现代数值计算方法习题答案
习 题 一
1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以
有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此
49×10
-2
：E = 0.005； r E = 0.0102； 2位有效数字.
0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：
7
22 = 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ，
取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.
E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E =
14
.3E = 14
.30013.0 = 0.00041.
3、解：101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |)
1(10
1
21--??=n < =
2
1× 10
-4
, 解之得n > = 5，所以 n = 5 .
4、证：)
()(1)()(1)(*
1
1*
*
1
1
*
*
x x x n
x E x n
x E n n
n
-=
≈
--
)(11)()(1)
()(*
*
*
*
*
1
1
**
*
*
x E n
x
x x n
x
x x x n
x
x E x E r n
n n
n n r =
-=
-≈
=
-
5、解：(1)因为=20 4.4721…… ，
又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47.
(2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |)
1(10
4
21--??=
n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47.
6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 cm .
记*y 为y 的近似值，则
)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =-=-= < = 0.1，
所以)(*x E < = 0.005 cm .
7、解：因为)()(*1x x nx x E n n -≈-, 所以n x nE x
x x n
x
x E x E r n
n
n
r 01.0)()()(*
==-≈=
.
8、解：
9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =-≈-= t
t E gt
t t gt S
S S S E r )(22
/)()(2
*
*
=
-≈
-=
由上述两式易知，结论.
10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.
11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形. 12、解： 因为2
0=x ,41.1*0
=x ,所以|*
00x x -| < = δ=?-2102
1
于是有
|*11x x -| = |110110*0
0+--x x | = 10|*
00x x -| < =δ10 |*
22x x -| = |110110*11+--x x | = 10|*11x x -| < =δ210
类推有 |*
1010x x -| < =8
1010
2
110?=
δ
即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的
误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.
习 题 二
1、 解：只用一种方法.
（1）方程组的增广矩阵为：
??????????----111144
2
3
243112
→ ???????
???----10104111
01110
112
→ ???
?
?
??
?
??---110410
1110
112
→ 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：
??????????------0172
3
2
221413
→ ???????
???--2472
1
250413
→ ????
?
??
???--1472
250413
→ 21=x , 12=x , 2/13=x .
（3）适用于计算机编程计算.
2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得
611=u 212=u 113=u 114-=u
3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l 6/1/114141-==u a l
第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得
3/1012212222=-=u l a u 3/213212323=-=u l a u 3/114212424=-=u l a u 5/1/)(2212313232=-=u u l a l 10/1/)(2212414242=-=u u l a l
第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得
10/37233213313333=--=u l u l a u 10
/9243214313434-=--=u l u l a u
37
/9/)(33234213414343-=--=u u l u l a l
第四步：计算U 的第四行，得
370
/9553443244214414444-=---=u l u l u l a u
从而， ?????????
???----3101
14110
142
1126 =
?????
??
???
??--137
/910
/16
/1015/16/10013/10001?
?
??
?
???????---370/9550
10/910/37003
/13/23/1001
126
由b LY = , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断. 11a ＝ 3 > 0,
2
2
23= 2 > 0, 3
1
022
1
23 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：
3
11=
l 33221=
l 3
622=
l
3
331=
l 3
632-=l 2
33=
l
因此， L ＝???????
?????
?
???-
23
63
303633
2003. 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
3
35，
3
6，2）T .
第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .
（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断.
11a ＝ 3 > 0,
2
2
23= 2 > 0, 12
3
022
3
23 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：
3
11=
l 3
3221=
l 3622=
l 331=
l 632-=l 3
33=
l
因此， L ＝????
?
????
???-
36
303633
2003 . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （3
35，66-
，
3
3）T
.
第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，2
1，3
1
）T .
4、解： 对1=i , 2111==a d ； 对2=i , 121-=t , 2
121-
=l , 2
52-
=d ；
对3=i , 131=t , 2
732=
t ,2
131=l , 5
732-=l ,5
273=
d .
所以数组A 的形式为：
???????
?
????????
---
=5275
72
10252100
2A
求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，5
69
）T .
求解方程组DL T X = Y . 解得X = （
9
10，
9
7，
9
23）T .
5、解：（1）设A = LU =
???????
?????????1010
000000
001
00
1
0015
432l l l l
???????
