浅谈小波分析
摘要：小波分析已成为当代最重要的数学工具之一。本文简要叙述了小波的由来和发展过程，并且阐述了本人对小波的理解，以及进行了小波分析与傅里叶分析之间的比较，最后对小波发展进行一些展望。
关键字：小波变换；傅里叶变换；
0．引言
当代社会时信息社会，诸多领域都会涉及到信号处理的问题。长期以来，傅里叶变换一直是信号处理最重要的工具，并且己经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是，傅里叶变换分析方法存在着一定的局限性与弱点，傅里叶变换虽然提供了信号在频率域上的详细特征，却把时间域上的特征完全丢失了。而在实际中，瞬变信号(非平稳信号)大量存在，对这一类信号进行处理分析，通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频域段所对应的时间信息。小波变换不仅继承和发展了傅里叶变换的一些思想和理论，也克服了其缺点，是一种比较理想的信号处理的数学工具。小波变换作为信号处理的一种手段，被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果，同传统的处理方法相比，产生了质的飞跃，证明了小波技术作为一种调和分析方法，具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。
小波分析虽然已形成了一门独立的学科，但傅里叶分析的方法、理论和命题，是小波分析理论中不可缺少的部分。前文已指出傅里叶分析是频谱分析，而小波分析是频带分析，二者具有互补的作用。尽管小波分析具有种种优越性，但对某些信号，傅里叶分析还是适用的、方便的。小波分析是对傅里叶分析的发展，而傅里叶分析是对小波分析的支撑。它们同是信号分析中的方法。小波理论的进一步发展仍然离不开傅里叶分析的理论和方法。
1．小波理论的来源
傅里叶分析是一种频谱分析，它能清楚揭示信号()
f t的频谱结构，因此在信号分析中长期占据着突出的地位。但是它也存在着不可避免的缺点，即傅里叶系数是信号()
f t在
f t在整个时间域上的加权平均。要想用它们的系数来反映信号()
时间域上的局部性质是不可能的，而信号的局部性质无论是在理论研究方面，还是在实际应用方面都是十分重要的。长期以来，数学家与工程师在努力寻找函数空间2()
L R的一种函数基，使得这种函数基既能保持指数函数基的优点，又能弥补指数函数基的不足，并且希望这种函数基是由某个具有光滑性、紧支撑性和较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的函数族。现在称这种函数基为小波基，对它的存在性、构造和性质的研究便构成小波分析研究的内容。
1.1 傅里叶分析及其不足
自1822年Fourier发表他的热传导解析理论以来，分析便成为最完美的数学理论和最广泛被应用着的数学方法之一。但是直到1965年，美国贝尔实验室的Cooley和Tukey两位工程师综合前人的研究成果，在大量模拟的基础上，提出了影响深远的快速傅里叶变换，即FFT。从此，傅里叶分析方法真正走向实践，成为大家钟爱的一种数学工具。很难发现一门自然科学或工程技术与傅里叶分析没有联系。傅里叶变换简洁的数学表达式，使人感受到一种美感。
傅里叶变换定义了“频率”的概念，用它可以分析信号能量在各个频率成分中的分布情况。对信号2()()f t L R ∈，其傅里叶变换为：
()()j t F f t e dt ωω∞--∞=?
(1) 1
()()2j t f t F e d ωωωπ∞
-∞=?
