椭圆的标准方程及其几何性质
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.
当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;
当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 3.点),(00y x P 与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0 题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,58 2,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a Θ 所以所求椭圆标准方程为 9 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程142 222=-+a x a y ，后将点（23-,2 5 ）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： )0(122 22>>=+b a b y a x ∵100)35(0)35(222=+-+++= a ，2c =6. ∴3,5==c a ∴16352 2 2 2 2 =-=-=c a b ∴所求椭圆的方程为： 116 252 2=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 )0(122 22>>=+b a b x a y . ∴.1442 2 2 =-=c a b ∴所求椭圆方程为： 1144 1692 2=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： )0(12 2 22>>=+b a b x a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴362 2 2 =-=c a b . ∴所求椭圆的标准方程是 136 1002 2=+x y . 题2。已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角 坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a 所以顶点A 的轨迹方程为 116 252 2=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件 题3。在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程. 分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |= 3 2 ×39=26. 根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭 圆，故所求椭圆方程为 125 1692 2=+y x (y ≠0) 题4。已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14 22 =+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x - 因为点Q 为椭圆 14 22 =+y x 上的点， 所以有 1)2(4)12(22 =+-y x ，即14)2 1 (22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)2 1 (2 2=+-y x 题5。长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为3 2，求点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为2 5 , 0(y 因为2||=AB ， 所以有 4)25( )3 5 (22 =+y x ，即44 2592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是44 259252 2=+y x 题6。已知定圆05562 =--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形， 用数学符号表示此结论：MP MQ -=8 上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆 F E A M C B x O y M A Q 2-2 x O y M A B x O y r ＝8 M P Q x O y 解 已知圆可化为：()6432 2 =+-y x 圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径 又圆M 和圆Q 内切，所以MP MQ -=8， 即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ， 72 =b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：17 162 2=+y x 题7。△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是- 9 4 ，求顶点A 的轨迹方程. 选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍. 解：设顶点A 的坐标为),(y x . 依题意得 9 4 66-=+?-x y x y ， ∴顶点A 的轨迹方程为 )6(136 812 2±≠=+y y x . 说明：方程136 812 2=+y x 对应的椭圆与y 轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与 (0，6)应舍去. 题8．P 为椭圆 19 252 2=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P 解：由题意，得+- 20)545(x 20)545(x +＝641625720?= ?x ，16 812 =y ?P 的坐标为)49,475( ，)49,475(-，)49,475(--，4 9 ,475(- 题9．椭圆 192522=+y x 上不同三点),(),5 9,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证21=+x x 证明：由题意，得 ++ )545(1x )545(2x +＝2)45 4 5(?+?821=+x x 题10．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右 F 2 F 1 P O 1 A 2 A 1 x O y 焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为122 22=+b y a x ,(0>>b a )， 焦半径P F 2是圆1O 的直径， 则由112 22 2 22 OO PF PF a PF a == -= - 知，两圆半径之差等于圆心距， 所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 题11。已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，Ｐ为椭圆上一点，且｜21F F ｜是｜1PF ｜和｜ 2PF ｜的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F . 选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题. 解：(1)由题设｜1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4 ∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3 ∴椭圆的方程为 13 42 2=+y x . （２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ 由正弦定理得： ) 60sin(120sin sin 1221θθ-?= ? = PF PF F F 由等比定理得： ) 60sin(120sin sin 2 121θθ -?+?+= PF PF F F )60sin(2 3 4 sin 2 θθ -?+=∴ 整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 5 3cos 1sin =+∴ θθ故23 2tan =θ 题12. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |= 2 10 ，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组 y =x +1， mx 2+ny 2=1. 消去y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ?x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴n m n +-)1(2－n m n -2+1=0. m +n =2. ① 由弦长公式得2· 2 ) ()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43 . ② m = 21， m =2 3 ， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或2 3x 2+22 y =1.. 题13. 直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +3 2 y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为 M ，试求直线l 的方程. 