???????
??543
21
060
0000000600006006u u u u u
计算各元素得： 51=u , 5
12=
l , 19
52=
u , 19
53=
l , 19
653=
u ,
65
194=
l , 65
2114=u , 211655=
l , 211
6655=
u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （1，5
1-
，19
1，65
1-，
211
212）T . 求解方程组UX = Y . 解得X = （
665
1509，
665
1145，
665
703，665
395-
，
665
212）T .
（2）设A = LU = ????
?
?????10
01001
3
2l l ????
?
?????321
1001u u u 计算各元素得：51=u ，5
12=l ，5
242=u ，24
53=
l ，24
1153=
u .
求解方程组LY = d . 解得Y = （17，5
53，
24
115）T
.
求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T .
6、证：（1）（2）相同.
因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应
的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：
7
107271)
(3
)
(2)
1(1
+
--=+k k k x x x
14141)
(3)
(1)1(2+--=+k k k x x x
3
2
9292)
(2
)(1
)1(3
+-
-
=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：
7107271)
(3)
(2)
1(1
+
-
-=+k k k x x x 14
141)
(3
)
1(1)1(2+--=++k k k x x x
3
29
29
2)
1(2
)
1(1
)1(3
+
-
-
=+++k k k x x x
（2）雅可比迭代公式：
54515
2)
(3)
(2)
1(1
+
-
=
+k k k x x x
52
5
35
1)
(3
)
(1
)
1(2+
+-=+k k k x x x 5115152)
(2
)
(1
)
1(3
+
+
=+k k k x x x
高斯－赛德尔迭代公式：
5
45
15
2)
(3)
(2)
1(1
+
-
=
+k k k x x x
525
35
1)
(3
)
1(1
)
1(2++-=++k k k x x x 5
115
15
2)
1(2
)
1(1
)
1(3
+
+
=+++k k k x x x
7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相
应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
(2) 雅可比迭代法：
写出雅可比迭代法公式：
5
125
152)
(3
)
(2
)
1(1
-
--=+k k k x x x 5
214
1)
(3)
(1)
1(2+-
=+k k k x x x
10
310
35
1)
(2
)
(1
)
1(3
+
+
-
=+k k k x x x
取)0(x = （－3，1，1）T ，迭代到18次达到精度要求,
)
18(x
= （－3.999，2.999，1.999）T .
高斯－赛德尔迭代法：
写出高斯－赛德尔迭代法公式：
5
125152)
(3)
(2
)
1(1
-
--=+k k k x x x
5
214
1)
(3)1(1)1(2+-
=++k k k x x x
10
310
35
1)
1(2
)
1(1
)
1(3
+
+
-
=+++k k k x x x
取)0(x = （－3，1，1）T ，迭代到8次达到精度要求,
)8(x
= （－4.000，2.999，2.000）T .
8、SOR 方法考试不考。
9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：
?????
?????
??-----=+-=-03
23
1001
100)(1
U L D B J , λ
λ
λλ3
23
10
1
10----=-J B I
解得1)(>=J B ρ,所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：
???
?
??????----=+-=-10
100100)(1U L D M , 1
01010---=-λλλ
λM I
求得021==λλ，13=λ，则1)(=M ρ , 所以高斯-赛德尔迭代法不收敛. 10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：
??????
????????
----=+-=-02
12
1101
212
10
)(1
U L D B J , λ
λ
λλ2
12
11
1
2
12
1-
-
-
=-J B I
求得01=λ，i 2
52=
λ，i 2
53-
=λ，则1)(=J B ρ ,
所以雅可比迭代法不收敛.
高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：
??
???
??
?
?????
??