(2) 尽管傅里叶分析法有种种优点，但其自身也有不足之处：
(1)为了用式(1)从模拟信号()f t 中提取频谱信息()F ω，要取无限的时间量，而使用过去和将来的信号信息只为计算单个频率ω的频谱；
(2) 式(1)没有反映出随时间变化的频率，实际上，我们需要确定时间间隔，使得在任何希望的频带上产生频谱信息；
(3)在2()L R 以外空间，变换系数不能刻画信号()f t 或它的频谱()F ω所在的空间；
(4)分析高频信息需要相对小的时间间隔以给出较好的精度，而分析低频信息，则需要相对宽的时间间隔以给出完全的信息，即需要一个可变得时间-频率窗口，使其在高频时自动变窄，而在低频时自动变宽。但是傅里叶变换无法提供一个灵活可变的时-频窗，所以它无法完成局部分析。
1.2 小波分析发展的基本过程
小波分析就是为了克服傅里叶分析的这些不足而发展起来的。
从小波变换的发展过程来说，大致可分成三个阶段：
第一阶段：小波分析思想的萌芽及孤立应用时期，主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的应用。其思想起源可以追溯到本世纪初，1910 年A. Haar 利用伸缩平移思想构造了第一个规范正交小波基，即Haar 系。1938 年，Littlewoods 和Paley 提出了按二进制频率成分分组的理论，这便成为多尺度分析的思想雏形。70年代是小波分析发展的关键时期，Calderon 表示定理和Hardy 空间的原子分解及无条件基的大量研究为小波分析的诞生提供了理论上的准备。这个时期最具代表性的工作是，法国地球物理学家J. Morlet 和A. Grossman 第一次把“小波”用来分析地震数据，并提出了小波分析的概念。计算机视觉专家D. Marr 在他的“零交差”理论中使用了可按“尺度大小”变化的滤波器算子及现在称为“墨西哥帽”的小波也是这一时期有名的工作之一。当时不同领域的专家，学者，工程师独立地构造自己需要的小波，但他们的研究领域却广泛分布于科学技术研究的许多方面，这也预示了小波分析理论研究和应用热潮的到来。
第二阶段：国际性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始于1986 年，Y . Meyer 在怀疑小波基的存在性时成功地构造了第一个真正的小波基。之后，P. Lemarie 和G . Battle 也分别独立地构造具有指数衰减的光滑小波，其伸缩平移产生的函数系构成2()L R 的标准正交基。再后来，S. Mallat 和Y . Meyer 提出了多分
辨分析（MRA ）理论，统一了在此之前提出的各种具体的小波构造方法。同时，S. Mallat 还在多分辨分析的基础上，给出了离散小波的数值算法，即Mallat 塔式算法。值得一提的是I. Daubechies 从离散滤波器迭代方法出发构造出具有有限支撑的正交小波基和对称的双正交小波，为以后正交小波的构造设定了框架。C. K. Chui 和王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有良好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造方法。1992 年 3 月国际性综合杂志《IEEE Transaction on Information Theory （信息论）》汇刊发表小波分析及其应用专刊，较全面展现了当时小波分析理论和应用的发展情况。
第三阶段：全面应用时期。从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。1993年，一份专门刊载小波理论和应用发展的国际刊物《Applied and Computational Harmonic Analysis 》在美国正式创刊，标志着小波分析理论研究进入到新的阶段。在前一阶段的基础上，尤其是S. Mallat 塔式算法的简便可行，使小波分析迅速波及科学研究和工程技术应用的几乎所有领域。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析相关的论文，各个学科领域的地区性和国际性学术会议和国际会议都有涉及小波分析的各种类型的论文、报告。
纵观小波的发展历史，其理论和应用研究的发展是交织在一起相互促进的。1991年出现了多小波理论，1994年，G . Strang 和V . Strela 等人基于n 重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架，掀起了小波分析理论研究的新热潮。小波分析理论的另一个重要进展是V . Wickerhauser 和R. Coifman 的小波包概念，提出了一种更精细的分解方法。1993年又提出了算法简单且具有良好的相位定位能力的谐波小波。Sweldens 在1995年系统地提出通过矩阵的提升格式来研究完全重构滤波器，从而建立了称之为第二带小波变换的框架体系。Donoho 等人在1999 年也提出了脊波（Ridge let ）与曲波（Curve let ）理论。目前，这些理论也已经成功地应用于数学及信息处理的各个领域。
2．到底什么是小波？
小波是满足某些要求的函数。术语“小波”来源于它的积分等于零的要求，即在t 轴的上下“波动”。小波的“小”意味着函数具有良好的局部性，其它的要求是技术上的，并且大部分要求是为了保证小波变换和其逆变换可以快速和容易地计算。
