《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳
【学习目标】
1．理解单项式、多项式、整式等概念，弄清他们之间的区别与联系； 2. 理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法；
3. 理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 4．掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴含的化归思想；
5．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性，体会建立数学模型的思想． 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、整式的相关概念 1.代数式的定义：
诸如：5.6n ，3.5x ，m+n ，34，
100v
，2
1n -等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式． 2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中涉及的数量关系用代数式来表示，这就是列出代数式．用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值． 要点诠释：
代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
3．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
4．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
5. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
6．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点二、同类项与合并同类项
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
要点三、等式和一元一次方程的概念
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
3．方程：含有未知数的等式叫做方程．
4．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；
5．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
6．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
要点四、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(0≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解
b
x
a
(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相
等，则不是方程的解．
要点五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：abcd ＝a ×103+b ×103+c ×10+d 【典型例题】
类型一、整式的相关概念
1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式． (1)3a - (2)5 (3)
2b a - (4)2x y - (5)3xy (6)x π
(7)5m n + (8)1+a% (9)1()2a b h +
【答案与解析】
解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5的系数是5，次数是0；3xy 的系数是3，次数是2；x
π
的系数是
1
π
，
次数是1.
多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：3a -是一次二项式；2x y -是一次二项式；5
m n +是一次二项式；1+a%是一次二项式；
1
()2
a b h +是二次二项式。 【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故2b a -不是整式；②π是常数而不是字母，故x
π
是整
式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如5
m n
+其
实质为55m n +，1()2a b h +其实质为11
22
ah bh +．
举一反三：
【变式1】若单项式22a b x y +-与单项式253b y x -的和是单项式，那么3a b -= . 【答案】15
【变式2】若多项式31(4)5(2)n m x x x n m -++---+是关于x 的二次三项式，则________m =，
________n =，这个二次三项式为 .
【答案】4,3,-2
59x x --
类型二、同类项及合并同类项
2．若
3123m m x y -与521
15
n n x y -+-是同类项，求出m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】 解：因为
312121535
m n m n x y x y --+-与是同类项，
所以315,21 1.m n -=??-=? 解得2,
1.m n =??=?
当2m =且1n =时， 55553152121424214
()()35353515
m n m n x y x y x y x y x y x y --++-=-=-=. 【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母．．．．的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三：
【变式】合并同类项．
(1)2222344522x xy y x xy y -+-+-； (2)3232399111
552424
xy x y xy x y xy x y --+---． 【答案】
(1)原式＝22(35)(42)(42)x xy y -+-++-
22222x xy y =--+
(2)原式3232391191554422xy x y x y x y ????
=-
-+-+-- ? ?????
32345x y x y =---．
类型三、等式和一元一次方程的相关概念
3．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】
解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程， 所以3m -4＝0且5-3m ≠0． 由3m -4＝0解得43m =，又43
m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43．
将43m =
代入原方程，则原方程变为485333x ?
?--?= ???，解得83x =-．
所以43
m =
，8
3x =-．
【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2
是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三：
【高清课堂：一元一次方程复习393349 等式和方程例3】 【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y 两边都减去x+y ，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1. （2）
3721
223
x x x -+=+，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x ，去括号得：9-21x=4x+2+2x. 【答案】（1）答：错在第二步，方程两边不能除以x-y ，只有一种可能就是x-y 为0了，所以出现了1=-1
的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为0的. （2）答：错在第一步，去分母时2x 项没乘以公分母6.
4．如果5(x+2)＝2a+3与(31)(53)
35
a x a x +-=的解相同，那么a 的值是________． 【答案】
7
11
【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得27
5
a x -=
． 由(31)(53)35a x a x +-=，解得9
5x a =-． 所以27955a a -=-，解得7
11
a =． 【总结升华】因为两方程的解相同，可把a 看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a
的一元一次方程． 举一反三：
【变式】已知|x+1|+(y+2x )2＝0，则y
x =________． 【答案】1
类型四、一元一次方程的解法
5.解关于x 的方程：11
()(2)34
m x n x m -=
+ 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系． 【答案与解析】
解：原方程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+
当34m ≠
时，原方程有唯一解：4643mn m x m +=-； 当33
,42m n ==-时，原方程无数个解；
当33
,42
m n =≠-时，原方程无解；
【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax b =，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．
6. 解方程|x -2|＝3．
【答案与解析】
解：当x -2≥0时，原方程可化为x -2＝3，得x ＝5．
当x -2＜0时，原方程可化为-(x -2)＝3，得 x ＝-1． 所以x ＝5和x ＝-1都是方程|x -2|＝3的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x -2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x -2|＝3的解为x ＝-1和x ＝5．
举一反三：
【变式1】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解， 则,,m n k 的大小关系为：（ ）
A . m n k >> B.n k m >> C.k m n >> D.m k n >>
【答案】A
【变式2】若9x =是方程123x m -=的解，则__m =；又若当1n =时，则方程1
23
x n -=的解是 ．
【答案】1； 9或3．
类型五、一元一次方程的应用
7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若
每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变． 【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y 千米，则有：
151530601860y y +=-，解得：452
y = 由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为45
15
213060
+=(小时)．
李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x 千米/时，则有：
45
2271010116060
y x ===--(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．
8．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500（元）． （2）若选择方案2． 方法一：
解：设将x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售.
