湖南省2010年高中学生数学竞赛
湘西自治州赛区学生获奖情况通报
州教科通〔2010〕18号
湖南省2010年高中学生数学竞赛分为高二年级和高三年级两个组别于九月二十五日进行。湘西自治州赛区的有关工作已经完成。本次竞赛实行交叉巡考,集中评卷，各项工作认真、严格、有序。全州共评出一等奖 68人，二等奖 97人，三等奖176人。现将获奖学生名单（见附件）通报如下，望获奖同学再接再厉。
湘西州教科院
二0一0年十月二十五日
附件：湖南省2010年高中学生数学竞赛湘西自治州赛区获奖学生名单
高二年级
一等奖（33人）
姓名学校成绩谭潇颉泸溪一中129 李舒漫永顺一中124 左权永顺一中122 刘一莹永顺一中121 彭逸洲吉首一中120 龙松霄州民族中学120 向培永顺一中118 胡馨予泸溪一中117 龙云保靖民中116 向依苹永顺一中116 龙娇永顺一中116 向蒙茜永顺一中116 田伟永顺一中116 石新泸溪一中116 黄龙港保靖民中115 刘安格永顺一中115 龙宇春花垣边城高级中学114 张杰州民族中学114 李一鸣州民族中学114 龙梦洁永顺一中114 张施施永顺一中114 张志强永顺一中114 田上上永顺一中114 罗叶永顺一中114 龙浪花垣边城高级中学113 麻晟彪花垣边城高级中学112 向长鑫龙山高级中学112 李盟州民族中学112 周川源州民族中学112 李琳红永顺一中112 谢诗洋永顺一中112 杨彪泸溪一中112 吴江兵凤凰高级中学112
二等奖（50人）
姓名学校成绩陈彦全吉首一中111 田一坝龙山皇仓中学111 彭晨辰龙山高级中学111 朱玉芹永顺一中111 傅俞涵永顺一中111
刘高泸溪一中111 向伟民泸溪一中111 彭成龙山高级中学110 张思永顺一中110 彭友永顺一中110 向卉永顺一中110 顾圣基永顺一中110 邹佳君龙山皇仓中学109 王潇晖永顺一中109 杨靖泸溪一中109 陶品吉首一中108 彭俊吉首一中108 杨东龙山高级中学108 李俊杰永顺一中108 张柏林永顺一中108 向伟永顺一中108 郭倩永顺一中108 李纯吉首一中107 王玉龙山皇仓中学107 向雨州民族中学107 钟宇永顺一中107 王子涵永顺一中107 景升州民族中学106 李琴保靖民中106 王雅倩永顺一中106 彭烨永顺一中106 田欣弘永顺一中106 田程永顺一中106 谭铖泸溪一中106 宋维泸溪一中106 麻省洋凤凰高级中学106 滕帆凤凰华鑫高中106 彭煊龙山皇仓中学105 向斯曼州民族中学105 田毅保靖民中105 唐古月永顺一中105 彭煌永顺一中105 向洪利龙山高级中学104 张安幸龙山皇仓中学104 吕麒鹏州民族中学104 王芮河州民族中学104 龙杰保靖民中104 杜羽永顺一中104 李帆永顺一中104 王峻青永顺一中104
三等奖（89人）
姓名学校成绩唐文金龙山皇仓中学103 段钰龙山高级中学103 刘吕赣永顺一中103 宋立泸溪一中103 张深涵州民族中学102 杨坤州民族中学102 赵文逸州民族中学102 张来永顺一中102 张艳梅永顺一中102 杨世泽泸溪一中102 石小林泸溪一中102 欧红兴凤凰华鑫高中102 吴田俊凤凰华鑫高中102 暨洋吉首一中101 张钰贤花垣边城高级中学101 肖林沙龙山高级中学101 瞿锡垚龙山高级中学101 田金政龙山高级中学101 李欣洁州民族中学101 陈强州民族中学101 向华永顺一中101 周汉辉吉首一中100 向琉瑛龙山高级中学100 吴涛洮州民族中学100 向自立州民族中学100 滕明堒州民族中学100 杨胜宇保靖民中100 王珏永顺一中100 黄睿永顺一中100 顾孝严泸溪一中100 吴勇凤凰高级中学100 欧强凤凰华鑫高中100 周泽宁吉首一中99 龚伟州民族中学99 彭倩州民族中学99 康宁州民族中学99 郑露永顺一中99 龙稹朴永顺一中99 黄彭烛永顺一中99 向海云永顺一中99 刘晓杨泸溪一中99
麻伶毅花垣边城高级中学98 杨文举州民族中学98 罗程宁州民族中学98 王黛月州民族中学98 傅倬淞州民族中学98 邓忠豪州民族中学98 刘春娇保靖民中98 陈垣方保靖民中98 彭煜永顺一中98 余康永顺一中98 涂雪慧永顺一中98 向万泸溪二中98 黄志勇凤凰华鑫高中98 吴燕平凤凰华鑫高中98 张雅甜龙山高级中学97 翟容龙山皇仓中学97 张兰龙山高级中学97 田维欢州民族中学97 田子锌州民族中学97 向帮志保靖民中97 吴星宇保靖民中97 谢淼保靖民中97 瞿锦永顺一中97 张琼永顺一中97 王贺永顺一中97 彭叶红永顺一中97 袁滔泸溪一中97 张小波龙山高级中学96 顾里红州民族中学96 李文洲州民族中学96 姚昊牧州民族中学96 彭鹏泸溪一中96 符彪吉首一中95 姚一凡龙山高级中学95 姚慧龙山皇仓中学95 彭学锋州民族中学95 田野州民族中学95 邓皓骞保靖民中95 瞿梦巧永顺一中95 彭成永顺一中95 张杨泸溪一中95 朱杰泸溪一中95 鲁冰沁古丈一中90 王海波永顺二中90 米雪泸溪二中90
王永杰泸溪二中90 张小舟吉首市民中
田秋凤花垣民族中学
高三年级
一等奖（35人）
