完全平方公式
一、内容简介
本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
关键信息：
1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。
二、学习者分析：
1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：
①同类项的定义。
②合并同类项法则
③多项式乘以多项式法则。
2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：
在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。
三、教学/学习目标及其对应的课程标准：
（一）教学目标：
1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。
2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
（二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理
数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。
（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同
角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难
和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
四、教育理念和教学方式：
1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。
教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时
候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。
2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式
展开教学。
3、教学评价方式：
（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主
动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。
（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，
揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。
（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的
教学效果。
五、教学媒体：多媒体
六、教学和活动过程：
教学过程设计如下：
〈一〉、提出问题
[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，通过运算下列四个小题，你能总结出结果与多项式中两个单项式的关系吗？
(2m+3n)2=_______________，(-2m-3n)2=______________，
(2m-3n)2=_______________，(-2m+3n)2=_______________。
〈二〉、分析问题
1、[学生回答] 分组交流、讨论
(2m+3n)2= 4m2+12mn+9n2，(-2m-3n)2= 4m2+12mn+9n2，
(2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2， (-2m+3n)2= 4m2-12mn+9n2。
（1）原式的特点。
（2）结果的项数特点。
（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。
（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。
2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：
两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；
两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。
3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2.
〈三〉、运用公式，解决问题
1、口答：（抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性）
(m+n)2=____________, (m-n)2=_______________,
(-m+n)2=____________, (-m-n)2=______________,
(a+3)2=______________, (-c+5)2=______________,
(-7-a)2=______________, (0.5-a)2=______________.
2、判断：
( )① (a-2b)2= a2-2ab+b2
( )② (2m+n)2= 2m2+4mn+n2
( )③ (-n-3m)2= n2-6mn+9m2
( )④ (5a+0.2b)2= 25a2+5ab+0.4b2
( )⑤ (5a-0.2b)2= 5a2-5ab+0.04b2
( )⑥ (-a-2b)2=(a+2b)2
( )⑦ (2a-4b)2=(4a-2b)2
( )⑧ (-5m+n)2=(-n+5m)2
3、小试牛刀
① (x+y)2=______________;② (-y-x)2 =_______________;
③ (2x+3)2=_____________;④ (3a-2)2 =_______________;
⑤ (2x+3y)2=____________;⑥ (4x-5y)2 =______________;
⑦ (0.5m+n)2=___________;⑧ (a-0.6b)2 =_____________. 〈四〉、[学生小结]
你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题？
(1) 公式右边共有3项。
(2) 两个平方项符号永远为正。
(3)中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。
(4)中间项是等号左边两项乘积的2倍。
〈五〉、冒险岛：
（1）（-3a+2b）2=________________________________
（2）(-7-2m) 2 =__________________________________
（3）(-0.5m+2n) 2=_______________________________
（4）(3/5a-1/2b) 2=________________________________
（5）(mn+3) 2=__________________________________
（6）(a2b-0.2) 2=_________________________________
（7）(2xy2-3x2y) 2=_______________________________
（8）(2n3-3m3) 2=________________________________
〈六〉、学生自我评价
[小结] 通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？
本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。
〈七〉[作业] P34 随堂练习 P36 习题
乘法公式（完全平方公式） 问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2222(1)(p 1)(1)(p 1)________________; (2)(m 2)___________________; (3)(1)(1)(1)_______________; (4)(2)____________________.p p p p m +=++=+=-=--=-= 上面几个运算都是形如2()a b ±的多项式相乘，则可得： 2()()()____________________________;a b a b a b +=++== 2()()()____________________________;a b a b a b -=--== 问题2 你能用式子表示发现的规律吗？ 完全平方公式：________________________ ________________________ 问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？ 两个数的和（或差）的________，等于它们的________，加上（或减去） 它们的__________。这两个公式叫做完全平方公式。 【归纳总结】 完全平方公式特点： 左边：两个数的_____（或_____）的______; 右边：①是____次______项式； ②有两项为两数的________; ③中间项是两数积的_____倍，且与左边乘式中间的符号____； ④公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式. 【巩固练习】 练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）222();x y x y +=+ （2）222();x y x y -=- （3）222()2;x y x xy y -=++ （4）222();x y x xy y +=++
