专题12 椭圆小题专项练习
一、巩固基础知识
1．若方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )。
A 、)10(，
B 、)1()10(∞+，，
C 、)0(∞+，
D 、)1(∞+，
【答案】A
【解析】22
2=+ky x 化为方程12222=+k y x ，焦点在y 轴上则22>k
，解得10< A 、2 31- B 、2 13- C 、32- D 、13- 【答案】D 学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 【解析】由题意得21F PF ?为?Rt ，令1=c ，则2||21=F F ，1||1=PF ，3||2=PF ， 则a PF PF 231||||21=+=+，133 12-=+==a c e ，故选D 。 3．已知椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )的右焦点为)03(，F ，过点F 的直线交C 于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为)11(-，，则C 的方程为( )。 A 、19 182 2=+y x B 、118 272 2=+y x C 、127 362 2=+y x D 、136 452 2=+y x 【答案】A 【解析】21310122=---==a b k AB ，又9222==- c b a ，则222b a =，解得92=b ，182=a ，故选A 。 4．焦点在x 轴上的椭圆的方程为11 422 2=++a y a x (0>a )，则它的离心率e 的取值范围为( )。 A 、]410(， B 、]2 1 0(， C 、]2 20(， D 、]2 141[， 【答案】C 【解析】142+>a a ，解得3232+<<-a ， ]210()1(41141122 ，∈+-=+-=a a a a e ，则]220(，∈e ，故选C 。 5．已知1F 、2F 是椭圆164 1002 2=+y x 上的两个焦点，P 是椭圆上一点，且21PF PF ⊥，则21PF F ?的面积为 。 【答案】64 【解析】642tan 221=θ?=?b S PF F 。 6．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左右焦点分别1F 、2F ，焦距为c 2，若直线)(3c x y +=与椭圆C 的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆C 的离心率为 。 【答案】13- 【解析】直线)(3c x y +=过点1F ，且3tan 21=∠=F MF k ，∴ 6021=∠F MF ， ∴ 3012=∠F MF ，∴ 9012=∠MF F ，∴21MF MF ⊥， 在21F MF Rt ?中，c MF =||1，c MF 3||2=， ∴该椭圆的离心率133222-=+==c c c a c e 。 7．设AB 是椭圆E 的长轴，点C 在椭圆E 上，且4π= ∠CBA ，若4||=AB ，2||=BC ，则椭圆E 的两个焦点之间的距离为 。 【答案】3 64 【解析】设坐标原点O ，椭圆E 的方程为122 22=+b y a x ，作AB CD ⊥， 则42=a ，2=a ，4π= ∠CBA ，2||=BC ，则B 坐标)11(，-， 则11412=+b ，3 42=b ，38222=-=b a c ，362=c ，两个焦点之间的距离为3642=c 。 二、扩展思维视野 8．已知椭圆122=+my x 的离心率)121(，∈e ，则实数m 的取值范围是( )。 A 、)430(， B 、)34()430(∞+，， C 、)341()143(，， D 、)4 3(∞+， 【答案】B 【解析】原式变为1122=+m y x ，当1>m 时)141()11(2，∈-=m e ，解得3 4>m ， 当10< m e ，解得4 30< 252 2=+y x 上，F 是椭圆C 的右焦点，若点M 满足1||=MF 且0=?MF MP ，则||PM 的最小值为( )。 A 、1 B 、3 C 、5 12 D 、3 【答案】B 【解析】由题意知点M 在以)03(，F 为圆心，1为半径的圆上，PF 为圆的切线， ∴当PF 最小时切线长PM 最小， 由图知，当点P 为右顶点)05(，时||PF 最小， 最小值为235=-，此时312||22=-=PM ，故选B 。 10．已知椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )，M 为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹是( )。 A 、圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线 【答案】B 【解析】设椭圆C 的右焦点是2F ，坐标原点为O ，由椭圆定义得c a MF MF 22||||21>=+， 则c a MF MF PO PF >=+=+|)||(|2 1||||211，则点P 的轨迹是以1F 、O 为焦点的椭圆，故选B 。 11．已知椭圆C ：14 22 =+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在该椭圆上，且021=?MF MF ，则点M 到y 轴的距离为( )。 A 、3 3 B 、3 32 C 、3 D 、3 62 【答案】D 【解析】得)03(1， -F 、)03(2，F ，设)(y x M ，，则0)3()3(21=---?