依题意得，
9413
x x -+=， 解得 1.5x =．
当 1.5x =时，97.5x -=．
总利润=2000×1.5+1200×7.5=12000（元）． ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案2较好． 方法二：
解：设x 天生产奶片，则（4-x ）天生产酸奶.
x+3(4-x)=9
x=1.5
4-x=2.5
1.5×1×2000+
2.5×3×1200=12000（元） ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中的方法一，设将x 吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
从表中能一目了然条件之间的关系，从而得到等量关系，当然此题也可以设天数来计算，同学们可根据理解自己选择． 举一反三：
【变式】某科技小组的学生在3名老师的带领下，准备前往国家森林公园考察、采集标本，当地有甲，乙两家旅行社，其定价都一样，但对师生都有优惠：甲旅行社对带队老师免费，学生按8折收费；乙旅行社对师生一律按7折收费，经核算，甲，乙旅行社的实际收费正好相同． （1）该科技小组共有多少学生？
（2）若科技小组增加了学生人数，那么选择哪家旅行社较为合算？说明理由． 【答案】 解：（1）设科技小组共有x 个学生，根据题意得
80%x=（x+3）×70%， 80%x=70%x+2.1， 80%x-70%x=2.1，
10%x=2.1，
x=21．
答：该科技小组共有21个学生；
（2）设增加了y名学生，则：
甲旅行社收费：80%（21+y）=16.8+0.8y；
乙旅行社收费：70%（24+y）=16.8+0.7y；
∵0.8y＞0.7y（y是正整数），
∴乙旅行社较为合算，
答：若科技小组增加了学生人数，那么选择乙旅行社较为合算．
【巩固练习】
一、选择题
1．A、B、C、D均为单项式，则A+B+C+D为( )．
A．单项式 B．多项式
C．单项式或多项式 D．以上都不对
2．下列计算正确的个数（）．
①；②；③；
④；⑤
A．2 B．1 C．4 D．0
3．有理数a，b，c在数轴上的位置如右图所示，则（）．A．－2b B．0
C．2c D．2c－2b
4．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是( )．
A．±1 B．1 C．-1 D．0或1
5．已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( )．
A．y＝1 B．y＝-1 C．y＝0 D．方程无解
6．已知，则等于（）．
A． B． C． D．
7．一架飞机在两城间飞行，顺风要5．5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x的方程是（）．
A． B．
C．D．
8．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（）
A．80元B．100元 C．120元D．160元
二、填空题
9．的系数是____，次数是______；的系数是______，次数是______．
10．多项式是____次_____项式,其中最高次项的系数是____,常数项是____，以x 为主元进行降幂排列为________ ___．
11．当k=________时，关于x，y的多项式中不含项．
12．多项式是五次三项式，则m的值为___________．
13．已知方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为________．14．已知和互为相反数，则________．
15．对于有理数a，b，我们规定．（1）；（2）若有理数满足
则的值为．
16．某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元,第二次去购书享受八折优惠,他查看了所买书的定价,
．
三、解答题
17．已知：为有理数，，求的值．
18．解方程：
（1）．
（2）
（3）｜3x-2｜-4=0
（4）探究：当b为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．
19．右图的数阵是由一些奇数排成的． 1 3 5 7 9 （1）右图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数 11 13 15 17 19 为）………………
（2）若这样框出的四个数的和是200，求这四个数． 91 93 95 97 99
（3）是否存在这样的四个数，它们的和为420，为什么？
20．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】若A、B、C、D均为同类项，则A、B、C、D的和为单项式，否则为多项式，故选C．2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】 B
【解析】由题意得|m|＝1，且m+1≠0，所以m＝1，故选B．
5．【答案】C
【解析】由x＝1是方程的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程a(y+4)＝
2ay+4a中，求出y的值．
6．【答案】 D
【解析】由原式可得：，将“”看作整体，合并化简即可．
7．【答案】A
【解析】解：∵两城距离为x，顺风要5．5小时，逆风要6小时，∴顺风速度=，逆风速度=，∵风速为24千米/时，∴可列方程为：
．
8．【答案】C
【解析】解：设最多降价x元时商店老板才能出售．则可得：×（1+20%）+x=360
解得：x=120．
二、填空题
9．【答案】，5，，6
10．【答案】5，4，-1，-2，
11．【答案】
【解析】原式=，不含项，即=0，．
12．【答案】3
【解析】多项式的最高次项是五次，那么只有可能是第一项的次数是五次，即，，
但．
13．【答案】x＝1
【解析】首先将原方程整理成的形式，由一元一次方程的定义可知，二次项系数为0，所以a＝5，代入方程中即可求出x的值．
14．【答案】-8
【解析】两数互为相反数，则和为0，由非负数的性质可知m-n+4＝0，且n-3＝0．从而得m＝-1，n＝3．
15．【答案】-8；5
【解析】（1）（-3）×4+4= -8；（2）3（x-4）+3=6，解得x=5．
16．【答案】204
【解析】第二次应该付x元，则：，
解得：，第二次实际付款：．
三、解答题
17．【解析】
解：
18．【解析】
解：（1）整理，得，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得．
（2）原方程可化为：
解得： x=
（3）原式可化为：｜3x-2｜=4
由，可得：；
由，可得：
所以原方程的解为：x1=2，x2=-；
（4）①当，即 b＜-1时，原方程无解；
②当，即 b=-1时，原方程只有一个解；
③当，即b＞-1时，原方程有两个解．
19．【解析】
解：（1）设第一行第一个数为，则其余3个数依次为．（2）根据题意，得，
解得：=45，
所以这四个数依次为45，47，53，55．
（3）不存在．
因为，解得，为偶数，不合题意，故不存在．
20．【解析】
解：（1）①解：设购进甲种电视机台，则购进乙种电视机（50－）台，根据题意，得1500＋2100（50－）=90000．
解得：=25，则50－=25．
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台．
②设购进甲种电视机台，则购进丙种电视机（50－）台，根据题意，得
1500＋2500（50－）=90000．
解得：=35，则50－=15．
故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
③设购进乙种电视机台，则购进丙种电视机（50－）台，购进题意，得
2100＋2500（50－）=90000．
解得：=87.5（不合题意）．
故此种方案不可行．
（2）上述的第一种方案可获利：150×25＋200×25=8750元， 第二种方案可获利：150×35＋250×15=9000元， 因为8750<9000，故应选择第二种进货方案．
【巩固练习】
一、选择题
1．已知方程||(1)34m m x +-=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )． A ．±1 B ．1 C ．-1 D ．0或1 2．已知1x =是方程1
22()3
x x a -=
-的解，那么关于y 的方程(4)24a y ay a +=+的解是( )． A ．y ＝1 B ．y ＝-1 C ．y ＝0 D ．方程无解
3．已知2(1)3(1)4(1)x y x y y x y x ++--+=---+-，则x y +等于（ ）．
A ．65-
B ．65
C ．56-
D ．5
6
4．一列火车长100米，以每秒20米的速度通过800米长的隧道，从火车进入隧道起，至火车完全通过所
用的时间为( )．
A ．50秒
B ．40秒
C ．45秒
D ．55秒
5．一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x 的方程是（ ） A ．
24245.56x x -=+ B ．24245.56x x -+= C ． 2245.56 5.5
x x =-+ D ．
245.56
x x
-= 6．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ） A ．80元 B ．100元 C ．120元 D ．160元 7．某书中一道方程题：
213
x
x ++=，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是x ＝﹣2.5，那么□处应该是数字( )． A ．-2.5 B ．2.5 C ．5 D ．7
8. 已知：2222233+=?，233
3388+=?，244441515+=?，255552424+=?
