列的公差为1＋λ. [答案] 1＋λ 三、解答题 10．(2019·沈阳第一次质量监测)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 1 3＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n . 设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5 b 2 ＝8，解得q ＝2. 因为b 1＝b 2 q ＝2，所以b n ＝b 1·q n －1＝2×2n －1＝2n . (2)由(1)可得，S n ＝n (2＋2n )2＋2(1－2n ) 1－2 ＝n 2＋n ＋2n ＋1－2. 11．(2019·河南六市调研检测)设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n ＋1－1 32 (n ∈N *)． (1)试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n . [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 2－132.则a 2＝a 1＋1 32 ， 当n ≥2时，S n －1＝a n －1 32 ，与已知式作差，整理得a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)， 欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ，又a 2＝a 1＋132，a 1＝r ，∴r ＝1 32 ， 故当r ＝132时，数列{a n }是以1 32 为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＝2n －6. (2)由(1)知b n ＝n －6，∴|b n |＝? ???? 6－n ，n <6， n －6，n ≥6. 若n <6，则T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝11n －n 2 2 ； 若n ≥6，则T n ＝－b 1－b 2－…－b 5＋b 6＋…＋b n ＝n 2－11n 2 ＋30， ∴T n ＝??? ?? 11n －n 2 2 ，n <6，n 2 －11n 2＋30，n ≥6. 12．(2019·广东佛山质检)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝pn ＋1，其中p 为常数． (1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求p 的值； (2)是否存在p ，使得数列{a n }为等差数列？并说明理由． [解] (1)由a n ＋a n ＋1＝pn ＋1可得a 1＋a 2＝p ＋1，a 2＋a 3＝2p ＋1，a 3＋a 4＝3p ＋1，而a 1 ＝1，所以a 2＝p ，a 3＝p ＋1，a 4＝2p . 又a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 22＝a 1a 4 ，即p 2＝2p ，解得p ＝0或p ＝2.当p ＝0时，a 1，a 2，a 4不成等比数列，所以p ＝2. (2)解法一：假设存在p ，使得数列{a n }为等差数列． 当n ≥2时，a n ＋a n ＋1＝pn ＋1，a n －1＋a n ＝pn －p ＋1， 两式相减得a n ＋1－a n －1＝p ， 所以{a 2n －1}是首项为1，公差为p 的等差数列，{a 2n }是首项为p ，公差为p 的等差数列，故a 2n －1＝1＋(n －1)p ＝pn ＋1－p ＝p 2(2n －1)＋1－p 2，a 2n ＝p ＋(n －1)p ＝pn ＝p 2 ·2n . 因此要使得数列{a n }为等差数列，则1－p 2 ＝0，得p ＝2， 即存在p ＝2，使得数列{a n }为等差数列． 解法二：假设存在p ，使得数列{a n }为等差数列，设其公差为d . 则2a 2＝a 1＋a 3，即2p ＝1＋p ＋1，解得p ＝2，d ＝a 2－a 1＝p －1＝1，因此a n ＝n .此时验证a n ＋a n ＋1＝n ＋n ＋1＝2n ＋1，满足条件，即存在p ＝2，使得数列{a n }为等差数列．
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