第八讲 黄金分割与斐波那契数列
一、 黄金分割
1. 黄金分割的概念
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。前者如黄金，后者如珍珠。”
所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：
A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.
分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。 关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
其实有关“黄金分割”，中国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
2. 黄金分割的尺规作图
设线段为AB 。作BD ⊥AB ，且 ，连AD 。以D 为圆心，DB 为半径作圆弧，交AB BD 2
1
AD 于E 。再以A 为圆心，AE 为半径作圆弧，交AB 于C ，则
。故C 即为AB 的黄金分割点，如图8-1所示。 图8-1 黄金分割点
3. 黄金三角形与正五边形
所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰的与底的长度
比为黄金比。我们若以底边为一腰作一个等腰三角形，则此
三角形亦为一黄金三角形，如图8-2。图中三种不同长度的
线段，其中最长的线段a 与次长的线段b 比是黄金分割，次长的线段b 与最短的线段c 也是黄金比例。
古希腊时代有个毕达哥拉斯为首的哲学家与数学家组织， 图8-2 黄金比例
他们以一个在外面围上正五边形的五角星作为他们毕氏学派
的标志。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星。不难发现五角星内部又隐藏着一个正五边形，画出这个五边形的对角线，就产生一个小的倒五角星形，其内部也包含一个更小的五边形，再画出它的每条对角线又可得到一个小小的五角星形……这个过程可以不断地进行下去。但最令毕氏学派对五角星形着迷的并不是它能够自我复制的特性，而是隐藏在它线条之内的“黄金比例”：所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
图8-3中任两条交叉的对角线，都被对方切成两段不等长的线段，
而整段对角线与长段的比值，恰好就是长段与短段的比值。这个比值
正是黄金比值φ。而图中的两条同顶点的对角线将另一条和他们相交
的对角线黄金分割于两交点。 图8-3 五角星
再仔细观察一下，不难发现在这五边星形中充满了大大小小的黄金三角形。其实正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金三角形。 2
15-=
AB AC
黄金三角形还有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形。
4. 黄金矩形
黄金矩形（Golden Rectangle ）是长宽之比为黄金分割率
的矩形。黄金矩形（ABCD ）可以被分为一个正方形及一个
小的黄金矩形(FDCE )如图8-4所示。这个小的黄金矩形又可 以再分成一个正方形和一个更小的黄金矩形。 图8-4 黄金矩形
5. 黄金分割在各领域中的应用
黄金分割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验等领域都有着广泛而重要的应用。 ※ 建筑艺术
黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字0.618
特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法
国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。还有，日常生活中我们看到的大
多数门窗的宽长之比也是0.618。
如图8-5：巴黎圣母院的正立面的宽度和高度之比为0.618。
※ 绘画及雕塑作品
艺术家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，塑造出的人体身
材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古
希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身
高的比值为0.618，从而创造艺术美。
黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品中都能 找到它。达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形；《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形；《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
※ 人体美学
人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的
图8-5 巴林圣母院
图8-6 维纳斯女神
辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。
0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美；于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！在研究黄金分割与人体
关系时，发现了人体结构中有14
个“黄金点”（物体短段与长段之
比值为 0.618），12个“黄金矩
形”（宽与长比值为 0.618的长
方形）。
分析
（1）黄金点：
①髋骨：头顶－足底之分割
点
②咽喉：头顶－肚脐之分割点
③膝关节：肚脐－足底之分割点
④肘关节：肩关节－中指尖之分割点
⑤乳头：躯干—乳头纵轴上之分割点 ⑥眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点
⑦鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；⑾唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点
⑧颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点
