2.1 二次函数
教学目标
(一)教学知识点
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
教学重点
1．经历探索和表示二次函数关系的过程．获得用二次函数表示变量之间关系的体验．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．教学方法
讨论探索法．
教具准备
投影片二张
第一张：(记作§2.1A)
第二张：(记作§2.1B)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？ [生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数． [师]那函数的定义是什么，大家还记得吗？
[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．
[师]能把学过的函数回忆一下吗？ [生]可以．
一次函数y ＝kx ＋b ．(其中k 、b 是常数，且k ≠0) 正比例函数y ＝kx (k 是不为0的常数)． 反比例函数y ＝
x
k
(k 是不为0的常数)． [师]很好．从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．
Ⅱ．新课讲解
一、由实际问题探索二次函数关系 投影片：(§2.1A)
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． [师]请大家互相交流后回答．
[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x ＋100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600－5x )个橙子．
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则
y＝(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000．
[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？
[生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．
但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．
二、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
[师]请大家发表自己的看法．
[生甲]在函数y＝－5x2＋100x＋60000中，因为一次项系数100大于二次项系数－5，因此当x越大时，y的值越大．
[生乙]我不同意他的观点．因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此－5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大．
[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢？我们不妨取一些特殊的数字验证一下．
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗？自己试一试．
X(棵) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Y(个)
请大家先填表，再猜测．
[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．
可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．
[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．
三、做一做
投影片：(§2.1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利
率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．
[师]首先我们要回顾一下有关名词，本金，利息，本息和，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗？
[生]记得．
本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．
[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．
[生]一年后的本息和为(100＋100x·1)＝100(1＋x)．
[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．
[生]y＝100(1＋x)＋100(1＋x)x×1
＝10O(1＋x)＋100(1＋x)x
＝100(1＋x)(1＋x)
＝100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．
[师]在这个关系式中，y是x的函数吗？是x的什么函数？请猜想．
[生]因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x 是自变量，y是x的函数，再从函数的形式来看，y是x的二次函数．
四、想一想
(1)已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？
(2)两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y的表达式吗？
[师]请大家试着做一做，然后回答．
[生甲](1)和(2)函数表达式是一样的，都可以用y=x(20-x)=-x2+20x来表示．
[师]回答的非常好．
五、二次函数的定义
[师]从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000，y＝100x2＋200x＋100和y =-x2+20x中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？
[生]一般地，若两个变量x ，y 之间的对应关系可以表示成y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式，则称y 是x 的二次函数(quadratic function)．
[师]很好．上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此．有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A 与边长a 的关系A ＝a 2
，圆面积S 和半径r 的关系
S ＝πr 2，自由落体运动物体下落的高度h 与下落的时间t 的关系2
2
1gt h =
等也都是二次函数的例子．
Ⅲ．课堂练习 随堂练习(P 30) Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1．经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式． 2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多． Ⅴ．课后作业
习题2.1 知识技能、问题解决 Ⅵ．活动与探究 若y ＝(m 2
＋m )m
m x
-2是二次函数，求m 的值．
分析：根据二次函数的定义，只要满足m 2
＋m ≠0，且m 2
－m ＝2，
y ＝(m 2＋m )m
m
x -2就是二次函数．
解：由题意得
?????=-≠+．
，
202
2m m m m 解，得??