姓名学校成绩黄豆泸溪一中121 张静泸溪一中118 王耀清保靖民中114 全鹏飞州民中114 孙婷也州民中112 王奥林泸溪一中106 莫晓鹏泸溪一中105 秦川永顺一中102 唐树海泸溪一中102 杨浩州民中100 田义振永顺一中100 刘李吉首一中99 黄华州民中99 常鹏保靖民中98 马菁州民中98 田自力保靖民中97 肖盼龙山高级中学97 张良安龙山高级中学97 彭英姿永顺一中97 杨涛保靖民中94 翁辉保靖民中93 张滔龙山高级中学92 曾香永顺一中92 王飞翔永顺一中89 陈沿君龙山高级中学88 包敦凤泸溪一中87 左金玉永顺一中86 周国旺泸溪一中86 莫艽泸溪一中86 张志衡保靖民中85 邓鹏龙山高级中学85 胡玮永顺一中85 李波永顺一中85 宋黎霞永顺一中85 石博泸溪一中85
二等奖（47人）
姓名学校成绩唐三云州民中84 包懿龙山高级中学83 罗桂林永顺一中83 吴坷永顺一中83 郑时毛永顺一中83 阙滔滔凤凰华鑫高中83 罗湘灵泸溪一中83 张慧嫱永顺一中82 彭壮保靖民中81 刘斌永顺一中81 吴伟保靖民中80 王丽保靖民中80 甘仁文龙山高级中学80 邓应科州民中80 王净永顺一中80 张茜永顺一中79 彭科保靖民中78 周忠鑫龙山高级中学78 杨怡龙山皇仓中学78 田吉祥龙山高级中学78 田露龙山高级中学78 向爱林州民中78 彭毅花垣边城高级中学78 张鹏保靖民中77 梁井彰保靖民中77 姚芳凤凰高级高中77 张丽莎保靖民中77 周一永顺一中76 杨珍芳泸溪一中76 龙晓雪州民中75 李棋伦州民中75 彭波云永顺一中75 陈黎妮永顺一中75 张世浩泸溪一中75 张康泸溪一中75 刘仲兵永顺一中74 杨方云泸溪一中74 向邦驰保靖民中73 彭煌永顺一中73 雷勉永顺一中73 瞿华龙永顺一中73 石杨慧凤凰华鑫高中73
石沐畦州民中72 黄兵永顺一中72 黄璋永顺一中72 吴琪花垣边城高级中学72 程裕杭泸溪一中72
三等奖（87人）
姓名学校成绩杨先德龙山高级中学71 邬国栋永顺一中71 瞿东保靖民中71 郭英豪龙山皇仓中学70 杨程州民中70 龙春鹂州民中70 鲁艳永顺一中70 张静泸溪一中70 谭子俊泸溪一中70 李芬泸溪一中70 杨刚保靖民中69 张清清州民中69 陈根泸溪一中69 彭春华州民中68 向圣职州民中68 符凤浩永顺一中68 刘云帆州民中67 姚奕屹永顺一中67 向明波永顺一中67 向珣永顺一中67 龙波花垣民族中学67 杨烨军保靖民中66 向家葆保靖民中66 马达龙山高级中学66 张郭山龙山高级中学66 周福勇龙山高级中学66 龙朱蒂州民中66 张瑞颖州民中66 彭晓丽永顺一中66 麻友凤凰高级高中66 杨先荣泸溪一中66 唐元旺泸溪一中66 张俊保靖民中65 方琴民州民中65 高梦莹州民中65
任中玉州民中65 罗荣光州民中65 胡岁生永顺一中65 彭袁凯永顺一中65 彭超泸溪一中65 向飞林龙山高级中学64 皮宇航永顺一中64 杨芳铁泸溪一中64 彭波保靖民中63 江杨龙山高级中学63 肖昌键龙山高级中学63 彭兰兰州民中63 宋斌永顺一中63 彭新朝永顺一中63 刘卫中凤凰华鑫高中63 杨旸谷泸溪一中63 曹通泸溪一中63 王斌泸溪一中63 陈世望龙山皇仓中学62 胡鑫州民中62 徐斌永顺一中62 胡桃凤凰华鑫高中62 李作兴泸溪一中62 包彭瑞泸溪一中62 陈芾纬州民中61 梁绪娟州民中61 向晶州民中61 吕洋州民中61 田源州民中61 朱宜春永顺一中61 谢天永顺一中61 向颜敏古丈一中61 吴宝晶凤凰高级高中61 黄俊忠泸溪一中61 覃玉莲泸溪一中61 唐益龙山皇仓中学60 向文武龙山皇仓中学60 付良甲吉首一中60 陈彦伟吉首一中60 罗英方州民中60 彭洁瑶州民中60 赵静州民中60 田熠永顺二中60 洪江成凤凰华鑫高中60 龚娇泸溪一中60
张心怡泸溪一中60 向露古丈一中
杨浩辉泸溪二中
田宇保靖雅丽中学
邱铃州二民中
李景荣吉首市民中
张雪丽吉首市民中
2007年高等数学竞赛培训班 线面积分练习题参考解答一.填空题(每小题3分,共15分) 1.设L 为椭圆22143y x +=，其周长为a ，则222(234)d 12L a xy x y s ++=??. 解：222 222 (234)d 2d (34)d 012d 12L L L L xy x y s xy s x y s s a ++=++=+=? ? ? ?蜒蜒. 2.设∑:1x y z ++=，则()d x y S ∑+=??解：()d d d x y S x S y S ∑ ∑ ∑ +=+?????? ()8110d d 333x y z S S ∑∑∑ =+++==????88d d 33xy xy D D x y x y ==????3.密度为0μ的均匀金属丝2222 :0 x y z R x y z Γ?++=?++=? 对于x 轴的转动惯量 304π 3 x R I μ=. 解：22 2 22220000222()d ()d d 2π3 33 x I y z s x y z s R s R R ΓΓμμμμΓ=+=++==????蜒? 304π3 R μ=. 4.设22:(1)2L x y ++=，则 22d d 23 π L x y y x x y y - =+--++??. 解： 22d d 23L x y y x x y y - -=+++?? 222 (1)2 d d 11(11)d ππ2242L x y x y y x σ-++≤-=-+=-=-+????. 5.设:z ∑=，则2 d d cos d d d d 2π3I x y z y z x z x y ∑ = ++=??下侧 . 解：2221 2d d cos d d d d 00d π3x y I x y z y z x z x y x y ∑∑∑+≤= + + =+- =?? ?? ?? ??下侧 下侧 下侧 . 评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意 1z =