⑨左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点
⑩右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律面部三庭五眼
（2）黄金矩形：
①躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长
②面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长
③鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长
④唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长
图8-7 黄金比例
⑤、⑥手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长
⑦、⑧、⑨、⑩、⑾、⑿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。
※ 舞台表演
舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。因为站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
又如芭蕾舞演员在表演时不时地掂起脚尖。这是因为虽然芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了，给人以更为优美的艺术形象。这也是为什么许多姑娘都愿意穿高跟鞋的秘密所在。
※ 音乐
音乐家发现，二胡演奏中，“千金“分弦的比符合0.618∶1时，奏出来
的音调最和谐、最悦耳。又如：小提琴柄和琴身符合黃金比例(如图8-8）；
等等。
※ 植物界
有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成 1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的
137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°
-137.5°=222.5°，而137.5∶222.5≈0.618。瞧，这就是“密码”！
叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618的比例。并且叶子中主
叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比也约为0.618。 ※ 动物界
图8-8 小提琴
图8-10 叶子
在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割；又如蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近
0.618。 ※ 医学
医学与0.618也有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。 ※ 科学实验——优选法
优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献。优选法中有一种0.618法应用了黄金分割法。例如，在一种试验中，温度的变化范围是0℃~10℃，我们要寻找在哪个温度时实验效果最佳。为此，可以先找出温度变化范围的黄金分割点，考察10×0.618=6.18（℃）时的试验效果，再考察10×（1-0.618）=3.82（℃）时的试验效果，比较两者，选优去劣。然后在缩小的变化范围内继续这样寻找，直至选出最佳温度。
※ 其它方面
黄金分割与日常生活的联系也十分紧密。
①最美纸扇：张开角是140度的纸扇最美；
②最好吃的馒头：发酵粉的量的10倍与面粉的比值是0.618；
③电脑显示器长与宽比值约为1.6。（1/0.618=1.618）；
④理想体重计算很接近身高×（1－0.618）；
⑤普通人一天上班8小时，8×0.618=4.944，上班第5个小时是最需要休息的时候，同时也是开始期待下班的时候；
⑥地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则34.38° —55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。
⑦打开地图，你会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金图8-9 蝴蝶 图8-11 最美纸扇
分割的纬度上。
二、 斐波那契数列
1. 斐波那契斐及波那契数列相关概念
斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）：是中世纪最杰出的数学家，出
生于意大利的比萨（Pisa ）。由于父亲是位商人，长年在北非从事贸易活动，
斐波那契从小就跟随穆斯林老师学习，并游历过埃及、叙利亚、希腊等国。
学习了许多东方数学知识，特别是各国的算术系统。他认为“印度——阿
拉伯数字”是最好的记数符号。回国后不久，便写出了一本数学著作，名
为《算法之书》，在这里提出了兔子的繁殖问题，这就是“斐波那契数”
的来历。
问题是这样的：“如果每一对兔子每月能生一对新兔（总是一公一母），而每一对新兔在出生后得第三个月里开始生一对新兔（还是一公一母），假定在不发生死亡情况之下，一对初生的兔子在一年末能繁殖成多少对？”
分析：现在假定去年12月里有一对初生的兔子，在二月份里，这对兔子生了一对小兔，总共有2对；在三月份里，仍然只有原来的一对能生小兔，所以总共是3对；在四月份里，因为二月份出生的兔子会生小兔子，因此，这个月生了2对小兔，总共就有5对了；在五月份里，又增加了三月份出生的兔子生小兔，这一个月就能生3对，所以总共有8对；依同样的方法算出各个月份兔子的总对数，如表8-1中所列出的数字。
表8-1
从表1中排列各个月份的兔子对数，我们发现了一个有趣的规律，就是后面一个月的兔子总对数恰好等于前面两个月兔子总对数的和。现在把各月份的兔子对数，排成一列数为：
1,1,2,3,5,8，……，233，……
上面这一列数就称为斐波那契数列。其特征是每一项均为前两项之和，即 )3(,
12121≥+===--n a a a a a n n n ，
这个数列的每一项叫做斐波那契数。 图8-12 斐波那契
2. 斐波那契数列的一些简单性质
（1） 第3、6、9、12等项的数字能被2整除；第4、8、12等项的数字能被3整除；第5、10等项的数字能被5整除；其余依此类推。
