1、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，
由∠ABC=120°，可得由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，
又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，
在Rt △EBG 中，可得，故DF=
2
.
在Rt △FDG 中，可得
在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，DF=2可得EF=2
， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，
∵EG ?面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长
度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （00），E （），F （－
1,0，2），C （00），∴AE =（1），CF =（-1，，2
）.…10分
故cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF ?<
>=
=-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为
3
. 2、（2016年1卷18题）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD ,
90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
试题解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．
（II ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．
以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．
由（I ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则DF 2=,DG 3=,可得()1,
4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD
AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．
由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角
C F -BE -的平面角,
C F 60∠E =
．从而可得(C -．
所以(
C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-． 设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则
C 00
n
n ??E =??
?EB =??,即
40x y ?+=??=??, 所以可取(3,0,n =．
C
A
B
D
E
F
设m 是平面CD AB 的法向量,则C 00
m m ??A =??
?AB =??,
同理可取()
0,3,4m =．则219
cos ,n m n m n m ?=
=
-
故二面角C E -B -A 的余弦值为
3（2016年2卷19题）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，
CD 上，54
AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置10OD '=.
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
【解析】⑴证明：∵5
4AE CF ==
，∴AE CF AD CD
=，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，
∴EF DH
'⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =，∴1AE OH OD AO
=
?=，∴3DH D H '==，∴222
'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．
⑵建立如图坐标系H xyz -．
()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r
，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r
，
由1100n AB n AD ??=??'?=??得430330
x y x y z +=??-++=?，取3
45x y z =??=-??=?
， ∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r
，，
，
∴
1212cos n n n n θ?==u r u u r u r u u r
，∴sin θ
4、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=?．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵90BAP CDP ∠=∠=?
∴PA AB ⊥，PD CD ⊥
又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥
又∵PD PA P =，PD 、PA ?平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD
（2）取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ∵AB CD
∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴OE AB
由（1）知，AB ⊥平面PAD
∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ?平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 两两垂直
∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -
设2PA =，∴()00D ，、)20B ，、(00P 、()
20C ，，
∴(0PD =，、(22PB =，，、()
00BC =-，
设()n x y z =,,为平面PBC 的法向量
由0
0n PB n BC ??=???=??，得20
0y +=-=??
令1y =，则z ，0x =，可得平面PBC 的一个法向量(01n =, ∵90APD ∠=?，∴PD PA ⊥
又知AB ⊥平面PAD ，PD ?平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A = ∴PD ⊥平面PAB
即PD 是平面PAB 的一个法向量，(0PD =,,
∴cos 23
PD n PD n PD n
?=
==?,
由图知二面角A PB C --为钝角，所以它的余弦值为5．（2018年1卷18题）
如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．
⑴证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； ⑵求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
解答：
（1）,E F 分别为,AD BC 的中点，则//EF AB ，∴EF BF ⊥，
又PF BF ⊥，EF PF F ?=，∴BF ⊥平面PEF ， BE ?平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）PF BF ⊥，//BF ED ，∴PF ED ⊥，
又PF PD ⊥，ED DP D ?=，∴PF ⊥平面PED ，∴PF PE ⊥，
设4AB =，则4EF =，2PF =，∴PE = 过P 作PH EF ⊥交EF 于H 点， 由平面PEF ⊥平面ABFD ，
∴PH ⊥平面ABFD ，连结DH ，
则PDH ∠即为直线DP 与平面ABFD 所成的角，
由PE PF EF PH ?=?，∴PH =
=
而4PD =，∴sin 4
PH PDH PD ∠=
=
，
∴DP 与平面ABFD 所成角的正弦值
4
. 6.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ＝BC ＝22,P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4,O 为AC 的中点.
（1）求证:PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上,且二面角M -P A -C 为30°,求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明:∵AB ＝BC ＝22,AC ＝4,∴AB 2＋BC 2＝AC 2,即△ABC 是直角三角形. 又O 为AC 的中点,∴OA ＝OB ＝OC . ∵P A ＝PB ＝PC ,∴△POA ≌△POB ≌△POC . ∴∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°.
∴PO ⊥AC ,PO ⊥OB ,OB ∩AC ＝0,∴PO ⊥平面ABC .
（2）以O 坐标原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系如图所示.
易知A (0,－2,0),P (0,0,23),C (0,2,0),B (2,0,0),BC →
＝(－2,2,0). 设BM →＝λBC →
＝(－2λ,2λ,0),0＜λ＜1,
则AM →＝BM →－BA →
＝(－2λ,2λ,0)－(－2,－2,0)＝(2－2λ,2λ＋2,0), 则平面P AC 的一个法向量为m ＝(1,0,0).