中山大学新华学院第九届高等数学竞赛 姓名 学号 班级 成绩 一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数( ) 1 1y ln x =++()()1,00,-?+∞。 2. 21 11.dx x +∞ =?。 3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-; 4. 1 1(1x x -+=?2 π. 5. a = 6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=8613316 1 5.64310C C -=? 二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2 ++=x x d dy )1(1 122++++= x x d x x ............3分 dx x x x x ??? ? ? ?++++=1111 22 ----------5分 .1 12 dx x += ------------7分 2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-， (1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。 解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-??++=?，解得0 ;3a b =??=-? ------------------ 2分
（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+- 由上表可得，极大值(1)2f -=。 ------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0 () lim 0,x f x x →=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10 ()lim 1.x x f x x →? ? + ?? ? 解： 4、设 211()x x f x e -?? +=??? 00x x >≤，求31(2)d f x x -?. 解：令2=-t x ，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3= x 时，1=t ------------------ 3分 3 101 1 1 1 (2)d ()d ()d ()d ---==+? ???f x x f t t f t t f t t 0 211d 1+x x -=? 1-0e d x x +?114e π=-+ ------------------ 7分 5. 计算4 0? t =，则2 ,2x t dx tdt == ------------------ 2分 4 2 02t te dt =? ? ------------------- 4分 2 2 2 22000 2()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+? -----------------7分 2000011()1() () lim ln 1lim lim 0000() 1()(0)1 lim lim (0)222002 () (0)lim ()lim 000, ()(0)() (0)lim lim 0, ()lim 1. x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x f x f x f f x x x x f x f f x x x f x f f x f x x f x e e e x e e e e →→→→??+? ? ? ?→→→= = →'''-''→→===?=-'===? ?+= ???====
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 大学生数学竞赛训练四—级数 一、（20分）设()2 101n n x f x x n ∞ ==≤≤∑ 1）证明：()()()()2 1ln ln 1016 f x f x x x x π+-+-=≤≤ 2）计算1 011ln 2dx x x -? 证明：1）设()()()()1ln ln 1F x f x f x x x =+-+-，因为 ()()()1 111 1ln 1ln 1n n n n x x x x F x n n x x --∞ ∞==--'=-+ - -∑ ∑ ()() ()()() ()1 11 1 111ln 111 ln 11n n n n n n x x x x x n x n x x --∞ ∞ ==-------= + + - --∑∑ ()()ln 1ln 1ln ln 0,0111x x x x x x x x x --=- + +-=<<-- 所以，当01x ≤≤时，()F x 为常数，即有 ()()()2 21 1116n F x F f n π∞ =====∑ （注意这里利用了极限()()()211112 1ln 1ln 1lim ln ln 1lim lim lim 0111 1ln ln x x x x x x x x x x x x x ----→→→→- ---====-- ） 2）()()1110222ln 2ln 1ln 2112ln 12t x t t dx dt dt x x t t =-??? ?