第十三章 曲线积分与曲面积分
定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.
第一节 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．
如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为
n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分
析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点
(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于
(),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即
()∑=?≈n
i i i i s y x M 1,ρ．
用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到
1
lim (,).n
i i i i M s λρξη→∞
==?∑
即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：
定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入
图13-1
一点列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ?(1,2,,i n =L )，又
()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ?ηξ,，并作和()i i i n
i s f ?∑=ηξ,1
，
若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作
()?L
ds y x f ,, 即
1
(,)lim (,)n
i i i L
i f x y ds f s λξη→==?∑?
,
其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为
()?L
ds y x f ,．
类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分
()?L
ds z y x f ,,．
这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为
(,).L
M x y ds ρ=?
由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则
(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且
()()()()(),,,,L
L
L
f x y
g x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±???；
性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和
2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式
成立
12
1
2
L L L L fds fds fds +=+?
??．(12L L +表示L )
对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出． 二、 第一类曲线积分的计算
定理13.1 设有光滑曲线
():,[,].()
x t L t y t ?αβψ=?∈?=? 即'()t ?,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且
()()()(,,L
f x y ds f t t β
α
?ψ=?
?
证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ?αψα=，
((),())n M ?βψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<=L 记小弧段1i i M M -的长度为i s ?，那
么
,1,2,.i
i t i t s i n -?==?
L
1,(').i i t i i i i t s t t τ--?=<
所以, 当('')i i x ?τ=,('')i i y ψτ=时,
i
i i 1
1
(,)((''),(t ,n n
i
i
i
i i f x y s f ?τ
ψτ==?=∑∑
这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设
n
i i i 1
f ((''),(i t σ?τψτ==?∑
则有
n n
i
i
i
i
i i i 1
i 1
f (x ,y )s f ((''),(t .?τ
ψτσ==?=+∑∑
令12n t max{t ,t ,,t },?=???L 要证明的是t 0
lim 0.σ?→=
因为复合函数f ((t),(t))?ψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有
|f ((t),(t))|M.?ψ≤
在[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存
在0δ>，当t δ?<时有
|.ε≤
从而
1
||().n
i i M t M σεεβα=≤?=-∑
所以
lim 0.t σ?→=
再从定积分定义得
n
22i i i i i 0
i 1
lim f ((''),(''))'('')'('')t t ?τψτ?τψτ?→=+?∑
22((),())'()'().f t t t t dt β
α
?ψ?ψ=+?
所以当
n n
22i
i
i
i
i i i i i 1
i 1
f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ?τ
ψτ?τψτσ==?=+?+∑∑两边取极限后，即
得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
(),,y y x a x b =≤≤
则
()()()()()2
,,1'b L
a
f x y ds f x y x y x dx =+?
?．
例13.1 计算曲线积分?
L
ds y ，其中L 是抛物线2x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间
的一段弧．（如图13.1-2）
图13-2
解：积分曲线由方程
[]1,0,2∈=x x y
给出，所以
()()
?
?
+=1
2
22'1dx x x ds y L
1
20
14x dx =
+?
()1
241121??????+=x =
()
155121-.
例13.2 计算积分
()
2
2n
L
x
y
ds +??，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.
解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以
()
()()
(
)
22
22
20
sin cos n
n
L
x
y
ds a t a t π
+=
+???
?==
π
π20
222n
n a dt a ． 对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程
()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而
()()()()()
()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L
??++=β
α222''',,,,．
例13.３ 计算曲线积分
()
?Γ
++ds z y x
222
，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =
z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．
解：由上面的结论有
()
()
()()
()
()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x
?
?++-++=++Γ
π
20
2222
2
2
2
22
cos sin sin cos
()(
)
2
222220
222
22
433
2
k a k a dt
k a t k a
πππ
++=++=?
例14.4 计算
2L
x ds ?
, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆
周.
解：由对称性可知
222,L
L
L
x ds y ds z ds ==?
??
所以
22
222
3
12().33
3L L L a x ds x y z ds ds a π=++==???
习题13.1
1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度
1μ=）.
2. 计算曲线积分
222()x y z ds Γ
++?
，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt
=
上相应于t 从0到2π的一段弧. 3. 计算
,x C
ye dS -?
其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间
的一段弧.
4. 求L xydS ?，其中L 是椭圆周22
221x y a b
+=位于第一象限中的那部分。
5. 计算?
，其中L 为曲线222.x y y +=-
6. 求
L
xdS ?，其中L 为双曲线1xy =从点1
(,2)2
到点(1,1)的一段弧。 7. 计算()L
x y ds +?其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.