设平面MP A 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则PA →
＝(0,－2,23), 则n ·PA →＝－2y －23z ＝0,n ·AM →
＝(2－2λ)x ＋(2λ＋2)y ＝0. 令z ＝1,则y ＝－3,x ＝(λ＋1)31－λ,即n ＝? ????
(λ＋1)31－λ，－3，1.
∵二面角M -P A -C 为30°,∴cos 30°＝m ·n |m ||n |＝3
2
,
即
(λ＋1)3λ－1
? ??
??(λ＋1)31－λ2
＋1＋3×1＝
32,解得λ＝1
3
或λ＝3(舍去). ∴n ＝(23,－3,1),PC →
＝(0,2,－23).
PC 与平面P AM 所成角的正弦值sin θ＝|cos 〈PC →
,n 〉|＝
????
??－23－2316·16＝4316＝34.
18．（2019年1卷18题）
（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，
M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A ﹣MA 1﹣N 的正弦值．
解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，
又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，
由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，
∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM?平面C1DE，DE?平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE；
（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x＝，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos＜＞＝＝＝．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
8．（12分）(2019年新课标Ⅱ理）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.
解：（1）由已知得，11
B C ⊥平面11ABB A ，BE ?平面11ABB A ，
故11B C ⊥BE ．
又1BE
EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．
（2）由（1）知190BEB ∠=?．由题设知11Rt Rt ABE A B E ?△△，所以45AEB ∠=?，
故AE AB =，1
2AA AB =．
以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，
则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），
(1,1,)CE =-
，
1(0,0,2)CC =．
设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则
0,0,CB CE ??=??
?=??n n 即0,
0,
x x y z =??-+=? 所以可取n =(0,1,1)--.
设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则
10,0,
CC CE ??=??
?=??m m 即20,
0.z x y z =??-+=? 所以可取m =（1，1，0）． 于是1
cos ,||||2
?<>=
=-n m n m n m ．
所以，二面角1B EC C --
．
高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.设集合{ }2 430A x x x =-+<，{ } 230x x ->,则A B =I （A ）33,2? ?-- ??? （B ）33,2??- ??? （C ）31,2?? ??? （D ）3,32?? ??? 2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 （A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 7.函数2 2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为 （A ） B ）
（C ） （D ） 8.若101a b c >><<，,则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出 x ,y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |= DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 13 12.已知函数()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤=- ， 为()f x 的零点,4 x π = 为()y f x =图 像的对称轴，且()f x 在51836ππ?? ??? ，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分 13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2 =|a |2 +|b |2 ，则m = ． 14.5(2x + 的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案） 15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 结束
2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 文科综合地理 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案卸载答题卡上，写在试卷上无效。 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二十四节气是我国独有的农业物候历，是我国优秀传统文化之一，寒露节气在每年公历10月8日左右。据此回答1-3题。 1.“露气寒冷，将凝结”是寒露时节的天气现象，可引起我国这种天气现象的气压系统是 A．蒙古高压 B.印度低压 C.阿留申低压 D.夏威夷高压 2.“上午忙麦茬，下午摘棉花”是民间描述寒露时节农事活动的谚语。在下列地区中，该谚语描述的农事活动场景最可能出现在 A.珠江三角洲 B.柴达木盆地 C.藏南谷地 D.渭河平原 3.地球绕太阳一周为360°，以春分日地球在黄道上的位置为0°，则寒露日地球在黄道上的位置为
A.15° B.105° C.195° D.285° 1.A 2.D 3.C 图1中的曲线示意中国、日本、意大利和法国四个国家的城镇化率变化情况，曲线上的圆点表示各国不同高铁线路开始运营的年份。读图1，回答4-5题。 4.图1中第一条高铁开始运营时，四个国家中乡村人口比重最小的为 A.20%-30% B.30%-40% C.40%-50% D.60%-70% 5.图1中2000-2010年高铁新运营线路最多的国家在此期间 A.工业化程度提高 B. 人口增长率增大
（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 ： `
} （一） 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <
（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 《
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
2016高考全国III 卷理数 （1）设集合S ={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S I T = (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 【答案】 D 考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算． （2）若12z i =+，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 【答案】C 【解析】 试题分析：44(12)(12)1 1i i i i i zz ==+---，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数． （3 ）已知向量1(2BA =uu v ,1),2 BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意， 得112222cos 11|||| BA BC ABC BA BC ??∠===?，所以
