向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合
设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k
k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这
样的表示是有好处的。 2.线性表示
设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得
1122t t b k a k a k a =++???+
则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。
1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k
a a a
b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解
当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价
设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由
12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：
(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。 证明：
自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I 为12,,,r a a a ???，向量组II 为12,,,s b b b ???，向量组III 为12,,,t c c c ???。向量组II 可由III 线性表示，假设1t
j kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =???。向量组I 可由向量
组II 线性表示，假设1
s
i ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =???。因此，
1
1
1
1
1
()s s t t s
i ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =???
因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。
向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。
因此，向量组I 与III 等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关
设12,,,n t a a a R ???∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ???∈，使得
11220t t k a k a k a ++???+=
则称12,,,t a a a ???线性相关，否则，称12,,,t a a a ???线性无关。
按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ???线性相关即齐次线性方程组
1212(,,,)0t t k k
a a a k ?? ? ????= ? ???
M
有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ???<。12,,,t a a a ???线性无关，即
1212(,,,)0t t k k
a a a k ?? ? ????= ? ???
M
只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ???=。
特别的，若t n =，则12,,,n n a a a R ???∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ???=，当且仅当12(,,,)n a a a ???可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ???≠。
例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。而若0a =，由于10a a ?==，10≠因此，a 线性相关。
例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若,a b 线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，则2
1
k a b k =-
，故,a b 平行，即对应分量成比例。如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。
例3.1000,1,0001?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????线性无关，且任意1323x x x R x ?? ?
=∈ ? ???
都可以由其线性表示，且表示
方法唯一。事实上，
121233100010001x x x x x x x ????????
? ? ? ?==++ ? ? ? ? ? ? ? ?????????
5.线性相关与无关的性质
(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明：
设12,,,n t a a a R ???∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =，则
121000100t a a a -?+?+???+?+?=
因此，12,,,t a a a ???线性相关。
(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明：
设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ??????∈，12,,,t a a a ???线性相关。存在不全为零的数
12,,,t k k k ???，使得
11220t t k a k a k a ++???+=
这样，
1122120000t t s k a k a k a βββ++???++?+?+???+?=
12,,,t k k k ???不全为零，因此，1212,,,,,,,t s a a a βββ??????线性相关。
后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。
(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明：
设12,,,n t a a a R ???∈为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量
最后一个分量之后，成为1212,,,t t a a a b b b ??????
??? ? ? ???????
，12,,,t b b b ???是同维的列向量。令
112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++???+????????
+???+== ? ? ? ?++???+????????
则11220t t k a k a k a ++???+=。由向量组12,,,t a a a ???线性相关，可以得到
120t k k k ==???==。结论得证！
(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明：
设12,,,n t a a a R ???∈为一组向量。
必要性 若12,,,t a a a ???线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ???，使得
11220t t k a k a k a ++???+=
12,,,t k k k ???不全为零，设0j k ≠，则
111111j j j j t t
j j
k a k a k a k a a k --+++???+++???+=-
充分性 若12,,,t a a a ???中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设j
a 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+??????的线性组合，则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+??????，使得
111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+???++???+
也就是
1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++???-++???+=
但111,,,1,,,j j t k k k k -+???-???不全为零，因此，12,,,t a a a ???线性无关。
【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。
(5) 若12,,,n t a a a R ???∈线性无关，n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ???线性相关，则b 可由
12,,,t a a a ???线性表示，且表示方法唯一。
证明：
12,,,,t a a a b ???线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +???，使得
112210t t t k a k a k a k b +++???++=
10t k +≠，否则10t k +=，则11220t t k a k a k a ++???+=。由12,,,t a a a ???线性无关，我们
就得到120t k k k ==???==，这样，121,,,,t t k k k k +???均为零，与其不全为零矛盾！这样，
11221
t t
t k a k a k a b k +++???+=-
因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示。
假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++???+=++???+，则
111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+???+-=
由12,,,t a a a ???线性无关，有11220t t x y x y x y -=-=???=-=，即
1122,,,t t x y x y x y ==???=
因此，表示法唯一。
【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ???线性表示，则表示法唯一。事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ???线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ???=有解。而1,,t a a ???线性无关，即1(,,)t r a a t ???=。因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。
(6) 若线性无关向量组12,,,t a a a ???可由向量组12,,,s b b b ???线性表示，则t s ≤。 证明：
假设结论不成立，于是t s >。12,,,t a a a ???可由12,,,s b b b ???线性表示。假设
112111112121121(,,,)
s s s s x x a x b x b x b b b b x ??
? ?=++???+=??? ? ???
M ，
122221212222122(,,,)s s s s x x
a x
b x b x b b b b x ?? ? ?=++???+=??? ? ???M ，
……………………………………………………….
12112212(,,,)t t t t t st s s st x x
a x
b x b x b b b b x ?? ? ?=++???+=??? ? ???