8. 计算
L
??其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所扇
形的整个边界. 9. 计算
2,x yzds Γ
?
其中Γ为折线,ABCD 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。
10. 计算
22()L
x y ds +?
，其中L 为曲线(cos sin )x a t t t =+, (sin cos )y a t t t =-
(02)t π≤≤.
11. 设L 为双纽线2
22
2
2
2
()()x y a x y +=-, 计算积分||L
I y ds =
?.
12. 设L 为椭圆22143
x y +=, 其周长为a , 求22
(234)L xy x y ds ++??. 参考答案
1．3
(sin cos )R ααα-
2.
2222
4)3
a k π+ 3.
2
13ln 21624
ππ-+ 4.22()3()
ab a ab b a b +++
5. 00
4
sin 4sin 8d d ππθθθθ-
-
=-=??
6. 21111[ln ]2
241t t t -=++
7.
8. 224a
e a π??
+- ??
?
9. 9
10. 232
2(12)a ππ+
11. 2
2(2a
12. 12a
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
在实际中还碰到另一种类型的曲线积分问题. 例如一质点在空间中沿着一条光滑曲线
()()():,,L x x t y y t z z t ===运动，当a t =时，对应曲线上的一个端点A ，当b t =时，
对应曲线的另一个端点B ，在外力
()()()()z y x R z y x Q z y x P z y x ,,,,,,,,++=
的作用下质点从A 移动到B ，现在求力F 所作的功．
由物理学的知识知道：若力与位移都是常量，则有s F W ?=．现在的是一个变量，位移→
s 也是变量．为了求这个力所作的功我们可以将曲线分为若干段，即插入n 个分点
B M M M A M n ==,...,,,210这些点对应的t 分别是b t t t a n ==,...,,10．在每一小段弧
i i M M 1-上，可以认为位移就是i i M M 1-，在小弧段i i M M 1-上任意一点()i i i ζηξ,,的力
()i i i F ζηξ,,→
来近似质点在这一小弧段上移动所受到的力．于是当质点从1-i M 移到i M 时，
力→
F 所作的功近似为()i i i i i M M F 1,,-→
?ζηξ，将力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力→F 的作用下质点从A 移动到B 所作的功的一个近似值．即
()i i n
i i i i M M F W 11
,,-=?≈∑ζηξ
注意()()()()},,,,,,,,{,,z y x R z y x Q z y x P z y x F =，而},,{1i i i i i z y x M M ???=-，所以
()i i n
i i i i M M F W 11
,,-=?≈∑ζηξ
()()()()i i i i i i i i i i i i n
i z R y Q x P ?+?+?=∑=ζηξζηξζηξ,,,,,,1
．
再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值λ趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力F 所作的功．即
()()()()i i i i i i i i i i i i n
i z R y Q x P W ?+?+?=∑=→ζηξζηξζηξλ,,,,,,lim 1
．
从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.
定义13.2 (对坐标的曲线积分或第二类曲线积分) 设L 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为A 和B . ()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,为定义在曲线L 上的函数．在L 内依次插入点121,...,,-n M M M ，并令0000(,,)M x y z A =, (,,)n n n n M x y z B =.并且这些点是从A 到B 排列的. 这样就将曲线L 分为n 个小的弧段i i M M 1-(1,2,,i n =L )．设
1--=?i i i x x x ，1i i i y y y -?=-，1i i i z z z -?=-．记各弧段长为i s ?, 1max{}i i n
s λ≤≤=?. 在小
弧段i i M M 1-上任意取一点()i i i ζηξ,,，若()∑=→?n
i i
i
i
i
x
P 1
,,lim
ζηξλ存在，则称之为函数
()z y x P ,,在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为
()?L
dx z y x P ,,．即
()?L
dx z y x P ,,＝()∑=→?n
i i
i
i
i
x P 1
,,lim ζηξλ
．
类似地，有
()?L
dy z y x P ,,＝()∑=→?n
i i
i
i
i
y Q 10
,,lim ζηξλ
；
()?L
dz z y x P ,,＝()∑=→?n
i i
i
i
i
z R 1
,,lim ζηξλ
．
分别称为函数在有向曲线L 上对坐标y 和对坐标z 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲
线积分．
若L 为封闭有向曲线,则记为
(),,L
P x y z dx ??、(),,L
P x y z dy ??或(),,L
P x y z dz ??．
由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：
１．()()()()()()?
?
?
?