30 ABC ∠=?，故选A． 考点：向量夹角公式． （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于200C的月份有5个【答案】D 考点：1、平均数；2、统计图 （5）若 3 tan 4 α=，则2 cos2sin2 αα += (A)64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25
2016年普通高等学校全国统一招生考试新课标Ⅲ卷 语文试题 一、现代文阅读（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，完成1~3题。 文学中有历史。当今历史学家大都认为，没有什么文献资料不是史料，不但文学作品，即如佛经、道藏、信札、家谱、账本、碑铭等也无一不是，而且随着史学研究领域的拓展，史料范围还在不断扩大。从“三言二拍”里可以看到晚明市井生活的真实面貌，这对于研究社会史的人几乎是一个常识。陈寅恪以诗证史，也为大家所熟悉。但在“五四”以前，史料范围并非如此宽泛，文学作品在大多数史学家眼里也并非史料，有些文献到底属于文学还是史学，一两千年来都没有一致的看法。神话传说就是如此，其中相当突出的例子是《山海经》。 神话传说是文学，史前时代，无文字可征，只有传说，暂当历史。三皇五帝至今未曾坐实，但“炎皇子孙”已经成为口头语，甚至成为历史共识。新的传说还会不断产生，能否成史颇为可疑，但以神话传说研究历史，却是一种重要的方法。在历史上，《山海经》究竟应归于文学还是史学，曾是死结。王国维《古史新证》说“而疑古之过，乃并尧、舜、禹之人物而变疑之，其于怀疑之态度及批评之精神不无可取，然惜于在于史材料未尝为充分之处理也。”这些古史材料就包括《山海经》《穆天子传》等文献。在《汉书·艺文志》里，《山海经》列于数术类。此后该书在目录学里的角色转换过几次，《隋书·经籍志》将《山海经》列于史部地理类，也就是将它看成史书了。 历史是讲真实的，《山海经》一般被视为荒诞不经，连司马迁写《史记》都不敢采用。虽然《山海经》里平实的山川地理内容应归于史部，但其中大量的神话故事却显然有悖信史，所以清人编《四库全书》，言其“侈谈神怪，百无一真，是直小说之祖耳”，将其改列于子部小说家类。这个死结直到“五四”以后才大致解开。解开的途径有二：一是将《山海经》分而治之，不把它看作一部成于一人一时之书，神话归神话，历史归历史；二是神话中也有历史的成分在，仍可以之证史或补史。分而治之者，以为《山海经》中的《五藏山经》是比较雅正的部分，谭其骧就写了《<五藏山经>的地域范围》一文，分析《山经》写作时的地理知识水平。将历史成分发掘出来的，自然以王国维用《山海经》来印证甲骨文中殷商先王亥为最明显的例子。 上面说的是介于文学与史学之间的文献，至于纯粹的文艺作品，当然也能从中发掘史料。但发掘史料是一回事，把整个作品当成真史就很可虑了。《红楼梦》反映了清代前期的历史现实没有错，可是如果过分坐实到具体历史人物身上，就未免失之穿凿了。戏说之类当然是文学，但读者观众往往误以为是历史。如中俄签订《尼布楚条约》，张诚、徐日昇当时担任与俄国谈判的翻译，工作是以拉丁语作为中介的，而电视剧《康熙王朝》中他们说的却是俄语，观众看到这个情节时被误导也就难以避免了。 （摘编自周振鹤《历史中的文学与文学中的历史》） 1．下列关于原文内容的表述，不正确的一项是（ ) A．在当今历史学界，历史学家的研究领域不断地扩展，各种体裁的文学作品都有可能成为他们研究历史的资料。 B．古代的史学家选取史料的范围比较狭窄，他们并未广泛采用“以诗证史”或将小说用于社会历史研究之类的方法。 C．王国维在《古今新证》中认为，有些历史学家如果能充分利用史料，就不会“疑古”，怀疑尧、舜、禹等人物的真实性。 D．历史学者对《山海经》有不同认知，《隋书·经籍志》把它列入史部，视为史书，王国维则把它作为古史材料看待。 2．下列理解和分析，不符合原文意思的一项是（ ) A．很多人认为《山海经》的记载荒唐夸张，与真实的历史差别较大，司马迁也持这种观点，因此《史记》并不采用《山海经》。
历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）
立体几何高考真题大题 1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o ． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）19 - 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平 面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量 n r ,再利用cos ,n m n m n m ?=r r r r r r 求二面角． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ． （Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ． 以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ． 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =o ．从而可得(C -． 所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r ． 设(),,n x y z =r 是平面C B E 的法向量,则 C 0 0n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r , 即040x y ?=?? =??, 所以可取(3,0,n =r ．
启封前★绝密 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（试题及答案详解） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则 i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21（C ）32（D ）43 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π
2016普通高等学校招生全国统一考试（新课标I） 英语试卷类型A 第Ⅰ卷 第二节（共 5 小题，每小题 2 分，满分10 分） 根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项，选项中有两项为多余选项。 Secret codes (密码)keep messages private。Banks, companies, and government agencies use secret codes in doing business, especially when information is sent by computer. People have used secret codes for thousands of years. 36 Code breaking never lags(落后) far behind code making. The science of creating and reading coded messages is called cryptography. There are three main types of cryptography. 