M ，
任取12,,,t k k k ???，则
11112112
2122
221122121212
(,,,)(,,,)t t t t t s t s s st t k x x x k k x x x k k a k a k a a a a b b b k x x x k ?????? ? ??? ? ???
++???+=???=??? ? ??? ? ?????????
L L M M M O M M L
由于1112
12122
212
t t s s st x x x x x x x x x ??
?
?
?
???
L L M M O M L
为一个s t ?阶矩阵，而t s >，因此，方程组 111212122212
0t t s s st x x x x x x x x x x ??
? ?
= ?
???
L L M M O M L
必有非零解，设为12
t k k k ?? ? ? ? ???
M ，于是11220t t k a k a k a ++???+=。因此，存在一组不全为
零的数12,,,t k k k ???，使得11220t t k a k a k a ++???+=。因此，向量组12,,,t a a a ???线性相关，这与向量组12,,,t a a a ???线性无关矛盾！因此，t s ≤。
(7) 若两线性无关向量组12,,,t a a a ???和12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则t s =。 证明：
由性质(6)，t s ≤，s t ≤，因此，s t =。
【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。
(8) 设12,,,n t a a a R ???∈，P 为n 阶可逆矩阵，则12,,,t a a a ???线性无关当且仅当
12,,,t Pa Pa Pa ???线性无关。b 可由12,,,t a a a ???线性表示，当且仅当Pb 可由 12,,,t Pa Pa Pa ???线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。
证明：
由于P 可逆，因此
1122112211220()0()()()0t t t t t t k a k a k a P k a k a k a k Pa k Pa k Pa ++???+=?++???+=?++???+=
112211221122()()()()t t t t t t k a k a k a b P k a k a k a b
k Pa k Pa k Pa Pb
++???+=?++???+=?++???+=
如此，结论得证！
6.极大线性无关组
定义1 设12,,,n t a a a R ???∈，如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ???，使得 (1) 12,,,r i i i a a a ???线性无关；
(2) 12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ???线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ???为12,,,t a a a ???的极大线性无关组。
【备注5】 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,r i i i a a a ???为其极大线性无关组。按照定义，
12,,,t a a a ???可由12,,,r i i i a a a ???线性表示。但另一方面，12,,,r i i i a a a ???也显然可以由 12,,,t a a a ???线性表示。因此，12,,,t a a a ???与12,,,r i i i a a a ???等价。也就是说，任何一
个向量组都与其极大线性无关组等价。
向量组的极大线性无关组可能不止一个，但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性
无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数。 这是一个固定的参数，由向量组本身所决定，与其极大线性无关组的选取无关，我们称其为向量组的秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数。
【备注6】按照定义，向量组12,,,t a a a ???线性无关，充分必要条件即其秩为t 。 定义2设12,,,n t a a a R ???∈，如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ???，但没有更多的线性无关向量，则称12,,,r i i i a a a ???为12,,,t a a a ???的极大线性无关组，而r 为
12,,,t a a a ???的秩。
【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有r 个线性无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现了“极大性”。
【备注8】两个定义之间是等价的。一方面，如果12,,,r i i i a a a ???线性无关，且
12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ???线性表示，那么，12,,,t a a a ???就没
有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为12,,,s b b b ???，s r >。12,,,s b b b ???当然可以由12,,,r i i i a a a ???线性表示，且还线性无关，按照性质(6)，s r ≤，这与假设矛盾！另一方面，假设12,,,r i i i a a a ???为12,,,t a a a ???中r 个线性无关向量，但没有更多的线性无关向量，任取12,,,t a a a ???中一个向量，记为b ，则12,,,,r i i i a a a b ???线性相关。按照性质(5)，b 可有12,,,r i i i a a a ???线性表示(且表示方法唯一)。
【备注9】设向量组12,,,t a a a ???的秩为r ，则其极大线性无关向量组含有r 个向量。反过来，其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ???的一个极大线性无关组。这从定义即可得到。 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系
称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩。
定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩。 证明：
设()m n ij A a R ?=∈，()r A r =。将其按列分块为12(,,,)n A a a a =???。存在m 阶可逆矩阵P ，使得PA 为行最简形，不妨设为
1,+11,2,12,12,1,1
001
0(,,,)10000000
0r n r n n r r r n b b b b PA Pa Pa Pa b b ++?? ? ? ?
?=???=
? ? ? ? ??
?
L L L L O M M L M L
L L L L L L L L L L
L 100010,,,001000000??????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????M M M M M M 线性无关，且PA 中其余列向量都可以由其线性表示，因此， 100010,,,001000000?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????
M M M M M M 为PA 的极大线性无关组，其个数为r ，因此，12,,,r a a a ???线性无关，且A 中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A 的列秩等于A 的秩。
将A 按行分块，1T T m b A b ?? ?
= ? ???