2.1 小波的定义
小波是函数空间2()L R 中的一个函数或者信号()t ψ，并满足下述条件：
*2
()R C d ψωωω
ψ=<∞? (3) ()()j t t e dt ωωψ∞--∞ψ=? (4)
这里*R 表示非零实数集。如下形式的函数：
*
(,)()(),a b t b t a R b R a ψ-=∈∈ (5) 这个函数称为由小波母函数()t ψ生成的依赖参数(,)a b 的连续小波函数。 ()2()t L R ψ∈意味着小波函数的能量是有限的；而式(3)保证了(0)0ψ=，即
0(0)()()0j t t e dt t dt ψψ∞∞--∞-∞ψ===?? (6)
意味着小波函数具有“波动”性，也就是说小波函数可以在t 轴上下波动，但是并不意味着这个波是一个“很小”的波；另一方面，由于小波函数的积分存在，那么小波函数在趋于无穷时，一定是几乎处处趋于零的，因此小波函数一定具有速降性，也可以说小波是“小”的，这种“小”意味着小波的局部性，而非小波真的很小。
Sweldens 对小波有如下描述：
(1)小波是一般函数的建筑块(Wavelets are building blocks for general functions)；
(2)小波具有时间-频率局部化特性(Wavelet have space-frequency localization);
(3)小波具有快速变换算法(Wavelet have fast transform algorithms)。
2.2 小波分析和傅里叶分析的比较
2.2.1 基本思想比较
傅里叶分析就其实质而言，是将(0,2)π上平方可积函数空间中任意函数分解成不同波函数的叠加，是现代工程中应用最广泛的数学方法之一，尤其适用于信号和图像的处理。利用傅里叶变换，可将信号从时域变换至频域，并分解成不同尺度上连续重复的成分，据此完成从不同空间对同一信号进行分解；分析，计算结果通过递变换返回原空间。傅里叶变换使来自不同领域，千差万别的实际问题得以采用统一的处理方法予以解决，有效地简化了数学计算及分析过程。
小波分析的基本数学思想源自经典的调和分析，它与人们熟知的傅里叶分析极为相似，经典傅里叶分析主要讨论两个方面的内容?即傅里叶变换和傅里叶级数。与之相同，小波分析在研究内容上也包含两大部分，即小波变换与小波级数。小波分析由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，所以赢得了“数学显微镜”之美誉。
2.2.2 特征与性质比较
小波变换和傅里叶变换之间不仅在连续变换，离散变换，时频率特征等方面各不相同，而且在下述诸多方面各具特征：
(1)问题特征：小波变换适合处理突变信号、具有孤立奇异性的函数和自适应信号，傅里叶变换适合处理渐变信号和实时信号。
(2)局部化特征：小波变换可以时间-频率同时局部化，具有自适应性；而傅里
叶变换不具有局部化性质。
(3)性质：小波变换拥有如下性质(a)线性；(b)统一性和相似性；(c)稳定性；(d)表征化函数的局部规则，傅里叶变换仅拥有前两种。
(4)算法及计算工作量：小波变换采用FWT 算法，计算量为()O N ，傅里叶变换均采用DFT 、FFT 算法，计算量为log N N 。
3．小波的展望
小波分析从诞生到现在虽然时间很短，但其发展是迅速的，尽管目前已得到了许多重要的结论和方法，但仍有许多问题有待进一步的研究。
(1)在小波的数学理论基础研究方面：函数空间的刻画，基数插值小波，高维小波，向量小波，框架的研究还需进一步的深入。比如就向量小波来说，经典的小波理论以空间中小波()t ψ与信号()f t 作内积而定义的小波变换为基础，我们称其数量积小波理论。但随着应用的深入，它表现出一些不足：对信号整体作内积，会使信号一开始就被磨光而平滑掉某些重要信息，减弱提取信号特征和奇异性的精度，且多级小波分解会加剧这种情况的发生，从而影响分析信号的整体效果。实际中，因为非张量积且较实用的高维小波基不多见，常常用低维的小波基作张量积来构造高维小波基。用张量积构造的小波基来分析信号，会保留了各种同性特征，同时有可能失掉各向异性特征。所以只得另辟蹊径，提出建立一种新型小波变换：“矢量积小波变换”及相应算法。实际中，我们往往希望对称紧支撑的正交小波，但不幸的是这种小波（除Haar 外）根本不存在。但框架的条件较弱，所以它拥有许多正规正交基所不能拥有的重要性质。如：对称性，插值性。且对框架，特别是紧框架{}n f 来说，Hilbert 空间中的任意元素x 可表示为n n x c f =∑，其系数一般不唯一，这更有利于我们根据实际应用的需要选择合适的系数。如何构造一些高逼近阶，更短支集，更少生成元的框架也应是我们关注的问题。
(2)在应用研究方面：针对具体实际问题，如何构造选择最优小波基及框架的系统方法一直是人们关注的问题之一。仿真和实验对小波分析是重要的，且取得了丰硕的成果。如何让仿真和实验结果走出实验室，向人们提供具有实用价值的小波分析技术，开发以小波作为工具的高水平分析软件将吸引更多学者来进行研究。小波应用的范围虽广，但真正取得极佳效果的领域并不多，人们也正在挖掘有前景的应用领域。