+- ? ?-?? ?=--=- ? ??? ??? () 1 11 12 22 22221 11111112ln 2ln 2ln 222n n n n n n n n n t t dt dt t n n n n --∞∞∞∞====?? -- ???=-+=--=--+∑∑∑∑?? 2 2 2 211ln 2ln 262122 f ππ ??=-+-=- ???。 二、（15分）设()f x 在点0x =的一个邻域内有连续导数，且()0 lim 0x f x a x →=>。证明：级 数学分析竞赛（2003、2004级解答） 一、判断题（每题5分，共25分） 1、不正确。例：{}{}1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1n x =L ， {}{}11,0,0,k n x =L ，{}{}2 1,0,0,k n x =L ，{}{}31,0,0,k n x =L ，…。 2、不正确。例：()2,0,x x f x x ?=??是有理数 是无理数 。 3、不正确。例：( )f x = 4、正确。0x I ∈，,αβ?，使[]0,x I αβ∈?，()n f x 在[],αβ上一致收敛。 5、正确。两边进行积分计算可得相等。 二、证明题（12分） 证明：由12lim 0n n n n x x x →∞ ++=+?,N n N ??≥，有121 4 n n n x x x ++<+。 ()4' 特别地有， ()121 4 N N N x x x ++< + 整理得， (){}112121 2max ,2 N N N N N n x x x x x x ?++++<+≤= （1） ()9' 注意到1n N >，故有 {} 1112122max ,n n n n x x x x ? ++<= （2） 由（1）和（2）可得 21222n n N x x x >> 以此类推，可得{}k n x 且2k k n N x x >，所以{}n x 无界。 ()12' 三、证明题（13分） 证明：（i ）只须证：0ε?>，0δ?>，1212,:x x a x x δ?>-<，有 ()()12f x f x ε-<。事实上，任取0ε>， ()()121122 1111 sin sin f x f x x x x x -= - 湖南大学2012年数学竞赛试卷（数学专业类）及参考答案 2-1-1-1-1-1-1111.1|+|>0 (2)-(1)==+>0+()>0+()>0()+00={,,-0-0T T T T T s T s A B A B A B A I A P A P P A B P I P BP P I P BP P BP I B b b B T T BT D diag b b ??????=???????? 设实对称，实反对称，证明：（）正定 证：只要对的情形证明即可。事实上，由于正定，则存在可逆使得。。显然反对称。对于。 由于反对称，则存在正交阵使得12 =1120,...,0}11+=++{,,1,...,1}(1+)>0-1-1(2)--+s s T i i s T T T b b I B T I D T I D diag b b b B B B A B A B B A B B ????===???? ???? ==∏则。由于反对称，则。则。其中是正定的，是半正定的。则它们的和是正定的。 032012012s+1s+111222.=ker (1)dim =dim +dim (2)dim +dim 2dim ,,...,,,...,,,,...,,,...,dim =++...+s s t t W n V W W W W W V V V W W W W k k k σσσσσσεεεεεεεεσεσεσααεε?≥?∈设是维线性空间的子空间。为其上的线性变换。令。求证：证明： 设为一组基。则他们可以扩充为的一组基下面我们来证明为的一组基。对，有()()+1s+11122+1s+1+1s+1s+1+1s+1+1s+1+1s+1012++...+=++...+++...+=+...+,,...,+...+=+...+=0+...+ker ,s s s t t s s s t t s t t t s t t s t t s t t k k k k k k k k k l l l l l l W W εεεσασεεεεεσεσεσασεσεσεσεσεεεεσεε∈∈∈则则可由表出。 再证它们线性无关。设有线性组合则且。故。则它能被1122+1s+112s+1+1s+1s+10 12,...,++...+=+...+,,...,,,,...,=...