M ，则12(,,,)T m A b b b =???，因此，按照前面的结论，A
的行秩为T A 的秩，而T A 的秩等于A 的秩。至此，结论证明完毕！ 【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。 7.扩充定理
定理2 设12,,,n t a a a R ???∈，秩为r ，12,,,k i i i a a a ???为其中的k 个线性无关的向量，k r ≤，
则能在其中加入12,,,t a a a ???中的()r k -个向量，使新向量组为12,,,t a a a ???的极大线性无关组。 证明：
如果k r =，则12,,,k i i i a a a ???已经是12,,,t a a a ???的一个极大线性无关组，无须再添加向量。
如果k r <，则12,,,k i i i a a a ???不是12,,,t a a a ???的一个极大线性无关组，于是，
12,,,t a a a ???必有元素不能由其线性表示，设为1k i a +，由性质(5)，向量组 121,,,,k k i i i i a a a a +???线性无关。
如果1k r +=，则121,,,,k k i i i i a a a a +???已经是12,,,t a a a ???的一个极大线性无关组，无须再添加向量。
如果1k r +<，则121,,,,k k i i i i a a a a +???不是12,,,t a a a ???的一个极大线性无关组，于是，12,,,t a a a ???必有元素不能由其线性表示，设为2k i a +，由性质(5)，向量组
1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++???线性无关。
同样的过程一直进行下去，直到得到r 个线性无关的向量为止。
【备注11】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法并不好实现。
8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示
求向量组12,,n t a a a R ???∈的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现。 (1) 将12,,t a a a ???合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =???；
(2) 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为
111211,11,2222,12,,1,00
00000000
0r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++?? ? ? ? ?
→= ? ? ? ? ??
?
L L L L M L O M M L M L L
L L M L L M M L M L
L ，0,1,2,,ii b i r ≠=???，()r r A = (3) 在上半部分找出r 个线性无关的列向量，设为12,,,r j j j ???列，则12,,,r j j j ???为
B 列向量组的极大线性线性无关组，也是A 列向量组的极大线性线性无关组，也就是12,,t a a a ???的极大线性无关组。
为了在上半部分寻找r 个线性无关向量，必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵。r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关。
显而易见，上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组。其余情形同理。
(4) 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合。这时候得解方程组。
我们将矩阵化为行最简形，则一步就很容易完成了。不妨设行最简形为
1,11,2,12,,1,1
000100
010000000
0r n r n r r r n b b b b A B b b +++?? ? ? ? ?
→= ? ? ? ? ??
?
L L L L M L O M M L M L L
L L M L L M M L M L
L
在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组，而其余向量表示成其线性组合也非常容易，表示系数即对应的分量。于是，在A 中，第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组，其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合，表示系数与B 中的一致。
我们的理论依据是性质(8)。
例4.设矩阵2111
211214462243697
9A --??
?- ?
=
?--
?-??
，求A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示。 【解答】 记12345(,,,,)A a a a a a =，
2131124112
324222431
3103(3)
2111211214112141121421112033164622446224010106123697
93697903343210123101123
800083
00r r r r r r r r r r r r r r r A --?-+-+÷-----??????
?
? ?------
? ? ?=→
→
? ? ?-------
? ? ?----??????--→- 3433
()83101040
110300013000
00039r r r ?--??
?-??
? ? ?- ? ?→ ?
- ? ? ?
??
? ?-??
因此，A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ，312a a a =--，
4123433a a a a =+-。
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +
第十讲 向量组的线性关系 一、考试内容与考试要求 考试内容 向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求 （1）理解n 维向量的概念； （2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念； （4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲． 二、知识要点 引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？ 线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数． （2）齐次方程组Ax o =???唯一零解 无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示） 定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立 则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：
注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解． （4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）． 向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则 （1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广． （2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关； （4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤； 这是（3）的逆否命题．
第四章复习题答案 一、选择题 1、向量组ααα１ ２３，，线性无关的充要条件为（ C ） A 、ααα１ ２３，，均不是零向量 B 、ααα１ ２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１ ２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关 解析：（1）线性相关?至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关?任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ） A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关 C 、Ａ的两行元素成比例 D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ） A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0 B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关 C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关 D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0 4、设12,s ααα均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα线性相关 B 、若向量组12 ,s ααα线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示 C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠k ，则向量组12 ,s ααα线性无关 D 、若向量组12 ,s ααα线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关?至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意 二、填空 1、设12311112010ααα===T T T （，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22 ()33 a a ≠ = 2、设Ａ为35?的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2 3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+=，，，（）m n + 4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。 5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b = 三、判断 1、若向量组123 ,,n αααα线性相关，则1α可有23 n ααα，线性表示。 （ × ） 2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。 （ √ ） 3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。 （ × ） 4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关 （ √ ） 5、向量组12,,m ααα线性相关，则向量组12,,,m αααβ也线性相关。 （√ ） 6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示 （√ ） 7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的 （√ ） 8、若12,ξξ为齐次线性方程组 0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解 （√ ） 三、计算及证明 1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。 解：设12345(,,,,)A ααααα=
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .