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2015成都一诊数学理科模拟2

成都一诊模拟题2

理科数学试题

第Ｉ卷

一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)

1、设全集U R =，{

,A x y ==

{}

2,x B y y x R ==∈，则()

R C A B =（ ▲ ）

A 、{

x x < B 、{}01x x <≤ C 、{}12x x ≤＜ D 、{}2x x >

2、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=

?，则函数2

)2(2)(-?⊕=

x x

x f 为（ ▲ ）

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、既奇且偶函数

D 、非奇非偶函数

3、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ▲）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要

4、下列4个命题:

（1）若a b <，则22

am bm <；（2） “2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件；

（3）命题“x R ?∈，02

>-x x ”的否定是：“x R ?∈，02

<-x x ”；（4）函数21

()21

x x f x -=+的值域为[1,1]-。

其中正确的命题个数是（ ▲ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、0

5、定义在实数集R 上的函数()f x ，对一切实数x 都有）（）（x f x f -=+21成立，若()f x =0仅有101

个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ▲ ） A ．101 B ．151 C ．303 D ．

303

6、方程08349

2sin sin =-+?+?a a a x x

有解，则a 的取值范围（ ▲ ）

A 、0>a 或8-≤a

B 、0>a

C 、3180≤

D 、

2372

318≤≤a

7、方程1log )11(2

+=+-x x

的实根0x 在以下那个选项所在的区间范围内（▲）

A.)21,85(--

B.)83,21(--

C.)41,83(--

D.)8

,41(--

8、已知函数1

()()2(),f x f x f x x

=∈满足当[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax

=-与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（▲）

A 、1(0,)e

B 、1(0,)2e

C 、ln 31[

,)3e D 、ln 31

[,)32e

9、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的]2,[a a y ∈，都有],[2

a a x ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时c a +的取值为（ ▲ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

10、定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数

1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13

][)(--

?=x

x x x g 的零点个数分别为.,n m 则（▲） A ．313,101==n m B ．314,101==n m C ．313,100==n m D ．314,100==n m

第Ⅱ卷

二．填空题（本大题3个小题，每题5分，共15分，请把答案填在答题卡上）

11、已知函数0≤x 时，x

x f 2)(=，0>x 时，13

()log f x x =，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数有

▲

个.

12、给定方程：1

()sin 102

x +-=，下列命题中：

①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解； ④若0x 是该方程的实数解，则0x >–1。则正确命题是

▲．

13、下列命题是真命题的序号为： ▲

①定义域为R 的函数)(x f ，对x ?都有)1()1(x f x f -=-，则)1(-x f 为偶函数

②定义在R 上的函数)(x f y =，若对R x ∈?，都有2)1()5(=-+-x f x f ，则函数)(x f y =的图像关于)2,4(-中心对称 ③函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则)1949(+x f 是奇函数 ④函数)0()(2

≠+++=a d cx bx ax x f 的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。

⑤ 若函数d cx bx ax x f +++=23)(有两不同极值点21,x x ，若)()(1212x f x f x x ->-，且11)(x x f =，

则关于x 的方程0)(2)]([32

=+?+?c x f b x f a 的不同实根个数必有三个

三．解答题：（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

14、已知向量m u r =(sin()A B -，sin()2

A π

-)，n r =(1，2sin B )，且m u r ?n r =sin 2C -，其中A 、B 、C 分

别为ABC ?的三边a 、b 、c 所对的角. （1）求角C 的大小；

（2）若3

sin sin sin 2

A B C +=

，且ABC S ?=，求边c 的长.

15、设命题p ：实数x 满足0342

<+-a ax x )0(>a ；命题:q 实数x 满足?????≤-->-+0

8222x x x x ，若p 是q 的

必要不充分条件，求实数a 的取值范围？

16、甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为

，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

(Ⅰ)(Ⅱ)求m ，n 的值； (Ⅲ)求ξ的数学期望。

17、设函数2

()(1)()x f x x e kx k R =--∈.

（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2

k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 的最大值M.

（3）当0=k 时，又设函数2

22)121ln()(2++--+=x x x x x g ，求证：当,2≥n 且*N n ∈时，)(ln )(1

31211n f n g n

+>++++

理科数学试题2（参考答案）

一、选择题

1-5 DABAD 6-10 DCCCA 二、填空题：

11、3 12、②③④ 13、③④⑤

三．解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 14、（12分）解：

（Ⅰ）m u r ?n r

=sin()A B -+2cos sin A B sin cos cos sin sin()A B A B A B =+=+

在ABC ?中，A B C π+=-，0C π<<

所以sin()sin A B C +=，又 m u r ?n r

=sin 2C - 所以sin sin 2=2sin cos C C C C =--

所以1cos 2C =-，即23

C π

（Ⅱ）因为3sin sin sin 2A B C +=，由正弦定理得3

a b c +=.

1sin 24

ABC S ab C ab ?===4=ab .

由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-222

29()44

a b ab a b ab c =++=+-=-

解得c =.

15、解：由命题p 得(3)()0x a x a --<，

由命题q 得22

28042,

2323,60x x x x x x x x ?+-><->????<≤??-≤≤--≤???