（2） 连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！
3. 斐波那契数列的存在
可以说，费波那契数列无处不在，以下仅举几个常见的例子：
（1） 3,5,8,13,21,34,55,89，……这一串由兔子繁殖问题产生的数，成为花的瓣数中存在的一个奇特模式：几乎所有的花，其瓣数都在这串数中：百合花3瓣；毛茛属植物花有5瓣；许多翠雀属植物花有8瓣；万寿菊花13瓣；紫菀属植物花21瓣；大多数雏菊为34、55、89瓣，其他瓣数则很少。
海棠（2瓣） 蝴蝶兰（5瓣） 雏菊（13瓣）
（2） 树木的生长，由于新生的枝条往往需要一段“休
息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗
在一段间隔（如图7-16），例如一年，以后长出一条新枝；第
二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过
一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一
株
树木各个年份的枝丫数，便构成费波那契数列。这个规律，
就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。 图8-14 数目生长各个年份枝丫数构成斐波那契数列
图
8-13
（3） 观察向日葵，你会发现子盘中的小花呈现两族相向螺线排列。有些品种顺时针螺线数是34，逆时针的为55；也有的是55和89，甚至是89和144。又如：松子种子的排列、菜花和菠萝表面排列的螺线数都符合斐波那契数列。这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛 研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植物生长的动 力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。
（4） 从蜜蜂的繁殖来看，熊蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的
卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，
发现一只雄峰的第n 代祖先的数目刚好就是费波那契数列的第n 项n F 。
（5） 杨辉三角对角线上各数之和构成费波那契数列：
（6） 斐波那契数列与音乐，例如：钢琴上黑白键的数目设置符合斐波那契数列。
（7） 影视作品中的斐波那契数列：比如在风靡一时的电影《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题。在FOX 热播美剧《Fringe 》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。 1 7 21 35 35 … 13 1 6 15 20 15 … 8 1 5 10 10 5 1 5 1 4 6 4 1 3 1 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 杨辉三角形 F n 8-15 向日葵
三、 斐波那契数列与黄金分割之间的关系
將两个连续的斐波那契数相比:
由此可以观察到：斐波那契数列中前数与后数的比值应该接近黄金分割，并且随着项数的增
加而越来越接近。这个比值的极限即是黄金分割率。即：
※ 感言：
著名的数学家华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”是的，数学几乎渗透到了各个科学领域。在我们的日常生活中有许许多多应用数学的例子，只是很多时候我们都习以为常，并没有意识到数学在其中所起的作用。因此我们要有一双发现的眼睛，善于观察、发现身边的事物，并能够挖掘出其中的数学意义。
,618033989.01346296
832040,,619047619.02113,615384615.0138,666666667.085,6.053,666666667.03
2====== 618.0)15(21lim 1=-=-∞→n
n n a a
第八讲 黄金分割与斐波那契数列 一、 黄金分割 1. 黄金分割的概念 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字。 德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。前者如黄金，后者如珍珠。” 所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法： A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less. 分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。 关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，中国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 2. 黄金分割的尺规作图 设线段为AB 。作BD ⊥AB ，且 ，连AD 。以D 为圆心，DB 为半径作圆弧，交AB BD 2 1
《斐波那契数列》教学设计 教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。 教学目标：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。 3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学过程： 一、故事引入，提出问题 很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1、请学生读题，分析、理解题意。 你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、模拟兔子生长过程 ⑴请同学们讨论，你想了解哪些问题？如何解决？（这一年当中，兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下，好不好？ ⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。 1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。 ⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导 ⑷汇报交流，解决问题。 二、合作探究，解决问题 1、刚才大家表现得很踊跃。下面我们就来研究这个著名的数学问题， 它就是这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…… 2、观察前后数的关系，从这个数列中你发现了什么规律? ①学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。 ②若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是前两项之和，则称该数列 为斐波那契数列。 三、应用新知，练习巩固 根据你发现的规律填空
斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号
摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词：斐波那契，黄金分割，应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下： 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89?．这个数列显然有如下的递推关系： F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =
三庭五眼 “三庭五眼”是中国古代关于面容的比例关系的一种概括，也称“三横五竖”，可作为化妆的着色定位的参照尺度 “三庭五眼”是人的脸长与脸宽的一般标准比例，不符合此比例，就会与理想的脸型产生距离。眼睛的宽度，应为同一水平脸部宽度的3/10；下巴长度应为脸长的1/5；眼球中心到眉毛底部的距离，应为脸长的1/10；眼球应为脸长的1/14；鼻子的表面积，要小于脸部总面积的5/100；理想嘴巴宽度应为同一水平脸部宽度的1/2。 怎样确定“三庭五眼”和“四高三低” 三庭和五眼的位置： 1、脸部的长度（三庭）从额头发际线倒下颚为脸的长度，将其分为三等分:由发际线到眉毛，眉毛到鼻尖，鼻尖到下颚为三庭。 2、脸的宽度(五眼)理想脸型的宽度为五个眼睛的长度，就是以一个眼睛的长度为标准，从发际线到眼尾(外眼角)为一眼，从外眼角到内眼角为二眼，两个内眼角的距离为三眼，从内眼角到外眼角，又一个眼睛的长度为四眼，从外眼角再到发际线称为五眼。 三庭：指脸的长度比例，把脸的长度分为三个等分，从前额发际线至眉骨，从眉骨至鼻底，从鼻底至下颏，各占脸长的1/3。 五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度分成五个等分，从左侧发际至右侧发际，为五只眼形。两只眼睛之间有一只眼睛的间距，两眼外侧至侧发际各为一只眼睛的间距，各占比例的1/5。 凹面：面部的凹面包括眼窝即眼球与眉骨之间的凹面、眼球与鼻梁之间的凹面、鼻梁两侧、颧弓下陷、颏沟和人中沟。 凸面：面部的凸面包括额、眉骨、鼻梁、颧骨、下颏和下颌骨。 由于人们的骨骼大小不同，脂肪薄厚不同及肌肉质感的差异，使人们的面部形成了千差万别的个体特征。面部的凹凸层次主要取决于面、颅骨和皮肤的脂肪层。当骨骼小，转折角度大，脂肪层厚时，凹凸结构就不明显，层次也不很分明。当骨骼大，转折角度小，脂肪层薄时，凹凸结构明显，层次分明。凹凸结构过于明显时，则显得棱角分明，缺少女性的柔和感。凹凸结构不明显时，则显得不够生动甚至有肿胀感。因此，化妆时要用色彩的明暗来调整面部的凹凸层次。 我们再看，在垂直轴上，一定要有“四高三低”。
内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷（试卷科目：中学数学）01 第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分） 第1题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ C）。 (2.5分) A．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践 B．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程C．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已D．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程 第2题 (单选题)在美国，教育技术作为一个新兴的实践和研究领域而出现始于下列选项内容的是（ A）。 (2.5分) A．视听运动 B．计算机辅助教育 C．程序教学法 D．网络技术应用 第3题 (单选题)"教师不应一味以传统集体传授教学的方式进行教学，而应使用能够让学生进行操作或进行社会活动的方式来学习"，这反映的是（ A ）的学习观。 (2.5分) A．建构主义 B．人本主义 C．行为主义 D．认知主义 第4题 (单选题)在视听教学运动背景下，对教育技术基本内涵表述不恰当的是（ C）。 (2.5分) A．在教学过程中所应用的媒体技术手段和技术方法 B．在教学过程中所应用的媒体技术和系统技术 C．在教学过程中所应用的媒体技术 D．在教学过程中所应用的媒体开发和教学设计 第5题 (单选题)关于教学方法的选择，下列选项中说法正确的是（ C ）。 (2.5分) A．教学方法的选择不涉及学习者特征方面因素
最美丽的数列------斐波那挈数列 数学科学院宋博文1100500163 在原理课上,我们了解了斐波那挈数列,在课余生活中,我再读小说<达芬奇密码>时,提到了斐波那挈数列,它是被一个艺术家当作线索留给他人的,当时不知道他为什么被艺术家这么看重,以至于可以上升到生命的高度,因此我对斐波那挈数列产生了浓厚的兴趣,所以我结合了老师上课讲的东西,以及自己课下的了解,对斐波那挈数列有了一些认识,现在总结在这里,展示自己学到了什么. 在课上老师讲了斐波那挈数列是由意大利数学家,斐波那挈发明的.当时他是用一个形象的故事为例子而引入的斐波那挈数列. 兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对； －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。 斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*[(1+√5/2)^n-(1-√5/2)^n]（n=1,2,3.....） 