==0.,,...,,,...,dim dim ==-+=dim +dim 2,,...,,s s s s t t s t s t t t n l l l l l W l l W W t t s t W W V εεεεεεεεεεεσεσεσεσεσσεεε表出。有。由于为的基。所以只能有所以线性无关。综上为的一组基。则（）取的一组基。则在此基下32323232,,,,()()+()-()()+()2()dim +dim 2dim 000000()=0A A A Frobenius r AAA r AA r AA r A r A r A r A V V V Frobenius AB ABC ABC B BC B BC B AB AB r AB r BC r r BC B BC σσσσσσ≥≥≥--?????? →→???????????? ?????+≤ ???????对应的矩阵分别为由不等式有。即等价的有注：不等式 因为则（）00()()+()-() ABC r B r ABC r AB r BC r B ???-? ???= ? ?????????????≥即 【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是： 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-+可以化简为（）． （A）2c a -（B）22 a b -（C）a -（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B） 21 4 a- （C） 1 2 （D） 1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（）． （A）2 3（B）4 （C）5 2（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）． 1 / 6 2018 年全国高中数学联合竞赛一 试（A 卷） 参考答案及评分标 准 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 设集合 A = {1, 2, 3, , 99}, B = {}2x x A ∈, C ={}2x x A ∈，则 B C 的元 素个数为 ． 答案： 24 ． 解：由条件知，B C = {2, 4, 6, , 198} {12, 1, 32 ,2, , 992 }= {2, 4, 6, , 48} ， 故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 α Q 在平面 α 上，使得直线 PQ 与 α 所成 角不小于 30? 且不大于 60? ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为 ． 答案：8π ． 解：设点 P 在平面α上的射影为O ．由条件知，tan [3OP OPQ OQ =∠∈ 即OQ ∈ [1, 3] ，故所求的区域面积为 π ? 32 - π ?12 = 8π ． 3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的 概率为 答案：910 解：先考虑 abc + def 为奇数的情况，此时 abc , def 一奇一偶，若 abc 为奇数， 则 a , b , c 为1, 3, 5 的排列，进而 d , e , f 为 2, 4, 6 的排列，这样有 3! × 3! = 36 种情况， 由对称性可知，使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 = 72 种．从而 abc + def 为偶 数的概率为72729116!72010 -=-= 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : 22 221x y a b += (a > b > 0) 的左、右焦点 2007年爲务紅兮菴赛培训班 线面积分练习题参考解答2006.5.13 一?填空题（每小题3分，共15分） 1 ?设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ， 解:贞（2xy 2 + 3x 2 + 4y 2 心=巾 2xy 2 ds + 血（3x 2 + 4y 2 ）dy = 0 4-也 则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2?设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS = JA /3 ? L 解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41S JI 2As = 1 2Q ? <4加i X + M +》|)dS 二胡 dS 二制 x 2+(y+l)2<2 Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再?1?1 =扌屁 % 丫2 + / + 2 二 R 2 3 ?密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十?—K 对于兀轴的转动惯量 x+尹十z=0 4 =細）尿? 