(3)与其它理论的结合：小波分析刚刚打开一扇不稳定，不统一，非时间不变的信号处理的大门，这个领域远比Fourier 分析处理的时不变系统复杂。在这个大领域里，小波分析是一个重要工具，同时也需要其他的理论和工具。最近几年，一些学者将小波变换与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化等方法相结合，形成的小波神经网络、小波模糊网络、小波分形等方法是分析非平稳，非线性问题的理想手段，并已取得了一些可喜的成果。小波分析本身是一门交叉学科，将小波分析与其他理论的综合运用是今后小波变换技术发展的必然趋势。
4．结束语
小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓。它的存在证明，小波基的构造以及结果分析都依赖傅里叶分析，二者是相辅相成的。以为小波分析能处理所有问题、能代替傅里叶分析的想法是不妥的。但小波分析又不同于傅里叶分析，它所带来的局部化革命和多尺度分析的思想，已对许多学科产生多方面的影响，无论是古老的自然科学，还是新兴的高技术应用科学都受到小波分析的强烈冲击。小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经和必将广泛地应用于各个领域。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以使用小波分析，小波分析在超越傅里叶分析的同时与傅里叶分析相互补充，螺旋式向前发展。
致谢
首先要感谢我们小波理论的任课老师XXX老师一个学期以来辛勤地为我们授课，在这里不得不说冉老师是我遇到最特别的一位教师，一位不是只为了把本门课讲好的老师。他极其发散的思维以及和各学科之间紧密联系的讲授，让我对小波产生了浓厚的兴趣，但很多时候都让我觉得跟上冉老师思路是一件不可能完成的任务。冉老师精彩的讲课让我获益良多，进而得以顺利完成论文。
我还要特别感谢XX师姐、XX师兄对我论文写作的指导，他们为我完成这篇论文提供了巨大的帮助，特别是对于一些问题我不能透彻理解的时候，他们非常耐心的给我讲解，知道我理解为止。还要感谢XX同学对我的无私帮助，是他们在我写论文过程中和我经常的讨论，使我得以顺利完成论文。
最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！
参考文献：
[1]冉启文. 《小波变换与分数傅里叶变换理论及应用》. 哈尔滨工业大学出版社
[2]李彦民. 小波分析的发展过程及应用现状. 伊犁师范学院学报. 2000(1):84-87
[3]李建平. 从文献分析看小波理论的发展. 重庆大学学报(自然科学版). 1997，20(1):82-87
[4]Sweldens W. Wavelets:What Next? Proc. of the IEEE. 1996，84(4):680-685
[5]Special issue on Wavelet transforms and multiresolution analysis. IEEE https://www.doczj.com/doc/fb817481.html,rm.Theory, 1992:38(2)．
《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：
小波分析结课论文 基于正交滤波器组的Daubechies 小波设计及Quartus ll 仿真 1.非平稳信号的局部变换 信号s(t)和其频谱S(w)构成Fourier 变换对,由于Fourier 变换或反变换都属于全局变换，不能告知某种频率分量发生在那些时间内，因此用来不能描述信号的局部统计特性。对于非平稳信号s(t)，应该采用局部变换来描述其随时间变化的统计特性。并且信号的局部性能需要使用时域和频域是我二维联合表示，才能精确描述。 1.1用内积构造信号变换 任何一种信号变换都可以写成该信号与某个选定的核函数之间的内积，因此可以用下面两种基本形式来构造。 信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的局部，核函数无穷长> 或 信号s(t)的局部变换 = <取信号s(t)的全部，核函数局域化> 1.2小波变换 1.2.1选用小波变换的原因 三个信号局部变换的典型例子是短时Fourier 变换、Gabor 变换、小波变换，它们都是时频信号分析的线性变换。而短时Fourier 变换和Gabor 变换都属于“加窗Fourier 变换”，都以固定的滑动窗对信号进行分析，可以表征信号的局部频率特性。显然，这种时域固定等宽的滑动窗处理并不是对所有的信号都合适。因为有较多的自然界信号在低频端应具有很高的频率分辨率，在高频端的频率分辨率可以比较低。而从不相容原理的角度看，这类信号的高频分量应该具有高的时间分辨率，低频分量应该具有低的时间分辨率。对这类非平稳信号的线性时频分析，应该在时频平面的不同位置具有不同的分辨率，小波变换就是这样一种多分辨（率）分析方法，其目的是既见森林——信号概貌，又见树木——信号细节，所以，小波分析被称为数学显微镜。 1.2.2连续小波变换的定义及参数含义 平方可积分函数s(t)的连续小波变换定义为 (,)()*( )(),()s ab t b W T a b s t dt s t t a ψψ∞ -= =??? , a > 0
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
