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精品小班课程辅导讲义(学生版) 讲义编号2014年春季08SX12
F
E
D C
B A 1、如图1，Rt △AB
C 中，∠ACB=90°，
D 是边BC 上一点，点
E 、
F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF .
（1）求证：△CEF ≌△AEF ；
（2）联结DE ，当BD=2CD 时，求证：DE=AF .
2、已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AB 、AD 为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE ，且顶角∠BAF =∠DAE ，联结BD 、EF 相交于点G ，BD 与AF 相交于点H ． （1）求证：BD =EF ；
（2）当线段FG 、GH 和GB 满足怎样的数量关系时，
四边形ABCD 是菱形，并加以证明．
3、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作BE AF ⊥,分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE =BF ；
（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠．
图1
A
B
D
E
F
（第23题图）
G H
4、邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，平行四边形ABCD 中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD 为1阶准菱形。
（1）判断与推理：
○
1邻边长分别为2和3的平行四边形是___2_______阶准菱形； ○
2小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD 沿着BE 折叠（点E 在AD 上）使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ，请证明四边形ABFE 是菱形。 （2）操作、探究与计算：
○1已知平行四边形ABCD 的邻边分别为1，a （a ＞1），且是三阶准菱形，请画出平行四边形ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值； ○2已知平行四边形ABCD 的邻边长分别为a 、b （a ＞b ），满足a=6b+r ，b=5r ，请写出平行四边形ABCD 是几阶准菱形。
5、如图5，在四边形ABCD 中，CD AD =，AC 平分DAB ∠，BC AC ⊥，?=∠60B ． （1）求证：四边形ABCD 是等腰梯形； （2）取边AB 的中点E ，联结DE ．求证：四边形DEBC 是菱形．
A
B
C
D
图5
6、已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =AD ， 点E 在BA 的延长线上，AE=BC ，∠AED=α．
（1）求证：∠BCD
=2α； （2）当ED 平分∠BEC 时，
求证：△EBC 是等腰直角三角形．
7、 如图7，四边形ABCD 中，BC AD //，点E 在CB 的延长线上，联结DE ，交AB 于点F ，联结DB ，AFD DBE ∠=∠，且2DE BE CE =?. (1) 求证：DBE CDE ∠=∠；
（2）当BD 平分ABC ∠时，求证：四边形ABCD 是菱形.
（图6）
A
B
C
D
E
图7
C
A
8、如图8，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF DE =，联结BF CF AC 、、 求证：四边形ABFC 是平行四边形；
9、如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB ∥DC ，?=∠90A ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 是正方形；
（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果CD BG =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．
图8
F
E
D
C
B
A
E
C
B
D
A
G
F
10、已知：如图10，EF 是矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线，EF 与对角线AC 及边AD 、BC 分别交于点O 、E 、F ．
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）如果2FE ED ，求:AE ED 的值．
11、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，O 是斜边AB 上的中点，BF ∥AC.
(1)求证：△AOE ≌△BOF ；(2)求证：四边形BCEF 是矩形.
12．（1）如图1，点O 是⊿ABC 内任意一点， G 、D 、E 分别为AC 、OA 、OB 的中点，F 为BC 上一动点，问四边形GDEF 能否为平行四边形？若可以，指出F 点位置，并给予证明.
（
2）（填空，使下列命题成立，不要求证明）如图3，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、 CD 、DA 的中点.
当 时，四边形EFGH 为矩形. 当 时，四边形EFGH 为菱形. 当 时，四边形EFGH 为正方形.
A B O 图10 E D B A
C O
E G D B A C O E G D
F B C D
A G
F E
H
第23题图图3图2(备用图)图1
N
M
D
C
B A
O
13、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AM =DM ．
求证：（1）AE =AB ；
（2）如果BM 平分∠ABC ，求证：BM ⊥CE ．
14、如图14，在梯形ABCD 中，AD ‖BC ，
对角线AC 与BD 交于点O ，M 、N 分别为OB 、OC 的 中点，又∠ACB =∠DBC . (1)求证：AB =CD ； (2)若AD =2
1
BC .求证：四边形ADNM 为矩形. （图14）
15、已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ， 点E 为边BC 上一点，且AE ＝DC ．
（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；
（2）当∠B ＝2∠DCA 时，求证：四边形AECD 是菱形．
A
B
C
D
E
M
（第13题图）
A
B
C
D
E