2015春课件作业
第一部分集合论
第一章集合的基本概念和运算
1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题） [ C ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ? A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是（选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．?。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）
（1） N ? Q，Q ∈S，则 N ? S，［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。［错］
1-4 设集合 B = {4，3} ∩?， C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }，
E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，
F = { 4，?，3，3}，
试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示（选择题） [ A ]
A. C;
B. D;
C. E;
D. F.
1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [ D ]
A. N;
B. Z;
C. Q;
D. Z+
1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)
第二章二元关系
2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：
R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题）求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。
R={<2，3>，<1,2>，<1,3>}∪Ix；
(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};
(2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}；
(3)(3)R的性质:自反,反对称,传递性质.
2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即
R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，
试给出 dom（R 。R）。（选择题） [ B ]
A. 3；
B. {3}；
C. 〈3，3〉；
D.{〈3，3〉}。
2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；以及函数的性质。最后指出 f：A→B 中的双射函数。（选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。（2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。（3）A = B = R， f = x 。
（4）A = B = N， f = x2。
（5）A = B = N， f = x + 1 。
A.（1）和（2）；
B.（2）和（3）；
C.（3）和（4）；
D.（4）和（5）
2-4 设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。ｇ＝[ C ] A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。
2-5 关系型数据库与《关系与函数》一章内容有何联系？（简答题）
答：关系数据库，是建立在关系模型基础上的数据库，借助于集合代数和各种函数关系等数
学概念和方法来处理数据库中的数据，现实世界中的各种实体以及实体之间的各种联系均用
关系模型来表示。
第三章结构代数(群论初步) (3-1)，(3-2)为选择题
3-1 给出集合及二元运算，判断是否代数系统，何种代数系统？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 * 是普通乘法。 [ A ] A．不构成代数系统；B．只是代数系统。；C．半群；D．群。
（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元运算。定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai 。aj = ai 。 [ C ]
A．不构成代数系统；B．只是代数系统。；C．半群；D．群。
（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。 [ C ] A．不能构成代数系统；B．半群；C．独异点；D．群。
3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的［ A ］A．x*y = max(x,y) ；B．x*y = 2x+y ；
C．x*y = x2+y2；D．x*y =︱x-y︱..
3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算。，对于所有 x，y ∈Z 都有
x 。y = x - y
试问？在 Z 上二元运算。能否构成代数系统，何种代数系统？为什麽？（综合题）
假设代数系统的幺元是集合中的元素e,则一个方程来自于二元运算定义,
即e。x=e+x-4，
一个方程来自该特殊元素的定义的性质,
即e。x=x.由此而来的两个方程联立结果就有:e+x=x成立.
设y是x的逆，则一个方程为y。
x=y+x-4,另一个方程为y。x=4,
联立结果得到y=8-x；
结论是：代数系统〈Z，。〉构成群。
第二部分图论方法
第四章图以下三题分别为：选择题是非题填空题
4-1 10 个顶点的简单图G中有4个奇度顶点，问 G 的补图中有 r 个偶数度顶点。[ C ] A．r =10 ；B．r = 6；C．r = 4；D．r = 9。