故障诊断分析方法比较 摘要：小波变换作为信号处理的手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工 程技术人员重视和应用。在机械系统和电气系统中，故障时常发生，为了诊断 系统是否故障，小波分析是很好的方法。小波分析的方法很多，小波的选择也 很多类，为了研究哪种小波分析方法更加适合于故障检测。论文将通过一个例 子来分别采用功率谱、多分辨小波分析和小波包三种方法进行突发性故障诊断，来研究各自的分析特点。并总结在故障发生时，一个更加好的分析方法。 关键词：故障功率谱多分辨分析小波包分析 正文： 在对机械设备进行故障检测时，通常采用对振动信号进行频谱分析找出奇 异点的方法来实现设备监测。傅里叶变换是频谱分析的主要工具，其方法是研 究函数在傅里叶变换后的衰减以推断函数是否具有奇异性及奇异性的大小，但 傅里叶分析只能确定一个函数奇异性的整体性质而难以确定奇异点空间的位置 分布情况，这一局限性导致了频谱分析不能精确的确定信号的奇异性特点，给 进一步分析信号的规律带来了一定的障碍。 而在傅里叶基础上发展而来的功率谱可以识别不同信号的故障信号。将正 常信号的功率谱与运行过程中不断连续收集的信号功率谱进行对比，功率谱异 常就表示机械系统有故障，不同类型的故障会有不同类型的频谱特征，从故障 信号的功率谱中可以识别故障的类型。 然而利用传统的频谱分析方法只能从频谱图上了解故障信号的所包含的频 率成分，而无法确定具体的频率成分的震动形式。无法对具体的频率成分进行 分析，难以直接描述机械的状态。小波分析是近十年发展起来的一门适用于时 变信号分析的新兴工具，它可以把时域信号变换到时间—尺度域中，在不同尺 度下观察不同的局部化特性。在信号突变时，其小波变换后的系数具有模量极 大值，可通过对模的极大值点的检测来确定故障发生的时间点。在从小波基础 上发展的小波包，对各个子小波空间做出更加细致的分解，其对应的频带被进 一步分解，这使得时—频分析能聚焦于任意的细节，在故障诊断时，可从细节 上分析故障。 很多工作系统正常工作时，工作输出点的采样信号是蠕变信号，当由于多 种原因系统系统故障时，输出信号将产生一突变信号（主要表现在幅度和频率 的变化），信号的突变时刻被称为信号的奇异点。这些奇异点数值包含有重要 的故障信息，因此，对突变信号进行检测和处理，是故障诊断的关键。 因此，本文从功率谱、多分辨分析分析和小波包三种方法进行蠕变信号突发性 故障诊断，并比较总结它们的特点。 实例：由于日常机械中很多振动信号都是由不通频率的正弦余弦波组成的，于 是这里选择的原始信号采用的是单一频率正弦波的形式。为了研究上述三种分 析方法，并且由于还未在先研究阶段中未得到研究机械的信号，为了简化分析
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
《图像处理与分析》结课论文小波变换及其在图像处理与分析中的应用 院(系)名称:遥感信息工程学院 专业名称:测绘工程 学号: 学生姓名: 指导老师: 二○一三年十一月
摘要 对小波变换的基本概念进行了简要介绍,分析了小波变换在图像压缩、图像去 噪以及图像融合等方面的应用,概述了相关算法原理。以Matlab为平台,进行了基于 小波变换的图像融合实验,并分析了实验结果。 关键词:小波变换图像压缩图像去噪图像融合 ABSTRACT The paper give a brief introduction of wavelet transform’s basic conception and analysis the applications of wavelet transform in image compression, image denoising and image fusion、Then it introduces some algorithms about image prosessing、Finally, give a experiment of image fusion based on wavelet transform, which is programmed in Matlab platform, and analyze the experimental results、 Key words: Wavelet transform Image compression Image denoising Image fusion
第1章引言 当从时域中观察一个信号时,得到的信息就是信号随着时间的变化,其幅度的起起伏伏。但就是,如果更进一步想研究起伏速度较快或较慢的部分,就不太容易从时域中信号的波形直接得到所需的信息。因此,需要将时域中的信号转换到频域中分析。传统的转换方式就是利用傅立叶变换,然而,傅立叶变换潜在的假设了信号就是平稳信号。所谓的平稳信号就就是信号的规律不随时间的变化而改变,而现实生活中的信号往往就是非平稳信号与平稳信号交织在一起的。另一方面,用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号全部时域的信息,也就无法通过傅立叶分析来刻画时域信号的局部特性。为解决傅立叶变换的不足,Gabor提出在傅立叶变换中加入高斯窗函数,将窗函数沿时间轴挪移,得到一系列包含时间信息的傅立叶变换结果,从而能同时分析信号的时间信息与频率信息。根据Heisenberg的测不准原理,窗口傅立叶变换对信号的时间定位与频率定位能力就是相互矛盾的,时间分辨率与频率分辨率不可能同时提高,而且变换窗口没有自适应性,只适于分析所有特征尺度大致相同的信号,不适于分析多尺度信号与突变过程。 