?-==-≠≠，
或，
或1210m m m m
∴m ＝2． 故若y ＝(m 2
＋m )m
m x
-2是二次函数，则m 的值等于2．
板书设计
§2.1 二次函数
一、1．由实际问题探索二次函数关系(投影片§2.1A)
2．想一想
3．做一做(投影片§2.1B) 4．想一想 5．二次函数的定义 二、课堂练习
随堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考例题
1．用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m 2
)与矩形一边长l(m)之间的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数? 解：S=l(
2
60-l)=l(30-l)=30l-l 2=-l 2
+30l 是二次函数关系式． 2．下列函数中，哪些是一次函数?哪些是二次函数? (1)y=3(x-1)2
+1； (2)y ＝x+
x
1； (3)y ＝(x+3)2
-x 2
；
(4)y=
2
1x -x 解：(1)y=3(x-1)2
+1=3x 2
-6x+4； (3)y=(x+3)2
-x ＝x 2
+6x+9-x 2
＝6x+9； ∴(3)是一次函数， (1)是二次函数．
九年级数学 二次函数 单元试卷（一） 时间90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10题) 3.05m x y
一、一次函数 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质
图像 定义域 (),-∞+∞ 对称轴 2b x a =- 顶点坐标 24,24b ac b a a ??-- ??? 值域 24,4ac b a ??-+∞ ??? 24,4ac b a ?? --∞ ?? ? 单调区间 ,2b a ??-∞- ??? 递减 ,2b a ?? -+∞ ??? 递增 ,2b a ? ?-∞- ??? 递增 ,2b a ?? -+∞ ??? 递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2b x a =-顶点坐标是24(, )24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减， 在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,)2 b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 2b x a =- 2b x a =-
第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根
二次函数检测卷 时间：120分钟满分：150分 班级：__________姓名：__________得分：__________ 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（） A．y＝1 x2B．y＝2x＋1 C．y＝x 2＋x－2 D．y2＝x2＋3x 2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是（） A．(2，1) B．(0，1) C．(1，0) D．(1，2) 3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是（）A．－3 B．－1 C．2 D．3 4．抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 5．下列函数中，当x>0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（） A．y＝x2＋1 B．y＝x2－1 C．y＝(x＋1)2D．y＝－(x－1)2 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x …－2－10123… y …50－3－4－30… 二次函数图象的对称轴是（） A．直线x＝1 B．y轴C．直线x＝1 2D．直线x＝－ 1 2 7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（） A．x＜－2 B．－2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4 8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是（）
9．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝－12x 2＋10x ＋1200(0＜x ＜60) B ．y ＝－1 2x 2－10x ＋1200(0＜x ＜60) C ．y ＝－12x 2＋10x ＋1250(0＜x ＜60) D ．y ＝－1 2 x 2－10x ＋1250(x ≤60) 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝1 2x 2－2x ，其 对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 第10题图 第12题图 11．抛物线y ＝－x 2＋6x －9的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，如果在抛物线上取点C ，在x 轴上取点D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是（ ） A ．(－6，0) B ．(6，0) C ．(－9，0) D ．(9，0) 12．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点为B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1，其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①③⑤ D ．②④⑤ 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 13．当a ＝ 时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数． 14．把二次函数y ＝x 2－12x 化为形如y ＝a (x －h )2＋k 的形式为 . 15．已知A (4，y 1)，B (－4，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2－2的图象上两点，则y 1 y 2. 16．若抛物线y ＝x 2－2x ＋3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个
第1-3讲 二次函数全章综合提高 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2、二次函数的三种解析式（表达式） 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ????