因此斐波那挈数列又叫做兔子数列,我想这个例子真的让我感到数学源于生活,生活的需要是我们不段地通过现象发现数学问题,而不是为了学习而学习,我想斐波那挈不可能真的是通过兔子来发现的这个问题,但他是伟大的数学家,他想告诉我们这种数学问题的本质. 回到正体,提到了斐波那挈的伟大,现在我们在了解一下斐波那挈,我再课下了解到他竟叫做列昂纳多斐波那挈,与列昂纳多达芬奇,并被誉为比萨的列昂纳多.我想数学家有艺术家的称号,并不是一件简单的事. 直观的讲斐波那挈数列1、1、2、3、5、8、13、21、……从第三项开始,每一项都等于前两项之和,有趣的是这样的完全是自然数的数列,竟然可以用无理数来表达的,我记得老师当时好像讲过这一点但是当时好像并不太在意这一点,因为觉得这没什么,但是当我了解到,随着数列项的增加,前一项与后一项之比愈来愈逼近黄金分割的数值0.618时我却是被震惊到了,因为数学可以表达美,我想这是我们不得不赞叹的地方,当数学创造了好多的奇迹时,我想可能会很少人注意到我们数学本质是可以回归到自然的,这样的事例还有很多, 在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的
人体美学中的黄金分割 人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。本次讨论的问题主要为美学观察的一些定律。 （一）黄金分割律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点； (14) 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律面部三庭五眼黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。 黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。 0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。 （二）比例关系是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法（见中图）。分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为７或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。标准的面型，其长
趣 谈 黄 金 分 割 邻水县九龙中学 任贤德 2006.6 物体的形体之美有两种，对称美和不对称美。对称是一种美，稳定、庄重、和谐；不对称更是 一种美，奇异、变化、多样。对称美中最美的平面图形是圆，最美的立体图形是球。不对称现象中，最美的是符合“黄金分割律”的形体。古希腊以来的美学家有一条公认的美学定律：符合黄金分割的平面图形或几何体最美。例如：底边和腰长之比等于黄金比的三角形是最美的三角形，称为黄金三角形；宽与长之比为黄金比的矩形是最美的矩形，称为黄金矩形。 黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊哲学家、美学 家柏拉图将此称为黄金分割。 黄金分割实际上是一个数学比例关系。把长为一的线段分成两部分，使较长一部分恰好是全长 与较短部分的比例中项即：1：x = x ：1- x ，x 2 + x +1 = 0，解得：x =() 512 1+-618.0≈，0.618：1称为黄金分割比，0.618称为黄金分割数，c 点称为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点。此分割在课本上被称为黄金分割。 传说有一次毕达哥拉斯路过一个铁匠铺，听到叮叮当当的悦耳敲击声，简直把他给迷住了，似 乎这声音中隐藏着什么秘密，他走进作坊，东听听，西量量，发现铁锤和铁砧之间有一种神秘的比例关系，就是0.618，这令他惊叹不已。当铁锤和铁砧达到这一和谐的比例关系时，发出的声音就最优美。用琴弦演奏音乐时，把琴弦的千斤放在0.618处，这时它发出的声音就悦耳动听，也是这个道理。 黄金分割是一个古老的数学问题，它的神秘莫测，令人们不断地研究它，发现它，并在实践中 运用其服务于我们的生活。它的各种神奇的作用和魔力，至今还没有明确的解释。但随着黄金分割奇妙性质逐渐被发现，它在实际生活中发挥着越来越多的甚至是我们意想不到的作用。 黄金分割在数学、建筑、艺术、科学技术、工农业生产、军事、日常生活及社会的各个方面都 有广泛的应用，让我们大开眼界，哇！它真是太神奇了。下面我们来归纳它的一些奇妙的性质和它的一些重要应用。 一.黄金分割与数学 1. 黄金分割数的性质：黄金分割数G （G=() 512 1+-618.0≈）的倒数是1+G ，1+G 的倒数是G 。 黄金分割数是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，这是一个十分有趣的数字，我
function y=fx(x) if nargin==1 y=x+20/x; end end %a为区间下限，b为区间上限，e为精度； %fx（x）为原方程函数； function [xj,yj]=huangjin(a,b,e) a=input('Please enter the value of a:'); b=input('Please enter the value of b:'); e=input('Please enter the value of e:'); while b-a>e x1=a+*(b-a); x2=a+*(b-a); if fx(x1) fn=y(n); end end %求解应计算次数的函数； %s为（b-a）/e的值，其中（a，b）为单峰区间，e为精度； function n=cishu(s) if nargin==1 n=1; while F(n) 斐波那契数列 每一对兔子过了出生第一个月之后，每个月生一对小兔子。现把一对初生小兔子放在屋内，问一年后屋内有多少对兔子？ 先不在这里考虑兔子能否长大，或是某些月份没有生小兔子一类的问题，完全只由数学角度去考虑这问题，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目，其内容大约是这样的：在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律： 不难发现，每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数，而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目，也即是两个月前的兔子总数，因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。