《二次函数专题提优》 ：新定义问题
1、定义{a ，b ，c }为函数y =ax 2+bx +c 的“特征数”．如：函数y =x 2-2x +3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y =2x +3
的“特征数”是{0，2，3}，函数y =-x 的“特征数”是{0，-1，0}
（1）、将“特征数”是{0，√33，1}的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是y =√3
3x ?1； （2）、在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线x =√3分别交于D 、C 两点，判断以A 、
B 、
C 、
D 四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；
（3）、若（2）中的四边形与“特征数”是{1，?2b ，b 2+1
2}的函数图象的有交点，求满足条件的实数b 的取值
范围．
2、定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，
它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=． （1）、已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；
（2）、已知二次函数y=﹣x 2
+4x ﹣．
①、当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；
②、当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；
（3）、在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN ．
直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．
3、定义：对于抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠），若2b ac =，则称该抛物线为黄金抛物线．
例如：2222y x x =-+是黄金抛物线．
（1）、请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）、若抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共
点个数的情况（说明理由）；
（3）、将黄金抛物线2222y x x =-+沿对称轴向下平移3个单位.
①、直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②、设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，
使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
4、定义：如图①，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 在该抛物线上(P 点与A 、B 两点不重
5、在平面直角坐标系中，我们把直线y=ax+c 称为抛物线y=ax 2+bx+c 的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛
物线的生成点，例如：抛物线y=x 2-2的生成线是直线y=x-2，生成点是：（0，-2）和（1，-1）．
（1）、若抛物线y=mx 2-5x-2的生成线是直线y=-3x-n ，求m 与n 的值．（直接写出答案即可）
（2）、已知：抛物线y=x2-3x+3的图象如图所示，若它的一个生成点是（m ，m+3）．
①、求m 的值；
②、若抛物线y=x 2+px+q 的图象是由抛物线y=x 2-3x+3的图象平移所得（不重合），且同时满足以下两个条件： 一是这两个抛物线具有相同的生成线；
二是若抛物线y=x2-3x+3的生成点为点A ，点B ，y=x2+px+q 的生成点为点C ，点D ，则AB=CD ．
求p 与q 的值．
6、在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax －a 为抛物线y=ax2+bx+c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；
有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线32x 3
34x 332y 2+=－－
与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C ．
(1)、填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；
(2)、如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，
若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；
(3)、当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．
6、设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{-1，-1}=-1，max{1，2}=2，
max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）、max{5，2}=5，max{0，3}=3；
（2）、若max{3x+1，-x+1}=-x+1，求x的取值范围；
（3）、求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标，函数y=x2-2x-4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=-x+2的图象，并根据图象直接写出max{-x+2，x2-2x-4}的最小值．
7、如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示
二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”．
（1）、直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点．
（2）、二次函数y=2（x+2）2+1的“关于y轴对称二次函数”解析式为；
二次函数y=a（x-h）2+k的“关于y轴对称二次函数”解析式为；
（3）、平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数
表达式．
8、在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．
8、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所
组成的图形）叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
（1）、已知抛物线的焦点F（0，14a14a），准线l：y=?14ay=?14a，求抛物线的解析式；
（2）、已知抛物线的解析式为：y=x2-n2，点A（0，14?n214?n2）（n≠0），B（1，2-n2），P为抛物线上一点，求：PA+PB的最小值及此时P点坐标；
（3）、若（2）中抛物线的顶点为C，抛物线与x轴的两个交点分别是D、E，过C、D、E三点作⊙M，⊙M上是否存在定点N？若存在，求出N点坐标并指出这样的定点N有几个；若不存在，请说明理由．
9、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，
且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图1中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，3333D C B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形3333D C B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．
（1）、如图1，已知A （-2，0），B （4，3），C （0，t ）．
①、若t=2，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为___；
②、若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为___；
（2）、如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （x ，y ）是抛物线y=-x2+4x+5上一点，求点M ，N ，P 的
最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；
x
的一个面积最小的最佳外延矩形， H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出 H 的半径r 的取值范围．