，…， 若21010b b
a a
+
=?符合前面式子的规律，则a ＋b 的值为（ ）
． A ． 179 B ． 140 C ． 109 D ． 210 二、填空题
9．已知方程2
2
35522ax x x x a ++=-+是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为________．
10．已知|4|m n -+和2
(3)n -互为相反数，则2
2
m n -=________．
11．当x ＝________时，代数式
45
3
x -的值为-1．
12．一商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件 元．
13．某种中草药含甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种草药成分的质量比是0.7∶1∶2∶
4.7．现在要配制这种中药1400克，这四种草药分别需要多少克？设每份为x 克，根据题意，得 ．
14．有一列数，按一定的规律排列：―1，2，―4，8，―16，32，―64，128，…，其中某三个相邻数之和为384，这三个数分别是 ．
15．已知关于x 的方程3242a x x x ????--= ??????
?和方程3151128x a x +--=有相同的解，则出该方程的解为 ．
16. x 表示一个两位数, y 表示一个三位数, 若把x 放在y 的左边组成一个五位数记作M 1, 把y 放在x 的左边组成一个五位数记作M 2, 则 M 1 - M 2 是 的倍数． 三、解答题
17．解方程：
（1）
0.40.90.030.0250.50.032x x x ++--=．
（2）)12(4
3
)]1(31[21+=--x x x
（3）｜3x-2｜-4=0
18.探究：当b 为何值时，方程｜x-2｜=b+1 ① 无解；②只有一个解；③ 有两个解. 19．右图的数阵是由一些奇数排成的． 1 3 5 7 9
（1）右图框中的四个数有什么关系？（设框中第一行第一个数 11 13 15 17 19 为x ） …… …… ……
（2）若这样框出的四个数的和是200，求这四个数． 91 93 95 97 99 （3）是否存在这样的四个数，它们的和为420，为什么？
20．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？
【答案与解析】 一、选择题
1. 【答案】B
【解析】由题意得|m |＝1，且m+1≠0，所以m ＝1，故选B ． 2. 【答案】C
【解析】由x ＝1是方程1
22()3
x x a -=-的解，可代入求出a 的值，然后把a 的值代入方程a (y+4)＝2ay+4a 中，求出y 的值． 3. 【答案】D
【解析】由原式可得：()2()233()4()4x y x y x y x y +-++=-+-++，将“x y +”看作整体，合并化简即可． 4．【答案】C
【解析】相等关系是：火车所走的路程＝火车长度+隧道长度．设火车完全通过所用时间为x 秒，可得方程20x ＝100+800，解得x ＝45． 5. 【答案】A
【解析】解：∵两城距离为x ，顺风要5.5小时，逆风要6小时， ∴顺风速度=
5.5x ，逆风速度=6x ， ∵风速为24千米/时， ∴可列方程为：24245.56
x x
-=+ 6．【答案】C
【解析】解：设最多降价x 元时商店老板才能出售．则可得：
360
1.8
×（1+20%）+x=360 解得：x=120． 7．【答案】C
【解析】把x ＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可． 8．【答案】C
【解析】观察规律可得b ＝10，a ＝b 2
－1＝99，所以a ＋b ＝109．
二、填空题
9．【答案】x ＝1
【解析】首先将原方程整理成2(5)5520a x x a -++-=的形式，由一元一次方程的定义可知，二次项系数为0，所以a ＝5，代入方程中即可求出x 的值． 10．【答案】-8
【解析】两数互为相反数，则和为0，由非负数的性质可知m -n+4＝0，且n -3＝0．从而得m ＝-1，n ＝3． 11．【答案】
12
【解析】由题意可得方程4513x -=-，化简方程可解出1
2
x =． 12．【答案】40
【解析】解：设标价为x 元，则有0.930(120%)x =+，解得：40x = 13．【答案】0.72 4.71400x x x x +++=
14．【答案】128，－256，512
【解析】通过观察可得：第n 个数为：1(1)2n n --，所以第9,10个数分别为：256,512-，经检验满足题意． 15．【答案】
8177
【解析】分别解得这两个关于x 的方程的解为37a x =，27221a x -=，由它们相等得2711
a =，代入其中一解可得答案．
16．【答案】9
【解析】M 1＝1000x ＋y ，M 2＝100y ＋x ，M 1 - M 2＝9（111x －11y ），所以一定是9的倍数． 三、解答题 17．【解析】 解：（1）整理，得
49325
532
x x x ++--=， 去分母，得6(49)10(32)15(5)x x x +-+=-， 去括号，得245430201575x x x +--=-，
移项，得242015755430x x x --=--+， 合并，得1199x -=-， 系数化为1，得9x =． （2）原方程可化为：77612
x -= 解得：x=12
-
（3）原式可化为：｜3x-2｜=4
由324x -=，可得：2x =；由324x -=-，可得：23
x =- 所以原方程的解为：x=2，x=-3
2； 18. 【解析】
解：①当10b +<，即 b ＜-1时，原方程无解；
②当10b +=，即 b=-1时，原方程只有一个解； ③ 当10b +>，即b ＞-1时，原方程有两个解． 19．【解析】
解：（1）设第一行第一个数为x ，则其余3个数依次为2,8,10x x x +++．
（2）根据题意，得2810200x x x x ++++++=， 解得：x =45，
所以这四个数依次为45，47，53，55． （3）不存在．
因为420420x +=， 解得100x =，为偶数，不合题意，故不存在． 20．【解析】
解：（1）①解：设购进甲种电视机x 台，则购进乙种电视机（50－x ）台，根据题意，得
1500x＋2100（50－x）=90000．
解得：x=25，则50－x=25．
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台．
②设购进甲种电视机y台，则购进丙种电视机（50－y）台，根据题意，得1500y＋2500（50－y）=90000．
解得：y=35，则50－y=15．
故第二种进货方案是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
③设购进乙种电视机z台，则购进丙种电视机（50－z）台，根据题意，得2100z＋2500（50－z）=90000．
解得：z=87.5（不合题意）．
故此种方案不可行．
（2）上述的第一种方案可获利：150×25＋200×25=8750元，
第二种方案可获利：150×35＋250×15=9000元，
因为8750<9000，故应选择第二种进货方案．