由此可得每个月的兔子总数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有 377 对兔子。 若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是 1。若果设 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式：当 n 大于 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。下面是一个古怪的式子： (1) Fn看似是无理数，但当 n 是非负整数时，Fn都是整数，而且组成斐波那契数列，因为F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可用数学归纳法来证明。 利用斐波那契数列解决兔子数目的问题似乎没有甚么用途，因为不能保证兔子真的每月只生 研究性活动之生活中的黄金分割 一、课题的提出： 0.618，一个极为迷人而神秘的数字，而且它还有着一个很动听的名字———黄金分割率，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于2500多年前发现的。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。 在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割率，无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合1比0.618的比例。 那你有没有听说过，在生活上它也显示出它巨大而神秘的力量？那到底黄金分割在生活上的作用如何体现呢？ 二、分组探讨： 环节一：居你所知，黄金分割在生活上的应用有哪些？请举出例子。 [附件]：自从有了黄金分割至今，它就广泛地应用在建筑、绘画艺术等方面。宇宙万物凡是符合黄金分割律的就是最美的形体。凡以此为例的物体都具有一种和谐美和自然美。埃及的金字塔、巴黎圣母院、印度的泰姬陵、埃菲尔铁塔等名建筑中都有黄金分割的应用。画家画画的中心位置，二胡、笛子、五角星等的设计都运用于黄金分割。另外，咱们的书本、杂志、报纸、纸张、照片、黑板和标语牌等，其长与宽之比都是0.168，显得格外美观大方。在舞台上演出的独唱演员、报幕员，也往往是站在舞台的黄金分割之处，颇有艺术美感，给人视觉和听觉上都达到最佳效果。人体在其漫长的进化过程中，也逐渐趋向于“0.618黄金分割”，而且日臻完善。人的面部结构符合“三庭五眼”称为五管端正，现代学者定义人体身形等于“八个头长”即为最标准的身材，就因其符合黄金分割律。人的形体就是一个很美的实体，肚脐刚好就是整个人体的黄金分割点，肚脐以上与肚脐以下的比值是0.618。喉头刚好是头顶到肚脐的黄金分割点，膝关节是肚脐到脚底的黄金分割点，肘关节是手指到肩部的黄金分割点。 长发讲究外轮廓美感，发长应与身材协调，应用黄金分割比例设计，会使发型创作美感更易于把握。通常身材矮小者，易留短发或中长发，显得身材高桃挺拔，身材高大者，留中长发或长发，对身材比例上起到互补作用。刘海设计在发型创作中起着画龙点睛的作用，刘海可以赋予发型生命力与时尚感，不管是分区的设计还是发长的设定，都与黄金分割律有着密不可分的关系。刘海区域占顶区1/3面积，较能有效控制脸型的宽窄。用此区域对掌握脸型变大变小起着决定作手用。难怪天文学家开普勒把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出勾股定理和黄金分割是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉。”黄金分割数0.618，它不仅仅是一个小数，它却是生活中和谐美的代言人， 环节二：请研究讨论以下问题： 1、报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？ 答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的0.618处。 2、高清晰度电视的屏幕为什么要设计成16：9？ 答：因为若将屏幕的长与宽组成一条线段，取这条线段的黄金分割点，将线段分 膀薁羆莅袈蒀芅奇妙的裴波那契数列和黄金分割 莀膂蒇艿薂蒂肈“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 蚃莆螀蒁羃袇蒇斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21 膅芀莀蒄螆袈薂这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【 5表示根号5】 蒇蒃羄袈荿莁膄很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 芁莅螇衿芀蚅芈【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.87 袆薆莀莃膅膆羈还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。 蒅薇膁莂肅蒈膀如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。肈肀袃膈罿芃膃如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26 （从2开始每个数的两倍）。 膃莄羇蒀膂薃薇斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 袄袅羁羀肄蒆薈斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性质： 羈膇肃薅芅聿肂 1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-1 蚈羂肆莈薀袀莅 2.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-1 螁节芆肁羃薂袇 3.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-1 螃肅芇袂肃蚆腿 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+ +[f(n)]^2=f(n) f(n+1) 芈螈螁薃薄蚀羃 5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)^n f(n)=(-1)^n [f(n+1)-f(n)]+1 艿蕿羄蚇膁螂芄 6.