解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 则421x +3 21y =1， ① 422x +3 22 y =1. ② ①－②，得 4 ) )((2121x x x x +-+ 3 ) )((2121y y y y +-=0. ∴ 2121x x y y --=－4 3 ·2121y y x x ++. 又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. 解①②得 或 ∴直线l 的斜率为－ 4 3. ∴直线l 的方程为y －1=－4 3 （x －1）， 即3x +4y －7=0. 题14。已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围． 【解题思路】通过3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系 得到一个关于m 的不等式 [解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设22 22:1(0)y x C a b a b +=>> 由条件知1a =且b c =，又有222 a b c =+，解得 1,2 a b c === 故椭圆C 的离心率为2 c e a ==，其标准方程为：12 122 =+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ????? y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴????? x 1＋x 2＝－2x 2 x 1x 2＝－3x 22 消去x 2，得 3（x 1＋x 2）2 ＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2 ＝0 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2 ＝2－2m 24m 2－1 ， 因 λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝ 2－2m 24m 2－1 >0，∴－1 2 容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1 2 ，1） 题15。设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8. （1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程. （2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由. （1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8. ∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +16 2y =1. 解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ， 两边平方，得 x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ， 两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2， 展开，整理得122x +16 2 y =1. （2）∵l 过y 轴上的点（0，3）， 若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点. ∵OP =OA +OB =0， ∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾. ∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3， 122x +16 2 y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－2 3421 k +. ∵=+，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即·=0. ∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， 由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2） ∴·=x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－ 23421k +）+3k ·（－2 3418k k +）+9=0，即k 2 =165，得k =±45. ∴存在直线l ：y =± 4 5 x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 椭圆作业 班级：______________姓名：____________ 题16。选择题 1. 已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点， 则△MNF 2的周长为 A.8 B.16 C.25 D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2. 椭圆4 2x +y 2 =1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则|2PF |等于 A. 23 B. 3 C.27 D.4 解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P . ∵4 2x +y 2=1，∴a =2，b =1，c =3. ∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =2 1 ， ∴P （3，21），|PF 1|=2 1 . 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4， ∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=2 7 . 3. 设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心， 且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为 A. 3－1 B.2－3 C. 2 2 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，a c =3－1. 答案：A 4. 已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 5. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 题17、填空题 1. 已知21F F 、为椭圆 19 252 2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。 [解析]2ABF ?的周长为204=a ，AB ∴=8 2. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为2 2x +k y 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2 >2，即k <1. 又k >0，∴0 3. 椭圆252x +9 2 y =1的离心率是____________，准线方程是____________. 解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54 ，准线方程为x =±452=±4 25. 答案：54 x =±425 4. 已知P 是椭圆22 a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直， 且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________. 解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求． 答案：452 x ＋20 2y ＝1 5. 点P 在椭圆252x +9 2 y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________. 解析：利用第二定义. 答案：12 25 6. 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率____________.. 剖析：求椭圆的离心率，即求a c ，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有 具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b . 解：设椭圆方程为22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－ c ，0），c 2=a 2－b 2， 则P （－c ，b 221a c -），即P （－c ，a b 2 ）. ∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ， 即－a b =a c b 2 -.∴b =c . 又∵a =22c b +=2b ， ∴e = a c =b b 2=22. 7. 