由此,引入了小波变换。顾名思义,“小波”就就是小的波形。所谓“小”就是指它具有衰减性,而称之为“波”则就是指它的波动性,其振幅呈正负相间的震荡形式。傅立叶分析就是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加,同样小波分析就是将信号分解为一系列小波函数的叠加,而这些小波函数都就是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。小波分析优于傅立叶分析的地方就是,它在时域与频域同时具有良好的局部化性质,且具有多分辨分析的特点。它就是一种窗口大小可以改变的分析方法,可以改变其时间窗与频率窗,根据高频与低频的不同,可以使时间——频率窗变窄或变宽,即:在低频部分时具有较高的频率分辨率与较低的时间分辨率,在高频部分时具有较低的频率分布率与较高的时间分辨率,非常适合于加带、瞬态、反常现象的探测正常信号中并展示其成分,所以被誉为分析信号的显微镜。 第2章小波变换的基本概念 2、1连续小波变换 给定基本小波函数ψ,信号f(t)的连续小波变换定义为: (a＞0,b∈R) (2、1) 式(2、1)也可以表示为,它可以瞧做就是求函数f(t)在的各尺度
题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤
11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩
高级数字信号处理 题目：小波分析的最新进展姓名： 学号： 年级： 专业：
小波分析的最新进展 摘要: 目前，小波分析的发展及应用引起人们的广泛关注。小波分析是国际上公认的最新时间——频率分析工具，由于其“自适应性”和“数学显微镜性质”而成为许多学科共同关注的焦点，对于信号处理及信急处理起着至关重要的作用。本文介绍了小波分析的产生和发展过程，小波及连续小波变换的概念，小波分析在信号处理中的应用以及未来的发展趋势。 Abstract At present, the development and application of wavelet analysis to cause widespread concern. Wavelet analysis is the latest international recognized -- time frequency analysis tools, due to the "adaptive" and "mathematical microscope nature" and has become the common focus of attention of many disciplines, for signal processing and signal processing plays a vital role in emergency. This paper introduces the generation and development process of the concept of wavelet analysis, wavelet and continuous wavelet transform, the application of wavelet analysis in signal processing and the development trend in the future. 关键词: 小波分析信号处理发展趋势 Key Words Wavelet analysis Signal processing Development trend 一、绪论 波分析(Wavelet Analysis)是上世纪末数学研究的重要成果之一，其在时域和频域同时具有良好的局部化性质，可以聚焦到对象的任意细节。小波分析是一种时域－频域分析，它可以根据信号不同的频率成分，在时域和空间域自动调节取样的疏密：高频率时则密，低频率时则疏。从信号分析的角度讲，小波分析相当于用一族带通滤波器对信号进行滤波，这族滤波器的特点在于其Q值（中心频率/带宽）基本相同即随着小波变换的尺度减小，滤波器的中心频率向高频移动的同时，其通带宽度也随之增加。因此，小波分析具有广泛的应用领域，在未来具有广阔的发展前景。
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与
小波分析学习心得 学习小波分析这门课程已经有一段时间了，我对于这一门课程已经有了一定程度的认识。由于学科专业所限，我平时接触小波分析的机会并不是很多，很高兴在这个学期能够有机会专门学习小波分析。经过这一段时间小波分析的学习，虽然我还不能说是精通小波分析，不过也是对其中的一些基本概念有了一定的理解。后文中，我将会对在小波分析学习过程中所得到的一些学习心得进行总结。 我们通常说的波一般指的是物质的一种运动方式，在数学中它对应于时间域或空间域的震荡方程。正弦波就是一种最为常见的波，它的振幅均匀的分布时域中，并不收敛，所具有的能量是无穷的。小波，顾名思义，就是小的波，它的能量是有限的，相对于正弦波而言，它的振幅在时域上是收敛的，能量并不是无穷的。