?--=+-=-434
1021210
2
12
10)(1
U L D M , 4
34
10
21
2
102
12
1-
---=-λλλλM I
求得2
121-
==λλ，03=λ，则1)( 11、证明：当 - 0.5 < a < 1 时，由 1 1a a = 1 - a 2 > 0 , 1 11a a a a a a = (1 - a )2(1 + 2a ) > 0 , 所以A 正定. 雅可比迭代矩阵B J ＝??? ? ? ?????------000a a a a a a ，所以， |BJ I -λ| = λ λλa a a a a a = )2()(232233a a a a +-=+-λλλλ 所以， |2|)(a B J =ρ , 故当-0.5 < a < 0.5 时，雅可比迭代法收敛。 12、解： ∞A ＝ max {0.6+0.5,0.1+0.3} = 1.1； 1A ＝ max {0.6+0.1,0.5+0.3} = 0.8； F A ＝09.001.025.036.0+++ = 0.8426； A T A = ?? ?? ??3.05 .01.06 .0 ??????3.01.05.06.0 = ?? ? ???34.033 .033.037 .0 |A A I T -λ| = 34 .033 .033 .037 .0----λλ = 2λ － 0.71λ ＋ 0.0169 ＝ 0 所以 max λ(A T A ) = 0.685，所以 2A ＝ 685 .0 = 0.83. 13、证明：(1)由定义知, ∞ ∞ ==≤≤=≤≤∞ == ≤ =≤ =∑ ∑∑ x n x x x x x x n i i n i i n i i i n i 1 1 1 11 1 1m a x m a x 故 ∞ ∞ ≤≤x n x x 1 (2)由范数定义知, )()()()(21m a x 22 A A A A A A A A A T n T T T λλλλ+++≤= 211 2 121 22 12 1 F n j n i ij n i in n i i n i i A a a a a == + ++ =∑∑ ∑ ∑ ∑ ===== 221m a x 22 1)]()()([1)(F T n T T T A n A A A A A A n A A A = +++≥ =λλλλ 故 F F A A A n ≤≤2 1 习 题 三 1、解：13)(4+-=x x x f 在区间[0.3,0.4]上034)(3'<-=x x f ，故)(x f 在区间[0.3,0.4] 上严格单调减少，又0)3.0(>f ，0)4.0( -?,解得k > = 4 ,即应至少分4 次,取35.00=x 开始计算,于是有: 当k = 1 时,x 1 = 0.35 , 0)(1 当k = 3 时,x 3 = 0.3375 , 0)(3>x f ,隔根区间是]35.0,3375.0[, 当k = 4 时,x 4 = 0.34375 , 0)(4 2、解：4)(3-+=x x x f 在区间[1,2]上013)(2'>+=x x f ，故)(x f 在区间[1,2]上 严格单调增加，又0)2(>f ，0)1( 1 2 12+-k < = 4102 1 -?,解得k > = 13.3 ,即应至少分14次. 3、解：作图,判断根的数目、找隔根的区间. (1)有唯一实根,隔根区间[0,4/π],收敛迭代公式:4 sin cos 1k k k x x x += +. (2)有唯一实根,隔根区间[1,2],收敛迭代公式:)4(log 21k k x x -=+. 4、解：取5.10=x 的邻域[1.3,1.6]来考察. (1)当∈x [1.3,1.6]时,∈+=321)(x x ?[1.3,1.6] ,|)('x ?|< = 0.522 = L < 1, 所以，32 11k k x x +=+在[1.3,1.6]上收敛. (2)当∈x [1.3,1.6]时,∈+=2/11)(x x ?[1.3,1.6] ,|)('x ?|< = 0.91 = L < 1, 所以，21/11k k x x +=+在[1.3,1.6]上收敛. (3)当∈x [1.3,1.6]时,∈-=1/1)(x x ?[1.3,1.6] ,|)('x ?| = L > 1,所以， 11-= +k k x x 在[1.3,1.6]上发散. (4)当∈x [1.3,1.6]时,?-= 1)(3 x x ?[1.3,1.6] ,所以，13 1-= +k k x x 在 [1.3,1.6]上发散. 取5.10=x 开始计算,于是有： 1x = 1.481448 , 2x = 1.472705 , 3x = 1.468817 , 4x = 1.467047 , 5x = 1.466243 , 6x = 1.465876 . 由于|56x x -| < 3102 1 -?,故可取 *x ≈ 6x = 1.466. 5、解：方程的等价形式为2.05+=x x =)(x ?,迭代公式为5 12.0+= +k k x x . 作函数5x y =和2.0+=x y 的图像,可知其正根区间为[0.5,1.5]. 当∈x [0.5,1.5]时,∈+= 5 2.0)(x x ?[0.5,1.5] ,|)(' x ?|< = 0.3 = L < 1, 所以，3211k k x x +=+在[0.5,1.5]上收敛. 取5.00=x 开始计算,于是有： 1x = 0.93114992, 2x = 1.0249532 , 3x = 1.04141516 , 4x = 1.04419321, 5x = 1.0446673 , 6x = 1.04474582, 7x = 1.04475903, 8x = 1.0447613 , 9 x = 1.04476123. 由于|89x x -| < 3 10 2 1-?,故可取 *x ≈ 9x = 1.04476. 6、解：当∈x [0,0.5]时,∈-=10/)2()(x e x ?[0,0.5] ,|)('x ?|< = 0.825 = L < 1, 所以10/)2(1k x k e x -=+在区间[0,0.5]上收敛. 