如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴 的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知： 352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ． 题18. 求椭圆的标准方程 1. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直， 且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 2. 已知方程),0(,1sin cos 2 2 πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当)4 ,0(π θ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 当4 π θ= 时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆， 当)2 ,4( π πθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 3. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭 圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程. [解析] ????==-c a c a 23?????==3 32c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122 y =1. 4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭 圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程. 解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方 程是122x +92y =1或92x +12 2 y =1. 题19。已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+2 2 看作x 的函数 [解析] 由12422=+y x 得222 1 2x y -=, 2202 122 ≤≤-∴≥- ∴x x ]2,2[,2 3 )1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x 当1=x 时,x y x -+22取得最小值2 3,当2-=x 时,x y x -+2 2取得最大值6 题20。椭圆 19 162 2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为： |9)sin(5|2 2 11| 12sin 3cos 4|2 2-+= +-+?θθθ.22≥ 题21。已知椭圆)0(12 22 2>>=+ b a b y a x 与过点A (2，0)，B (0，1)的直线l 有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2 3 = e ．求椭圆方程 [解析]直线l 的方程为：12 1 +- =x y 由已知 222242 3 b a a b a =?=- ① 由??? ????+-==+1 21122 22x y b y a x 得：0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b ∴0))(4(222224=-+-=?b a a a b a ，即2244b a -= ② 由①②得：2 1 222= =b a ， 故椭圆E 方程为12 12 22 =+y x 题22。已知A 、B 分别是椭圆122 22=+b y a x 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-） 在椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求 sin sin sin A B C +的值。 [解析]（1）∵点M 是线段PB 的中点 ∴OM 是△PAB 的中位线 又AB OM ⊥∴AB PA ⊥ ∴2222222211112,1,12c a b c a b a b c =??? +====???=+?解得 ∴椭圆的标准方程为22 2 y x +=1 （2）∵点C 在椭圆上，A 、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC ＋BC ＝2a ＝，AB ＝2c ＝2 在△ABC 中，由正弦定理， sin sin sin BC AC AB A B C == ∴ sin sin sin A B C + ＝ 2BC AC AB +== 题23。已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直 角坐标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在, [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为( )( )( ) 1,2, 0,2, 0,2- . 设椭圆的标准方程是()0122 22>>=+b a b y a x . ()( )() ( ) ()2240122012 222 2 2 2 >=-+-+ -+--= +=BC AC a 则 2=∴a 224222=-=-=∴c a b . ∴椭圆的标准方程是.12 42 2=+y x 图8 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:?? ?=++=4 222 2 y x kx y 消去y 整理得,( )048212 2 =+++kx x k 有2 2 1221214 ,218k x x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ON OM ⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即( )()0421212 12 =++++x x k x x k 所以, () 0421******** 22=++-++k k k k 即,021482 2 =+-k k 得.2,22 ±==k k 所以直线l 的方程为22+= x y ,或22+-=x y . 所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. 题24。如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 2 2 。一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |+|PB |的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程； （2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k 的取值范围。 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A （－1，0），B （1，0） 由题设可得 222 2322)22(222||||||||22=+=++= +=+CB CA PB PA ∴动点P 的轨迹方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ， 则1.1,222=-=== c a b c a ∴曲线E 方程为12 22 =+y x （2）直线MN 的方程为),(),,,(),,(),1(221111y x N y x M y x M x k y 设设+= 由0)1(24)21(0 22) 1(2 2222 2=-+++?? ?=-++=k x k x k y x x k y 得 0882>+=?k Θ ∴方程有两个不等的实数根 2 221222121) 1(2,224x k k x x k k x +-=?+-=+∴ ),1(),,1(2211y x BN y x BM -=-=∴ )1)(1()1)(1()1)(1(112212121+++--=+--=?x x k x x y y x x 22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 2 22 222222 21171)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k k k +-=+++--++-+= ∵∠MBN 是钝角 0 即 021172 2<+-k k 解得：7 777<<- k 又M 、B 、N 三点不共线 0≠∴k 综上所述，k 的取值范围是)7 7,0()0,77(?- 题22。 1 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 1822 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.28 2-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 5.方程1) 4 2sin(3 2 2 =+ -π αy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ.838παπ ≤ ≤- Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ. 838παπ<<- Ｄ. k k k (83282π παππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A 2.C 3.A 4. 