第六章概率初步 教学目标 课标要求： 本节主要是复习本章内容 目标达成：本节主要是复习本章内容 教学流程： 【课前展示】 内容：以“提问——补充”地方法复习本章内容。 事 件 的可能性 确定事件 不确定事件 必然事件 不可能事件 P(A)=1 P(A)=0 （随机事件0 2 【创境激趣】 激发了学生地求知欲，激起学生地学习兴 趣。 【自学导航】 内容：组内互帮互助完成例题地学习，教师提问后统一答案。 （1） 下列事件中，哪些是确定地？哪些是不确定地？请说明理由。 a) 随机开车经过某路口，遇到红灯； 不 确 定 事 件 游戏的公平性 概率的简单计算 （频率的稳定性,P(A)= ） n m b)两条线段可以组成一个三角形； c)400人中有两人地生日在同一天； d)掷一枚均匀地骰子，掷出地点数是 质数。 （2）如图所示有9张卡片，分别写有1至9这九个数字。将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张。 a)P（抽到数字9）= ； b)P (抽到两位数)= ； c)P（抽到地数大于6）= ，P（抽 到地数字小于6）= ； d)P（抽到奇数）= ，P（抽到偶 数）= 。 【合作探究】 如图，一个均匀地转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字。转动转盘，当转盘停止后，指针指向地数字即为转出地数字。 两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出地数字相符， 4 则猜数地人获胜，否则转动转盘地人获胜。猜数地方法从下面三种中选一种： （1）猜“是奇数”或“是偶数”； （2）猜“是3地倍数”或“不是3地倍数”；（3）猜“是大于6地数”或“不是大于6地数”。 如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？ 目地：通过组内互帮互助学习，达到全员参与，进一步激发学生学习兴趣。 物理第四章光现象单元练习题 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 下列关于光现象的说法中正确的是（） A．有时对着墙壁按遥控器键也能控制电视机，这是因为紫外线发生了反射 B．斜插入盛水的玻璃杯中的筷子，看上去好像在水面处折射了，这是光的反射现象C．看到物体成的虚像时，并没有光线射入我们的眼睛 D．透过书桌上的玻璃板看玻璃板下面的字，是光的折射现象，看到的字是虚像 2 . 下图列出的我们能够看到的现象中，属于光的折射现象的是 A．从后视镜中看车后景物 B．铅笔好像在水面处折断了 C．树荫下形成圆形光斑 D．桥在水中的倒影 3 . 某同学站在平面镜前照镜子，她在平面镜中所成的像是 A．比她大的实像B．比她小的实像C．比她小的虚像D．与她等大的虚像 4 . 小芳家住在一高层电梯楼上，她从超市购物回来乘电梯上楼到家中，电梯匀速上升时，手对购物袋的拉力为F1 ，电梯停在她家所在的楼层时，手对购物袋的拉力为F2 ，关于F1、F2的关系，下列说法正确的是 A．F1＞F2 B．F1＜F2 C．F1=F2 D．F1≥F2 5 . 如图所示的光学现象中，与其他三个原理不同的是（） A．潭清疑水浅 B．铅笔弯折 C．看到的鱼在实际鱼的上方 D．手影游戏 6 . 关于下图中光学现象的描述或解释正确的是（） A．甲图中小孔成的是倒立的虚像 B．乙图中凹透镜可以矫正远视眼 C．丙图中水中的筷子弯折是光的折射现象 D．丁图中漫反射不遵循光的反射定律 7 . 下列成语与其物理知识相符的是 A．杯弓蛇影——光的折射B．井底之蛙——光的反射 C．猴子捞月——光的折射D．凿壁偷光——光的直线传播 二、填空题 8 . 乐乐学习了物理，在生活中发现很多现象都蕴含了物理知识．①学校保安利用遥控器打开学校大门利用了__________；②倒车雷达利用了__________；③手机WiFi上网利用了________；④医院用的消毒灯利用了__________；（选填“超声波”“电磁波” “红外线”“紫外线”） 9 . 如图所示，在“探究光的反射规律”实验中，改变入射光的方向，使入射角变大，则反射角变___（大/小）； 以ON为轴将硬纸板的右半面向后旋转，在硬纸板上__（能/不能）观察到反射光． 10 . 某实验小组在探究光的折射规律时，将光从空气分别射入水和玻璃，测得数据如下表： 分析表格中的数据，你能得出一些规律。请写出一条：__________________ 11 . 如图是某种蝴蝶翅膀的局部放大图，这种蝴蝶的翅膀在阳光的照射下；从不同的角度观察会呈现各处各 第4节光的折射 教学目标 一、知识与技能 1.了解光的折射的现象. 2.了解光从空气射入水中或其他介质中时的偏折规律. 3.了解光在发生折射时，光路的可逆性. 二、过程与方法 1.通过观察，认识折射现象. 2.体验由折射引起的错觉. 三、情感态度与价值观 初步领略折射现象的美妙，获得对自然现象的热爱、亲近的情感. 教学重点 知道光的折射规律. 教学难点 解释简单的折射现象. 教学方法 实验法、归纳法、讲练法. 教学用具 演示用：激光光源、光的折射演示装置、水槽. 学生用：碗、筷子、茶杯、硬币、适量的水. 课时安排 1 课时 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 让学生做两个实验，激发学习兴趣. ［学生实验1］在碗中盛满水，把筷子斜插到碗的底部，从侧面斜视水面，会发现水中的筷子看上去好像向上弯折了. ［学生实验2］在空的茶杯里放一枚硬币，移动杯子，使眼睛刚刚看不到硬币，保持眼睛和杯子的位置不变，慢慢地向杯里倒水，随着水面的升高，观察者看到了硬币，还会发现硬币升高了. 上述实验中，学生能看见水中“弯折”的筷子和“升高”的硬币，是由于光在水和空气的界面上发生了一种光现象，这就是本节要学习的光的折射，由此引入新课. 二、新课教学 （一）光的折射 ［师］我们已经学习了光的直线传播现象、反射现象.以及光在反射时所遵循的规律——光的反射定律.这些现象都是光在同种均匀介质中传播的现象.那么光从一种介质斜射入另一种介质时又将如何传播呢？ 教师利用演示实验让学生观察光的折射现象.实验装置如图所示，其中圆形白色屏E（可用2 cm厚木板刷上白油漆）边缘标有均匀刻度，中间开有长方形口，恰好将长方形玻璃容器放进去，容器中装适量的水，并在水中插有可转动的白色屏F（树脂板或塑料板），白色屏E和F可显示光束传播的路径.圆周上有一可移动的激光光源S（可用激光棒）. ［师］光从空气斜射入水中，传播方向是否改变呢？ ［生甲］传播方向不改变，仍沿直线传播. ［生乙］传播方向要发生改变. ［师］光从空气斜射入水中，如果改变方向，是向介面偏折呢？还是向法线偏折？ ［生甲］向介面偏折. ［生乙］向法线偏折. ［师］上面问题的回答谁对谁错呢？下面我们用实验来验证一下. ［演示1］ 使E、F在同一平面上，让光从空气斜射向水面. ［现象］光从空气斜射入水中，在空气中发生反射，同时在水面处改变方向进入水中，同时向法线偏折. 师生共同分析得出结论： 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生偏折，这种现象叫光的折射.（refraction) （二）有关折射的几个专用名词 1.教师把刚才光的折射现象在黑板上画出光的折射光路图. 教学三维目标知识与技能 1、了解一元二次方程的定义、一般式及其有关概念。 2、利用化归思想,以“降次”为基本策略，掌握配方法、公式法和因 式分解法等一元二次方程的基本解法。 3、求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数 根？ 4、掌握一元二次方程中根与系数的关系，学会利用整体代入思想解 决一些数学问题。 5、在经历和分析实际问题的过程中，体会一元二次方程的数学建模 作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能 力。 