三个向量组线性相关的充要条件
线性相关指的是三个向量组存在一定的线性关系。三个向量的线性相关的充要条件是，他们必须满足如下条件：
1、三个向量必须满足不等式，也就是说他们是独立的。比如向量A=(2,3,4)，
B=(4,6,8),C=(8,12,16),系数矩阵存在一定的正负关系。
2、三个向量之间的线性相关可以用矩阵的乘法描述，也就是说，如果三个向量组满足系
数矩阵乘法，那么他们就存在线性相关的关系。
3、三个向量组的线性相关也可以用单位向量的相成描述，也就是说，如果三个向量的每
个分量的绝对值都一样，那么他们也是线性相关的。
4、三个向量的线性相关也可以用几何视图来表示，也就是说，如果三个向量的点乘是1
或者-1的话，那么他们也是线性相关的。
综上所述，三个向量组存在线性相关的充要条件是，他们必须满足独立性、系数矩阵乘法、单位向量相成和几何视图等描述方式，点乘结果也必须是1或者-1。了解了三个向量线性相关的充要条件，可以帮助我们更好地分析三个向量之间的关系，也能够更深入地了解三
个向量组的特点。
线性代数总结 在学习线性代数之前就有几个老师说过线性代数并不比高数简单，我就这样半信半疑的开启了学习这门课的旅程。 在这本书的第一章中，我们主要学了以下几点： 一、利用对角线法则计算二阶和三阶行列式。 二、n阶行列式的定义及性质。 三、代数余子式的定义及性质。 四、计算简单的n阶行列式的方法和克拉默法则。 在这第一章中还有一些细节值得我们注意： 1、行列式展开的每项均由不同行不同列的元素组成。 2、进行列式的初等变换时r i+r j与r j+r i的区别。 3、特殊行列式如范德蒙德行列式的公式。 4、上三角行列式与下三角行列式的特殊应用。 第二章我们主要学习了矩阵及其运算方法，主要内容如下： 一、同型矩阵（两个行列式的行数和列数均相等）、零矩阵（元素均为0）、对角矩阵（不在对角线上的元素都为0）、单位矩阵（对角线上的元素都为1的对角矩阵）、对称矩阵(A T=A,其元素以对角线为对称轴相对应)等特殊矩阵的定义。 二、如何计算矩阵的加法、数乘、转置以及矩阵间的乘法。 三、可逆矩阵和伴随矩阵的概念和性质及其之间的联系。 四、分块矩阵的概念及其运算规律，行向量组与列向量组。
同样第二章中也有一些细节，如： 1、利用A=PBP-1则f(A)=Pf(B)P-1计算矩阵的多项式。 2、|A*| = |A|^(n-1)，|b*A|=b^n|A| 其中n是方阵A的阶数。 3、矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。 4、矩阵|A|=0的充分必要条件是A T A=0。 5、|A|=0时，A成为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 在第三章里老师向我们介绍了矩阵的初等变换与线性方程组，以下是主要内容： 一、利用初等行变换将矩阵转化为行阶梯形和行最简形。 二、矩阵的秩的概念及其性质，矩阵等价的定义及其充要条 件。 三、线性方程组解的无解、有唯一解和有无限个解的充要条 件以及当矩阵为方阵时的特殊情况。 四、矩阵方程AX=B有解的充要条件和求解线性方程组的方 法。 在这一章中有几点值得我们特别注意： 1、行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。 2、经有限次初等行变换矩阵的秩不变。 3、当进行初等行变换时如果进行初等列变换，化成的行最 简行会发生变化。 4、AB=0，且A为列满秩矩阵，则B=0。 5、在矩阵A m*n的左边乘以m阶初等矩阵即进行了一次初等
一、逆序数： 在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N( *奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数 （一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变 （二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半 二、n阶行列式 =（按行顺序取） n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号） D的一般项： 三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或 （一）将行列式转置，行列式的值不变，即 （二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即 （三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零 四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即： （一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面 （二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零 五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置
的元素与原行列式相同，即： 六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变 七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即： 代数余子式： （一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或 （二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或 （i≠s；j≠t） 八、范德蒙行列式：
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法
（安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
第四章 向量 一 内容概要 1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算； 3 向量组的线性关系 （1）线性组合：对于给定的向量组βααα,21s ，，， ；如果存在一组数 s k k ,,1 使得：s s k k k αααβ+++= 2211 则称向量s 21αααβ，，，是向量组 的一个线性组合，或称β可以由向量组： ,21s ααα，，， 线性表示； （2）线性相关、线性无关的定义 设,21s ααα，，， 是一组n 维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数s k k ,,1 使得：02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,21s ααα，，， 线性相关 指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数s k k ,,1 ；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。 反之 则称向量组,21s ααα，， ， 线性无关，即若要 02211=+++s s k k k ααα 成立，必有021====s k k k ，则称向量组,21s ααα，，， 线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系 向量组,21s ααα，，， 线性关系式02211=+++s s k k k ααα 具体表示出来实际上就是一个方程组： ?? ???? ?=+++=+++=+++0 00 221122221211212111s ms m m s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a