或由此分析，只有0>a 才可能，所以对于p ：3a x a <<

设(](,3),2,3A a a B ==

p 是q 的必要不充分条件故A B ?，23a a ∴≤>且3 又0>a ，故12a <≤

16、（12分）

解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，

()()()1

A P

B m P

C n ,,=

. ……………1分

(Ⅰ)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，

所以至少有一位学生做对该题的概率是()13

10144

P ξ-==-

=.………3分 (Ⅱ)由题意知()()

()()1101124

P P ABC m n ξ===--=，……4分 ()()11

3224

P P ABC mn ξ====，…………………………………5分

整理得 1

mn =，712m n +=.

由m n >，解得13m =，1

n =. ………………………………………7分（3）由题意知()()()()

1a P

P ABC P ABC P ABC ξ===++

()()()()11111

111122224

m n m n m n =

--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==1

，……………………10分

所以ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=?=+?=+=+==1312

17、（本小题1问3分，2问7分，3问5分，满分15分）解：'()(1)22(2)x x x x f x x e e kx xe kx x e k =-+-=-=- （1）当1k =时，令'()(2)0x

f x x e =-=，得120,ln 2x x ==

当0x <时，'()0f x >；当0ln 2x <<时，'()0f x <；当ln 2x >时，'()0f x >； ∴函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(ln 2,)+∞；单调递减区间为(0,ln 2) （2）∵1

k <<， ∴ 122k <<，所以 0ln 2ln 2k << 记()ln 2,h k k k =-则21'()12k h k k k -=-

在1

(,1)2

k ∈有'()0h k <， ∴当1

(,1)2k ∈时，()ln 2(1)1ln 20h k k k h =->=->。即ln 20k k >> ∴当1

(,1)2

k ∈时，函数()f x 在[0,ln 2)k 单调递减，在(ln 2,]k k 单调递增。

(0)1f =-，3()(1)k f k k e k =--，记3()()(1)k g k f k k e k ==--，下证()1g k ≥- '()(3)k g k k e k =-，设()3k p k e k =-，令'()30k p k e =-=得ln 31k =>

∴()3k

p k e k =-在1(,1]2

为单调递减函数，

而13

() 1.5022

p =>=，(1)30p e =-<

∴'()(3)0k g k k e k =-=的一个非零的根为01(,1]2

k ∈，且003k

e k =

显然3

()(1)k g k k e k =--在01(,)2

k 单调递增，在0(,1]k 单调递减，

∴3

()()(1)k g k f k k e k ==--在1(,1)2

上的最大值为

332

300000000()(1)333(1)11g k k k k k k k k =--=-+-=-->-

11()128g =>-

?74>

而74

> ∴ 1()12

g >-，(1)1g =-

综上所述，当1(,1]2

k ∈时，函数()f x 在[0,]k 的最大值M 3

(1)k k e k =--.

注：思路较多，但没说明为什么在k 取最大值或不清楚的至少扣4分

（3）当0=k 时，原式为x

e x x

f )1()(-=

化简不等式右边后即证

2)1ln(1........4131211++

+>+++++

=n n

n n s n ]11

1[21)1ln(+-++=n n

)]1

1()3121()211[(21)1......342312ln(+-+-+-++??=n n n n

即证：)111(21)1ln(1+-++>n n n n n 即证)11ln(2111n n n +>++

设)1,0(1

∈=t n

，移项，引出新函数即证0)1ln(211

1)(>+-++-=t t t t h

求导后很容易判断出单调增故)0()(h t h >得证，)(ln )(1

31211n f n g n

+>++++ 得证。

2015成都一诊数学理科模拟2

成都一诊模拟题2 理科数学试题第Ｉ卷一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1、设全集U R =，{ ,A x y == {} 2,x B y y x R ==∈，则() R C A B =（ ▲ ） A 、{ }0 x x < B 、{}01x x <≤ C 、{}12x x ≤＜ D 、{}2x x > 2、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -= ?，则函数2 )2(2)(-?⊕= x x x f 为（ ▲ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇且偶函数 D 、非奇非偶函数 3、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ▲） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 4、下列4个命题: （1）若a b <，则22 am bm <；（2） “2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件；（3）命题“x R ?∈，02 >-x x ”的否定是：“x R ?∈，02 <-x x ”；（4）函数21 ()21 x x f x -=+的值域为[1,1]-。其中正确的命题个数是（ ▲ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 5、定义在实数集R 上的函数()f x ，对一切实数x 都有）（）（x f x f -=+21成立，若()f x =0仅有101 个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ▲ ） A ．101 B ．151 C ．303 D ． 2 303 6、方程08349 2sin sin =-+?+?a a a x x 有解，则a 的取值范围（ ▲ ） A 、0>a 或8-≤a B 、0>a C 、3180≤a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的]2,[a a y ∈，都有],[2 a a x ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时c a +的取值为（ ▲ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10、定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数 1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13 ][)(-- ?=x x x x g 的零点个数分别为.,n m 则（▲） A ．313,101==n m B ．314,101==n m C ．313,100==n m D ．314,100==n m