2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程
一椭圆的参数方程
1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>的椭圆的参数方程
为cos (sin x a y b ?
??=??=?
为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22
221(0)y x a b a b
+=>>的椭圆的参
数方程为cos (sin x b y a ?
??=??=?
为参数）
2、椭圆参数方程的推导
如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有
cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ?
??
=??=?为
参数）
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ
θθ
=??
=?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆
的参数方程cos (sin x a y b ?
??
=??
=?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点
(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋
转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化
可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。 ①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ???
=??
=?为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x y
a b ??==，可以
利用平方关系将参数方程中的参数?化去得到普通方程22
221(0)x y a b a b
+=>>
②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x y
a b
??==，从而将普通方程
化为参数方程cos (sin x a y b ?
??=??
=?
为参数，0)a b >>
注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2?π∈
②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
二、双曲线的参数方程
1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的双曲线的
参数方程为sec (tan x a y b ?
??
=??
=?为参数）
同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的双曲线
的参数方程为tan (sec x b y a ?
??
=??
=?为参数）
2、双曲线参数方程的推导
如图，
以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆
12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 和x 轴交于点'A ，
过圆2C 和x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 和直线OA 交于点'B 。过点','A B 分别作y 轴，
x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。
设Ox 为始边，OA 为始边的角为?，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ??。
所以(cos ,sin )OA a a ??=，'(cos ,sin )AA x a a ??=--，因为'OA AA ⊥，所以
'0OA AA ?=，从而2
cos (cos )(sin )0a x a a ???--=，解得cos a x ?=
，记
1
sec cos ??
= 则sec x a ?=。
因为点'B 在角?的终边上，由三角函数的定义有tan y
b
?=
，即tan y b ?=? 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ?
??=??=?
为参数）
这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。
3、双曲线的参数方程中参数?的意义
参数?是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2?π∈，且2,2
3
π
π
??≠
≠
4、双曲线的参数方程中参数?的意义
因为222
1sin 1cos cos ???
-=，即22
sec tan 1??-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化
① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ???
=??=?为参数）
，易得sec ,tan x y
a b ??==，可以利用平方关系将参数方程中的参数?化去，得到普通方程22
221(0,0)x y a b a b -=>>
② 在双曲线的普通方程22221(0,0)x y a b a b -=>>中，令sec ,tan x y
a b
??==，从而将普
通方程化为参数方程sec (tan x a y a ?
??
=??=?为参数）
三、抛物线的参数方程
1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2y px =(0)p >的参数方程为2
2(2x pt t y pt ?=?
=?
为参数）
同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线2
2(0)x py p =>的参数方程是2
2(2x pt t y pt
=??
=?为
参数）
2、抛物线参数方程的推导：如图
设抛物线的普通方程为2
2y px =(0)p >，其中p 表示焦点到准线的距离。设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角为α。当α在(,)22
ππ
-
内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 和之对应，故可取
α为参数来探求抛物线的参数方程。
由于点M 在α的终边上，根据三角函数的定义可得
tan y
x
α=，即tan y x α=，代入抛物线普通方程可得22tan (2tan p x p y ααα?=???
?=??
为参数） 这就是抛物线2
2y px =(0)p >（不包括顶点）的参数方程。如果令
1
,(,0)(0,)tan t t α=∈-∞+∞，则有22(2x pt t y pt ?=?
=?
为参数） 当0t =时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)
(0,)
t ∈-∞+∞时，参数方程就表示整条抛物线。
3、抛物线参数方程中参数t 的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点和原点连线的斜率的倒数。 四、例题：
例1、已知椭圆的参数方程为2cos (4sin x y ???
=??
=?为参数）
，点M 在椭圆上，对应的参数3π
?=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为____________.
解：当3π?=时，2cos 13
4sin 23
3x y ππ?
==????==??
故点M 的坐标为(1,23)，所以直线OM 的斜率为
23。
例2、已知椭圆的参数方程为4cos (4sin x y θ
θθ=??=?
为参数，R θ∈）
，则该椭圆的焦距为________.
解：由参数方程得cos 4
sin 5
x
y θθ
?=????=??将两式平方相加得椭圆的标准方程为
2211625x y += 所以焦距为225166-= 例3、O 是坐标原点，P 是椭圆3cos 2sin x y ??
=??
=?(?为参数）上离心角为6π
-所对应的点，那么
直线OP 的倾斜角的正切值是_________ 解;把?=6π
-
代入椭圆参数方程3cos 2sin x y ??
=??=?(?为参数）
，可得P 点坐标为33(1)2-，所以直线OP 的倾斜角的正切值是23
tan 933
?=
=- 例4、已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+??=+?为参数），28cos :(3sin x C y θ
θθ=??=?