取5.00=x 开始计算,于是有： 1x = 0.10000000, 2x = 0.08948290 , 3x = 0.09063913 , 4x = 0.09051262, 5x = 0.09052647 , 6x = 0.09052495. 由于|56x x -| < 4 10 2 1-?,故可取 *x ≈ 6x = 0.0905. 7、解：由于)('x ?在根5.0*=x 附近变化不大, 5.0'|)(=--=x x e x ?= - 0.607 = q . 迭代--加速公式为???+==++-+607.1/6.0607.1/~~11 1k k k x k x x x e x k 取5.00=x 开始计算,于是有： 1x = 0.5662917, 2x = 0.5671223, 3x = 0.56714277. 由于|23x x -| < 4 10 21-?,故可取 *x ≈ 3x = 0.5671. 8、解：埃特金加速公式为： ???? ? ???? +--=+=+=++++++++k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x 121 22131231~2~1 ~1~ 取5.10=x 开始计算,于是有: 1x = 1.32489918, 2x = 1.32471796, 3x = 1.32471637. 由于|23x x -| < 4 10 21-?,故可取 *x ≈ 3x = 1.3247. 9、解：对于a x x f n -=)(,1')(-=n nx x f ,因此牛顿迭代法为 ?? ????+-= -- =--+11 1)1(1n k k n k n k k k x a x n n nx a x x x ,=k 0,1,2,3,… 对于n x a x f - =1)(,1 ')(+=n x na x f ,因此牛顿迭代法为 ??? ???-+=-=+a x x n n x x f x f x x n k k k k k k k )1() () ('1 ,=k 0,1,2,3,… 因为 n n a n a 1 )(''+- =? 所以， 对于0)(=-=a x x f n , n k n k n k a n x a x a 21) (lim 2 1 -- =--+∞ →. 对于01)(=- =n x a x f , n k n k n k a n x a x a 21) (lim 2 1 += --+∞ →. 10、解：13)(3--=x x x f 在区间[1,2]上,0)1( 033)(2 ' >=-=x x f ，06)(' '>=x x f . 又因为0)2()2(''>f f ，所以收敛且以20=x 作初值。 取20=x ,用牛顿迭代法, ) 1(3123 31323 23 1-+= ---- =+k k k k k k k x x x x x x x 计算得 1x = 1.8889, 2x = 1.8794, 3x = 1.8794, 由于|23x x -| < 3 10 21-?,故可取 *x ≈ 3x = 1.879. 11、解：设C x x f -=3)( ,则 2'3)(x x f = ，x x f 6)(''= .牛顿法迭代公式为： ) 2(312 1k k k x C x x + = + =k 0,1,2,3,… 当0>x 时, 0)('>x f ，0)(''>x f , 当0 3 C . 当),0(3 0C x ∈时,0)2(3) (32032 2 033 2 2 03 1>+-= - +=-x C x x C C x C x C x , 所以3 1C x > ,因此,从1x 起 , 牛顿序列{}k x 收敛到3C . 对于0 3 C . 当)0,(3 0C x ∈时,0)2(3) (320320 2 033 20 2 03 1<+-= - +=-x C x x C C x C x C x , 所以3 1C x < ,因此,从1x 起 , 牛顿序列{}k x 收敛到3C . 当0=C 时,迭代式变为 k k k k k x x x x x 3 232 31= - =+ . 该迭代对任何R x ∈0均收敛,但收敛速度是线性的. 取10=x 开始计算,于是有： 1x = 1.66666667 , 2x = 1.23111111 , 3x = 1.48053039 , 4x = 1.44323083 , 5x = 1.44225024 , 6x = 1.44224957 , 7x = 1.44224957 . 由于|67x x -| < 6 10 2 1-?,故可取 *x ≈ 7x = 1.442250 . 12、解：令x x x f sin 1)(--=,取00=x ,11=x 开始计算, 经过4次计算可以得到 *x ≈ 4x = 0.51098 . 习 题 五 1、解：)()()()()()()(2211002x l x f x l x f x l x f x L ++= 3 72 36 5) 12)(12()1)(1(4) 21)(11()2)(1() 3(02 - + =+-+-+-------+=x x x x x x . 2、解：)()()()()()()()()(332211003x l x f x l x f x l x f x l x f x L +++= 1 23) 2)(1(0) 2()1()3)(2(3 ) 3()2()1()3)(2)(1(2??--- +-?---+-?-?----=x x x x x x x x x 6 ) 2)(1(2 ) 3)(2(33 ) 3)(2)(1(--- --+ ----=x x x x x x x x x . 3、解：)()()()()()()()()(332211003x l x f x l x f x l x f x l x f x L +++= 1214.0=.(直接代入数据，因较复杂，省略) 4、证：（1）当（2）中的0=k 时，即可得结论. （2）函数k x 及)(0 x l x i n i k i ∑=均为被插值函数k x 的关于互异节点i x 的不超过n 次 的插值多项式，利用插值多项式的唯一性可知结论. 