初一复习一元一次方程
综合提高讲义
Revised by Petrel at 2021
复习一元一次方程综合提高
相关概念及性质：
一元一次方程的定义
1．一元一次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且未知数的系数不等于0的方程叫做一元一次方程。
2．一元一次方程的形式
标准形式：0
ax b
+=（其中0
a≠，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．
最简形式：方程ax b
=（0
a≠，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
【注意】
任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22
216
x x x
++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
等式的概念
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
1.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
2.等式的性质
等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若a b
=，则a m b m
±=±；
等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一
个整式，所得结果仍是等式．若a b
=，则am bm
=，a b
m m
=(0)
m≠．
【注意】（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．
（2）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b
=，那么b a
=．②等式具有传递性，即：如果a b
=，b c
=，那么a c
=．
一元一次方程的解法
1．解一元一次方程的一般步骤
（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．【注意】不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．
（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．【注意】不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．【注意】①移项要变号；②不要丢项．
（4）合并同类项：把方程化成ax b
=的形式．【注意】字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0
a≠），得到方程的
解b x a =． 【注意】不要把分子、分母搞颠倒．
2、一元一次方程实际应用
提升练习 题型一：
1.下列各式中：①3x +；②2534+=+；③44x x +=+；④12x =；⑤213x x ++=；
⑥44x x -=-；⑦23x =；⑧2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程＿＿＿＿。
2.下列说法中正确的是（）
A.y=2是方程y+2=0的解
B.x=0.0001是方程200x=2的解
C.t=2是方程|t|-2=0的解
D.x=1是方程的解
3.下列说法不正确的是（）
A ．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．
B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．
C ．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式．
D ．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式．
4.下列结论中正确的是（）
A ．在等式3635a b -=+的两边都除以3，可得等式25a b -=+．
B ．如果2x =-，那么2x =-．
C ．在等式50.1x =的两边都除以0.1，可得等式0.5x =．
D ．在等式753x x =+的两边都减去3x -，可得等式6346x x -=+．
5.知等式ax=ay,下列变形不正确的是（）.
A ．x=y
B ．ax+1=ay+1
C ．ay=ax
D ．3-ax=3-ay
6.如果方程ax+b=0（a ≠0）的解是一个正数，那么下列结论中正确的是（）
A ．a 、b 一定都是正数
B ．a 、b 一定都是负数
C ．a 、b 互为相反数
D ．a 、b 一定是符号相反的数
7.下列变形中属于移项的是（）
A 、
B 、
由3x=1，得
C 、由3x-2=0，得3x=2
D 、由-3+2x=7，得2x-3=7
8.2012香坊期末、下列方程去括号正确的是()
A.由2x －3(4－2x)＝6得2x －12－2x ＝6
B.由2x －3(4－2x)＝6得2x －12－6x ＝6
C.由2x －3(4－2x)＝6得2x －12＋6x ＝6
D.由2x －3(4－2x)＝6得2x －3＋6x ＝6
9.2015海安期末、下列方程变形中，正确的是（
实际问题 一元一次方程
①设未知数②找等量关③列方程
）。
A:方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=-1+2
B:方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x-1
C:方程，未知数系数化为1，得t=1
D:方程，化成3x=6
10.解方程－＝，去分母所得结论正确的是( )
A．x＋3－x＋1＝15－xB．2x＋6－x＋1＝15－3x
C．x＋6－x－1＝15－xD．x＋3－x＋1＝15－3x
11.2013相城模拟、解方程,去分母,得(
)
A.1-x-3=3x
B.6-x-3=3xC6-x+3=3xD.1-x+3=3x
12.2008十堰、在解方程时,去分母正确的是(
)
A.3（x-1）-2(2x+3)=6
B.
3（x-1）-2(2x+3)=1
C.
2（x-1）-2(2x+3)=6D.