为参数）
化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解：2
2
1:(4)(3)1C x y ++-=，2:
C 22
1649
x y +=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
例5、设M 为抛物线2
2y x =上的动点，定点0M (1,0)-，点P 为线段0M M 的中点，求点P 的轨迹方程。
解：设点(,)P x y ，令2y t =，则22
22y x t ==，得抛物线的参数方程为222x t y t
?=?=?，则动点2(2,2)M t t ，定点0M (1,0)-，由中点坐标公式知点P 的坐标满足方程组
2
1(12)2
1(02)2
x t y t ?=-+????=+?? 即212
x t y t ?=-+???=?(t 为参数） 这就是P 点的轨迹的参数方程。 消去参数化为普通方程是2
12y x =+
，它是以x 轴为对称轴，顶点为1
(,0)2
-的抛物线。
例6、在椭圆22
194
x y +=上求一点M ，使点M 到直线2100x y +-=的距离最小，并求出最小距离。
解：因为椭圆的参数方程为3cos (2sin x y ?
??=??
=?
为参数）
，所以可设点M 的坐标为(3cos ,2sin )??
由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为：
34
5(cos sin )10
3cos 4sin 1055
55d ?????+?-+-=
=01)105
??=-- 其中0?满足于0034
cos ,sin 55
??=
= 由三角函数的性质知，当00??-=时，d 5
093cos 3cos 5??==，082sin 2sin 5??==，因此，当点M 位于98
(,)55
时，点M 和
直线2100x y +-=5
例7、已知抛物线2
2(0)y px p =>，O 为坐标原点，,M N 是抛物线上两点且23
MN =
若直线,OM ON 的倾斜角分别为
2,33
ππ
，求抛物线方程。 解：设(,)M x y ，由抛物线参数方程可知22cot 3
2cot 3x p y p ππ?=????=??，即2323x p y p ?=????=??
故223(
)3p M p ，同理知223(,)3N p p ，因为23
MN =所以16p =
，得抛物线方程为2
13
y x = 例8、已知两曲线的参数方程分别为5sin x y θ
θ?=??=??(0)θπ≤<和25()4x t t R y t
?=?∈??=?，它们
的交点坐标为___________.
解：5cos sin x y θ
θ
?=??=??，表示椭圆221(5501)5x y x y +=-≤≤≤≤且 25()4x t
t R y t
?
=?∈??=?表
示
抛
物
线
24
5
y x =
，联立得
2
221(5501)545x y x y y x ?+=-≤≤≤≤???
?=??
且解得2
45015()x x x x +-=?==-或舍 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25
(1,
)5
例9、如图所示，
设M 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上任意
一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别和两渐近线交于A ，B 两点，试求平行四
边形MAOB 的面积。
解：双曲线的渐进线方程为b
y x a
=±
，不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为(sec ,tan )a b ??，则直线MA 的方程为tan (sec )b
y b x a a
??-=--
将b y x a =代入，解得点A 的横坐标为(sec tan )2
A a
x ??=+
同理可得，点B 的横坐标为(sec tan )2
B a
x ??=-，设AOx α∠=
则，tan b
a
α=，所以平行四边形MAOB 的面积为
sin 2sin 2cos cos A B MAOB x x
S OA OB αααα
=??=??
222222
(sec tan )sin 2tan 4cos 222
a a a
b ab
a ??ααα-=?=?=?= 直角坐标系，,A B 是抛物线
例10、如图所示，O 是
22(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，OM AB ⊥并和AB 相交于点M ，
求点M 的轨迹方程。
解：根据条件，设点M ，A ，B 的坐标分别为22
1122(,),(2,2),(2,2)x y pt pt pt pt
1212(,0)t t t t ≠?≠且，则 211(,),(2,2)OM x y OA pt pt ==，222(2,2)OB pt pt = 222121(2(),2())AB p t t p t t =--，
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ?=
即：22
121212(2)(2)01pt t p t t t t +=∴=-①，
因为OM AB ⊥，所以0OM AB ?=，即22
21212()2()0px t t py t t -+-=，所以
12()0x t t y ++=，即()120y
t t x x
+=-
≠② 因为221122(2,2),(2,2)AM x pt y pt MB pt x pt y =--=--，且,,A M B 三点共线，
所以 22
1212(2)(2)(2)(2)x pt pt y y pt pt x --=--
化简得 1212()20y t t pt t x +--=③
将①②代入③，得到()20y y p x x
-+-=，即轨迹方程22
20(0)x y px x +-=≠。 随堂练习
1、一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km ，短轴长为15443km ，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。 解：1556515443
7782.5,7721.522
a b =
=== 所以参数方程为7782.5cos 7721.5sin x y θ
θ=??