++=++L
L
L
L
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,,,,,,,；
２（线性性）：若两个向量值函数(,,)(,,)(,,)i i i L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
(1,2,,i k =L )存在, 则
()1111,k k k k
i i i i i i i i
i
i
L L
L
L
i i i i c P dx c Q dy c R dz c Pdx Q dy R dz ====??????
++=++
? ? ???????
∑∑∑∑????
其中(1,2,,)i c i k =L 为常数．
３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线L 分成了两段1L 和2L ，它们与L 的取向相同（记12L L L =+），则向量函数(,,)f x y z 在L 上的第二类曲线积分的存在性等价于
(,,)f x y z 在1L 和2L 上的第二类曲线积分的存在性．且有
()()()???+=+1
2
2
1,,,,,,L L L L dx z y x f dx z y x f dx z y x f ；
４（方向性）：如用L -表示与L 方向相反的曲线．则有
()()??-=-L
L
dx z y x f dx z y x f ,,,,．
二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的计算
设L 的参数方程为()
()()??
?
??===t z z t y y t x x ,[,]t αβ∈，起点为()()()(),,A x y z ααα ，终点为
()()()(),,B x y z βββ，函数()()()t z t y t x ,,都具有连续导数．在曲线弧上插入若干个
点02,,...,n M M M ，相应于t 的取值分别是012,,,...n t t t t αβ==，()i i i i z y x M ,,，
()()()?-'=-=?-i
i t t i i i dt t x t x t x x 1
1 ，而1--=?i i i t t t ，于是由积分中值定理有
()i i i t x x ?'=?τ．此时取i i i ?ηξ,,分别为)(i x τ,),(i y τ)(i z τ，则
()()()()()()()()()()0
1
,,lim ,,,,n
i
i
i
i
i L
P x y z dx P x y z t P x t y t z t x t dt
λ
β
α
τττ→==?'=∑??
类似地可以求
()?L
dy z y x Q ,,和()?L
dz z y x R ,,．最后得到
()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,',,P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x t Q x t y t z t y t Rz t dt β
α
++''=++??
在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点．
求曲线积分的一般步骤是：
１．将z y x ,,用各自的参数方程代替；
２．将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限； ３．将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．
特别地，当L 是平面xoy 上的光滑曲线时，设曲线方程为()y y x =，起点和终点对应的x 的值分别是,a b ，则有
()()()()()()(),,,,'b
a
L
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y y x dx +=+??．
例13.5 计算曲线积分
?
L
xydx ，其中L 为抛物线2x y =从点()1,1A 到点
()1,1-B 的一段弧，如右图．
解：将要计算的积分化为对x 的定积分，即以x 为积分变量，曲线段的起点和终点对应的x 的值分别是1和1-，将曲线积分中的y 用2
x 代替，
所以
()1
241
11
1|04
L
xydx x x dx x --==
=?
?． 例13.6 计算曲线积分?-L
ydx xdy ，其中L 为椭圆122
22=+b y a x 沿逆时针方向．
解：椭圆的参数方程为cos ,sin ,02x a t y b t t π==≤≤，所以可以将曲线积分化为对参数t 的积分，起点和终点所对应的t 的值分别为0和π2，y x ,分别用参数方程代替，由此得到
图13-3
()()
ab
dt ab t a td b t b td a ydx xdy
L
ππ
π
21cos sin sin cos 20
20
==-=-???
注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍．
例13-4图 例13-5图 例13.7 计算曲线积分
?+L
ydx xdy ．其中L 分别是下面的曲线段．
(1) 抛物线x y =2
上从点()0,0O 到点()1,1A 的一段弧； (2) 直线x y =上从点()0,0O 到点()1,1A 的一段弧；
(3) 从点()0,0O 到沿x 轴点()0,1B ，再由()0,1B 竖直向上至()1,1A ．
解：(1) 将积分化为对y 的定积分，起点和终点对应的y 的值分别是10和，x 用2
y 代
替，得到
()
1
|310
310
2
1
02
2===+=+???
y dy y y yd dy y ydx xdy L
(2) 将积分化为对x 的定积分，起点和终点对应的y 的值分别是10和，y 用x 代替，得到
()
1
|210
21
01
===+=+???
x xdx x xd xdx ydx xdy L
(3) 曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为0=y ，另一段的曲线方程为1=x ，所以
()()1
110010
10
=+++=+++=+?????yd dy dx xd ydx
xdy ydx xdy ydx xdy OA OB L
从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同． 例13.8 计算
2L
y dx ?
,其中L 为(1) 半径为a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆
周；（2）从点(,0)A a 沿x 轴到点(,0)B a -的直线段．
解 （1）因为
cos :sin x a L y a θ
θ=??