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()22 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 (1)1=+y x ，则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= (二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 (5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222 +-=+a a a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2 2 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求 ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则2221 21y xy x ++= ⑶已知xy ２ y x ，y x x x -+-=---2 22 2)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________
完全平方公式 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平 方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究 过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关 系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过 多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动， 获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目 的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方 法。 三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 （二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理
数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。 （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难 和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。 四、教育理念和教学方式： 1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。 教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时 候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。 2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式 展开教学。 3、教学评价方式： （1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主 动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。 （2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下， 揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。 （3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的 教学效果。 五、教学媒体：多媒体
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
= 2 ，求 x 2 + ， x 4 + 2 = x - ? + 2 x ? ； ③ 将 x - = 2 ， x ? = 1 代入求解即可； 1 ? 2 =? x + ? - 2 x 2 ? 的值及 x 2 ? 完全平方公式的综合应用（习题） ? 例题示范 例 1：已知 x - 【思路分析】 1 1 1 x x x 4 的值． ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积 x ? 判断此类题目为“知二求二”问题； 1 x = 1 ，所求为两数的平方和）， ② “x ”即为公式中的 a ，“ 1 x ”即为公式中的 b ，根据他们之间的关系可得： x 2 + 1 ? 1 ?2 1 x 2 ? x ? x 1 1 x x ④ 同理， x 4 + x 4 ? x 2 ? x 2 1 ? 2 1 ，将所求的 x 2 + 1 1 x 2 x 2 = 1 代入 即可求解． 【过程书写】 例 2：若 x 2 - 2 x + y 2 + 6 y + 10 = 0 ，则 x=_______，y=________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边， x 2 - 2 x 以及 y 2 +6 y 均符合完全平方式结构，只需补全即可，根 据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到 ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 0 ． 根据平方的非负性可知： ( x - 1)2 = 0 且 ( y + 3)2 = 0 ，从而得到 x = 1 ， y = -3 ． ? 巩固练习 1. 若 (a - 2b )2 = 5 ， ab = 1 ，则 a 2 + 4b 2 = ____， (a + 2b )2 = ____． 2. 已知 x + y = 3 ， xy = 2 ，求 x 2 + y 2 ， x 4 + y 4 的值．
初中数学完全平方公式教案范文参考 完全平方公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。以下是小编整理的初中数学完全平方公式教案，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。 初中数学完全平方公式教案范文一 课题名称：完全平方公式(1) 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。 三、教学/学习目标及其对应的课程标准： (一)教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 (二)知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理
完全平方公式 一、填空题： () 22)(9 1291=+ -a a （2）1-6a+9a 2 =( )2 22)(4 1 ) 5(=++x x （6）x 2 y 2 -4xy+4=( ) 2 (7)x 2+( )+9y 2=(x+ )2 (8)(a+b)2-( )=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题： （1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为 （ ） （A ）12 （B ）±18 （C ）±12 （D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（ ） （A ）1-4m+2m 2 （B ）a 2+2a+4 () ab b a C 34 192 2-+ （D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算 （1）(3a+2b)2 （2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2 （4）(-y-6)2 2、计算 （1）99.82 (2）20052 （3）1042 （4）982
3、计算 (1)(2x-3)(3-2x) (2) (5a-4b) (-5a+4b) (3) (2m2+3n) (2m2-3n) (4) (2m2+3n) (-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________ (2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________ (4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·( )=a2-1 (6) (a-1)·( )=a2-2a+1 (7)(a+b)2-( a-b)2=________ (8)(a+b)2+( a-b)2=________ 五、计算 （1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c) (a-2b+3c) (4) (a+2b-3c) (a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.
乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b
444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）