5、证：以a x =和b x =为插值点，建立)(x f 的不超过一次的插值多项式： 0) () ()(1≡--+--=a b a x b f b a b x a f x L 应用插值余项公式有： ) )((max )(max 2 1))()((!21)()(' '' '1b x a x f b x a x f x L x f b x a b x a --≤ --= -≤≤≤≤ξξ ) (max )(8 1' '2ξf a b b x a ≤≤-≤，因此可得结论。 6、解：选4.10=x ，5.11=x ，6.12=x 为节点，计算得： )54.1()6.1()54.1()5.1()54.1()4.1()54.1(2102l f l f l f L ++= +----? +----? =) 6.15.1)(4.15.1()6.154.1)(4.154.1(83 7.1) 6.14.1)(5.14.1()6.154.1)(5.154.1(602.1 94472.1) 5.1 6.1)(4.16.1()5.154.1)(4.154.1(121.2=----? +. 7、解：)()()()()()()()()(332211003x l x f x l x f x l x f x l x f x L +++= 3 69) 2)(3(10 ) 3(36)6)(3(2 0) 9()6()3()6)(3(??+++-??-+-+-?-?---- =x x x x x x x x x )3242346323(162 12 3 +--=x x x . 8、解：（略） 9、证：设)()()(x g x f x F βα+=，)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω. 将差商（均差）用函数值表示，则有： ∑ ∑ =+=++= = n j j n j j n j j n j n x x g x f x x F x x x F 0 ' 10 ' 110) () ()() () (],,[ωβαω ∑ ∑ =+=++=n j j n j n j j n j x x g x x f 0 ' 10 ' 1) ()() () (ωββωα ],,[],,[1010n n x x x g x x x f βα+= 取c ==αβ,0得结论（1），取1==αβ得结论（2）. 10、证：∑∑=+-=+----= = n j n j j j j j j j n j j n j n x x x x x x x x x f x x f x x x f 0 1100 ' 1 10) ())(()() () () (],,,[ ω . 11、解：制造向前查分表： 由题意，00=x ，1=h .当5.0=x 时，5.00 =-= h x x t . 将查分表上部那些画横线的数及5.0=t 代入公式，有 875 .0186 ) 5.1)(5.0(5.0142 ) 5.0(5.05.01)5.0(3=?--+ ?-+ +=N . 当5.2=x 时，5.00=-=h x x t .将查分表下部那些画横线的数及5.0=t 代入 公式，有 375 .35186 ) 5.1)(5.0(5.0322 ) 5.0(5.05.04764)5.2(3=?--- ?-+ ?-=N . 12、解：制造向前查分表： 由于其根在[-1,2]之间，故采用牛顿后插公式， 计算得 5.1=t ，所以5.0=x . 13、证：采用差分的定义来证明. 14、解：方法同第11题. 15、解：以1-i x ，i x 和1+i x 为插值节点的插值多项式的截断误差，则有 ))()()((! 31)(11' ''2+----= i i i x x x x x x f x R ξ， 式中 ),(11+-∈i i x x ξ，h x x i i -=-1，h x x i i +=+1 则3 4 3 4 114 23 93 13 26 1))()((max 6 1)(1 1h e h e x x x x x x e x R i i i x x x i i = ≤ ---≤ +-≤≤+- 令5 34 10 3 9-≤h e 得 0658.0≤h . 习 题 六 1、解：由题意得????????????-=24215342A , ????? ???????=146311b , 所以?? ? ? ??=493330 A A T , ?? ? ???=2973b A T . 又b A AX A T T = , 所以?? ? ???=4456.04555.2X . 2、解：设拟合曲线为一次多项式:x a a x y 1011)(+==? . 计算各元素: 8=n ,26.158 1 =∑=i i x ,1556.308 1 2=∑=i i x ,227.1458 1 =∑=i i y ,93628.2868 1 =∑=i i i y x , 故法方程组为???? ??1556.3026 .1526.158 ? ? ? ???10a a =? ? ?? ??93628.286227 .145, 解得 916.30=a ,464.71=a .所以916.3464.7)(11+==x x y ?. 二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似(略). 3、解：设拟合曲线为二次多项式:2bx a y += . 计算各元素: 5=n ,53275 1 2=∑=i i x ,72776995 1 4=∑=i i x ,4.2715 1 =∑=i i y ,5.3693215 1 2=∑=i i i y x , 故法方程组为???? ??727769953275327 5 ??????b a =??????5.3693214.271, 解得 973.0=a ,050.0=b .所以2050.0973.0x y +=. 4、解：经描图发现t 和s 符合二次曲线. 设拟合曲线为二次多项式:2ct bt a s ++= . 计算各元素: 6=n ,7.146 1 =∑=i i t ,63 .536 1 2=∑=i i t ,=∑=6 1 3i i t ,=∑=6 1 4i i t 280 6 1 =∑=i i s ,107861 =∑=i i i s t ,=∑=6 1 2i i i s t 故法方程组为????? ?????63 .5363 .537.1463.537.146??????????c b a =???? ? ?????1078280, 解得 =a ,=b ,=c .