=?
，02θπ≤≤. 那么
2
220
sin (sin )L
y dx a a d π
θθθ=-?
?
32304
(1cos )(cos ).3
a d a πθθ=-=-?
(2) 积分路径为:0,L y = x 从a 变到a -, 因此
2
00.a
L
a
y dx dx -==?
?
从这个例子可以看出: 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.
三、 两类曲线积分的联系
设有向光滑曲线段L 的参数方程为()()t g y t f x ==,，[,]t αβ∈，起点和终所对应的
分别是A 和B ，且()()02
2≠'+'t g t f ，函数()()y x Q y x P ,,,在曲线段L 上连续，则对坐标
的曲线积分
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()dt
t g t g t f Q t f t g t f P t g d t g t f Q t f d t g t f P dy y x Q dx y x P b a
b
a L
),,(,,,,'+'=+=+???
又有向曲线的切向量为()()},{t g t f T ''=，它的方向余弦为
()()()
t g t f t f 2
2
cos '+''=
α，()()()
t g t f t g 2
2
cos '+''=
β，
注意到ds =
，所以由对弧长的曲线积分公式，得到
()()[]()()()()()()()()[]??'+'=+b a
L dt
t g t g t f Q t f t g t f P ds
y x Q y x P ,,cos ,cos ,βα
定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头
{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。
多重积分的方法总结 引言： 高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。（其中计算方法将通过例题来解释） 二重积分 定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D 上,将区域D 任意分成n 个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第i 个子域的面积.在Δδi 上任取一点(ξi,ηi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)d δ,即 ∫∫f(x,y)d δ=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi ） 这时,称f(x,y)在D 上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)d δ称为被积表达式,d δ称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号. 同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。 二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法 对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D={}(,)|1()2(),x y y x y y x a x b ≤≤≤≤为x 型区域；平面点集D= {}(,)|1()2(),x y x y x x y c y d ≤≤≤≤为y 型区域。 x 型区域:若(,)f x y 在x 型区域D 上连续，其中[]1(),2(),y x y x a b 在上连续，则 ??D d y x f σ),(=2()(,)1()b y x dx f x y dy a y x ?? 试计算：I= 2 2y D x e d σ-??的值。 解：画出区域图1只能用先对x 后先对积y 分，则 I=21200y y dy x e dx -??=21 30 13y y e dy -? 由分部积分法，即可算得：
第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.
（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：
从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,)( (),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =? ? 若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的: 22 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 2 2 =2(0)L x y y +≥为上半圆周
二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L 起点处α=t ,终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++? ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式＝ ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二:在计算曲线积分时,通过适当的添加线段或曲线,是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地:当 y p x q ??=??时,积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时,通过适当的添加线段或曲线,是之变成一个封闭曲线上的曲线积
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 222(,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t d x d y d z =++? ? 若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= 222((),(),())(())(())(())f x t y t z t x t x y t z t dt β α '''++? 常见的参数方程为： B A 参数方程 () ()x x y x x y y y =?=? =? ()()x x y y x y y x =?=? =?
特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 2 2 =2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ??==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++? () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式 = ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图：
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
多重积分的方法总结 专业：水文与水资源工程 姓名：赵兆 学号：201103325 任课教师：王银霞
多重积分的方法总结 二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．和定积分的概念对应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理解．把握这里的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.概念的性质；4.计算方法；5.应用． 计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出． 一．二重积分的计算 重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 1. 在直角坐标下：(a) X-型区域 几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两 个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和； 1()y y x =2()y y x =被积区域的集合表示：； 12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤二重积分化为二次积分： ． 21() ()(,)(,)b y x a y x D f x y dxdy dx f x y dy =?? ?? (b) Y-型区域 几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两 个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数和； 1()x x x =2()x x x =被积区域的集合表示：； 12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤二重积分化为二次积分： ． 21() () (,)(,)d x y c x y D f x y dxdy dx f x y dx =??? ? 2. 在极坐标下： 题，而且可保障各类管路习题负荷下高中资料试卷调控试验；对设料试卷总体配置时，需要在最大限度
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。
重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：
在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）
第八章曲线积分与曲面积分 本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分 问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关， 则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。 其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。 对弧长曲线积分的存在性： 设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。 对弧长曲线积分的性质：
1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法： 在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。 定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。 若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。 若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x
曲线积分： 在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。 分类： 曲线积分分为： （1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 曲面积分： 定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。 第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。 第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。 第二型曲面积分： 第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量