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n) 蚂蒅蒆莇蚁螅肇7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1) f(n+1) 羆莅袈蒀芅羅蚀8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 蒇艿薂蒂肈膀薁（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。 螀蒁羃袇蒇莀膂（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。 莀蒄螆袈薂蚃莆斐波那契数经常与花瓣的数目相结合： 羄袈荿莁膄膅芀 3 百合和蝴蝶花 螇衿芀蚅芈蒇蒃 5 蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 莀莃膅膆羈芁莅8 翠雀花 膁莂肅蒈膀袆薆13 金盏草 生活中的黄金分割 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数字0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。 数字0.618…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即1500克)作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减 少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达·芬奇把0.618…称为黄金数。 黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则34.38°—55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。 人体美学中的黄金分割 人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。本文主要讨论美学观察的一些定律。 （一）黄金分割律这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类 《斐波那契数列的应用》课题设计 一、课题的确定： 孩子们小学六年学习了六年的数学，却从来没有想过为什么要学习数学，有的同学是认为学习数学是为了计算，而有的同学是认为学习数学是为了应用于生活，却从来没有亲身体会感受过数学的神奇，有没有一个课题能让学生感受到学习数学的目的，特别是让学生亲自体会感受一下数学的美，感受大自然的造物的神奇呢？我思考再三最终确定了研究课题《斐波那契数列的应用》。 二、课题的布置与指导： 《斐波那契数列的应用》是数学史上非常著名的一个数列，课本是作为一段阅读材料呈现的，以《兔子的繁殖》为例介绍了斐波那契数列的产生，我本节课确定的目标主要是通过研究让孩子们领略学习数学的目的，感受一下数学本身的魅力以及大自然造物的神奇。我是从四个方面来布置的课题研究任务：1、以《兔子的繁殖》为例，研究数列的产生，每个小组都要进行研究。前一天进行了布置，第二天我们就进行了交流汇报，孩子们研究的不错。于是又接着分组布置了任务：第一小组：从计算的角度研究斐波那契数列的秘密。第二三小组：从应用的角度出发，到大自然中到生活中去观察是否有斐波那契数列。孩子们真的是很善于思考，第二小组潘珂在爸爸领着去花棚里买花时，发现了花瓣里的斐波那契现象，而另一个同学惠鹏程却在住的小区里发现了植物叶序也存在着斐波那契现象。第三小组的费枫舒在和妈妈去超市买东西时看到了正在削菠萝的阿姨，产生了兴趣蹲在那一个多小时发现了菠萝里的斐波那契现象。而惠荣薪则是在一次上课快迟到了，大步流星的迈楼梯，突发奇想研究研究台阶的迈法，和她的小伙伴发现了楼梯里的斐波那契的秘密，组成了课题研究的第四小组。我把孩子们的研究情况进行了汇总，考虑到时间有限，最终确定了把数列的产生不纳入到本节课的汇报当中。 三、课堂实录： （一）、导入： 师：大家喜欢数学吗？问大家一个问题：我们天天在学习数学，那你知 内蒙古自治区中小学教师教育技术水平（初级）试卷 （试卷科目：中学数学） 第一部分：基本知识题（本部分共8个题，每题2.5分，满分20分） 第1题 (单选题)教育技术的本质特征是（ C ）。 (2.5分) A．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的教学实践B．本题答案中所给出的其它3个选项都不对 C．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论和实践D．运用技术手段去优化教育、教学过程，以提高教育、教学的效果、效率和效益的理论研究 第2题 (单选题)关于教学评价中收集数据的工具与方法，下列说法中不正确的是（ D ）。 (2.5分) A．形成性练习是教学评价中经常使用的方法 B．结构化观察是教学评价中经常使用的方法 C．总结性测验是教学评价中经常使用的方法 D．在教学评价中无需使用态度量表 第3题 (单选题)课程结束时进行期末考试，考试依据课程标准来确定试题范围，采用纸笔测验试卷评分的方式。就这一评价（考试）的类型，以下选项中不准确的一项是（ B ）。 (2.5分) A．它是一种定量评价 B．它是诊断性评价 C．它是总结性评价 D．它是一种绝对评价 第4题 (单选题)将认知领域的教学目标分为了解（识记）、理解、运用、分析、综合、评价六个层次的美国心理学家是（ C ）。 (2.5分) A．加涅 B．布鲁纳 C．布卢姆 D．奥苏贝尔 第5题 (单选题)"知识积累的关键因素是刺激、反应以及两者之间的联系"，持这一观点的学习理论流派是（ D ）。 (2.5分) A．建构主义 B．认知主义 C．人本主义 D．行为主义 第6题 (单选题)根据您对教育技术及相关基础知识的理解，下例选项不正确的一项是（ B ）。 (2.5分) A．教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程 B．教育技术与信息技术的涵义是一样的，只是用不同的名词来表述而已 C．教育信息化是指在教育教学的各个领域中，积极开发充分应用信息技术和信息资源，以促进教育现代化，培养满足社会需求人才的过程 D．教育技术就是为了促进学习，对有关的学习过程和资源进行设计、开发、利用、管理和评价的理论与实践 黄金分割（黄金比例） 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。 