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高考大题突破练—数列专题

高考大题突破练——数列

1.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.

(1)求{a n}的通项公式；

(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.

2．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝a n＋1

S n S n＋1

，求数列{b n}的前n项和

T n.

3．已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n ＝a2n＋2a n－3.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)已知b n＝2n，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的值．

4.在数列{a n}中，a1＝1

2，其前n项和为S n，且S n＝a n＋1－

(n∈N*)．

(1)求a n，S n；

(2)设b n＝log2(2S n＋1)－2，数列{c n}满足c n·b n＋3·b n＋4＝1＋(n＋

1)(n＋2)·2b n，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n>2n＋1－

504

成立的

最小正整数n 的值．

5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.

(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；

(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；

(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)

f (n )

，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，

求n 的值．

答案精析

1．解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3，

此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，

显然a 1不满足a n ＝3n －1，

所以a n ＝?????

3，n ＝1，3n －1

，n >1.

(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝1

3，

当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ，所以T 1＝b 1＝1

当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1

3＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…

＋(n －1)×31－n ]，

所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝2

3＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n

＝23＋1－31－n 1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n

，

所以T n ＝1312－6n ＋34×3n

经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋3

4×3n

2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.

又a 1＋a 4＝9，可解得?

a 1＝1，

a 4＝8或?

a 1＝8，

a 4＝1(舍去)．

由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)．

(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n

－1，

又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1

S n ＋1

，

所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝? ????1S 1－1S 2＋? ????1S 2－1S 3＋…＋? ????1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1

＝1－1

2n ＋1－1

3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1

－3

4. 解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，① 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②

①－②，得4a n ＝a 2

n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.

∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝2 (n ≥2)，

∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.

(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③

2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得

T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1

＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(2n －1)2n ＋1＋2.

4．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －1

(n ≥2)，

两式作差得a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1

a n

＝2(n ≥2)，

由a 1＝S 1＝a 2－12＝12，得a 2＝1，∴a 2

a 1

＝2，

∴数列{a n }是首项为1

2，公比为2的等比数列．

则a n ＝12·2n －1＝2n －2，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1

－12.

(2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2， ∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， ∴c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2

＝1n ＋1－1n ＋2

＋2n －2， ∴T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1

n ＋2)

＋(2－1＋优质试题＋2n －2)

＝12－1

n ＋2＋1

2(1－2n )1－2 ＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2n －1

－1

n ＋2

由4T n >2n ＋1－1

504

，

得4(2n －1

－1n ＋2)>2n ＋1

－1504

即4n ＋2<1

504

，n >2 014. ∴使4T n >2n ＋1

－1

504

成立的最小正整数n 的值为2 015.

5．(1)解令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝1

2f (n )，

∴{f (n )}是首项为12，公比为1

2的等比数列，

∴f (n )＝(12

(2)证明设T n 为{a n }的前n 项和， ∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12

，

∴T n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12

，

12T n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(1

)n ＋1，

两式相减得12T n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1

，

＝1－(12)n －n ×(1

2)n ＋1，

∴T n ＝2－(12)n －1－n ×(12)n

<2.

(3)解 ∵f (n )＝(12

，

∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)

f (n )

＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n

∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0.

∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考数列专题练习精选文档

高考数列专题练习精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-

1..等比数列}{n a 为递增数列，且,324=a 9 20 53= +a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；（2）122221-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n ． 2．已知数列{ n a }、{ n b }满足：112 1 ,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式； (3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立 3．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ． 4．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。 5，已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.n S 6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 1 2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且（1）求证：{1}n a -为等比数列；

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲数列求和及综合应用数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一公式法求和等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .

(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ，所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ，由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列，所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ，所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ，所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )．求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解．命题角度二分组转化法求和将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，

高考数列专题练习(精选课件)

高考数列专题练习数列综合题１．已知等差数列{}n a 满足：3 7a =，5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . ?（Ⅰ）求n a 及n S ； ?（Ⅱ）令b n = 21 1 n a -(*n ∈N ）,求数列{}n b 的前n 项和n T 。 2.已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是2 4 ,a a 的等差中项。 ?(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; ?（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和,求.n S 3.等比数列}{n a 为递增数列，且, 3 24=a 9 2053= +a a ,数列 2 log 3n n a b =（n ∈N ※ ) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；（2）12 22 21-++++=n b b b b T n ，求使0>n T 成立的最小值n . 4.已知数列{ n a ｝、{ n b ｝满足：112 1,1,4 1n n n n n b a a b b a +=+== -. (１）求1,2 3 4 ,,b b b b ; （2)求数列{ n b ｝的通项公式； (３）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <

恒成立 5．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,满足 2,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-。 (I)若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II)若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ,求n S . 6.已知数列{}n a 中，1 4a =，12(1)n n a a n +=-+,(1）求证：数列 {}2n a n -为等比数列。（２)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若22n n S a n ≥+，求正整数列 n 的最小值。? 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1 12,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且 ?（1)求证:{1}n a -为等比数列； (2)求数列{}n b 的前n 项和. 8．已知数列{}n a 中，113 a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足 2 221 n n n S a S = -. （1）求n S 的表达；（2）求数列{}n a 的通项公式； 9．已知数列{}n a 的首项135 a =，1 231+= +n n n a a a ,其中*∈N n . （1）求证:数列11n a ?? -???? 为等比数列; （2)记12111n n S a a a = ++，若100n S <，求最大的正整数n .

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列；（Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ；（2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；（2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .

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高考中的数列—最后一讲（内部资料勿外传）1．已知数列 {a n} 、 {b n} 、 {c n} 足．（ 1） c n=3n+6， {a n} 是公差 3 的等差数列．当b1 =1 ，求 b2、 b3的；（ 2），．求正整数 k，使得一切 * n∈N，均有 b n≥b；k （ 3），．当b1=1，求数列{b n}的通公式．2． {a } 是公比正数的等比数列 a =2， a =a +4． n 13 2 （Ⅰ）求 {a n} 的通公式；（Ⅱ） {b n } 是首 1，公差 2 的等差数列，求数列 n n n {a +b } 的前 n 和 S ． 3．已知公差不0 的等差数列 {a n} 的首 a1a（ a∈R）数列的前n 和 S n，且，，成等比数列．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（Ⅰ）求数列 {a n} 的通公式及S n；（Ⅱ） A n=+++?+，B n=++?+，当a≥2，比 A n与 B n的大小． 4．已知等差数列 {a } 足 a =0， a +a = 10 n 2 6 8 （ I）求数列 {a n} 的通公式；（ II ）求数列 { } 的前 n 和． 5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且三个数分加上2、5、 13 后成等比数列{b n} 中的 b3、 b4、 b5．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（I）求数列 {b n} 的通公式；（II ）数列 {b n} 的前 n 和 S n，求：数列 {S n+ } 是等比数列． 6．在数 1 和 100 之插入 n 个数，使得 n+2 个数构成增的等比数列，将n+2个数的乘作T n，再令 a n=lgT n，

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．

高考数列大题专题精选

高考数列大题专题（内部资料勿外传） 1．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 4．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10

（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 6．在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n ，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n． 7.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围． 8．已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．

高考数学二轮考点专题突破检测数列专题

专题达标检测一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，

2020年高考数学大题专项练习数列三(15题含答案解析)

2020年高考数学大题专项练习数列三 1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2． (1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ=2，证明数列{n n a 2 }是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ． 2.设数列{}的前项和为 .已知=4，=2+1，.（1）求通项公式；（2）求数列{}的前项和. 3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .

4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13=34，S 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n =，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m an an ＋t ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 5.已知数列满足：，。数列的前n 项和为,且 .⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n 项和为 6.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由．

高三数学二轮复习：数列专题及其答案

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 1．必记公式 (1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2. (3)等比数列通项公式：a n a 1q n － 1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝?????na 1 （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）. (5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝?????S 1（n ＝1） S n －S n －1 （n ≥2）. 2．重要性质 (1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n － m . (2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1 ＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒 (1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .

【真题体验】 1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19 2 C ．10 D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1 4 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1 8 3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________． 4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和. 【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算 1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9 2 . (1)求{a n }的通项公式； (2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .

高三数列专题练习30道带答案

高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；（Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

2020年高考数学三轮微专题突破34 数列中的奇偶性问题(教师版)江苏

专题34 数列中的奇偶性问题一、题型选讲题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论。例1、(2015扬州期末）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1 2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________．答案：[2,3] 思路分析求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n －4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有??? ?－1 2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论．令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1 2n 1－??? ?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1；当n 为偶数时,f (n )＝23????1－ ????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又 1S n －4n ≤p ≤3 S n －4n ,所以2≤p ≤3. 解后反思本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23??? ?1＋ ????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2 3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∪????23，1＝???? 12，1内的所有值．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n } 的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *. (1) 求a 1,a 2的值；

高考数列专项大题与答案

高考数列专项大题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考数列大题专项 1.（北京卷）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且 11 为偶数21 为奇数 4n n n a n a a n +???=??+??, 记 211 4n n b a -=- ，n ＝＝l ， 2，3，…·．（I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（III ）求123lim() n n b b b b →∞ +++ +． 2.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1， 11 3n n a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n a a a a +++ +的值. 3．（福建卷）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{ n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.

4. （福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1 我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：. 0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0；（Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=) (11 +∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }；（Ⅲ）若)4(223 ≥<

高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题专题突破讲义文

第3讲数列的综合问题 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式． 2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．热点一利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1 (2017·运城模拟)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2 n ＋3a n ＝6S n ＋4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n a n ，求数列{ b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 2 n ＋3a n ＝6S n ＋4，① 知a 2 n ＋1＋3a n ＋1＝6S n ＋1＋4，② 由②－①，得 a 2n ＋1－a 2 n ＋3a n ＋1－3a n ＝6S n ＋1－6S n ＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0， ∴a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3. 又a 2 1＋3a 1＝6S 1＋4＝6a 1＋4，即a 21－3a 1－4＝(a 1－4)(a 1＋1)＝0，∵a n >0，∴a 1＝4， ∴{a n }是以4为首项，以3为公差的等差数列，

高考数学数列大题专题训练

高考数学数列大题专题训练命题：郭治击审题：钟世美参考答案 1.解：（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则 2121++????=n n n t t t t T ① 1212t t t t T n n n ???=+?+ ② ①×②并利用)21(,102213+≤≤=?=?+-+n i t t t t n i n i ，得（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知另一方面，利用得所以 2.解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5）（Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k . 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a 2000—a 1000≤1， a 2000—a 1000≤1 …… a 2—a 1≤1 所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999.

又因为a 1=12，a 2000=2011, 所以a 2000=a 1+1999. n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列. 综上，结论得证。（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则因为2111112 c c a a c a a ++=++= …… 所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2 )1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当 ,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a 当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a 当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得.0)(,01 ==n A S a 3.

高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型

高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型一、选择题 1．如果等差数列{a n}中,a3＋a4＋a5＝12,那么a1＋a2＋…＋a7等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 答案 C 解析∵a3＋a4＋a5＝12,∴3a4＝12,a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a 5 )＋a4＝7a4＝28．故选C． 2．在等比数列{a n}中,a1＝1,公比|q|≠1．若a m＝a1a2a3a4a5,则m等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 答案 C 解析a m＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a23· a2 3 ·a3＝a53＝a51·q10．因为a1＝1,|q|≠1, 所以a m＝a51·q10＝a1q10,所以m＝11．故选C． 3．在递减等差数列{a n}中,若a1＋a5＝0,则S n取最大值时n等于( ) A．2 B．3 C．4 D．2或3 答案 D 解析∵a1＋a5＝2a3＝0,∴a3＝0． ∵d<0,∴{a n}的第一项和第二项为正值,从第四项开始为负值,故S n取最大值时n等于2或3．故选D． 4．在等差数列{a n}中,首项a1＝0,公差d≠0,若a k＝a10＋a11＋…＋a100,则k＝( ) A．496 B．469 C．4914 D．4915 答案 D 解析因为数列{a n}是等差数列,所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d,因为a k＝a10＋a11＋…＋ a 100,所以a k＝100a1＋ 100×99 2 d－9a 1 ＋ 9×8 2 d＝4914d,又a k ＝(k－1)d,所以(k－1)d＝4914d,所以k＝4915．故选D． 5．已知数列{a n}的通项为a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”,则在(0,2018]内的所有“优数”的和为( ) A．1024 B．2012 C．2026 D．2036 答案 C

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