其中：() m j a a a T mj j j j ,,2,1,,,21 ==，α因此，通俗的话来说，向量组 s 21,ααα ，，线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。 这是判断一个向量组s ααα，，， 21是否线性相关最常用的方法。 （2）向量有解的关系线性表示与方程组，，，可被向量组βαααβ=AX n 21 设()()j T m n b b b A αβααα,,,,,,,,2121 ==的意义同上，则方程组β=AX 可表 示成：βααα=+++n n x x x 2211，或 ?? ???? ?=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* 因此向量线性表示，，，可被向量组n 21αααβ 的充要条件是方程组β=AX 有解。 如果有唯一的解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法是唯一的。 如果方程组有无穷多组解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法有无穷多种，此时向量组n ααα，，， 21线性相关。 如果方程组无解，则线性表示，，，不能被向量组αααβ 21。 4 关于向量组的等价 （1）设向量组Ⅰ：;s 21ααα，，， Ⅱ;t 21βββ，，， 如果向量组Ⅱ中每一个向量j β可以被向量组Ⅰ线性表示，则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是： ?? ???? ?+++=+++=+++=s ts t t t s s s s k k k k k k k k k αααβαααβαααβ 22112222121212121111 （2）如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示，则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明 向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩. 一、定义法. 利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1, ,s k k 是否全为0，从而得到结论. 对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1, ,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k = ==时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩. (1)1,,s αα线性相关?1(, ,)s r s <αα； 1, ,s αα线性无关?1(,,)s r s =αα． 特别地， n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关?12,,,0a a a n =； n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关?12,,,0a a a n ≠． (2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩. 用秩的时候经常用到下面几个定理： ①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B . ②若m n r =n ?A ()，则()()r r =AB B . ③若m n n s ??=A B O ，则()()r r n +≤A B . 【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α， 112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα 证明123,,ααα线性无关． 【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件， 112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα
第三章 向量 一． n 维向量的定义：数域F 中n 个数构成的有序数组。 二． n 维向量的运算：向量加法，数乘 三． 线性组合与线性表出 四． 线性相关与线性无关 重要结论与定理： 1) 单个向量线性无关。 2) 包含零向量的向量组一定线性相关。（证明） 3) 一个向量组线性相关,则加上任意多个(有限个)向量后，新向量组仍线性相关。(局部相 关,整体相关)（证明） 4) 若一个向量组线性无关,取出其中任一部分也必定线性无关。(整体无关，局部无关) 5) 任意n+1个n 维向量，必定线性相关。（齐次线性方程组方程个数小于未知量个数时， 有非零解） 6) 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量，得到的新向量组（称为原向量 组的加长组）仍线性无关。（无关组加长组仍无关） 7) 一个向量组是线性相关，在相同位置去掉分量，得到新的向量组（称为原向量组的缩短 组）仍线性相关。（相关组缩短组相关） 8) 若12,,,s ααα线性无关，而12,,,,s βααα线性相关，则β必可由12,,,s ααα线 性表出，且表示方法唯一。（证明） 9) 向量组Ⅰ12:,,,s ααα，向量组Ⅱ12:,,,t βββ，Ⅱ中每一个向量都可由Ⅰ表出，t s >则向量组Ⅱ12:,,,t βββ一定线性相关。（个数多的可由少的线性表出，多的一定线性相关） 10) 若向量组12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表出，且12,,,t βββ线性无关，则 t s >。 （无关的向量组不能由比它个数少的向量组线性表出） 五．向量组的极大无关组与向量组的秩 1 极大无关组的定义 2 极大无关组的性质 1) 一个向量组与它的任一个极大无关组之间可以互相线性表出。 2）一个向量组S 的任意两个极大无关组S 1，S 2之间也可互相线性一表出。（S 1，S 2等价） 3）一个向量组任意两个极大无关组所含向量个数必一样多。 相关例题 例3.1设12,,,s ααα是一组n 维向量，则下列正确的是（ ） A ． 若12,,,s ααα不线性相关，就一定线性无关。 B ． 如果存在s 个全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=，则12,,,s ααα线性无关。 C ． 若向量组12,,,s ααα线性相关，则1α可由2,,s αα线性表示。 D ． 向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是1α不能由其余n-1个向量线性表出。 例3.2 n 维向量组12,,,s ααα（3s n ≤≤）线性无关的充分必要条件是: ( ) A ． 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++≠ B ． 12,,,s ααα中任意两个向量都线性无关 C ． 12,,,s ααα中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D ． 12,,,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 例3.3向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是: ( ) A. 12,,,s ααα中有一零向量 B. 12,,,s ααα中任意两个向量的分量成比例 C. 12,,,s ααα中有一个向量是其余向量的线性线合