过程与方法通过复习使学生更好地掌握一元二次方程的相关知识和方法。 情感态度价值观 经过复习使学生更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴 趣。 教学重点一元二次方程的概念及解法和列一元二次方程解应用题。 教学难点学会利用适当方法解一元二次方程。 学会寻找实际问题中的等量关系，列出一元二次方程。 教具学具三角板、小黑板、PPT等。 本节课预习作业题1. 一元二次方程的一般形式为：，其中是二次项, 是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 2. 若 12 ,x x分别是一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两个根，则 12 x x += , 12 x x ?=。 3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（） A.22 312 x x += B. 1 20 x -= C. 20 ax bx c ++= D. 22 21 x x x +=- 4. 方程2 (1)9 x+=的根为（） A. 2 x= B. 4 x=- C. 12 2,4 x x ==- D. 12 0,4 x x == 5.方程x2-3x-5=0的根的情况（） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 6. 选用合适的方法解下列方程 （1）242 x x +=（2）3 10 22= -x x（3）(x-1)(x+3)=12 7. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。 一元二次方程全章测试及答案 一、填空题 1．一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的解是______． 2．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______． 3．小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被他漏掉的另一个根是 x ＝______． 4．当a ______时，方程(x －b )2＝－a 有实数解，实数解为______． 5．已知关于x 的一元二次方程(m 2－1)x m －2＋3mx －1＝0，则m ＝______． 6．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝0的一个根是3，则a ＝______． 7．若(x 2－5x ＋6)2＋｜x 2＋3x －10｜＝0，则x ＝______． 8．已知关于x 的方程x 2－2x ＋n －1＝0有两个不相等的实数根，那么｜n －2｜＋n ＋1的化 简结果是______． 二、选择题 9．方程x 2－3x ＋2＝0的解是( )． A ．1和2 B ．－1和－2 C ．1和－2 D ．－1和2 10．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋(m －2)＝0的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 11．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边，则方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况是( )． A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 12．如果关于x 的一元二次方程02 22=+-k x x 没有实数根，那么k 的最小整数值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 13．关于x 的方程x 2＋m (1－x )－2(1－x )＝0，下面结论正确的是( )． A ．m 不能为0，否则方程无解 B ．m 为任何实数时，方程都有实数解 C ．当2 第二十五章概率初步 课题：随机事件与概率 教学目标： 知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 解决问题目标 能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 情感态度目标 引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 教学重点： 随机事件的特点. 教学难点： 判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教学过程 <活动一> 【问题情境】 摸球游戏 三个不透明的袋子均装有10个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则 每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前面的试验.每人摸球5次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,其次为第二名,最少的为第三名. 【师生行为】 教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球. 学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的,在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第3个袋子中摸出黄色球是必然的. 教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点. 【设计意图】 通过生动、活泼的游戏,自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件,不仅能够激发学生的学习兴趣,并且有利于学生理解.能够巧妙地实现从实践认识到理性认识的过渡. <活动二> 【问题情境】 指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件 1.通常加热到100°C时，水沸腾； 2.姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3.掷一次骰子，向上的一面是6点； 4.度量三角形的内角和，结果是360°； 5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6.某射击运动员射击一次，命中靶心； 7.太阳东升西落； 8.人离开水可以正常生活100天； 9.正月十五雪打灯； 10.宇宙飞船的速度比飞机快. 【师生行为】 教师利用多媒体课件演示问题,使问题情境更具生动性. 知识点1：光源和光的直线传播 1.光源：能发光的物体。光源可分为自然光源、人造光源。 2.光的传播规律：光在同种、均匀、透明介质中沿直线传播。 3.光线：为了表示光的传播情况，我们用一条带箭头的直线表示光的传播径迹和方向，这样的直线叫做光线。光线是研究光的传播的理想化模型。 4：光沿直线传播的现象和应用： （1）影子的形成：光在传播过程中，遇到不透明的物体，由于光是沿直线传播的，所以在不透光的物体后面，光照射不到，形成了黑暗的部分就是影子。 （2）日食、月食的成因：当月球运行到太阳和地球中间时，并且三球在一条直线上，太阳光沿直线传播过程中，被不透明的月球挡住，月球的黑影落在地球上，就形成了日食。 当地球运行到太阳和月球中间时，太阳光被不透明的地球挡住，地球的影落在月球上，就形成了月食。 （3）小孔成像：成倒立的实像，像的大小与孔的形状无关，像的大小决定于物体到小孔的距离与光屏到小孔的距离的大小关系。 （4）激光准直、排队看齐等。 5.光速： （1）光在真空中的传播速度是3×108 m/s。 （2）光在其他各种介质中的速度都比在真空中的小。 （3）光在空气中的速度可认为是3×108 m/s。 知识点2：光的反射 1.概念：光射到物体的表面的时候，有一部分光会被物体反射回去，这种现象就是光的反射。我们能够看到不发光的物体，是因为物体反射的光进入了我们的眼睛。 2.光的反射定律：在光的反射现象中，反射光线与入射光线、法线在同一平面内；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角等于入射角。（法线居中、两角相等、三线共面）。 3.类型：镜面反射和漫反射。物体表面光滑时产生镜面反射；物体表面粗糙时，发生漫反射。二者都遵循光的反射定律。 4.说明： （1）反射定律的第三条反射角等于入射角，不能说入射角等于反射角，因为先有入射，后有反射；入射在前，反射在后；入射是因，反射是果。 （2）在反射时，光路是可逆的。 （3）当垂直入射时，反射光线、入射光线和法线三线合一。 知识点3：平面镜成像 1.原理：物体发出（或发射）的光射到镜面上发生发射后，由反射光线的延长线在镜面后相交而形成的像。 2.特点： （1）像和物体的大小相等。 （2）像和物体到镜面的距离相等。 （3）像和物体的连线垂直于镜面。 3.应用： （1）利用平面镜可以改变光的传播方向，起到控制光路的作用。例如：潜望镜。 （2）利用平面镜成像可以进行观察，比如瑜伽馆的镜子，平时化妆等。 知识点4：球面镜 1.概念：反射面是球面的一部分的镜子叫做球面镜。 2.分类：凹面镜、凸面镜。 人教版2020年八年级上册第四章光现象第4节光的折射 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 下列图中的四种情景，属于光的折射形成的是（） A．树荫下形成圆形光斑B．斑马倒影 C．树枝错位D．日全食 2 . 如图所示，是光在空气和玻璃两种介质中传播情形，下列说法中不正确的是 A．NN′是界面B．入射角等于60°C．折射角等于40°D．MM′的左边是空气 3 . 如图所示，有一束光线射入杯中，在杯底形成光斑，逐渐往杯中加水，光斑将 A．向右移动B．向左移动C．不动D．无法判断 4 . 如图，一束光与镜面成30°角入射，以垂直纸面的直线为轴绕O点转动平面镜，使反射光线跟入射光线恰好垂直，则镜面应（） A．顺时针转动30°B．逆时针转动30° C．顺时针转动15°D．逆时针转动15° 5 . 如图所示，将一透明的空心玻璃球(空心部分很大，玻璃很薄)放入水中，一束平行光从左侧入射，则从玻璃球右侧射出的光线将（） A．不改变传播方向B．发生会聚现象 C．发生发散现象D．无法确定 6 . 下列现象中，能用光的直线传播规律解释的是（） A．彩虹 B．桥在水中形成的倒影 C．太阳光通过三棱镜后，在白屏上形成彩色的光带 D．阳光下，树木在地面上形成的影 二、多选题 7 . 下列成语与其物理知识相符的是（） A．凿壁偷光﹣光的直线传播 B．井底之蛙﹣光的直线传播 C．猴子捞月﹣光的反射 D．杯弓蛇影﹣光的折射 三、填空题 8 . 小明在沂河岸边晨练时发现河面上“轻烟缥缈”，这是水蒸气（填物态变化名称）的结果；看到水中“嬉戏” 的小鱼，这是光的现象；闻到空气中“醉人”的花香，这是分子的结果；做完“拍手操”后，感觉手发热，这是通过的方式改变了手的内能． 9 . 日晷仪是古代人们用来计时的一种工具,通过观察直杆在太阳下的影子所在的位置就可知道时间,如图所示。日晷仪计时利用了_______原理,如果阴影是由长变短,则表示时间为_________(填“上午”或“下午”)。“一 《一元二次方程》全章复习与巩固—知识精讲（提高） 【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程??? →降次一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的 根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 第二章 一元二次方程单元综合测试题 一、填空题（每题2分，共20分） 1．方程1 2 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21 x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5） 12 x 2 =0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1 x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． / 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________（写一个即可）． 10．代数式1 2 x 2+8x+5的最小值是_________． 二、选择题（每题3分，共18分） 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12．若分式226 32 x x x x ---+的值为0，则x 的值为（ ）． A ．3或－2 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． # A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 25.1.1随机事件(第一课时) 郁昌云 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断 教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃； (3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ 八年级物理专第四章 光现象 1、光源 2、光的直线传播 重点掌握以下三点： （1）光的直线传播的条件：同一种均匀介质。光只有在同一种均匀介质中才能沿直线传播，如果介质不均匀，即使在同一种介质中，光的传播路线也会发生弯曲。如地球周围的大气层是不均匀的，海拔越高，空气越稀薄，太阳光进入大气层后，传播方向就会发生弯曲，早晨当太阳还在地平线以下时，我们就看见它了。 （2）光线：表示光的传播径迹和方向的直线叫光线，一般用一根带箭头的线段表示。光线并不是真实存在的，而是为非作歹形象、直观的表示光的传播路线和方向，方便研究光学现象而假设虚构的，是一种理想化的物理模型。 （3）、常见的现象： ① 激光准直。 ②影子的形成：光在传播过程中，遇到不透明的物体，在物体的后面形成黑色区域即影子。 ③日食月食的形成：当地球 在中间时可形成月食。 如图：在月球后1的位置可看到日全食，在2的位置看到 日偏食，在3的位置看到日环食。 ④ 小孔成像：小孔成像实验早在《墨经》中就有记载小孔成像成 倒立的实像，其像的形状与孔的形状无 关。 3、光速 光是宇宙中最快的使者，在真空中的速度C=3×108m/s=3×105km/s 。光在其它介质中的传播速度比在真空中的速度小，在水中的速度约为真空中光速的3/4，在玻璃中速度为真空中速度的2/3 。 