目录
摘要 (1)
第一章绪论 (2)
1.1 时间序列模型的发展及其作用 (2)
1.2 什么是时间序列模型 (2)
1.3 本文研究的主要方法和手段 (2)
1.4 本文主要研究思路及内容安排 (2)
第二章 ARMA模型 (4)
2.1 ARMA模型的基本原理 (4)
2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数 (4)
2.3 ARMA模型识别方法 (5)
2.4 模型参数估计 (6)
第三章实例分析 (7)
3.1 题目 (7)
3.2 问题分析 (7)
3.3 问题求解 (8)
3.3.1数据的观测 (8)
3.3.2数据处理 (8)
3.3.3求解自相关和偏相关函数 (8)
3.4 模型的识别及求解 (9)
3.5 结论 (11)
参考文献 (12)
附录 (12)
评阅书 (15)
《随机过程》课程设计任务书
摘要
ARMA模型是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。ARMA模型广泛应用在经济、工程等各个领域得益于其在具体预测方面的优势。在许多方面用该模型所作出的预测比其他传统经济计量方法更加精确。平稳时间序列模型主要有自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)等，这些线性模型考虑因素较简单。自回归滑动平均模型(ARMA)计算简单，易于实时更新数据。
本文描述了ARMA模型的原理、自相关函数和偏相关函数的计算过程、模型的识别方法以及ARMA模型的计算过程。并给出一组平稳时间序列的数据，对数据进行分析和处理，求出自相关系数和偏相关，并利用MATLAB软件画出自相关系数和偏相关图形，有图可知它们都是拖尾的，因此可以确定是)
ARMA模
p
,
(q 型。接下来就是确定)
ARMA的阶数，本文采用了AIC准则确定模型的阶数，
p
,
(q
在实际问题中，为使线性模型简单起见，通常p与q的数值被取得较小，却需都不为零。确定阶数后，就用我们学过的求解方法解出未知的参数，这样我们就得到了混合模型的表达式。
关键字：)
ARMA模型，自相关函数，偏相关函数
p
,
(q
第一章 绪 论
1.1 时间序列模型的发展及其作用
人们的一切活动，其根本目的无不在于认识和改造客观世界。时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在关系及其变化规律性，达到认识客观世界之目的，而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。时间序列分析在工程技术中有重要的作用，常用于做预报、控制等。为建立其随机线性模型，首先，我们应明白什么是时间序列：时间序列是随机序列，即参数离散的随机过程。由于工程中遇到的随机序列的参数经常为时间，故称随机序列为随机时间序列，简称时间序列。可以说，时间序列是随时间改变而随机变化的序列。平稳时间序列是平稳序列，它满足期望为零，且任意两个时刻的相关函数与时间t 无关，仅与两个时刻的时间差相关。
1.2 什么是时间序列模型
所谓的时间序列模型就是用观测得到的若干数据，即样本数据的基础上，建立符合事物发展规律的数学理论模型，就是根据时间序列t X 的一段样本观测数据t X （1≤t ≤N ）所包含的信息，利用自协方差函数r R ∧
和偏相关函数kk ?具有的“截尾”与“拖尾”性质，判定模型结构及阶数，时间序列的模型我们主要学习了)(p AR ，)(q MA 及混合模型),(q p ARMA 。
1.3 本文研究的主要方法和手段
求解模型就是绘制出这些数据的图形观察图形的走向。通常该图形被分为两种：平稳和非平稳图形。对于非平稳的图形，我们要用所学过的方法把这些非平稳的数据变成与之对应的平稳的数据，再用平稳的方法去研究它。对于平稳的图形，我们首先根据理论方法及数学软件，求解出自相关系数和偏相关系数，根据得出的自相关系数和偏相关系数分别绘制出图形，观察图形截尾还是拖尾，因此可以确定是哪类模型。接下来就是确定模型的阶数。确定阶数后即可求解出相关系数，这样就得到我们所要的模型表达式。
1.4 本文主要研究思路及内容安排
第一章介绍了时间序列模型的发展及其作用，什么是时间序列模型，课题研究工作和论文的内容安排。
第二章介绍)
ARMA的原理，自相关函数和偏相关函数，时间序列模型
p
,
(q
模型的识别方法以及)
p
ARMA的求解。
(q
,
第三章利用具体问题，对问题分析，判断出符合)
ARMA模型和并求解
p
(q
,
p
ARMA模型，并对文章进行总结。
,
)
(q
第二章 ARMA 模型
2.1 ARMA 模型的基本原理
),(q p ARMA 模型：如果时间序列t X 满足：
1111t t p t p t t q t q
X X X a a a ??θθ----=+++---
则称时间序列为
t
X 服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。或者记为：