三个非零向量共面的充要条件 三个非零向量共面的充要条件是一个数学定理，即三个非零向量 共面的充要条件是这三个向量线性相关。这个定理是矢量空间中的一 个基本性质，经常被用来解决各种线性代数问题。 为了更好地理解这个定理，我们需要从以下四个方面来逐步阐述： 一、向量的定义 向量是代数学中的一个重要概念，它是可以加减和乘以一个常数 的有向线段，具有大小和方向。通常用箭头表示，箭头的起点表示向 量的起点，箭头的终点表示向量的终点，箭头的长度即为向量的大小，箭头的方向即为向量的方向。 二、向量的线性相关和线性无关 在矢量空间中，如果向量之间可以表示成线性组合的形式，即存 在一个系数使得这些向量的线性组合等于零向量，则这些向量被称为 线性相关的。反之，如果这些向量之间不存在这样的关系，则它们是 线性无关的。 三、共面向量的定义 如果存在一个平面可以同时包含三个向量，那么这三个向量就被 称为共面向量。这样的平面被称为共面平面。 四、三个非零向量共面的充要条件 如果三个非零向量共面，那么它们在同一个平面上，因此可以表 示成线性组合的形式。假设这三个向量分别为a、b、c，则有c=ma+nb 其中，m和n为常数。将上式代入以下两式： a=k1b+l1c b=k2a+l2c 将c代入上面两式，化简后得到 k1(k2m-l1)+l2n=0 这个方程的解只能是k1=k2m/l1，l2=n。
因此，k1、k2、l1、l2不可能同时为零，因为这样就成了线性无关的向量，而我们前面已经说过这三个向量是共面的，即它们是线性 相关的。因此，三个非零向量共面的充要条件是它们线性相关。 综上所述，三个非零向量共面的条件是这三个向量线性相关。这 个定理在矢量空间中有着广泛的应用，通常被用来判断三角形的面积、解决线性方程组、进行坐标变换等各种实际问题。掌握这个定理，在 解决相关问题时将会事半功倍。
线性代数知识点总结（中） 向量 （一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα 2、长度定义：||α||= 3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0 4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E A-1=AT ATA=E|A|=±1 （二）线性组合和线性表示 1、线性表示的充要条件： 非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示 (1)非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。 (2)r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验） 2、线性表示的充分条件：（了解即可） 若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。 3、线性表示的求法：（大题第二步） 设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。 （α1，α2，…，αs|β）初等行变换（行最简形|系数） 行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0 （三）线性相关和线性无关 1、线性相关注意事项： （1）α线性相关α=0 （2）α1，α2线性相关α1，α2成比例 2、线性相关的充要条件： 向量组α1，α2，…，αs线性相关 （1）有个向量可由其余向量线性表示；
（2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解； （3）r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数 特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关 （1）r（α1，α2，…，αn）＜n （2）|α1，α2，…，αn|=0 （3）（α1，α2，…，αn）不可逆 3、线性相关的充分条件： （1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关 （2）部分相关，则整体相关 （3）高维相关，则低维相关 （4）以少表多，多必相关 推论：n+1个n维向量一定线性相关 4、线性无关的充要条件 向量组α1，α2，…，αs线性无关 （1）任意向量均不能由其余向量线性表示； （2）齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解 （3）r（α1，α2，…，αs）=s 特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关 r（α1，α2，…，αn）=n|α1，α2，…，αn|≠0矩阵可逆 5、线性无关的充分条件： （1）整体无关，部分无关 （2）低维无关，高维无关 （3）正交的非零向量组线性无关 （4）不同特征值的特征向量无关 6、线性相关、线性无关判定 （1）定义法 （2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关 【补充】 （1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满
线性代数中的若干个充要条件 一、n 阶方阵可逆的充要条件 A 是n 阶可逆方阵 ⇔E BA AB ==)( ⇔0det ≠A （非奇异） ⇔n A =rank （满秩） ⇔A 的最高阶非零子式的阶数等于n ⇔E A ~（等价） ⇔A 的伴随矩阵*A 可逆 ⇔)rank()rank(B AB = ⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP = ⇔存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA = ⇔存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ,使s P P P A 21= ⇔0=Ax 只有零解 ⇔0=Ax 解空间的维数是零 ⇔ββ=∈∀Ax R n ,总有唯一解 ⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔ ββ ,n R ∈∀总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示 ⇔A 的特征值均不为零 实对称 A ⇔A 的正、负惯性指数的和n q p =+
⇔A A T 是正定矩阵 ⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基 ⇔A 的列向量组与单位向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,,010,00121 n εεε等价 ⇔A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵 二、β=⨯x A n m 有(无)解的充要条件 β=⨯x A n m 有（无）解 ⇔),rank(rank βA A = （),rank(rank βA A <） ⇔向量β可以（不能）被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示 三、β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解的充要条件 β=⨯x A n m 有唯一（无穷多）解 ⇔)(),rank(rank n n A A <==β ⇔A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示（n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一） 四、0=⨯x A n m 只有零（有非零）解的充要条件 0=⨯x A n m 只有零（有非零）解
线性代数知识点总结（第 3 章）（一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（α，β ）=αTβ =βTα 2、长度定义：|| α||= 3、正交定义：（α，β） =αTβ=βTα=a1b1+a2b2++a n b n =0 4、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵，T-1 T AA=E←→A=A ←→ T AA=E →|A|= ±1 （二）线性组合和线性表示 5、线性表示的充要条件： 非零列向量β可由α1，α2，，αs线性表示 (1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，，αs）（x1， x2，， x s）T=β有解。★(2)←→r （α1，α2，，αs）=r（α1，α2，，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验） 6、线性表示的充分条件：（了解即可） 若α1，α2，，αs 线性无关，α 1，α 2，，αs，β线性相关，则β可由α1，α 2，，αs线性表示。 7、线性表示的求法：（大题第二步） 设α1，α2，，α s线性无关，β可由其线性表示。 （α1，α2，，αs| β）→初等行变换→（行最简形 | 系数） 行最简形：每行第一个非0 的数为 1，其余元素均为0 （三）线性相关和线性无关 8、线性相关注意事项： （1）α线性相关←→α =0 （2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例 9、线性相关的充要条件： 向量组α 1，α 2，，αs 线性相关 （1）←→有个向量可由其余向量线性表示； （2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（x1，x2，， x s）T=0 有非零 解；★（ 3）←→r （α1，α2，，αs）＜ s 即秩小于个数 特别地， n 个 n 维列向量α1，α2，，αn线性相关
考研数学一（线性代数）模拟试卷134(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )． A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关 B．α1一α2，α2一α3，α3-α4，α4-α1线性无关 C．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关 D．α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性无关 正确答案：C 解析：因为一(α1+α2)+(α2+α3)一(α3+α4)+(α4+α1)=0，所以α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关；因为(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，所以α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性相关；因为(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，所以α1+α2，α2+α3，α3一α4，α4一α1线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4一α1线性无关，选(C)．知识模块：线性代数 2．向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是( )． A．向量组α1，α2，…，αm，β线性无关 B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0 C．向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数 D．向量组α1，α2，…，αm中任一向量均不能由其余m—1个向量线性表示 正确答案：D 解析：(A)不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2,…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；(B)不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关；(C)不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如线性无关，但其维数等于其个数，选(D)．知识模块：线性代数 3．设向量组α1，α1，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm 线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则( )．A．α1，α2，…,αm-1，β1线性相关 B．α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关 C．α1，α2，…，αm，β1+β2线性相关 D．α1，α2，…，αm，β1+β1线性无关
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线性代数判断题线性代数课程组