二．常见题型： （一）公式倍比 。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12． （1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值． （2）求x
一、简单型 1、计算472﹣94×27+272． 2、1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________。 3、已知x2-2(m-3)x+9是一个多项式的平方，则m=_______。 二、x+y= xy= （x2+y2=）型（等式两边平方型） 1、已知x+y=3，xy=2，求x2+y2的值． 2、已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值． 3、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y=________。 4、设a﹣b=﹣2，求的值．
三、观察特点，找出隐含条件。 1、已知a-b=b-c=53，a 2+b 2+c 2=1，则ab+bc+ca=___________。 2、已知x= b a b a -+，y=b a b a +- （b a ±≠），且19x 2+143xy+19y 2=2005，则x+y=_____。 3、若n 满足（n-2004）2+（2005-n ）2=1，则（2005-n ）×（n-2004）= （ ） 4、已知a= 201x+20，b=201x+19，c=201x+21，则代数式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值是（ ） 四、先变形再代入型 1、若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x 2+xy+y 2的值 2、已知ax+by=3，a y －bx=5，则(a 2+b 2)(x 2+y 2)=________。 3、已知实数a 、b 满足（a+b ）2=1，（a ﹣b ）2=25，求a 2+b 2+ab 的值． 4、已知a 2+a -1=0，求a 3+2a 2+2016的值
一、选择题 1、计算的结果是（） A．B．1000 C．5000 D．500 2、计算(x4＋y4)(x2＋y2)(x＋y)(y－x)的结果是（） A．x8－y8B．x6－y6 C．y8－x8D．y6－x6 3、下列计算，结果错误的是（） A．x(4x＋1)＋(2x＋y)(y－2x)＝x＋y2 B．(3a＋1)(3a－1)＋9＝0 C．x2－(5x＋3y)(5x－3y)＋6(2x－y)(y＋2x)＝3y2 D．＝－54x3y 4、下列算式中不正确的有（） ①(3x3－5)(3x3＋5)＝9x9－25 ②(a＋b＋c＋d)(a＋b－c－d)＝(a＋b)2－(c＋d)2
③ ④2(2a－b)2·(4a＋2b)2＝(4a－2b)2(4a＋2b)2＝(16a2－4b2)2 A．0个B．1个 C．2个D．3个 5、下列说法中，正确的有（） ①如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，则x2－y2的值是－15； ②解方程(x＋1)(x－1)＝x2＋x的结果是x＝－1； ③代数式的值与n无关. A．0个B．1个 C．2个D．3个 B 卷 二、填空题 6、已知，则＝___________． 7、如果x2＋kx＋81是一个完全平方式，则k＝___________． 8、如果a2－b2＝20，且a＋b＝－5，则a－b＝___________． 9、代数式与代数式的差是___________．
10、已知m2＋n2－6m＋10n＋34＝0，则m＋n＝___________． 隐藏答案 答案： 6、7 7、±18 8、－4 9、xy 10、－2 提示： 6、∵，∴， ∴，∴． 7、∵x2＋kx＋(±9)2是完全平方式． ∴k＝2×(±9)＝±18． 8、∵a2－b2＝20，∴(a＋b)(a－b)＝20. 又∵a＋b＝－5，∴a－b＝－4． 10、[m2＋2·m·(－3)＋(－3)2]＋(n2＋2·n·5＋52)＝0， (m－3)2＋(n＋5)2＝0． ∴ ∴ ∴m＋n＝－2．
半期复习(3)—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一.公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二.常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=4,求。 (1),则= (2)已知= (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2=(5a －3b)2＋A,则A= (2)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (3)如果,那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m,(a —b)2=n,则ab 等于 (5)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知x ﹣y=1,x 2+y 2=25,求xy 得值. 2.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12. (1)求xy 得值; (2)求x 2+3xy+y 2得值. 3.已知:x+y=3,xy=﹣8,求: (1)x 2+y 2 (2)(x 2﹣1)(y 2﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+b)2 (2)a 2﹣6ab+b 2得值. (四)整体代入 例1:,,求代数式得值。 例2:已知a= x ＋20,b=x ＋19,c=x ＋21,求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 得值 ⑴若,则= ⑵若,则= 若,则=
⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求得值为 ⑷已知,,,则代数式得值就是. (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(2): 根据前面各式得规律,则(a+b)6=. (六)首尾互倒 1.已知m2﹣6m﹣1=0,求2m2﹣6m+=. 2.阅读下列解答过程: 已知:x≠0,且满足x2﹣3x=1.求:得值. 解:∵x2﹣3x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠0,且满足(2a+1)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)2+9a2=14a﹣7, 求:(1)得值;(2)得值. (七)数形结合 1.如图(1)就是一个长为2m,宽为2n得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形. (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少？ (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗？ 三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例 如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2得面积来表示. (1)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (2)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2. (八)规律探求 15.有一系列等式:
完全平方公式（基础） ： ： 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、 下列各式是完全平方式的是（ ）． A ．412+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 【思路点拨】完全平方式是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【答案】A ； 【解析】2 21142x x x ??-+=- ??? . 【总结升华】形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 举一反三：
《乘法公式--完全平方公式》教学设计 教学目标： 探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力；在变式中，拓 展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于 创新的精神和合作学习的习惯； 教学重点与难点： 重点是正确理解完全平方公式2)(b a ±=222b ab a +±，并初步运用。 难点是完全平方公式的运用。 教学过程： 一、创设情境，探求新知 前面学习了平方差公式，同学们对平方差公式的结构特点、运用 以及学习公式的意义有了初步的认识。今天，我们继续学习、研究另 一种“乘法公式”——完全平方公式。 问题1（投影显示图形）一块边长为a 米的正方形实验田，因需 要将其边长增加10米。形成四块实验田。问 ：你能用不同的形式表 示实验田的总面积,并进行比较吗？ （活动：教师巡视，检查学生的解题情况） 探索：直接求：2)10(+a 间接求：22101010+++a a a (选取一中等学生和一后进生学生把答案写在黑板上) 得出结论： (a +10)2=a 2+2 10a+102 猜一猜： (a +b )2 =？ 从而引出课题：完全平方公式。 ?