--=?y x y x MF MF ，，， 整理得32 2=+y x ，代入1422=+y x 得2432=x ，解得362±=x ， 故点M 到y 轴的距离为3 62，故选D 。 12．若A 、B 为椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且41= ?BN AM k k ，则椭圆C 的离心率为 。 【答案】2 3 【解析】设)(y x M ，、)(y x N -，，4122222222222==--=--=?a b a x b a x b a x y k k BN AM ，则431222=-=a b e ，23=e 。 13．椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )的离心率为22，若直线kx y =与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则=k 。 【答案】2 2± 【解析】22==a c e ，将b x =代入椭圆方程得211222222==-=a c a b b y ， 则b y 22±=，即点)22(b b ±，在直线kx y =上，∴2 2±=k 。 14．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的离心率为33，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切，则椭圆的标准方程为 。 【答案】12 32 2=+y x 【解析】圆方程为222b y x =+，与直线2+=x y 相切，则222==b ，又33=e ，则3=a ， 故椭圆方程为1232 2=+y x 。 三、提升综合素质 15．若1F 、2F 分别是椭圆116 252 2=+y x 的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且21F MF ?的内切圆的周长为π3，则满足条件的点M 的个数为( )。 A 、2 B 、4 C 、6 D 、不确定 【答案】A 【解析】内切圆的半径23= r ，则||||21|)||||(|2121212121m F MF y F F r F F MF MF S ??=?++?=?， 即||62 123)610(21 m y ??=?+?，得4||=m y ，∴满足条件M 是短轴的2个端点，故选A 。 16．已知A 、B 是椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )长轴的两个端点，P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，若2 111k k +的最小值为4，则椭圆的离心率为( )。 A 、2 1 B 、3 3 C 、3 6 D 、 23 【答案】D 【解析】连接BP ，则BP 的斜率为2k -， 又由中点弦的推论公式可得22 21)(a b k k -=-?， 则2221a b k k =?，即22 21||||a b k k =?，又b a k k k k 2||||12112 121=?≥+， ∴则42=b a ，设2=a ，则1=b ，∴3=c ，∴23==a c e ，故选D 。 17．如图所示，椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )的左右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率为2 1，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若12211： ：=??F PF A PF S S ，则直线1PF 的斜率为 。 【答案】5 3 【解析】a c e ==21，即c a 2=，设2=a ，则1=c ， 设直线1PF 的斜率为k (0>k )，则直线1PF 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ， 又12211： ：=??F PF A PF S S ，则2112F PF A PF S S ??=， 即1 |2|||2121||||212121+???=++-??k k PF k k b PF ，则|4|||k k b =+-， 解得k b 3-=(舍去)或k b 5=(可取)， 又222c b a +=，则12542+=k ，解得25 32=k ，则53=k 。 18．已知椭圆C ：122 22=+b y a x (0>>b a )，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O ：222b y x =+上的动点，若PF PA 是常数，则椭圆C 的离心率为 。 【答案】2 15- 【解析】设)0(，c F -，222b a c -=，)0(，a A -，)(11y x P ，，使得PF PA 是常数，设λ=PF PA ， 则有])[()(21212121y c x y a x ++λ=++，即)2(2212212c cx b a ax b ++λ=++， 比较两边)(2222c b a b +λ=+，c a λ=，故)(2222c b a ca cb +?=+， 即3232a ca c ca =+-，即0123=+-e e ， ∴0)1)(1(2=-+-e e e ，解得1=e 或251±-=e ，又10<
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