傅里叶变换将函数投影到正弦波上，将函数分解成了不同频率的正弦波，这是一个非常伟大的发现，但是在大量的应用中，傅里叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中，傅里叶变换已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，傅里叶变换在奇异点的表现就令人非常不满意，从对方波的傅里叶逼近就可以看出来，用了大量不同频率的正弦波去逼近其系数衰减程度相当缓慢。其内在的原因是其基底为全局性基底，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。很多应用场合要求比较精确的时频定位，傅里叶变换的缺点就越来越突出了。 窗口傅里叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅里叶变换，获得比较好的时频定位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉我们，没有这么好的窗能在时
时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?
数字信号处理技术在电力系统中的发展现状和趋势 摘要：为了适应现代电力系统的要求，先进的数字信号处理技术被应 用到电力系统中，充分发挥了其快速强大的运算和处理能力以及并行 运行的能力，满足了电力系统监控的实时性和处理算法的复杂性等更 高的要求。本文首先简要介绍了电力系统和数字信号处理技术；然后 详细阐述了数字信号处理技术在电力系统中的应用，包括傅里叶变换、 小波变换、现代谱分析、相关分析、数学形态学，并介绍了数字信号 处理技术在电力系统应用中的现状和趋势。 关键词：数字信号处理，电力系统 Abstract: In order to meet the requirements of modern electric power system, the advanced digital signal processing technology is applied to the electric power system. this technology has gave full play to its fast computation and processing capacity and the ability to run in parallel, and it satisfies some higher requirements, such as the real time monitoring of electric power system and the complexity of handle algorithm. This article first briefly introduced the electric power system and digital signal processing technology; And then expounds the application of digital signal processing technology in power system, including Fourier transform, wavelet transform, the modern spectrum analysis, correlation analysis and mathematical morphology, and digital signal processing technology is introduced in the present situation and trend of power system applications. Keywords: digital signal processing, electric power system 1、引言 现代电力系统通过联网已经发展成供电区域辽阔和容量巨大的系统，作为国民经济发展的源动力，我国的电力系统正以空前的规模和速度扩大。随着互联电力系统的增长，尤其是长江三峡工程的崛起，超远距离输电的互联大电网的安全成为更加关心和突出的问题。电力系统是一个庞大的、瞬变的多输入输出的系统，为了保证其安全运行，需要实时地监视各节点的运行状况，及时发现电力系统的不正常状态及故障状态通知运行人员，或快速地进行控制和处理。这要求在电网各节点都要有数据采集单元，将测得的电力系统运行参数转化为数字量，进行分析和控制就地解决问题，或者通过远方通信送往调度中心进行处理。电力系统监视和控制的参数要求实时性较强，不仅包括频率、电压、
《水文小波分析原理及其应用》考试试题 课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷 一、写出下列专业术语的英文表达（每小题1分，共10分） （1）小波分析: wavelet analysis； （2）小波变换：wavelet transformation； （3）小波函数：wavelet function； （4）小波消噪：Wavelet denoising； （5）小波方差：Wavelet variance ； （6）连续小波变换：Continuous wavelet transform； （7）离散小波变换：Discrete wavelet transform ； （8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model； （9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model； （10）快速小波变换算法：Fast wavelet transform algorithm。 