二. 探索新知 1.推导验证两数和的完全平方公式 （1）乘法公式 (a +b )2 =(a +b ) (a +b ) = a 2+ab +ab +b 2 =a 2+2ab +b 2 （2）图形法 结论：(a +b )2=a 2+2ab +b 2 2.两数差的完全平方公式 （1）乘法公式 ( a －b )2 =(a －b ) (a －b ) = a 2－ab －ab +b 2 =a 2－2ab +b 2 （2）两数和的完全平方公式 (a －b )2 =a 2－2ab +b 2 （3）图形法(学生自己探索) 结论：(a －b )2=a 2－2ab +b 2 （3）归纳总结 完全平方公式： (a +b )2=a 2+2a b +b 2 []2 )(b a -+=2 2)(2b b a a +-??+=
半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2 222---++=++ 拓展四:杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二.常见题型： （一）公式倍比 例题:已知b a +=4,求ab b a ++2 2 2。 (１)1=+y x ,则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= （二)公式变形 (１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (３)如果2 2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于 （4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于 (５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 （三）“知二求一” 1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值. 2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12. （1)求ｘｙ的值； （2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．
初二数学完全平方公式的几大知识点 (一)学会推导公式： (这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性; (二)学会用文字概述公式的含义: 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 (三)这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍; 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内). 3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式. (四)两个公式的统一： 两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。 这一章节的难点是对公式特征的理解，如对公式中积的
一次项系数的理解。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希
- -. 完全平方公式专题训练试题精选（一） 一．选择题（共30小题） 1．（2014?六盘水）下列运算正确的是（） A． （﹣2mn）2=4m2n2B． y2+y2=2y4 C． （a﹣b）2=a2﹣b2 D． m2+m=m3 2．（2014?）下列计算正确的是（） A． 2a3+a2=3a5B． （3a）2=6a2 C． （a+b）2=a2+b2 D． 2a2?a3=2a5 3．（2014?）算式999032+888052+777072之值的十位数字为何？（） A．1B．2C．6D．8 4．（2014?）若a+b=2，ab=2，则a2+b2的值为（） A．6B．4C．3D．2 5．（2014?南平模拟）下列计算正确的是（） A． 5a2﹣3a2=2 B． （﹣2a2）3=﹣6a6 C． a3÷a=a2 D． （a+b）2=a2+b2 6．（2014?拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（） A．2，0 B．4，0 C．2，D．4， 7．（2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（） A．B．C．D．无法确定8．（2012?西岗区模拟）下列运算正确的是（） A． （x﹣y）2=x2﹣y2B． x2+y2=x2y2 C． x2y+xy2=x3y3 D． x2÷x4=x﹣2 9．（2011?天津）若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0 10．（2011?）下列运算正确的是（） A． x2+x3=x5B． （x+y）2=x2+y2 C． x2?x3=x6 D． （x2）3=x6 11．（2011?浦东新区二模）下列各式中，正确的是（） A． a6+a6=a12B． a4?a4=a16 C． （﹣a2）3=（﹣a3）2 D． （a﹣b）2=（b﹣a）2
完全平方公式变形 1.已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） ． （3）4 41x x 2.已知x+y=7，xy=2，求 （1）2x 2+2y 2； （2）（x ﹣y ）2．。 （3）x 2+y 2-3xy 3.已知有理数m ，n 满足（m+n ）2=9，（m ﹣n ）2=1．求下列各式的值． （1）mn ； （2）m 2+n 2
平方差公式的应用 1.（a+b﹣c）（a﹣b+c）=a2﹣（）2． 2.（）﹣64m2n2=（a+）（﹣8mn） 3.已知x2﹣y2=12，x﹣y=4，则x+y=． 4．（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）…（x2n+y2n）=． 5.．（﹣3x+2y）（）=﹣9x2+4y2． 6.记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=． 7.计算：=． 8.已知a﹣b=1，a2﹣b2=﹣1，则a4﹣b4=． 9.一个三角形的底边长为（2a+4）厘米，高为（2a﹣4）厘米，则这个三角形的面积为． 10观察下列等式19×21=202﹣1，28×32=302﹣22，37×43=402﹣32，…，已知m，n 为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=． 11．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长 12如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式 为． 以下为提高题（请班级前20名学生会做） 13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．若60是一个“神秘数”，则60可以写成两个连续偶数的平方差为：60=． 14．20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12=． 15．（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1=． 16.（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）=899，则a+b=． 17.化简式子，其结果是．
（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=