37 For example, the first letters of “My elephant eats too many eels” Spell out the hidden message “Meet me.” 38 You might represent each letter with a number, for example. Let’s number the letters of the alphabet, in order, from 1 to 26. If we substitut e a number for each letter, the message “Meet me” would read “13 5 5 20 13 5.” A code uses symbols to replace words, phrases, or sentences. To read the message of a real code, you must have a code book. 39 For example, “bridge” might stand for “meet” and “out” might stand for “me.” The message “Bridge out” would actually mean “Meet me.”40 However, it is also hard to keep a code book secret for long. So codes must be changed frequently. A. It is very hard to break a code without the code book. B. In any language, some letters are used more than others. C. Only people who know the keyword can read the message. D. As long as there have been codes, people have tried to break them. E. You can hide a message by having the first letters of each word spell it out. F. With a code book, you might write down words that would stand for other words. G. Another way to hide a message is to use symbols to stand for specific letters of the alphabet. 第三部分英语知识运用（共两节，满分45分） 第一节完形填空（共20小题；每小题1.5分，满分30分） 阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A、B、C 和D）中选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。 A Heroic Driver Larry works with Transport Drivers, Inc. One morning in 2009, Larry was 41along I65 north after delivering to one of his 42 .Suddenly, he saw a car with its bright lights on. 43 he got closer, he found 44 vehicle upside down on the road. One more look and he noticed 45 shooting out from under the 46 vehicle.
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国II 卷 （全卷共12页） (适用地区：贵州,甘肃,青海,西藏,黑龙江,吉林,辽宁,宁夏,新疆,内蒙古,云南,重庆,陕西,海南) 注意事项： 1． 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 第I 卷 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的。 （1） 已知i m m z )1()3(-++=在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的 取值范围是 （A ）（3-,1） （B ）（1-,3） （C ）（1,∞+） （D ）（∞-, 3-） （2） 已知集合{}3,2,1=A ，{}Z x x x x B ∈<-+= ，0)2)(1(，则=B A Y （A ）{}1 （B ）{}2,1 （C ）{}3,2,1,0 （D ）{}3,2,1,0,1- （3） 已知向量),1(m a =，)2,3(-=b 且b b a ⊥+)(，则=m （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4） 圆0138222 =+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1， 则=a （A ）3 4- （B ）43 - （C ） 3 （D ）2 （5） 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处 的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7） 若将函数x y 2sin 2=的图像向左平移 12 π 个单位长度，则平移后图像的对称轴为 （A ）)(62Z k k x ∈-= π π （B ）)(62Z k k x ∈+=π π （C ）)(12 2Z k k x ∈-=π π （D ）)(12 2Z k k x ∈+= π π （8） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执 行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T = (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(,22BA =uu v ,1 ),2 BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，34 4b =，13 25c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
2015 年高考立体几何大题试卷 1.【 2015 高考新课标2，理 19】 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=16，BC =10， AA18 ，点E，F分别在 A1 B1，C1D1上， A1 E D1F 4 ．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形． D F C A E B D C A B （ 1 题图） （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面所成角的正弦值． 2. 【 2015 江苏高考， 16】如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，已知AC BC ， BC CC1，设 AB1的中点为D， B1C BC1 E .求证：（1） DE // 平面 AA1C1C ； （2）BC1AB1. A C B E D A C B （ 2 题图）（3 题图） 3. 【2015 高考安徽，理19】如图所示，在多面体A1 B1 D1 DCBA ，四边形 AA1B1 B ， ADD A , ABCD 均为正方形， E 为 B D 的中点，过 A1 , D , E 的平面交CD于F. 1 1 1 1 1 （Ⅰ）证明：EF / / B1C ；（Ⅱ）求二面角 E A1 D B1余弦值.
4.【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD 中，已知 PA平面ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABC BAD,PA AD 2, AB BC 12 （ 1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值； （ 2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ 与 DP 所成角最小时，求线段BQ 的长 A P D Q B F A D G B C E C （ 4 题图）（ 5 题图） 5 .【 2015 高考福建，理 17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB ^平 面 BEC， BE^ EC，AB=BE=EC=2 ， G，F 分别是线段 BE， DC 的中点 . ( Ⅰ ) 求证：GF / /平面ADE； ( Ⅱ ) 求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6. 【 2015 高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC A1B1C1 - 中，BAC 90o， AB AC 2 ，A1A 4 ，A1在底面ABC的射影为BC的中点， D 为B1C1的中点. （1）证明：A1D平面A1B C； （2）求二面角A1-BD- B1的平面角的余弦值.
立体几何咼考真题大题 1. （2016高考新课标1 卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60： （I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃 19 【解析】 试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角， 向量n ,再利用cos （n,m ） 求二面角. n ||m |