解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣 =扌“（）兀7?'? 4 ?设厶：宀（卩+ 1）2二2 xdy-ydx x 2 十尹2 +2尹十3 -7T 5.设X:z = -y]l-x 2 -y 2 ,贝!j / = jj x 2 dydz + cos ydzdx + zdxdy = 3 71 解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2 dxdy = i^- 评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意 ①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行； ②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如 光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有 0, 若伪x的偶函数， ⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数. L刀半 ③也可利用轮换对称性。 二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内） 1 ?设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且 0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于 (A)l?(B) 0?(C) 21. (D)|. (::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀? F dx = 0 + * = ￡ 2.设S:x2+/+z2=l 解: (沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有 (A) 口xdS = 4JJ xdS ?(B) jj ydS = 4 jj xdS ? S S] S S] (C) JJ zdS = 4jj xdS ?(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ?答：(C ) S S\ S S\ 解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对?事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上 S S| 的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS? S S] S] 3?设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是 （A） x2dS,^j* x2dvdz ?（B）前xdS,曲Xdpdz ? E2?外z （C）前xdS,曲xdydz ?（D）前xydS,前ydzdx?答：（B ） 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 西南交通大学数学竞赛 辅导教材 西南交通大学数学竞赛组委会 2011年5月 前言 数学竞赛是数学教育的一个重要组成部分，具有悠久的历史。中国大学生数学竞赛（通称为“全国大学生数学竞赛”），作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维能力的舞台，为发现和选拔优秀数学人才并进一步促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材。作为衡量高校基础教学水平和数学课程建设的全国统一赛事，全国大学生数学竞赛目前已成为全国影响最大、参加人数最多的高水平学科竞赛，每年举办一次，分为预赛和决赛两个阶段。 本书主要是为了西南交通大学非数学专业数学竞赛辅导而编写，此竞赛涉及的内容仅限于高等数学课程的知识范围，书中的例题和习题的选配也仅限于此。考虑到数学竞赛综合性的特点，全书分为3部分，第一部分为专题复习辅导，第二部分为各专题习题答案，第三部分为竞赛真题及模拟题。 数学竞赛中的题目大多对解题的技巧性和方法的综合性要求较高，书中习题选自各竞赛参考书、考研辅导书及各种高等数学辅导资料，为了方便读者提高自己的竞赛水平，我们在书中安排了竞赛真题及模拟题。我们希望读者能通过自己独立思考来完成书后的竞赛真题及模拟题，这对于我校提高大学生的数学竞赛能力是一个很好的训练。 由于编者水平和精力有限，错误在所难免，不当之处还请各位专家及同学批评指正，我们的联系邮箱是362383339@https://www.doczj.com/doc/fa5295528.html,。 西南交通大学数学竞赛组委会 2011年5月 目录 第一部分例题精讲与习题 第一章极限与连续性 第二章微分学 第三章积分学 第四章无穷级数 第五章常微分方程 第二部分习题答案 第三部分竞赛真题与模拟题及参考答案 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．方程组12,6 x y x y ?+=??+=??的解的个数为（ ）． （A ）1 （B ） 2（C ） 3 （D ）4 答：（A ）． 