=?
2、已知椭圆22
221x y a b +=上任意一点M （除短轴端点外）和短轴两端点12,B B 的连线分别和
x 轴交于,P Q 两点，O 为椭圆的中心，求证：OP OQ ?为定值
解：设(cos ,sin )M a b θθ，12(0,),(0,)B b B b - 直线1MB 方程：sin cos b b y b x a θθ++=?，令0y =，则cos sin 1
a x θ
θ=+
所以cos sin 1
a OP θθ=
+
直线2MB 方程：sin cos b b y b a θθ--=
x ?，令0y =，则cos 1sin a x θ
θ
=-
所以cos 1sin a OQ θθ=- 所以OP OQ ?222
2
cos 1sin a a θθ
==- 即OP OQ ?为定值。
3、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。
证明;设2
2
2
x y a -=是等轴双曲线，(sec ,tan )P a a ??是双曲线上任意一点，它到两渐近线y x =±的距离分别是12sec tan sec tan 2
2
a a a a d d ??
??
-+=
=
所以22222
12sec tan 2
2
a a a d d ??
-?=
=是常数。 4、经过抛物线2
2(0)y px p =>的顶点O 任作两条互相垂直的线段OA OB 和，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程。 解：设OA 方程：y kx =，则OB 方程：1y x k
=-
由2
2y kx
y px
=??
=?，求得2
22(
,)p p A k k
，同理可得2
(2,2)B pk pk - 所以AB 中点M 的参数方程为
2
2
22221()2(221()
2p pk
k x p k k
k p
pk
k y p k k
?
+?==+????-?==-??为参数）
5、设曲线2cos (3x y θ
θθ
=???
=??为参数）和x 轴交点为M N ，。点P 在曲线上，则,PM PN 所在直线的斜率之积为（） A 、34-
B 、43-
C 、34
D 、43
解：曲线的普通方程为22
143
x y +=，和x 轴的交点坐标为(2,0),(2,0)-，又设曲线上任意一点(2cos 3)P θθ，
则,PM PN 的斜率的积为222
(3sin )3sin 3
4(cos 1)4
MP NP
k k θθθ?===-- 选A
6、过点(3,2)-且和曲线3cos (2sin x y ?
??
=??
=?为参数）有相同焦点的椭圆的方程是（）
A 、
2211510x y += B 、222211510x y += C 、2211015x y += D 、22
2211015
x y += 解：曲线3cos (2sin x y ???
=??=?为参数）的普通方程为22
194x y +
=，把点(3,2)-代入选项可知应选A 。再验证一下焦点是否为(5,0) 7、中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为
1
2
的椭圆方程是（） A 、2cos sin x y θθ=??
=? B 、32sin x y θθ?=??=?? C 、2cos 3x y θθ
=???=?? D 、cos 2sin x y θθ=??=?
解：由2
412
a c
c a ?=????=
?? 解得21a c =??=?，选C
8、椭圆3cos (5sin x y ?
??
=??
=?为参数）的两个焦点坐标是（）
A 、(0,3),(0,3)-
B 、(0,4),(0,4)-
C 、(4,0),(4,0)-
D 、(3,0),(3,0)-
解：由椭圆3cos (5sin x y ?
??
=??=?为参数）
，可知225,3,4a b c a b ===-=，且焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,4),(0,4)-，选B 。
9、点(1,0)P 到曲线2
2x t y t
?=?=?（其中，参数t R ∈）上的点的最短距离是（）
A 、0
B 、1
C 2
D 、2
解：方程22x t y t
?=?=?表示抛物线2
4y x =的参数方程，其中2p =，设点(,)M x y 是抛物线上
任意一点，则点(,)M x y 到点(1,0)P 的距离2
2
2(1)2111d x y x x x =-+=++=+≥
所以最短距离为1 ，选B 。
10、双曲线3tan (1cos x y ???=??
?=??
为参数）的两条准线方程分别是__________.
解：双曲线的普通方程为2
2
19
x y -=，所以双曲线的焦点在y 轴上，且中心在原点，对称轴为x 轴，y 轴，所以两条准线方程为2
a y c
=±，且221,3,10a b c a b ===+=，所
以准线方程为1010
y =±
。 11、椭圆2cos sin x y θ
θ
=??
=?中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程是__________
解：设斜率为1的平行弦的方程为y x b =+，代入椭圆方程2
214x y +=可得。2
2
58440x bx b ++-=，所以方程的两根12,x x 满足1285
b
x x +=-，212445b x x -=，则
中点(,)M x y 满足12425
5x x b x b y x b +?
==-????=+=
??