()()t t B X B a ?θ=，
特殊情况：q=0，模型即为AR(p)，p=0，模型即为MA(q)。
将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这一组随机过程所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为1x ，2x ， ，t x 由回归分析：
其中Y 是预测对象的观测值， e 为误差。作为预测对象Yt 受到自身变化的影响，其规律可由下式体现：
误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示：
由此，获得ARMA 模型表达式：
0112201122t t t p t p t t q t q t
Y x x x ββββααααμ------=++++++++++
2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数
平稳序列21012,,,,,ωωωωω-- ， ()0t E ω=，对于样本，定义自协方差函数：
11221
1?n k
k k n k n
k j k j j n n ωωωωωωγωω-++-+=+++==∑ ，
则自相关函数为：0???/k k ρ
γγ=。同时为了保证?k k γγ=，?k k ρρ=一般取50,/4n k n ><。常取/10k n =。
为求出样本的偏相关函数，需要求解如下的Yule-Walker 方程：
1211111222211211
11k k k kk k k ρρρφρρρφρρρρφρρρρ--?????? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?
???? ?
??
解得
1
1
121111222
111
21?????1????1???????1?k k k k k kk φρρρ
ρ
ρρρφρρρρρρρφ---??????????????????????
??=????????????????????
??
???? 2.3 ARMA 模型识别方法
通常平稳时间序列t Z ，0,1t =± 仅进行有限n 次测量(50)n ≥，得到一个样
本函数，且利用平稳序列各态历经性：1
1n
j j Z Z n μ=≈=∑做变换，t t Z ω=，1,t n = ，
将1,,n Z Z 样本换算成为样本1,,n ωω ，然后再确定平稳时间序列{,0,1}t t ω=± 的随机线性模型。
按样本自相关函数和样本偏相关函数的值分别作出点图，按“截尾”，“拖尾”情况，查表确定模型的类别与阶数p ，q 。
理论上，线性模型的类别的确定可以根据kk φ和k ρ的拖尾性和截尾性来判别。但是在实际应用中，我们常用有一个样本算出^
k ρ=k ρ，^
kk ?=kk φ判别k ρ，kk φ是拖尾还是截尾的。随机线性模型的三种形式：)(p AR ，)(q MA ，),(q p ARMA 的判别分别如下：
（1）若k ρ拖尾，kk φ截尾在p k =处，则线性模型为)(p AR 模型。k ρ拖尾可以用的点图判断，只要样本自相关函数的绝对值愈变愈小（k 增大时）；但是，用样本偏相关函数判断kk φ 截尾在k=p 处应该如何作呢？因为k>p 时，样本偏相关函数不为零，而偏相关函数0=kk φ，这就给判断带来一定的困难。我们可以采用一下方法解决：当p k >时，平均20个样本偏相关函数中至多有一个使|^
kk ?| ≥
2/则认为kk φ截尾在p k =处。
（2）若kk φ拖尾，k ρ在p k =处截尾，那么线性模型为)(q MA 滑动平均模型。
kk φ拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断，只要|^
kk ?|愈变愈小（k 增大时）。但是，用样本自相关函数判断自相关函数k ρ在p k =处截尾可采用如下方法：当
p k >时，若平均20个样本自相关函数中至多有一个使|^
k ρ|≥
（3)若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模型可以看成混和模型（或者，样本自相关函数和样本偏相关函数都不为截尾的，又被负指数型的数列所控制）。其具体的判别方法和上述一样。如下表所示：
2.4 模型参数估计 1、()AR p 模型参数估计：
()AR p 模型有2p +个参数：2
12,,,,,p p αφφφσ 。利用Yule-Walker 方程，利
用Toeplitz 矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数kk φ。()AR p 模型的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函数计算的记录中取出样本参数值
即可。此时12,,,p φφφ ,都已经确定了，经过推理我们可以得到：2
01
p
j j j ασγφγ==-∑。
2、()MA q 滑动平均模型参数估计：