解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=???+=??于是6y y -=-，显然不可能． 若0x <，则 12,6,x y x y -+=???+=?? 于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-． 所以，原方程组的解为???=-=, 9,3y x 只有1个解． 故选（A ）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20 答：（B ）． 解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）． 3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . 高等数学综合练习题 1、设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n 证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞ →lim 分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明}{n x 单调且有界。 证明: （1） 证明：易见，),,2,1,0(,0 =>n x n 则 a x x n x a n n =≥+1， 从而有： 02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x ， 故}{n x 单调减少，且有下界。所以}{n x 收敛。 （2）设l x n n =∞ →lim ， 在)(211n n n x a x x += +两边同时取极限得 1lim +∞ →=n n x l ),(21)(lim 21l a l x a x n n n +=+=∞ → 解之得a l =，即a x n n = ∞ →lim 。 2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且3 1 0)(1 lim e x x f x x x =????? ?++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''. 分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。 解 由31 0])(1[lim e x x f x x x =+ +→得 3] ) (1ln[lim =++→x x x f x x ， 因为分母极限为零，从而分子极限为零，即 0]) (1ln[lim 0 =+ +→x x f x x ， 可以得到0) (lim =→x x f x ， 同样，我们有 )0(0)(lim 0 f x f x ==→， 由导数的定义得 00 ) 0()(lim )0('0 =--=→x f x f f x 。 因为)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得 )0)((0)0("2 1 )(22→+= x x x f x f ） 两边取极限得 2]) (0)0("21[lim 220=+→x x f x ， 故4)0("=f 。 3、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足： ),[,+∞∈?a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。 证明： x x f ) (在),[+∞a 有界。 证明： 由条件知，),[+∞∈?a x ，有 |||)()(|a x K a f x f -≤-， 则 |)(||||)(||)()(||)(|a f a x K a f a f x f x f +-≤+-≤， 从而 １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 15165132 21 53= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4= A 。因此310 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22 22 -+=y x z 在 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-++可以化简为（）． （A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=-+1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B）21 4 a-（C）1 2 （D）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为 一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围大学 高等数学 竞赛训练 级数
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