消去b 得到40x y +=（椭圆内部分），即为斜率为
1的平行弦的中点轨迹方程。
第二节 直线的参数方程
一、知识点;
1、 经过点000(,)M x y ，倾斜角为α()2
π
α≠
的直线l 的普通方程是00tan ()y y x x α-=-
如图所示
在直线l 上任取一点(,)M x y ，则
00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--
设e 是直线l 的单位方向向量（单位长度和坐标轴的单位长度相同），则
[)(cos ,sin ),(0,)e αααπ∈
因为0M M
e ，所以存在实数t R ∈，使0M M te =，即
00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=
于是00cos ,sin x x t y y t αα-=-=，即00cos ,sin x x t y y t αα=+=+ 因此，经过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos (sin x x t t y y t α
α=+??
=+?
为参数） 2、 因为(cos ,sin ),1e e αα=∴=，由0M M te =，得到0M M t =，因此，直线上的动
点M 到定点0M 的距离，等于00cos (sin x x t t y y t α
α=+??
=+?
为参数)中参数t 的绝对值。
3、 当0απ<<时，sin 0α>，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上。此时，
若0t >，则0M M 的方向向上；若0t <，则0M M 的方向向下；若0t =，则点M 和点0M 重合。
4、直线的一般参数方程转化为标准的参数方程
已知直线的参数方程为00(x x at
t y y bt =+??=+?为参数），由直线的参数方程的标准形式
00cos (sin x x t t y y t α
α
=+??
=+?为参数）可知，参数t 的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为22
022
220
22(x x a b t a b t y y a b t a b ?=+?+?
?
?=++?+?
为参数） 再令2
2
2
2
cos a b
a b
αα=
=
++，由直线倾斜角的范围让α在[)0,π范围内取值，
并且把
22a b +t 看成标准方程中的参数't ，即得标准形式的参数方程式为
00'cos (''sin x x t t y y t α
α
=+??
=+?为参数）
5、直线参数方程的使用
设过点000(,)P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos (sin x x t t y y t α
α
=+??
=+?为参数）
若12,P P 是l 上的两点，它们所对应的参数分别为12,t t ，则
（1）12,P P 两点的坐标分别是0101(cos ,sin )x t y t αα++，0202(cos ,sin )x t y t αα++ （2）1212PP t t =-
（3）线段12P P 的中点P 所对应的参数为t ，则12
2
t t t +=
，中点P 到定点0P 的距离12
02
t t PP t +==
（4）若0P 为线段12P P 的中点，则120t t +=
（5）曲线上有两点A ，B 关于直线y kx b =+对称，可设AB 中点为0(,)M a ka b +，则直
线AB 的参数方程为cos sin x a t y ka b t αα
=+??=++?，其中sin 1cos k αα=-，再利用120t t +=解之。
二、例题
例1、直线22(32x t
t y t
?=-??
=+??为参数）上和点(2,3)P -2的点的坐标是_________ 22222t t +，解得2
2
t =±，代入可得(3,4)-或(1,2)- 例2、直线l 过点0(1,5)M ，倾斜角为3
π
，且和直线30x y --=交于M ，则0MM 的长为-_________
解：直线l 的方程为1235t x y ?=+??
??=+??代入230x y --=，解得0MM =1063t =+例3、已知直线l 的斜率1k =-，经过点0(2,1)M -，点M 在直线上，以0M M 的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为__________.
解：由参数t 的几何意义可知，直线的参数方程可以写成标准形式00cos sin x x t y y t θ
θ
=+??=+?(t 为参
数）其中θ为直线的倾斜角。
因为直线的斜率为1-，所以直线的倾斜角0
135θ=，所以22cos ,sin 22
θθ=-
= 所以直线l 的参数方程为2
2(21x t y ?=????=-+??为参数） 例4、设曲线C 的参数方程为23cos (13sin x y θ
θθ
=+??
=-+?为参数）
，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 到直线l 的距离为
10
10
的点的个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
解：由曲线C 的参数方程得对应的圆的圆心坐标为(2,1)C -，半径3r =，那么C 到直线
320x y -+=的距离22
23(1)2710
1(3)d -?-+=
=
+-l 和曲线C 相交，结合图像可知C 上到l 距离为
710
10
的点有2个。 例5、设极点和原点重合，极轴和x 轴正半轴重合。已知曲线1C 的极坐标方程是
2sin()(0)42k k π
ρθ-=≠，曲线2C 的参数方程为22cos (2sin()2
x y α
θπ
θ=+??