4-2 是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点。[ 是 ]
4-3 填空补缺：1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为 2 。
第五章树
5-1 概述无向图与无向树的关系。（简答题）
答：连通而不含回路的无向图称谓无向树。（1）生成树的定义--生成子图概念；（2）生成子图与母图的关系--定点数相同；（3）何种图采用生成树--连通图；（4）连通图中的那种永远不会进入任何一颗生成树中--环；（5）连通图中的那种边必然会进入其生成树中--桥。
5-2 握手定理的应用（指无向树）（计算题）
（1）在一棵树中有 7 片树叶，3个3 度顶点，其余都是4 度顶点，共几个顶点 [ 11 ] （2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有几片叶 [ 9 ]
5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。
试问：T 的权 W（T）= ( 61 )；树高 ( 4 ) 层。（填空题）
5-4 以下给出的符号串集合中，那些是前缀码（是非题）
B1 = {0，10，110，1111}； [ 是 ] B2 = {1，01，001，000}； [ 是 ] B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc} [ 非] B4 = {1，11，101，001，0011} [ 非]
5-5 11 阶无向连通图 G 中有 17 条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [ 非 ] 5-6 二元正则树有奇数个顶点。 [ 是 ]
5-7 通信中 a，b，c，d，e，f,g,h 出现的频率分别为 25%;20%;20%.15%,10%,5%,4%,1%;
试完成下列要求。（综合题）
1、最优二元树 T；
2、二元树的权 W（T）= ；
3、每个字母的码字；
。100
60。
30。。a 。40
15。。c
10。。。20 。b
。。 f 。。
g h d e
编码如下：g（00000），h（00001），f（0001），d（100），e（101）,c(001),b(11),a(01)。
第三部分逻辑推理理论
第六章命题逻辑
6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。（填空题）
（1）2月 17 号新学期开始。（是简单）命题
（2）离散数学很重要。（是简单）命题（3）离散数学难学吗？（不是）命题
（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性（是复合）命题（5）x + 5 > 2 。（不是）命题
（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。（是复合）命题
6-2 将下列命题符号化. （填空题）（1）2 是偶素数。符号化为： p ∧ q。
（2）小李不是不聪明，而是不好学。符号化为：p ∧﹃q。
（3）明天考试英语或考数学。（兼容或）符号化为：p ∨ q。
6-3 用等值演算法求下列命题公式的主析取范式，并由此指出该公式的类型
（1）﹃（p→q）∧ q （计算题）
（2）（（p→q）∧ p）→q （计算题）
（3）（p→q）∧ q （计算题）
（1）0，永假式；（2）Σ（0，1，2，3），永真式；（3）Σ（1，3），可满足式。
6-4 令p：经一堑；q：长一智。命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为[ B ] A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p
6-5p：天气好；q：我去游玩．命题”如果天气好，则我去游玩”符号化为［ A ］A．p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p
6-6 将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。（综合题）如果今天不下雨，则明天上体育课。今天没有下雨。所以，明天上体育课。
题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。公式是重言式，所以，推理正确。方法 1：等值演算法(略)
方法 2: 主范式法(略);
方法 3: 真值表法(略);
方法 4：构造证明法,如下:
（1）将原子命题符号化：
（2）按题意构成前提：
（3）按题意构成结论：
（4）证明：
方法 1：等值演算法（（p→﹃q）∧p）→﹃q ﹤＝﹥1；
方法 2: 主范式法(略);
方法 3: 真值表法(略);
方法 4：构造证明法,如下:
将公式分成前提及结论。
前提：（p→﹃q），p；
结论：﹃q；
证明：（1）（p→﹃q）前提引入
（2） p 前提引入
（3）（p→﹃q）∧p （1）（2）假言推理
（4）﹃q
所以推理正确。
第七章谓词逻辑
7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化（填空题）
（1）这台机器不能用。﹃F（a）。
（2）如果 2 ＞ 3，则 2 ＞ 5。 L（a，b）→ H（a，z）。（1）﹃F（a）。（2）L（a，b）→ H（a，z）。
7-2 填空题：设域为整数集合 Z＋，命题?x?y彐z（x-y = z）的真值为 1
7-3 在谓词逻辑中将下列命题符号化（填空题）人固有一死。?x（M（x）→ F（x））。7-4 一阶逻辑与命题逻辑有何联系？举例说明。（简答题）
《附录》习题符号集
? 空集, ∪并, ∩交,⊕对称差,～绝对补,∑累加或主析取范式表达式缩写 ,
－普通减法, ÷普通除法, ㏑自然对数, ㏒对数，﹃非，?量词”所有”，”每个”，∨析取联结词，∧合取联结词，彐量词”存在”，”有的”。
答：把命题逻辑中的符号化的命题，把句子成分展示出来，并按句子成分符号化，就变成一阶逻辑中的公式了。例如：每个人都会死。命题逻辑中的P变成一阶逻
辑中的?x（M（x）→ F（x））。