据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪 应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》 数学定义 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。[1] 附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565 特殊的数列 设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。 经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。[5] 黄金三角形 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。 将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。[6] 发展简史 黄金分割最早记录在公元前6世纪，关于黄金分割比例的起源大多认为 斐波那契与斐波那契数列（初一、初二、初三） （519015）广东省珠海市第四中学陈湘平斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170-约1250），12、13世纪欧洲数学界的代表人物，生于比萨的列奥纳多家族，是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的官员的儿子。早年在北非受教育，由于他父亲的工作，成年后曾到埃及、叙利亚、希腊西西里、法国等地游学，并拜访过各地著名的学者，也熟悉了各国在商业上的所用的算术体系，掌握了印度－阿拉伯的十进制系统，该系统具有位置值并使用了零的符号。斐波那契看到了这种美丽的印度－阿拉伯数字的价值，并积极提倡使用它们。1202年他写了《算盘书》一书（注：“算盘”指的是当时欧洲人用来计算的沙盘，而非中国的算盘），这是一本广博的工具书，其中说明了怎样应用印度－阿拉伯数字，以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题。此外还对代数和几何进行了进一步的探讨。此外他还出版了《几何实习》等书，书中首次引用了阿拉伯数字，这对当时盛行的罗马数字来讲也是一种挑战。后来人们通过对阿拉伯数字的不断接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，终于使印度－阿拉伯数字系统被慢慢地接受，并得以推广。 很有意思的是，斐波那契在今天的出名，是缘于一个数列，而这个数列则来自于他的《算盘书》中一道并不出名的问题。他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习。然而，到了19世纪，法国数学家E. 卢卡斯出版了一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时，才把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去。 《算盘书》中“兔子问题”，题目假定一对大兔子（一雌一雄）每一个月可以生一对小兔子（一雌一雄），而小兔子出生后两个月就有生育能力，问从一对小兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？”由此引出了一个重要的数列――“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。 斐波那契用顺推的办法解算如下： 第一个月：只有一对小兔。 第二个月：小兔尚未成熟，仍然是一对兔子。 第三个月：这对兔子生了一对小兔，这时共有兔子两对。 第四个月:原来的兔子又生了一对小兔，但上月出生的小兔仍未成熟，这样小兔共有三对。 ………… 如此分析下去，可以得到一年后的兔子数为144对。 上面顺推的办法着实有点笨，下面我们换一种思路推推看，我们容易发现： 从第三个月起兔子可以分为两类：一类是上个月的兔子，一类是当月新生的兔子，而这些兔子的对数恰好等于前两个月时的兔子对数，因为那个月份的的兔子在该月均能生小兔，这就是说：从第三个月起每月兔子数均为前两个月（上月和上上月）的兔子对数之和。这样一、二、三……诸月兔子数依次为： 斐波那契数列的应用 摘要 斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用。这个数列既是数学美的完美体现，又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系。从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。 关键字：Fibonacci数列 Fibonacci数应用 1.斐波那契数列的提出 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34 、……，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。即：如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0)=0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3) 确定的数列{ F(n)}（n≥1）叫做Fibonacci数列，F(n)叫做Fibonacci 数。 推导过程： 利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X^2=X+1 解得 ， 则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^ne if fx(x2)>=fx(x1) b=x2; x2=x1; x1=a+b-x2; else a=x1; x1=x2; x2=a+b-x1; end end xj=(a+b)/2; yj=fx(xj); end 此题中，a=-10，b=10，e=，程序运行结果为：xj =， yj =，若原方程改变，只需改变原方程函数即可。高考数学题型全归纳：斐波那契数列(含答案)
生活中的黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
生活中的黄金分割
小学数学《斐波那契数列课题》教学设计
中学数学-1(斐波那契数列)
黄金分割
斐波那契与斐波那契数列
斐波那契数列的应用论文
相关主题
文本预览