?=-??为参数），则两曲线公共点的个数为_________
解：将两曲线方程化为直角坐标方程，得1:10C kx ky --=，2:20C x y --=，两直线平行或重合，所以公共点的个数为0或无数。填：0或无数 例6、已知直线:34120l x y +-=和圆12cos :22sin x C y θ
θ
=-+??=+?(θ为参数）
，试判断它们的公共点的个数
解：圆的方程可化为2
2
(1)(2)4x y ++-=，其圆心为(1,2)C -，半径为2，圆心到直线的距离为22
32412
7
25
34d -+?-=
=
<+，所以直线和圆相交，交点个数为2. 例7、设直线1l 过点(2,4)A -，倾斜角为
56
π
（1）求1l 的参数方程；（2）设直线2:10l x y -+=，2l 和1l 的交点为B ，求AB
解：（1）由题意得52cos 6(54sin 6x t t y t ππ?=+????=-+??为参数），即322(142
x t t y t
?=-????=-+??为参数）
（2）点B 在1l 上，只要求出B 点对应的参数t ，则t 就是点B 到点A 的距离，把1l 的参数方程代入2l 中，得 31(2)(4)102t --++=，317+=，即7(31)31
t ==+，t 为正值，根据参数的几何意义，知7(31)AB =
例8、直线122x t y t =+??=+?(t 为参数）和圆3cos 3sin x y θ
θ
=??=?(θ为参数）交于A ，B 两点，求AB 的
长
解：若求AB 的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数
方程化为普通方程。由圆的参数方程3cos 3sin x y θθ
=??
=?知圆的普通方程为22
9x y +=
所以将直线方程122x t y t
=+??=+?代入圆的方程，得22
(12)(2)9t t +++=
即2
5840t t +-=，所以由121284,55
t t t t +=-=- 知2212121264805
215()45
255
AB t t t t t +=
+-=+-== 例9、已知点(,)p x y 是圆2
2
(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，求c 的取值范围
解：圆2
2
(1)1x y +-=的参数方程为cos 1sin x y θ
θ
=??
=+?，
则有1sin cos 12)4
x y π
θθθ+=++=++
()12)4
x y π
θ-+=--+，()x y -+的最大值为12-由于0x y c ++≥恒成
立，即12c ≥-+
例10、在圆2
2
42200x y x y +---=上求两点,A B ，使它们到直线43190x y ++=的距离分别最短和最长。
解：将圆的方程化为参数方程25cos (15sin x y θ
θθ
=+??
=+?为参数）
，则圆上点P 的坐标为(25cos ,15sin )
θθ++，它
到
所
给
直
线
的
距
离
为
2
2
20cos 15sin 30
4cos 3sin 6
43
d θθθθ++=
=+++43665(cos sin )5cos()5555θθ?θ=?++=-+，其中43cos ,sin 55
??==。故当
cos()1?θ-=，即?θ=时，d 最长，这时，点A 的坐标为(6,4)；当cos()1?θ-=-，
即θ?π=-时，d 最短，这时，点B 的坐标为(2,2)--
例11、已知直线:10l x y -+=和抛物线2
y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的长和点
(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积
解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为
34
π
，所以它们的参数方程是 31cos 4(32sin 4x t t y t ππ?
=-+????=+??为参数）即212(222
x t y ?=--????=+??为参数）
把它代入抛物线的方程，得2
220t t -=，解得12210210
t t -+--=
= 由参数的几何意义得 1210AB t t =-=122MA MB t t ?==
例12、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆
22
1164
x y +=于A ，B 两点。如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程
解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos (1sin x t t y t α
α=+??=+?
为参数）
代入椭圆方程，整理得
2
2
(3sin 1)4(cos 2sin )80t t ααα+++-=
由t 的几何意义知1MA t =，2MB t =，因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，
所以122
4(cos 2sin )
3sin 1t t ααα++=-+，因为点M 为线段AB 的中点，所以1202
t t += 即 cos 2sin 0αα+=，于是直线的斜率为1
tan 2
k α==-，因此，直线l 的方程是
1
1(2)2
y x -=--，即240x y +-=
三、练习题
1、直线3490x y --=和圆2cos 2sin x y θ
θ
=??
=?(θ为参数）的位置关系是（）
A 、相切
B 、相离
C 、直线过圆心
D 、相交但直线不过圆心 解：因为22
0099
25
34d r --=
=
<=+，所以直线和圆相交，选D 2、经过点(1,5)M 且倾斜角为3
π
的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是（）
A 、11235x t y ?=+????=??
B 、11235x t y ?=-????=??
C 、11235x t y ?=-????=??
D 、11235x t y ?=+????=??
解：根据直线参数方程的定义，易得1cos 35sin 3x t y t ππ?=+?????=+???，即11235x t y ?=+????=+??选D
3、参数方程1(2
x t t t y ?
