相似三角形单元测试卷
一、选择题(每题3分,共24分) 1. 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若
1
3
AD AB =,DE =4,则BC =( ) A .9 B .10 C . 11 D .12
2.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里,在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上,它们之间的距离大约相当于( ) A .一根火柴的长度 B .一支钢笔的长度 C .一支铅笔的长度 D .一根筷
子的长度
4. 如图,用放大镜将图形放大,应该属于( )
A.相似变换 B.平移变换 C.对称变换 D.旋转变换
6. 如图,已知21∠=∠,那么添加下列一个条件后,仍无法..判定ABC △∽ADE △的是( )
A .AE AC AD A
B = B .DE
BC AD AB =
C .
D B ∠=∠ D .AED C ∠=∠ 7. 如图,已知
ABCD 中,45DBC =∠,DE BC ⊥于E ,BF CD ⊥于F ,
DE BF ,相交于H ,BF AD ,的延长线相交于G ,下面结论:
①2DB BE =
②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△
其中正确的结论是( ) A .①②③④
B .①②③
C .①②④
D .②③④
8. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB ,B 是CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影DE 留在坡面上.已知铁塔底座宽CD =12 m ,塔影长DE =18 m ,小明和小华的身高都是1.6m ,同一时刻,小明站在点E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m 和1m ,那么塔高AB 为( ) A .24m B .22m C .20 m D .18 m 二、填空题(每题4分,共40分)
11.如图所示,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,如果要使ABC DCA △∽△,那么还要补充的一个条件是 (只要求写出一个条件即可).
12. 如图,已知DE BC ∥,5AD =,3DB =,9.9BC =,则ADE ABC
S
S =△△ .
14.如图,E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点,连结AE ,交边CD 于点F .
C
B
A
E
1
2
D
M
A
B
C
D
F H
G
A
D
B
A
B
D E
在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形:.
15. 如图是一盏圆锥形灯罩AOB ,两母线的夹角90AOB ∠=?,
若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时,则光束照射到地面的面积是 米2.
16. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度,在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),其影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米,则树高为 米.
17. 如图,对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作:第一次操作,分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1,使得A 1B =2AB ,B 1C =2BC ,C 1A =2CA ,顺次连接A 1、B 1、C 1,得到△A 1B 1C 1,记其面积为S 1;第二次操作,分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2,使得A 2B 1=2A 1B 1,B 2C 1=2B 1C 1,C 2A 1=2C 1A 1,顺次连接A 2、B 2、C 2,得到△A 2B 2C 2,记其面积为S 2;…;按此规律继续下去,可得到△A 5B 5C 5,则其面积S 5=_____________ .
18. 如图是一个边长为1的正方形组成的网络,ABC △与111A B C △都是格点三角形(顶点在网格交点处),并且111ABC A B C △∽△,则ABC △与111A B C △的相似比是 .
三、解答题(共86分)
19.图(1)是一个1010?格点正方形组成的网格.△ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面的问题:
在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△111A B C 和△222A B C ,且△111A B C 与△ABC 的相似比是2,△222
A B C 与△ABC 的相似比是22
; 、
20.如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,AC 与BD 相交于O 点,过点B 作BE CD ∥交CA 的延长线于点E .
A B
C
D
E
F A B
O 1
O
B
C
A
1B
1C
1A
A B
C
图(1)
C
求证:2
OC OA OE =.(8分)
22. 如图10,点O 是ABC △外的一点,分别在射线OA OB OC ,,上取一点A B C ''',,,使得
3OA OB OC OA OB OC
'''
===,连结A B B C C A '''''',,,所得A B C '''△与ABC △是否相似?证明你的结论.
23.如图,在ABC △中,D 为AC 上一点,2A 45CD D BAC ==?,∠,60BDC =?∠, CE BD ⊥,E 为垂足,连结AE .
(1)写出图中所有相等的线段,并选择其中一对给予证明.
(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由.(12分)
24. 如图,在ABC △中,90BAC ∠=,AD 是BC 边上的高,E 是BC 边上的一个动点(不与B C ,重合),
EF AB ⊥,EG AC ⊥,垂足分别为F G ,.
(1)求证:EG CG
AD CD
=
; (2)FD 与DG 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由; (3)当AB AC =时,FDG △为等腰直角三角形吗?并说明理由.(12分)
25. 在平面内,先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ,并且原多边形上的任一点P ,它的对应点P '在线段OP 或其延长线上;接着将所得多边形以点O 为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为()O k θ,,其中点O 叫做旋转相似中心,k 叫做相似比,θ叫做旋转角. (1)填空:
A
D
C B E F
A G
C
E
D B
O A C B A '
C '
B '
①如图1,将ABC △以点A 为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60,得到ADE △,这
个旋转相似变换记为A (
,
);
②如图2,ABC △是边长为1cm 的等边三角形,
将它作旋转相似变换)A ,得到ADE △,则线段BD 的长为
cm ;
(2)如图3,分别以锐角三角形ABC 的三边AB ,BC ,CA 为边向外作正方形ADEB ,BFGC ,CHIA ,点1O ,2O ,3O 分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用12AO O △与ABI △,CIB △与2CAO △之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段12O O 与2AO 之间的关系.(12分)
一、选择题 1. D 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A
二、填空题
9.
37
10. 3858
11. B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD AC
AC BC
=
12.
49
C A D E
图1
A
B
C
D
E
图2
E
D
B
FG
C
H
A
I
3O
1O
2O
图3
13. 9.6
14. AFD EFC △∽△(或EFC EAB △∽△,或EAB AFD △∽△) 15. 12.6 16. 4.2
17. 2476099
18.
或2 三、
19. CD BE DCO E ∴∠=∠∥,, 又DOC BOE ∠=∠, OCD OEB ∴△∽△, OD OC
OB OE
∴
=
. 又
AD BC ∥.同理
OD OA
OB OC
=
.
OC OA OE OC
∴
=
,即2
OC OA OE =. 25. (20070911190442656754) 解:(1)①2,60; 2分 ②2;
4分
(2)12AO O △经过旋转相似变换)A ,得到ABI △,此时,线段12O O 变为线段BI ;
6分
CIB △经过旋转相似变换452C ??
? ???
,得到
2CAO △,此时,线段BI 变为线段1AO .
8分
2
212
?
=,454590+=, 122O O AO ∴=,122O O AO ⊥.
10分
八、猜想、探究题 24. A B C ABC '''△∽△
2分
由已知
3OA OC OA OC
''
==,AOC A OC ''∠=∠ AOC A OC ''∴△∽△, 4分 3A C OA AC OA
'''==∴,同理
33B C A B BC AB ''''
==, 6分 A C B C A B AC BC AB
''''''==∴
7分
∴A B C ABC '''△∽△ 8分
25. (20070911190402781961) (1)证明:在ADC △和EGC △中, Rt ADC EGC ∠=∠=∠,C C
∠=∠
ADC EGC ∴△∽△ EG CG
AD CD
∴=
3分 (2)FD 与DG 垂直
4分
证明如下:
在四边形AFEG 中,
90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ∴四边形AFEG 为矩形 AF EG ∴=
由(1)知EG CG
AD CD
=
AF CG
AD CD
∴=
6分
ABC △为直角三角形,AD BC ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠
8分
又90CDG ADG ∠+∠=
90ADF ADG ∴+∠=
即90FDG ∠=
FD DG ∴⊥
10分
(3)当AB AC =时,FDG △为等腰直角三角形,
理由如下:
AB AC =,90BAC ∠= AD DC ∴=
由(2)知:AFD CGD △∽△ 1FD AD GD DC ∴== FD DG ∴=
又90FDG ∠=
FDG ∴△为等腰直角三角形
12分
九、动态几何
26. (20070911190525187471) (1)34
PM =
, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥,⊥,,
AMP ABC △∽△,PM AM BN AB ∴=即()
PM a t t a t PM t a a
--==,,
(1)
3t a QM a
-∴=-
当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即
()()22
QP AD DQ MP BN BM
++=
()33(1)()22t a t t a a t t t
a a -????
-+--+ ? ????
?==化简得66a t a
=+,
3t ≤,636a
a
∴
+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)
36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等
∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =
()3t a t t a ∴-=-,把66a
t a
=
+
代入,解之得a =±
a =. 所以,存在a
,当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.
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