3（x-1）-2(2x+3)=3
13.2017天水、把方程中分母化整数，其结果应为（
）。
A:B:
C:D:
14.2016衡阳期末、解方程时,去分母正确的是(
)
A.3x-1=2(x-1)
B.3x-6=2(x-1)
C.3x-6=2x-1
D.3x-3=2x-1
题型二
1.2016宜阳期中、若3x2m-3+7=1是关于x的一元一次方程，则m的值是（）
A．1B．2C．3D．4
2.2012仁寿期末、若方程5x2n+1=1是一元一次方程，则n等于（）A．-
1B．0C．0.5D．1
3.2016宜期末、若关于x的方程ax a-1=4-a是一元一次方程，则这个方程的解是
A ．x=1
B ．x=4
C ．x=-1
D ．x=-4 4.若关于x 的方程3（x-1）+a=b （x+1）是一元一次方程，则（）
A ．a ，b 为任意有理数
B ．a ≠0
C ．b ≠0
D ．b ≠3
5.若2（x-3）+a （x+6）=1是关于x 的一元一次方程，则（）
A ．a ≠-2
B ．a ≠0
C ．a ≠2
D ．a 为任意数
6.关于x 的方程2x-m=1解为x=1，则m 的值为（）
A ．-2
B ．-1
C ．1D.2
7.2016石家庄一模、若x=-3是方程2（x-m ）=6的解，则m 的值为（）A ．6B ．-
6C ．12D ．-12
8.已知x=3是方程2x-4a=2的解，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．-2D ．-1
9.2017三明模拟、若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x ，可列方程为A ．-x+2=8B ．-2x=8C ．-x=2+8D ．x-2=8
10.2014苏州期末、关于x 的方程4x －6＝3m 与x －1＝2有相同的解，则m （）
A. －2
B.2
C.－3
D.3
11.2016保定期末、若代数式4x-5与
的值相等，则x 的值是（
）。
A:1B:
C:
D:
2
12.2017漳州期末、若x 与4-4x 的值互为相反数,则x 的值为(
)
A. B.
C.2
D. 题型三
（1）3(3)52(25)x x -=--（2）2(43)56(32)2(1)x x x --=--+
（3）()()()3121451y y y -+-=+-（4）50714
x -+= （5）11234
x x x +--=+（6）()0.110.70.110.40.3x x x ---=+ 题型四
1.设某数为x,根据下列条件列出方程:
(1)某数的2分之1比它的3倍少7________________
(2)某数比它的2倍多1________________
(3)某数的3倍与2的和是它的一半________________
(4)某数的5分之3与6的差的绝对值是2分之1________________
(5)x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为．
2005常德、右边给出的是某年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）
A．69?B．54C．27?D．40
3.2010威海、如图1，在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图2,在第二个天平上,A砝码加上B砝码的质量等于3个C砝码的质量.请你判断:1个A砝码与_________个C砝码的质量相等.
4.2016红山期末、用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，那么“”处应放“■”个．
5.2011海口、如图，天平中的物体a、
b、c使天平处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（）
A．2a=3cB．4a=9cC．a=2cD．a=c
6、根据“欢欢”与“乐乐”的对话,解决下面的问题:
欢欢:我手中有四张卡片,它们上面分别写有8,3x+2,,乐乐:我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来,就会得到等式或一元一次方程.问题:(1)乐乐一共能写出几个等式(2)在她写的这些等式中,有几个一元一次方程请写出这几个一元一次方程.
题型五：
数字问题：
1.一个两位数，把其十位数字与个位数字交换位置后，所得的数比原数多9，这样的两位数的个数有（
）
A.0B.1C.8D.9
2.有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求这个两位数．设十位上的数字为x，可得方程（）A．x（x+1）+（x+1）x=121B．x（x-1）+（x-1）x=121C．10x+（x-1）+10（x-1）
+x=121D．10x+（x+1）+10（x+1）+x=121
3.设某数为x，若比它的大1的数的相反数是6，可列方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.父亲现年32岁，儿子现年5岁，x 年前，父亲的年龄是儿子年龄的10倍，则x 应满足
的方程是（）
A ．32-x=5
B ．32-x=10（5-x ）
C ．32-x=5×10
D ．32+x=5×10
5.中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你
的羊数的两倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”．若设甲有x 只羊，则下列方程正确的是（）
A ．x+1=2（x-2）
B ．x+3=2（x-1）
C ．x-1=+1
D ．x+1=2（x-3）
销售问题：
基本量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率） 基本关系：
利润=售价－成本亏损额=成本－售价
利润=成本×利润率亏损额=成本×亏损率
1.某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是（）
A. 不赚不亏
B.赚8元
C.亏8元
D.赚15元
2.一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是（
）
A ．120元；
B ．125元；
C ．135元；
D ．140元 3.某种品牌的彩电降价30%后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价应为
A.0.7a 元
B.0.3a 元
C.元
D.元
4.2012东城期末、在“五·一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：
（1）一次性购物在100元（不含100元）以内的，不享受优惠；
（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内的，一律享受九折的优惠；
（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠。