=+
???=-?为参数）所表示的曲线是（）
A 、一条射线
B 、两条射线
C 、一条直线
D 、两条直线 解：因为(][)1,22,x t t
=+∈-∞-+∞，即2x ≤-或2x ≥，故是两条射线。B
4、曲线cos (sin x y θ
θθ
=??
=?为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）
A 、
1
2
B 、22
C 、1
D 2
解：由题意得cos sin d θθ=+，下面只解0,
2πθ??∈????的情况，其他情况类似，当0,2πθ??
∈????
时，cos sin 2)4
d π
θθθ=+=
+2，选D
5、曲线方程22cos (2sin x y θ
θθ
=+??
=?为参数）上的点和定点(1,1)A --距离的最小值是______
解：最小距离[]
2
22(1)12102d =
--+=
6、对任意实数k ，若直线y kx b =+和圆32cos 12sin x y θ
θ
?=??=+??(02)θπ≤<恒有公共点，则b
的取值范围是________
解：由题意得点(0,)b 恒在圆内，由[]12sin 1,3y θ=+∈-，则[]1,3b ∈- 7、设直线l 经过点0(1,5)M 、倾斜角为3
π （1）求直线l 的参数方程；
（2）求直线l 和直线30x y --=的交点到点0M 的距离； （3）求直线l 和圆2
2
16x y +=的两个交点到点0M 的距离的和和积
解：（1）直线l 的参数方程为11235x t y ?=+??
??=+??(t 为参数）
（2）将直线l 的参数方程中的,x y 代入230x y --=，得(1063)t =-+，所以，直线
l 和直线30x y --=的交点到点0M 的距离为1063t =+（3）将直线l 的参数方程中的,x y 代入22
16x y +=，得2(153)100t t +++=
设该方程的两根为12,t t ，则1212(153),10t t t t +=-+=，可知12,t t 均为负值，所以
1212()153t t t t +=-+=+0M 的距离的和为13+10.
8、已知经过点(2,0)P ，斜率为43
的直线和抛物线2
2y x =相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点M ，求点M 的坐标。
解：设过点(2,0)P 的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得34cos ,sin 55
αα== 所以 ，直线的参数方程为
325
(45x t t y t ?=+???
?=??
为参数）代入22y x =，整理得2815500t t --= 中点M 的相应参数是1215216t t t +=
=，所以点M 的坐标为413
(,)164
9、经过点(2,1)M 作直线交双曲线2
2
1x y -=于A ,B 两点，如果点M 对线段AB 的中点，求直线AB 的方程。
解：设过点(2,1)M 的直线AB 的参数方程为
2cos (1sin x t t y t α
α
=+??
=+?为参数）代入双曲线方程，整理得
2
2
2
(cos sin )2(2cos sin )20t t αααα-+-+=，设12,t t 为上述方程的两个根，则
1222
4cos 2sin cos sin t t αα
αα
-+=
-，因为点M 为线段AB 的中点，由t 的几何意义知120t t += 所以4cos 2sin 0αα-=，于是得到tan 2k α==，因此，所求直线的方程为 12(2)y x -=-，即230x y --=
10、经过抛物线2
2(0)y px p =>外一点(2,4)A --且倾斜角为0
45的直线l 和抛物线分别交
于12,M M ，如果1122,,AM M M AM 成等比数列，求p 的值。
解：直线l 的参数方程为2
22(242
x t y ?
=-+??
?
?=-+??为参数），代入2
2(0)y px p =>，得到
22(4)8(4)0t p t p -+++=，
由根和系数的关系，得到121222(4),8(4)t t p t t p +=+=+ 因为2
12
12M M AM AM =?，所以2121212()t t t t t t -=?=，即51212()5t t t t +=
所以2
22(4)58(4)p p ??+=?+??