所以2ct bt a s ++=. 5、略. 6、解：对公式at e I I -=0两边取常用对数有 e at I I lg lg lg 0-=. 令I u lg =,0 lg I A =,e a B lg -=,则得线性模型 Bt A u +=.计算各元素: 7=n ,5.37 1 =∑=i i t ,03.27 1 2 =∑=i i t ,8638.071 =∑=i i u ,08067.07 1 =∑=i i i u t , 故法方程组为??? ? ??03.25.35.37?? ????B A =? ? ? ? ??08067.08638.0, 解得 7509.0=A ,2546.1-=B ,得635.50=I ,889.2=a . 所以 t e I 889.2635.5-=. 7、解：对公式bx ae y =两边取常用对数有 e bx a y lg lg lg +=. 令y u lg =,a A lg =,e b B lg =,则得线性模型 Bt A u +=.计算各元素: 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分） 大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用 程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)( 1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")((" 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 数值分析报大作业 班级：铁道2班 专业：道路与铁道工程 姓名：蔡敦锦 学号：13011260 一、序言 该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。学习Matlab也差不多有一个多月了，感觉自己编程做题应该没什么问题了；但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误，花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。所以，我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题，由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异，选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异，程序运行所得结果我个人比较满意。编写C语言，感觉比较上手，程序出现问题也能比较熟练的解决。最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了！ 二、选题 本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解；能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行，能得到自己满意的结果，并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程，所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5 ?的根的几种方法的比较。 110- 本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现，比较简洁明了，所得结果能很好的比较，便于分析；发现问题和得出结论。 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ，则＝（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足（ ） A ． ＝0， B ． ＝0， C ．＝1， D ． ＝1， 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． B ． C ． D ． π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则 ， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数 ，那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ，所以 在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2) 3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解： 5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b) 7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ，使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度；利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 ) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ，并求)2(f 的近 似值（保留四位小数）。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ，并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
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