王茜在本超市两次购物分别付款80元、252元。如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款（）
A.332元
B.316元或332元
C.288元
D.288元或316元
工程问题:
基本量及关系：工作总量=工作效率×工作时间
工作效率工作总量工作时间=、工作时间工作总量工作效率=
x 万元，下列所列方程中错误的是（）
A.5x ＋420＝7450
B.7450－5x ＝420
C.7450－（5x ＋420）＝0
D.5x －420＝7450
2.挖一条1210米的水渠，由甲乙两队从两头同时施工，甲队每天挖130米，乙队每天挖90米，需几天才能挖好？设需用x 天才能挖好，由题意可得如下方程，其中正确的是（）
A ．130x+90x=1210
B ．130+90x=1210
C ．130x+90=1210
D ．（130-90）x=1210
3.某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个．若要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则分配几人生产螺栓？设分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，所列方程正确的是（）
A ．12x=18（26-x ）
B ．18x=12（26-x ）
C ．2×18x=12（26-x ）
D ．2×12x=18（26-x ）
4.某工程队需动用15台挖土、运土机械，每台每小时能挖土3m 2或运土2m 3，为了使挖出
的土能及时运走，安排x 台机械挖土，则可列方程为（）A ．3x-2x=15B ．3x=2（15-x ）
C ．2x=3（15-x ）
D ．3x+2x=15
5.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独做需要6小时，乙单独做需要4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需要多长时间才能完成工作？
6.2005遵义、某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．?已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，?求这一天有几名工人加工甲种零件．
行程问题
基本量及关系：路程=速度×时间
时间路程速度
时间=速度
路程 1.相遇问题:一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离
A 、
B 两城相距720km ，普快列车从A 城出发120km 后，特快列车从B 城开往A 城，6h 后两车相遇.若普快列车是特快列车速度的，且设普快列车速度为xkm /h ，则下列所列方程错误的是（）
A.720－6x ＝6×x ＋120
B.720＋120＝6（x ＋x ）
C.6x ＋6×x ＋120＝720
D.6（x ＋x ）＋120＝720 2.甲、乙两车同时分别从A ，B 两地相向而行，甲车速度是45km/h ．两地相距190km ，2h 后相遇，问：乙车的速度是多少？设乙车的速度是xkm/h ，那么下列方程正确的是（）
A ．2（45-x ）=190
B ．2（x-45）=190
C ．2（45+x ）=190
D ．45+x=190×2
3.2017平谷一模、在我国古代数学着作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过?天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（
）
4.A 、B 两站间的路程为448千米，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60千米；一列快车从B 站出发，每小时行驶80千米，问：
（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇
（2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇
2、追及问题：追及者的行程－被追者的行程=相距的路程
1.2016龙湖期末、甲、乙两人练习短距离赛跑，测得甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑2秒，那么几秒钟后甲可以追上乙若设x 秒后甲追上乙，列出的方程应为（）A ．7x=6.5B ．7x=6.5（x+2）C ．7（x+2）=6.5D ．7（x-2）=6.5
2.小明早晨上学时,每小时走5千米,中午放学沿原路回家时,每小时走4千米,结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟,问小明家离学校有多远设小明家离学校有x 千米。
3、顺（逆）风（水）行驶问题
顺速=V 静＋风（水）速
逆速=V
－风（水）速
静
1.飞机在A、B两城之间飞行，顺风速度是a km/h，逆风速度是b km/h，风的速度是x km/h，则a x
-=。
2.一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5h．已知船在静水中的速度为27km/h，求水流速度．设水流速度为xkm/h，根据题意列出方程为（）A．2（x+3）=2.5（x-3）B．2（x+27）=2.5（x-27）C．2.5（27+x）=2（x-27）D．2（27+x）=2.5（27-x）
3.轮船在河流中航行于A、B两个码头之间，顺流航行全程需7个小时，逆流航行全程需要9小时，已知水流速度为每小时3千米，求A、B两个码头问的路程．若设A、B两个码头问的路程为x千米，则所列方程为（）
A．B．C．D．
4.一艘轮船从A地到B地顺流而行，用了3个小时；从B地返回A地逆流而行，用了4小时；已知水流的速度是5km/h，求：
（1）这艘轮船在静水中的平均速度；
（2）AB两地之间的距离．
行问题
1.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是
A．x+3×4.25%x=33825?B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825?D．3(x+4.25%x)=33825
2.2016卢龙一模、王阿姨购买了25000元一年期的债券,一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元,设这种债券的年利率为x.列方程为()
A. B.
C.
D.
2.某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为
3.7%，一年后该公司共得利息6250元，问两种存款各为多少元
分析：相等关系为：甲种存款的利息＋乙种存款的利息＝总利息.
球赛问题;
足球联赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队在比赛中赛了15场，只负了5场，共得22分，则这个队胜了（）场．A．4B．5C．6D．7