，即451p p +=∴=
曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化
参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________. 3．曲线C 的参数方程为? ???? x ＝sin θ， y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋1 2t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2 ＋y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________
一、 空间曲线的参数化 若积分曲线Γ的参数方程 ],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x Γ，：,则曲线积分的计算公式为 ??'=++β α)())(),(),(({d d d t x t z t y t x P z R y Q x P Γ }d )())(),(),(()())(),(),((t z t z t y t x R t y t z t y t x Q '+'+ ],[d )()()())()()((d )(222βαβ α ∈'+'+'=?? t t t z t y t x t ,z t ,y t x f s x,y,z f Γ ， 曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。 1. 设积分曲线???==0 ),,(0),,(z y x G z y x F Γ：,从中消去某个自变量,例如z ，得到Γ在 xoy 平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(t y y t x x ==然后将它们代入0),,(0),,(==z y x G z y x F 或中，解出)(t z z =由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(βα∈===t t z z t y y t x x ，。 例1将曲线???==++y x a z y x Γ2222：，(其中0>a )用参数方程表示。 解：从Γ的方程中消去y ，得到xoz 平面上的投影曲线2 222a z x =+,这是椭圆， 它的参数方程为]2,0[,sin ,cos 2 π∈== t t a z t a x ，将其代入Γ的方程，得到第七讲 曲线积分与曲面积分
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)
空间曲线方程不同形式间的转化技巧 李晶晶 摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式， 它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主 要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性． 关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve Equation Li Jingjing (20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution． Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution 1引言 空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1] 空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．
二、《曲线的参数方程》教案 时间：2 授课班级：高二（8）班 一、教学目标: 理解参数方程的概念；掌握参数方程化为普通方程的几种常见 的方法；会选取适当的参数化普通方程为参数方程。 二、重点、难点：能选择适当的参数写出曲线的参数方程，参数方程与普通方程 的互化和互化的等价性。 三、课时安排：1课时 四、教学过程 （一）创设情境 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻 力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物 资？ （二）探索研究导出新概念 1、参数方程的定义： 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的 函数② ???==) ()(t g y t f x ， 并且对于t 的每一个允许值，由方程组②所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 例1 已知曲线C 的参数方程是???+==1 232t y t x （t 为参数）. (1)判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系； (2)已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值； (3)将参数方程化为普通方程，并判断曲线C 表示什么图形。 2、参数方程和普通方程的互化： （1）参数方程通过消元法消去参数化为普通方程 例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
第五讲 空间曲线参数方程 一、求空间曲线(,,)0(,)0 F x y z G x y =ìG í=?：的参数方程 方法1；若把(,)0G x y =看做xoy 平面上的曲线方程，其参数方程已知，再将他们代入方程(,,)0F x y z =中，解出z ，就可以得到空间曲线G 的参数方程． 例1．设空间曲线2222 222x y z a x y b ì++=G í+=?：，()0a b 3>，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2222x y z a ++=与圆柱222x y b +=的交线，由圆周222x y b +=的参数方程得到 cos sin x b t y b t =ìí=?，(02)t p ￡￡ 将222x y b +=代入球面方程得到222z a b =-， 于是交线方程为 cos sin x b t y b t z =ì?=í?=?． 方法2：把变量x ，y 之一看作参数，如另x t =，由(,)0G x y =解出y ，再将它们代入方程(,,)0F x y z =，解出z 即可得到空间曲线G 的参数方程． 例2．设空间曲线2222259 x y z x y ì++=G í+=?：，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2225x y z ++=与平面429x y +=的交线，它是空间平面429x y +=上的一个圆周． 以t 为参数，令x t =，则由平面方程得到 922y t =-， 将x ，y 代入球面方程得 22229615(2)18524 z t t t t =---=--， 即 z =U n R e i s t e r e d
由26118504t t --3，得到 18181010 t +￡￡， 因此空间曲线参数方程为922x t y t z ì?=??=-í??=?? ． 例3．设空间曲线2229x y z y z ì++=G í=? ：，求其参数方程． 解：将y z =代入方程222 9x y z ++=中，得 2229x z += 该椭圆参数方程为 x t =，3sin z t =，(02)t p ￡￡ 于是空间曲线的参数方程为 3sin x t y t z t ì=???=í??=??， (02)t p ￡￡． 例4． 设空间曲线222(1)(1)40x y z z ì+++-=G í=?：，求其参数方程． 解：因为0z =，则22(1)3x y ++=， 令1x t =- ，y t =，于是得参数方程为 10x t y t z ì=-+??=í?=?? (02)t p ￡￡， 例5．设空间曲线22290 x y z x y z ì++=G í++=?：，求其参数方程． U n R e g i s t e r e d
曲线的参数方程 【学习目标】 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】 要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x,都是某个变数t的函数， 即 () ........... () x f t y g t = ? ? = ? ①， 并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,) M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0 F x y=，叫做曲线的普通方程。 要点诠释： （1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释： 普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与
参数方程的概念 参数方程的概念： 一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t 的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称为参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 参数方程和普通方程的互化： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则，互化就是不等价的。 （1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种： ①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去． (2)普通方程化为参数方程需要引入参数． 如：①直线的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程 ②在普通方程xy=1中，令可以化为参数方程 关于参数的几点说明： (1)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． (2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同． (3)在实际问题中要确定参数的取值范围． 参数方程的几种常用方法：