135 362 2=+x y 5. Ｂ 1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值 ①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12 42 2=-y x ；④369422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2== =c b a ； ③不是椭圆（是双曲线）；④36942 2 =+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆， 5,2,3===c b a 椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换 成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2 二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对 称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 焦半径公式： 由椭圆的第二定义可得： 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________， 离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ， 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。 椭圆的几何性质和在物理学中的应用 1 几何性质 为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。 定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。 命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。 【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ?内。所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。 下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。 命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。 【证明】：如图，M 是ABC ?中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。 延长AM 与BC 交于D 点。 在ADC ?中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ?中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。 上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。 命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。 图3 图1 A B C M D 图2 【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ?内。由命题2可知命题正确。 我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。 定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。 命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。 【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。 命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。 【证明】：切点在圆上，因此到两焦点距离和为2a ，切线上其它点都在椭圆外，因此到两焦点的距离和大于2a ，命题得证。 命题6：直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。 【证明】：如图4所示，设PQ 是任一直线，1F 和2F 是任意的两个点（在直线的同一侧）。我们总可以在直线上找一点M ，使此点到两点1F 和2F 的距离的和最小。方法如下 如图3所示，做1F 关于PQ 的对称点3F ，连结32F F 与PQ 交于M 点，则M 点为所求点。原因是简单的，如图5所示，任意在PQ 上取另一点1M ，则此点到两定点1F 、2F 的距离和大于M 到这两定点的距离和。由对称可知，角1PMF =角3PMF ，而角3PMF 与角2 QMF 互为对顶角。所以角1PMF =角2QMF ，命题得证。 命题7：椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 【证明】：因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点，由命题6知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 命题8：切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。 【证明】：如图6所示，1F 与2F 是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，PQ 是过M 点的切线，MN 是的21MF F ∠的平分线。则有，PQ MN ⊥。 F 1 F 2 P 图4 F 1 F 2 P 图5 F 2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1．椭圆的简单几何性质 直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相切?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?????? y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2 b 2＝1________实数解，即Δ______0. 一、选择题 1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45 B ．10,6，4 5 C ．5,3，35 D ．10,6，3 5 2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A ．x 236＋y 216＝1 B ．x 216＋y 2 36＝1 C ．x 26＋y 24＝1 D ．y 26＋x 2 4 ＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1 2 ，则m 等于( ) A ． 3 B ．32 C ．83 D ．2 3 4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°， 则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.2 2 5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2 ＋y 2 ＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．0 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．??? ?0，12 C ．???0，2 D ．???2 ，1 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ，且过点P (－5,4)，则椭圆的 方程为______________． 8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的 离心率等于______． 9．椭圆E ：x 216＋y 2 4 ＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________． 三、解答题 10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦 点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e . 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4 5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0，32 B.??? ?0，34 C.?? ?? ??32，1 D.??? ?3 4，1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2 ＝a ，整理为a 2＝3b 2 ，即b a ＝13. ∴e ＝c a ＝a 2－ b 2a ＝ 1－??? ?b a 2 ＝ 1－? ?? ??132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4 5，∴1≤b <2. 离心率e ＝c a ＝ c 2a 2＝ a 2－ b 2a 2＝ 4－b 24∈? ???? 0，32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ= 椭圆的定义及几何性质 一、复习目标： 1．掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解数形结合的思想 二、基础知识回顾 1．