规律总结：光能在真空中传播，而声音不能在真空中传播。 4、光的反射现象 1、定义：光从一种介质射向另一种介质表面时，一部分光被反射回原来介质的现象叫光的反射。 2、概念： 入射点：入射光线与反射面的交点 入射光线：射向反射面的光线 反射光线：从反射面反射出去的光线 法线：经过入射点所做的反射面的垂线 入射角：入射光线与法线的夹角 反射角：反射光线与法线的夹角 误区警示： ①入射光线的反射光线是有方向的，当用字母表示时，应沿光线的传播方向叙述字母，如入射光线为AO，反射光线为OB。 ②法线是为了科学准确地描述反射光线与入射光线的位置而引入的一条“辅助线”，本身并没有具体的物理意义。 ③反射角与入射角都是光线与法线的夹角，不是与反射面的夹角。 3、光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面上，反射光线和入射光线分居于法线的两侧，反射角等于入射角。光的反射过程中光路是可逆的。 关于该定律的几点拓展： A．当入射光线垂直射向平面镜时，反射光线沿原路返回，反射光线、入射光线与法线重合，即三线合一。此时，入射角、反射角均为0度。 B．光路可逆原理 误区警示：反射角和入射角的逻辑关系：因为先有入射光线，然后才有反射光线；同样的道理，先有入射角，然后才有反射角，也就是说，入射光线决定反射光线，入射角的大小决定反射角的大小，所以，在光的反射定律中，我们不能说入射角等于反射角，只能说反射角等于入射角。 4、分类： ⑴镜面反射： 定义：射到物面上的平行光反射后仍然平行 条件：反射面平滑。 应用：迎着太阳看平静的水面，特别亮。黑板“反光”等，都是因为发生了镜面反射⑵漫反射： 定义：射到物面上的平行光反射后向着不同的方向，每条光线遵守光的反射定律。 条件：反射面凹凸不平。 应用：能从各个方向看到本身不发光的物体，是由于光射到物体上发生漫反射的缘故。 学习光的反射定律时，要注意入射光线和反射光线的因果关系。回答问题时，不要说成“入射角等于反射角”。因为先有入射角后有反射角，反射角由入射角决定，所以应该说：“反射角等于入射角”。图中i是入射角，r是反射角，∠r=∠i。还要注意到在反射时光路是可逆的。任何一条光线都遵守反射定律，即使在发生漫反射时，每一条光线还是遵守反射定律的。 5、平面镜成像 （1）平面镜： 1、成像特点： ①物体在平面镜里所成的像是虚像。 ②像、物到镜面的距离相等。 第二章一元二次方程复习卷1 姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（）． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 x =5 （D）x2=0 2．方程x（x-1）=5（x-1）的解是（）． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 3．已知x=2是关于x的方程3 2 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是（）． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4．把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 5．下列方程中，无实数根的是（）． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0（C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 6．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（）． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 7．方程（x+1）（x+2）=6的解是（）． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，?那么这个一元二次方程是（）． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 9．某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是（）． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 10．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶 一条金色纸边，?制成一幅矩形挂图，如图所示．如 果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的 宽为xcm，?那么x满足的方程是（）． （A）x2+130x-1 400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1 400=0 （D）x2-65x-350=0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项 系数是________，?常数项是________． 12．若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______． 13．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是________． 14．请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 15．如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是________． 25.1.1 随机事件（第一课时） 郁昌云 知识与技能：通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法：历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。 情感态度和价值观：体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 重点：随机事件的特点 难点：对生活中的随机事件作出准确判断教学程序设计 一、创设情境，引入课题 1．问题情境下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ （1）太阳从西边下山； （2）某人的体温是100 C； （3）a2+b2=—1（其中a,b都是实数）; （4）水往低处流； （5）酸和碱反应生成盐和水； （6）三个人性别各不相同； 2 （7）一元二次方程x2+2x+3=0 无实数解。 【设计意图：首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。】 2．引发思考 我们把上面的事件（1 ）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【设计意图：概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。】 二、引导两个活动，自主探索新知 活动1：5 名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形 状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到 的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题： （1 ）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 【设计意图：“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件， 它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望】 第四章光现象 知识点一：光源 1、能发光的物体叫做光源。 光源可分为天然光源（水母、太阳），人造光源（灯泡、火把）; 月亮、钻石、镜子、影幕不是光源。 知识点二：光的直线传播 1、光沿直线传播的条件 ①光在（同）种（均匀）介质中沿直线传播； 如果介质是不同种或不均匀的，光线将会发生弯曲。例如：早晨太阳还在地平线以下时，我们就看到了它，就是因为大气层不均匀，靠近地面附近大气稠密，越到高空越稀薄，不均匀的大气层使光线变弯了，如图所示。 ②能传播光的介质必须是透明的，如水、玻璃、空气等。 2、光线——常用一条带有箭头的直线表示光的径迹和方向；（是理想化物理模型，非真实存在） 3、光的直线传播的有关现象 （1）小孔成像：像的形状只跟物体的形状相似，与小孔的形状无关，像是倒立的实像（树阴下的光斑是太阳的像）。实像：由实际光线会聚而成的像。 a.小孔成像的条件：孔的大小必须远远小于孔到发光的距离及孔到光屏的距离。 b.像的大小与发光体到孔的距离和像到孔的距离有关，发光体到小孔的距离不变，光屏远离小孔，实像增大；光屏靠近小孔，实像减小；光屏到小孔的距离不变，发光体远离小孔，实像减小；发光体靠近小孔，实像增大。 △当物体到小孔的距离大于光屏到小孔的距离时，成缩小的像。 △当物体到小孔的距离小于光屏到小孔的距离时，成放大的像。 △当物体到小也孔的距离等于光屏到小孔的距离时，成等大的像。 （2）取得直线：激光准直（挖隧道定向）；整队集合；射击瞄准； （3）限制视线：坐井观天、一叶障目； （4）影子的形成：影子（光在传播过程中，遇到不透明的物体，在物体的后面形成阴暗区域即影子）。；日食(太阳—月球—地球)、月食(月球—太阳—地球)如图：在月球后1的位置可看到日全食，在2的位置看到日偏食，在3的位置看到日环食。 影子小孔成像 不同点“影子”是光不能到达的地方，形成的“小孔成像”是由光的直线传播形成 1 2 3 物理八年级上册第四章光现象第4节光的折射 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 1 . 光线从一种透明物质进入另一种透明物质时，下列说法错误的是：（）. A．光线的传播方向一定发生改变 B．光线的传播方向不一定会发生改变 C．当光线从水中斜射入空气中时，折射角大于入射角 D．当光线从空气斜射入玻璃时，折射角小于入射角 2 . 下列事例中，属于光的折射现象的是 A．手影 B．渔民叉鱼 C．潜望镜 D．探究平面镜成像 3 . 一束光线斜射到两种介质的界面上与界面成20°角，反射光线跟折射光线的夹角恰好是90°，则入射角、折射角分别是 A．70°、20°B．20°、20°C．20°、70°D．70°、70° 4 . 如图所示，下列属于光的直线传播形成的是 A．水中倒影B．照镜子C．铁棒“断折”了D．人在屏幕上的影子 5 . 潜水员从水中看到的岸上树的树梢比它实际的位置要高，如图所示的光路图能解释这一现象的是 A． B． C． D． 6 . 如图所示，2018年1月31日晚上，我们观赏到天象中著名的“红月亮”，这是月食最精彩的部分，下列与月食形成原因相同的光现象是 A．放入水中的筷子“折断B．自行车尾灯反光 C．小孔成像D．潭清疑水浅 7 . 关于光现象，下列说法正确的是（） A．光在同种介质中沿直线传播 B．在漫反射现象中光路不可逆 C．同一个人离平面镜越远所成像越小 D．在折射现象中，当入射角增大时，折射角也增大 8 . 如图所示的四幅图片中，其中一幅所反映的光学原理与其他三幅不同的是A．瞄准鱼下方叉鱼 B．水中的倒影 C．照相机 D．水中的筷子 二、多选题 9 . 下列现象与光学知识对应正确的是 A．影子的形成——光的直线传播 B．“海市蜃楼”的形成——光的反射 C．湖水中青山的倒影——光的折射 D．雨后天空出现彩虹——光的色散 10 . 关于“探究光的折射规律”的实验，下列说法错误的是（） A．为了显示光的传播路径，可在空气中喷些烟雾，水里滴些牛奶 B．光从空气斜射入水中，入射角增大时，折射角也随之增大 C．当入射光线垂直于分界面时，折射角为 D．光从一种介质斜射入另一种介质时，折射角小于入射角 【最新整理，下载后即可编辑】 一元二次方程全章测试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案中，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填表在题后的括号中. 1. 关于x 的一元二次方程()22120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ） A. 1a ≠ B. 1a ≠- C. 1a ≠± D.为任意实数 2．已知一元二次方程已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 3．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x += D ．()229x -= 4．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B 。 1k >-且0k ≠ C.。1k < D 。1k <且0k ≠ 5．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 7．下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A ．若x 2 =4，则x=2 B 若3x 2 =6x ，则x=2 C ．02=-+k x x 的一个根是1，则k=2 D ．若分式 ()x x x 2- 的值为零，则x=2 8． 在创建“国家园林县城”工作中，荣昌县通过切实加强园林绿化的组织管理、规划设计、景观保护、绿化建设、公园建设、生态建设、市政建设等工作，城区的园林绿化得到了长足的发展。到2010年，该县绿化覆盖率达到48.85%，人为了让荣昌的山更绿、水更清，计划2012年实现绿化覆盖率达到53%的目标，设从2010年起我县绿化覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ） A ．48.85(1+2x)=53% B ．48.85(1+2x)=53 随机事件(第一课时) 25.1.2 概率的意义 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 二、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试 验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图. 表25-2 想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动. 想一想2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具n 图25.1-1物理第四章 光现象单元练习题
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