方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定，要选择恰当的方法消参，并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题．常用的消参技巧有加减消参，代人消参，平方消参等． 方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义． 方法3参数方程问题的解决方法：解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式进行解题． 方法4利用圆的渐开线的参数方程求点：利用参数方程求解点时只需将参数代入方程就可求得。 方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式 ，可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代人参数方程求出r值再代人参数方程的表达式． 柱坐标系与球坐标系 柱坐标系的定义： 建立空间直角坐标系Oxyz，设P（x，y，z）是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，Q点的极坐标为（ρ，θ），则P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）表示，（ρ，θ，z）叫做点P的柱坐标。 （1）柱坐标转化为直角坐标： （2）直角坐标转化为柱坐标：。 球坐标系的定义： 建立空间直角坐标系Oxyz，设P（x，y，z）是空间任意一点，记|OP|=r，OP与Oz轴正向所夹的角为j，点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，则P的位置可用有序数组（r，j，θ）表示，（r，j，θ）叫做点P的球坐标。
曲线的参数方程 编稿：赵雷审稿：李霞 【学习目标】 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】 要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x,都是某个变数t的函数， 即 () ........... () x f t y g t = ? ? = ? ①， 并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,) M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0 F x y=，叫做曲线的普通方程。 要点诠释： （1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释： 普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解． 解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
高中数学学案：常见曲线的参数方程 基础诊断 1. 方程 ???x ＝ t ，y ＝ 3t 3 (t 为 参 数 ) 表 示 的 曲 线 是 ________________________________________________________________________． 2. 直线???x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线???x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________． 3. 参数方程???x ＝3t 2＋2， y ＝t 2 －1 (t 为参数),且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)
①线段；②双曲线；③圆弧；④射线． 4. 直线?????x ＝1＋1 2t ，y ＝－33＋3 2t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点,则AB 的中点坐标为 ________． 范例导航 考向 例1 (1) 将参数方程??? ??x ＝2? ?? ??t ＋1t ，y ＝4? ?? ??t －1t (t 为参数)化为普通方程； (2) 将参数方程???x ＝2sin θ， y ＝1＋2cos 2 θ(θ为参数)化为普通方程． 在曲线C 1：???x ＝1＋cos θ， y ＝sin θ (θ为参数)上求一点,使它到直线C 2：?????x ＝－22＋1 2t ，y ＝1－12t (t 为参数)
的距离最小,并求出该点的坐标和最小距离． 考向 例2已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α＝6. (1) 写出直线l的参数方程； (2) 设直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点,求点P到A、B两点的距离之积． 点P(x,y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点,求x＋2y的最大值．
第二讲 参数方程 2.1 曲线的参数方程 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点． （二）学习目标 1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义． 2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义． 3．掌握基本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用． （三）学习重点 1．参数方程的概念． 2．圆的参数方程及其应用． 3．参数方程与普通方程的互化． （四）学习难点 1．参数方程与普通方程的互化的等价转化． 2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第21页至第26页，填空： 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数： ???==) ()(t g y t f x ① 且对于t 的每一个允许值，由方程组①确定的点)(y x M ，都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标y x ,之间关系的方程0)(=y x f ，叫普通方程．
（2）想一想：参数方程与普通方程如何转化？ 一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数y x ,中的一 个与参数t 的关系，例如)(t f x =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系)(x g y =，那么就是曲线的参数方程． （3）写一写：圆的一般参数方程是什么？ ①圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数); ②圆心在),(b a ,半径为r 的圆的参数方程为(θ为参数). 2．预习自测 （1）方程??? x ＝1＋sin θ y ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( ) A.(1,1) B.)2 1,23( C.)2 3,23( D.)2 1 ,232( -+ 【知识点】参数方程的定义 【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C 满足题意 【思路点拨】根据参数方程的定义求解 【答案】C ． （2）下列方程：①??? x ＝m ，y ＝m .(m 为参数) ②??? x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数) ③??? x ＝1， y ＝2.④x ＋y ＝ 0中，参数方程的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【知识点】参数方程的定义 【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程 【思路点拨】由参数方程的定义求解 【答案】A （3）参数方程??? x ＝cos α， y ＝1＋sin α (α为参数)化成普通方程为_______________.
21《参数方程的概念--曲线的参数方程》教案(新人教选修4-4
曲线的参数方程 教学目标 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 教学重点与难点 曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立． 教学过程 师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线? 生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线． 师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法． (师板书——⊙O:) 师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？ 生：…… 师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？ （计算机演示动画，如图３－１）
师：驱使Ｍ运动的因素是什么？ 生：旋转角θ. 师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？ 生： 师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？ 生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数） （生３叙述，师板书） 师：①式是⊙Ｏ的方程吗？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程. 师：请说明理由. 生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知，显然满足方程①； （２）任取, 由①得即M（）． 所以．