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《微分几何》课程大纲

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一、课程简介

教学目标:经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学

主要内容:(见教学内容)

二、教学内容

第一章曲线的局部理论

主要内容:平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广

重点与难点:空间曲线的绕率、曲线论基本定理

第二章曲线的整体几何

主要内容:旋转数,旋转指标定理、凸曲线

重点与难点:旋转指标定理及其应用

第三章曲面的局部理论(外在形式)

主要内容:第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程

重点与难点:结构方程与曲面论基本定理

第四章曲面的局部理论(内在形式)

主要内容:向量场、共变导数、平行移动、测地线

重点与难点:共变导数和平行移动

第五章二维黎曼几何

主要内容:局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形重点与难点:指数映射和Jacobi场

第六章曲面的整体几何

主要内容:Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群重点与难点:Gauss-Bonnet定理和共轭点

三、教学进度安排(抱歉这个目前还安排不了)

可以参照以下表格形式

四、课程考核及说明

平时成绩与口试相结合的方式。平时20%,口试80%。

五、教材与参考书

Wilhelm Klingenberg, A Course in Differential Geometry

Manfredo P.Do Carmo,Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓,微分几何

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