二、论述学习“水文小波分析原理及其应用”课程的目的与意义。（10分）答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水－环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。 小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”。利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。
河南农业大学 本科生毕业论文 题目基于小波变换的信号去噪研究 学院理学院 专业班级信安3班 学生姓名秦学珍 指导教师吴莉莉 撰写日期：年月日
基于小波变换的信号去噪研究 秦学珍 摘要 小波变换是一种新型的数学分析工具，是80年代后期迅速发展起来的新兴学科。小波变换具有多分辨率的特点，在时域和频域都具有表征信号局部特征能力，适合分析非平稳信号，可以由粗及精地逐步观察信号。小波分析的理论和方法在信号处理、图像处理、语音处理、模式识别、量子物理等领域得到越来越广泛的应用，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。 信号的采集与传输过程中，不可避免会受到大量噪声信号的干扰，对信号进行去噪，提取出原始信号是一个重要的课题。那么究竟应该如何从含噪声的信号中提取出原始的信号，这就成了最重要的问题。经过长期的探索与努力、实验仿真，对比于加窗傅里叶对信号去噪，提取原始信号的方法，终于找到了一种全新的信号处理方法——小波分析。它将信号中各种不同的频率成分分解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径，特别在信号去噪方面显出了独特的优势。 本文从小波变换的定义和信号与噪声的不同特性出发，在对比分析了各种去噪方法的优缺点基础上，运用了对小波分解系数进行阈值化的方法来对一维信号去噪，该方法对去除一维平稳信号含有的白噪声有非常满意的效果，具有有效性和通用性，能提高信号的信噪比。与此同时，本文还补充介绍了强制消噪处理、默认阈值处理、给定软阈值处理等对信号消噪的方法。在对含噪信号运用阈值进行消噪的过程中，对比了用不同分解层数进行处理的去噪效果。 本文采用的是用传感器采集的微弱生物信号。生物信号通常是噪声背景小的低频信号，而噪声信号通常集中在信号的高频部分。因此，应用小波分解，把信号分解成不同频率的波形信号，并对高频波进行相关的处理，处理后的高频信号在和分离出的低频信号进行重构，竟而，就得到了含少量噪声的原始信号。而且，随着分解层数的不同，小波去噪的效果也是不同的。并对此进行了深入
MA TLAB中的图形用户界面（GUI）一、MAYLAB简介 MA TLAB是一种高效能的、用于科学和技术计算的计算机语言。它将计算、可视化和编程等功能集于一个易于使用的环境。MA TLAB是一个交互式系统（写程序与执行命令同步），其基本的数据元素是没有维数限制的阵列，因此采用MA TLAB编制包含矩阵和向量问题的程序时比采用只支持标量和非交互式的编程C或FORTAN语言更加方便。MA TLAB的全名是Matrix Laboratory，意思是矩阵实验室，是由MathWorks公司推出的 二、MA TLAB语言的优点： (1)简单易学； (2)代码短小高效，只需熟悉算法特点、使用场合、函数调用格式和参数意义，不必花大量时间纠缠具体算法； (3)计算功能非常强大； (4)强大的图形表达功能； (5)可扩展性能。 三、MA TLAB的重要特色： 它有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱（toolbox）的特殊应用子程序。工具箱是MA TLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而定制的，主要包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。
四、MAYLAB中的图形用户界面（GUI） GUI(Graphical User Interface)图形用户界面，是在图形界面下安排显示与用户交互的组件元素，用户可以只通过键盘、鼠标和前台界面下的组件发生交互，而所有的计算、绘图等内部操作都封装在内部，提高了终端用户使用MA TLAB程序的易用性。图形用户界面设计工具的启动方式： 1. 命令方式 图形用户界面GUI设计工具的启动命令为guide，格式为: (1)guide 功能：启动GUI设计工具，并建立名字为untitled.fig的图形用户界面。 (2)guide filename 功能：启动GUI设计工具，并打开已建立的图形用户界面filename。 在Matlab的主窗口中，选择File菜单中的New菜单项，再选择其中的GUI命令，就会显示GUI的设计模板。
现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞
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