判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ） 1、以数k 乘行列式D ，等于用数k 乘行列式的某一行（或某一列）. （ ） 2、行列式 01 11 1≠--a a 的充要条件是a≠2且a≠0. （ ） 3、3阶行列式8 435763 21的值等于行列式853472361的值. （ ） 4、交换行列式的两列，行列式的值变号. （ ） 5、行列式3 2 1 332 2113 21 32 132 1 3 21 333c c c a b a b a b a a a c c c b b b a a a D +++==成立. （ ） 6、行列式2 2 112 2 112 22 21111d b d b c a c a d c b a d c b a D + = ++++= 成立. （ ） 7、行列式2 543423 21241086846 4 2 ⨯==D 成立. （ ） 8、n 阶行列式中元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 的关系是ij ij M A -=. （ ） 9、主对角线右上方的元素全为0的n 阶行列式称为上三角形行列式. （ ） 10、行列式2 54796238 7515642254796235642 8751= = D 成立. （ ） 11、设D 是行列式，k 是不为零的实数，则kD 等于用k 去乘以行列式的某一行得到的行列式. （ ） 12、如果行列式D 有两行元素对应相等，则0=D . （ ） 13、设D 是n 阶行列式，ij A 是D 中元素ij a 的代数余子式.如果将D 按照第n 列展开，则nn nn n n n n A a A a A a D +++= 2211. （ ） 14、行列式4 4 4 4 5432251694 5 432 1111= D 是范德蒙行列式. （ ）
向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例.
向量的线性相关性及其应用 摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。 关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵 一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念 1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量 空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为 向量组12,, s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。特 别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义: 定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得 1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组 12,,s ααα线性无关 。即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++ = 0 ,就称为 线性无关。 定义2：对于向量组12,, s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得 1122s s k k k ααα++=β 则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合 二． 关于线性相关性的几种判定 1. 利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用 的一种方法。具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++ = 0 ,其中12,s k k k 为常数; ⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12 ,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全
向量组的线性相关性总结(总 15页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分 量,第i 个数i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ + 则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组 ()z y x v v v t z y x ,,,,,,称为七维向量。更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线 性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。 §1 n 维向量 作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义 定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。 向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。向量常写为一行 α=（n a a a ,,,21 ） 有时为了运算方便，又可以写为一列 =α⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛n a a a 2 1 前者称为行向量，后者称为列向量。行向量、列向量都表示同一个n 维向量。 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。 分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0( 若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。 下面讨论n 维向量的运算。 定义2 设 ),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量 ),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即
习 题 四 A 组 1．填空题 (1) 设 x = (2, 3, 7)T ， y = (4, 0, 2)T ， z = (1, 0, 2)T ， 且 2( x a) 3( y a) z ， 则 a = ． 解 由 2( x a) 3( y a) z 得 15 a2x 3y z6 ． 18 (2) 单个向量 线性没关的充足必需条件是 ． 解0 ． (3) 已知向量组 =(1, 0,1) , =(2, 2,3) ， =(1, 3, t) 线性有关，则 ． 1 1 0 1 1 0 0 5 解 因为 2 2 3 2 2 1 2t 5 0 ，因此 t 2 ． 1 3 t 1 3 t 1 2 3 (4) 设有向量组 , ，又 ， 2 ， 2 ，则向量组 , , 线 性 ． 解 1 , 2 , 3 可由 1 , 2 线性表示，因此 1 , 2 , 3 的秩小于等于 2，进而可知 1, 2 , 3 线性 有关． (5) 若向量组 , , 线性有关，则向量组 ， ， 线性 ． 1 2 解 因为 2 3 3 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 ，又 0 1 1 2 0 ，因此矩阵 0 1 1 可逆，进而 3 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 0 1 1 2 3 ， 3 1 0 1 3 1 即 1, 2 , 3与12,2 3, 3 1等价．故 1 2 ， 2 3 , 3 1线性有关． (6) 设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1) 线性有关，且 a 1 ，则 ． 解 a 1 ． 2