20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
二次函数概念 学习要求 1．熟练掌握二次函数的有关概念． 2．熟练掌握二次函数y ＝ax 2的性质和图象． 综合、运用、诊断 一、填空题 1．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______． 2．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______． 3．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内． (1)y ＝2x 2如图( )；(2)22 1x y = 如图( )；(3)y ＝－x 2 如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)29 1 x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )． 4．已知函数,2 3 2x y -=不画图象，回答下列各题． (1)开口方向______；(2)对称轴______；(3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；(6)当x ______时，函数y 的最______值是______． 5．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答： (1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称．函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______． 6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______．(3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______． 7．已知函数y ＝(m 2－3m )1 22--m m x 的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______， 对称轴方程为______，开口______． 9．已知函数y ＝m 2 22+-m m x ＋(m －2)x ． (1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 9．已知函数y ＝m m m x +2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下． 二、选择题 110．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( ) A ．y ＝x (x ＋1) B ．xy ＝1 C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2 D ．132+=x y 11．在二次函数①y ＝3x 2；②223 4 ;32x y x y == ③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为 A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞③＞① D ．②＞①＞③ 12．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( ) A ．a 越大，抛物线开口越大 B ．a 越小，抛物线开口越大 C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大 D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 13．下列说法中错误的是( ) A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0
二次函数单元测试卷 、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数） 的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且 函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点
初三数学 二次函数讲义 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是(
11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（ ）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________
第一讲二次函数的定义 知识点归纳 :二次函数的定义：一般地，如果y =aχ2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）,那么y叫做X的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为O 考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y= ( m + . 2 ) X m2 + 2x —1是二次函数，则m= __________ 例2、下列函数中是二次函数的有（) 1 2 2 2 1 ① y=x + :② y=3 (X —1) 2+ ③ y= (X + 3) —2x ;④ y= 2+ X X X A . 1个 B . 2个 C . 3个D. 4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为X,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式. 例4、如图，正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q,如果BP=X, △ ADQ的面积为y,用含X 的代数式表示y. A D B
训练题： 1、 已知函数y=aχ2+ bx + C （其中a , b , C 是常数），当a ____ 时，是二次函数；当 a_, b ______ 时，是一次函数; 当a ___ , b ___ , C ___ 时，是正比例函数. 2、 若函数y=（m 2+2m- 7）x 2+4x+5是关于X 的二次函数，贝U m 的取值范围为 __________ 。 2m +1 3、 已知函数y=（m — 1） X +5x - 3是二次函数，求 m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为 a ,另一条对角线为它的 3倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a , b , C 一个值，让y = aχ2 ■ bx C 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、 象限 6. 下列不是二次函数的是（ ） C . m 、n 为常数，且n ≠0 D . m 、n 可以为任何常数 8 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30米的铁 栅栏.（1）求梯形的面积y 与高X 的表达式；（2）求X 的取值范围. 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm , BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm∕s 的速度移动，同 时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 两点分别到达 B 、C 两点停止移动，设运动 开始后第t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围. A . y=3χ2+ 4 B . y=— C . y-.x^5 7 .函数y= （m — n ） x 2 + mx + n 是二次函数的条件是（ A . m 、n 为常数，且m ≠0 D . y= (X + 1) (X — 2) ) B . m 、n 为常数，且m ≠ n A D
1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1
8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2
C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1 北师大版二次函数测试题及答案 北师大版二次函数测试题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 二次函数 考点一：二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的是 2 8 _ Ay =8x +1 B. y = —8x —1 C.y =— D.y =—^ —4 x x 2 【例2】已知函数y =（m 2-2m ）x m 饷?4-3mx ?（m ?1）是二次函数，则m 二 2 【针对训练】若函数y=（m-2）x m ，mx 是二次函数，则该函数的表达式为 y 二 考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】已知点a,8在二次函数y 二ax 2的图象上，贝U a 的值是（） A.2 B. -2 C. 一2 D. _、2 【例2】若二次 函数y = ax 2 bx c 的与的部 分对 应值如下表，则当x 「-1时，y 的值为 A.5 B. -3 C. -13 -27 【针对训练】1、过（-1,0）（3,0）（1,2三点的抛物线的顶点坐标是（ J J ’ 2 ’ 14 A. 1,2 B.（1 自 C. -1,5 D.（2,f ） 2、无论m 为何实数，二次函数y=x 2-2-mx ，m 的图象总是过定点（） A 1,3 B. 1,0 C. -1,3 D -1,0 【例3】如图所 示，在平面直角坐标系中，二次函数 ax 2 bx c 的图象顶点为A -2,-2， 且过点B0,2，则y 与x 的函数关系式为（ ） A. y =x 2 +2 B. y =（x —2 f +2 C. y =（x —2 丫 — 2 D. y =（x + 2）2 — 2 【针对训练】过（-1,0）,（3,0）,（1,2）三点的抛物线的顶点坐标是 ____ 。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 a,b,c 的关系） () 3 x -7 -6 -5 -4 -3 —2 y -27 -13 _ 3 3 5 3 二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ?????????? ? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ??? ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．北师大版二次函数测试题及答案
2018二次函数复习专题讲义
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
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