定义： ①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． ②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ，e ∈ ，则P 点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的 ，定直线l 叫做双曲线的 。 ③,,a b c 之间的关系 。 2．标准方程及几何性质： （1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。 （2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。 3.椭圆参数的几何意义（如图）： （1）12PF PF += ，（2）12PM PM += ， （3） 1212|||| |||| PF PF PM PM == ；（4）1122A F A F == ； （5）1221A F A F == ；（6） 1PF ≤≤ ； （7）12BF BF == ，12OF OF == ；12OB OB == ； （8）21F PF ?中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，设122 F PF θ ∠=，则12PF F S ?= ， 三、例题分析： 题型1．椭圆的定义 例1．下列说法中，正确的是（ ） A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆 B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆 C ．方程()22 22 2 10x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()22 2210,0x y a b a b +=>>表示焦点在y 轴上的椭圆 练习1：1F ，2F 是定点，126FF =，动点M 满足126MF MF +=，则点 M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 题型2．椭圆的标准方程 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率为 2 2 ，准线方程为8±=x ； （2）长轴与短轴之和为20，焦距为54 椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程. 2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 第2课时：椭圆的简单几何性质（二） 【学习目标】 １．进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率等）； ２．掌握求曲线方程的一些基本方法； ３．会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 2 1 F F）的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用； 2.注意椭圆的焦点的位置的确定； 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1：第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2 例1．与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率，且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2．如图，点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点， 点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方， PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为_______． 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为定点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P 2.2.2 椭圆的几何性质 【教学内容解析】 1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上 的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何 2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用. 3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用. 4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点. 【教学目标设置】 1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质； 能解释椭圆标准方程中,, a b c的几何意义； 2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型； 3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】 （1）学生已有的认知基础 本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. （3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化； 突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立b a 与椭圆圆扁程度的对应 关系，再利用b a 与 c a 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， 丰富学生的直观感悟与经历； 《椭圆的简单几何性质》教学反思 数学组冶有得 为了提高年轻教师的业务能力和专业素养，学校邀请乌市专家到我校听年轻教师上课, 为了上好木节课，我做了充分准备，下面我从的前期准备、课堂自我感觉及专家评课等方面进行反思，反思如下： 一、课前准备：在前期认真翻看了课木和课标，并多次请教粟登科老师、高志华老师；根据木班学生的实际情况制定了木节的教学目标、教学重难点，列出了框架，再依据框架撰写了教学设计、导学案并制作ppt。 二、课堂自我感觉：从课堂上来看，学生反应积极，教学进程流畅，学生对于知识点达到了掌握和理解，同时能紧跟着老师的思路；基木实现了木节课的预期目标，可惜的是最麻一道练习没处理完。 三、专家评课：一是优点：本节课采用了数形结合的数学思想，更加直观、形象的说明的椭圆的几何性质，使得将难度降低，学生更容易理解、掌握；讲练结合，讲完一个性质练习一道题，使得学生巩同了所学内容，更进一步加深了记忆；课堂较顺利，推进的速度也比较快, 板书较为桀齐；课堂采用了几何曲板，使得复杂的问题简单化。问题的设置较好，层层递进, 使得与学生的互动也比较多，充分体现了新课标要求，以学生为本，将课堂还给学生。 二是缺点：在推到离心率公式的时候速度过快，没有足够的时间去分析和挖掘；例1的讲解只采用了代数法讲解，若结合图形就更能说明问题，学生也更容易理解；本节课的容最较大。四、课后反思： 1.细节决定成败。细节是往往我们忽略的地方，如在复习椭圆的定义时没有强调（| PF】I + I PF2 |= 2a（2a >\ F}F2 |）,如果不满足条件（2a>2c）,那么这个点的轨迹就不是椭圆了，所以要注重教学内容的严谨性。 2.对个别学生的关注度不够，通过检杏笔记和练习本发现上课时没有动笔，一两个学生有打嗑睡的现象。 3.教学语言还需要锤炼。在叙述椭圆的离心率时，语言的表达不是那么精准，也不到位。尔对于一个教师来说最基木就是能够把白己的知识准确的、简单的传授给学生，把复杂的问题简单化，使学生更容易接受，让学生更加认可你。 4?对于教材的挖掘有所欠缺，如叙述离心率是课本上有详细的解答，描述的也比较到位。 五、听专家课的一些想法：乌市专家在高三（14）班上了一节公开课《解三角形》，作为高三的复习课，我们上课的方式一般会是知识梳理、讲解例题、课堂练习；对于公式的推到、背景很少讲解，但是赵老师先复习了最基础的、最简单的公式（三角形的面积公式、锐角三角函数）；Z后利用这两个公式一步步得出了面积公式、正弦定理、余弦定理及推论，使学生更加熟悉了并会应用公式，记忆也比较牢固；然后出了一些较为简单的高考题型进行练习, 最示讲解两道相对复杂的例题。从上课的模式、心态、语言表达等方面给我留下了深刻的印象，也是我学习的内容。 总Z,作为一名年轻教师，要不断的学习，不断地改进，争取早U成熟起来。通过这次的上课和听课，让我也认识到了白己的不足，明确了改进的方向，同时给白己也提出了很多问题，怎样让自己的教学方法多样化，吸引学生？怎样让学生喜欢数学？在今示的教学屮会更加努力。 椭圆的简单几何性质 1．若焦点在x轴上的椭圆x2 2＋ y2 m＝1的离心率为 1 2，则m等于() A.3 B.3 2C. 8 3D. 2 3 2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是() A.3 4B. 2 3C. 1 2D. 1 4 3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是() A.2m－1 m－1 B. －2－m m C.2m m D．－ 21－m m－1 4．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为() A.1 2B. 2 2 C. 3 2D. 3 3 5．(2009·江西高考)过椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于 点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为() A. 2 2B. 3 3 C.1 2D. 1 3 6．若AB为过椭圆x2 25＋ y2 16＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的 最大值为() A．6 B．12 C．24 D．48 1 7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________． 8．过椭圆x2 5＋ y2 4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为________． 9．若椭圆x2 k＋2＋ y2 4＝1的离心率e＝ 1 3，则k的值等于________． 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝ 6 3. 11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程． 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 数于常的距离之和等个到两定平面内一个动点点、 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦)(，这个动点点的距离叫作椭圆的焦距。 ，则动点的轨迹为线段注意：若； 若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程 轴上时，椭圆的标准方程：，；其中当焦点在 1． 椭圆的标准方程：；当焦点在，其中轴上时，2．注意：．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆1 的标准方程； ．在椭圆的两种标准方程中，都有和；2 轴上时，椭圆的焦点坐标为3；当，当焦点在．椭圆的焦点总在长轴上. 。，焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为知识点三：椭圆的简单几何性质1 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 椭圆的的简单几何性质 ）对称性（1 同时换、y，或把y换成―y，或把x对于椭圆标准方程，把x换成―x 轴为对称轴的轴对称图形，―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y―x成、且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x=±a和y=±b椭圆上所有的点都位于直线|x|≤a，|y|≤b。（）顶点3①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 坐标分别为）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，（②椭圆a＞b＞0 0），A（―a，1（，B0，b）。（（Aa，0），B0，―b）221分别叫a和b。|=2aB③线段AA，B分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA，|BB|=2b22122111做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率 。①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作，从而c就越接近a越接近＜的取值范围是＞②因为a＞c0，所以e0＜e1。e1，则 ，越接近于，从而ba0c0e因此椭圆越扁；越小，反之，越接近于，就越接近，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为c=0a=b这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，222 x=a+y 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： ，1）；， （ ，2）；， （ 《椭圆的简单几何性质》听课实录 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。 在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。但也有不足的地方：在对具体例子的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。 在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若分别是椭圆的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （）到焦点的距离（焦半径），同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始 椭圆的简单几何性质（一） 池州第六中学 王超 教学目标 （一）教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点. （二）能力训练要求 1.使学生了解并掌握椭圆的范围. 2使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及a 、b 、c 的几何意义，明确标准方程所表示的椭圆的截距. 4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义. 教学重点 椭圆的简单几何性质. 教学难点 椭圆的简单几何性质. （这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的） 教学方法 师生共同讨论法. 通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确椭圆的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握椭圆的几何性质. 教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］前面，我们研究讨论椭圆的标准方程)0(122 22>>=+b a b y a x ，（焦点在x 轴上）或 )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在y 轴上）（板书） 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢？ 同学们知道，2008年的8月，中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会，一个多月后的9月25日，世界的目光再次投向中国，同学们知道是什么事吗？ （出示神七发射画片并解说）：2008年9月25日21时，“神舟七号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请 问： “神舟七号”载人飞船的运行轨道是什么？――对，是椭圆。 据有关资料报道，飞船发射升空后，进入的是以地球的地心为一个焦点，距地球表面近地点高度约２００公里、远地点约３４６公里的椭圆轨道。 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的？它们有几种形式？ 问题1：我们前面刚刚学习了椭圆的标准方程，同学们还记得椭圆的标准方程吗？它有几种形式 （板书）)0(12222>>=+b a b y a x )0(122 22>>=+b a b x a y （焦点在x 轴上） （焦点在y 轴上） 问题2：你想求出神七在宇宙中运行的椭圆轨道的标准方程吗？ Ⅱ.讲授新课 （板书标题）椭圆的几何性质 首先我们进入本节课的第一个环节 一、几何性质 ［师］我们不妨对焦点在x 轴的椭圆的标准方程. （板书）122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)进行讨论. 在解析几何里，我们常常是从两个方面来研究曲线的几何性质：一是由曲线的图像去“看”曲线的几何特征（以形辅数），同时又由曲线的方程来“证”明它（以数助形）。我们今天也用这种方法来研究椭圆的几何性质， 1.范围： ［师］所谓范围，就是指椭圆图象上的所有的点在什么约束范围内，也就是说椭圆上所有的点的纵、横坐标应该在哪个范围内取值。 那么，你能从椭圆的图形上看出椭圆上所有的点所在的范围吗？ ［师］请看，如果我们过椭圆与x 轴的两个交点作两条平行于y 轴的直线，再过椭圆与y 轴的两个交点作两条平行于x 的直线（出示幻灯片）。此时，你能说出椭圆的范围吗？ [生]在一个矩形中 ［师］这两组平行线所在的直线方程是多少？能从椭圆的标准方程中找出它来吗？ （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：椭圆的定义及几何性质
椭圆的第二定义及简单几何性质
椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用
2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
高中数学椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)
椭圆的标准方程及其几何性质(供参考)
椭圆的几何性质及综合问题汇总
第3讲 椭圆的定义及几何性质
椭圆方程及性质的应用
椭圆的简单几何性质(二)
2.2.2椭圆的几何性质
《椭圆的简单几何性质》教学反思.doc
椭圆几何性质及应用(基础题)
椭圆的定义及几何性质精编版
《椭圆的简单几何性质》听课实录.doc
椭圆的简单几何性质一教案
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
相关主题
文本预览