2222122
1+1????(1),0???????(),1q
k k k q k q k k q αασθθθγσθθθθθ-?++++=?=?-+++≤≤?? 可得1q +个方程，求21
2
????,,q
α
θ
θθσ ，即解这个非线性方程组。 3、(,)ARMA p q 混和模型参数估计
对于满足一个条件：1111......t t p t p t t p t q a a a ωφωφωθθ-------=---采用先计算
12???,,,p φφφ ，在计算212????,,q
αθθθσ 的方法，具体如下：1）可利用Toeplitz 矩阵和作矩阵乘法的方法求出12???,,,p φφφ 。2）令'
11...t t t p t p
ωωφωφω--=---混和模型化为：'11...t t t p t q a a a ωθθ--==---这是关于't ω的()MA q 模型，用't ω的样本协方差函数估计
2
12????,,q αθθθσ 的值。
第三章 实例分析
3.1题目
z的观测数据如下所示，N=64，建立表示测某简谐振动位移离平衡点的距离
t
数据序列的时间序列模型。
表-1 原始数据
-0.17007 -2.05056 -4.18035 0.11153 2.17675 4.08507 0.24983
-4.92336 -8.15675 -4.42107 -2.64058 -0.52570 -0.22015 0.36515 2.61949 1.53203 -0.77529 -3.25439 -0.41904 3.92127 2.97641 1.05303 -3.07748 -3.41256 -5.37570 -3.53729 -0.79940 -1.07239 0.78588 -2.48208 -4.03418 0.16420 -0.39307 3.88025 6.03561 5.70750 1.45257 -2.97501 -3.16561 -3.15184 -5.66101 -4.55502 0.10608 0.04231 0.79915 -0.12247 -5.97528 -9.16058 -9.73835
-5.22347 0.62229 4.34356 1.32363 -1.25405 -3.90467 -3.02789
2.78487 7.61065 6.14580
3.51779 1.79635 0.74996 -0.19133
-1.40428
3.2 问题分析
本问题是让我们建立时间序列模型，题中给出了64个数据首先用所给数据
绘制图形。根据数据绘制出的图形如下（程序见附录1）：Array
010203040506070
图（1）
由图形可以看出所给数据本身就是稳定的时间序列，接下来用MATLAB 软件求解出自相关系数和偏相关系数，根据得出的自相关系数和偏相关系数分别绘制出图形，观察图形截尾还是拖尾，由图可知自相关系数和偏相关图形都拖尾，因此可以确定是),(q p ARMA 模型。接下来就是确定),(q p ARMA 的阶数。在实际问题中，为使线性模型简单起见，通常p 与q 的数值被取得较小，却需都不为零。确定阶数后，就用我们学过的求解方法解出未知的参数，这样我们就得到了
),(q p ARMA 模型的表达式。
3.3 问题求解
3.3.1 数据的观测：
对一个时间序列作n 次测量得到一个样本12,,,n
Z Z Z ，一般取50n >。某简
谐振动位移离平衡点的距离t z 的观测数据，得到n =64个样本值1260,,,Z Z Z ，（列于表1中）。表1的t
Z 栏，共64个数据。将原始样本数据经过处理后变成时间
序列t
W 。
3.3.2 数据处理：
（1）求取误差时间序列t Z ：
用MATLAB 软件对原始数据进行处理，做变换t t W Z Z =-，其中641
164t t Z Z ==∑，代
入表1数据得：
1
[(0.17007)( 2.05056)( 1.40428)]0.7574
64
Z =-+-++-=- ，(0.7574)t t W Z =--，（程序见附录2） 3.3.3 数据处理：
（2）计算样本自协方差函数k γ，样本自方差函数k ρ。 0???/k k ργγ=，其中0,1,2,3,4,5k =，
11221
1?n k
k k n k n
k j k j j n n ωωωωωωγωω-++-+=+++=
=∑ 。由图-3数据可得：随着k 的增大，k ρ越来越小，具有拖尾性。
（3）接下来计算偏相关函数kk φ(1k ≥)。利用Yule-Walker 方程，
121111
1222211211
11k k k kk k k ρρρφρρρφρ
ρρρφρρρρ--??????
? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?
???? ?
??
求得偏相关函数。
由机械振动位移图可看出这些数据画出的图形是平稳序列，由MATLAB 软件
运行以上数据（程序见附录），得到自相关系数和偏相关系数如下表:
3.4 模型的识别及求解
根据自相关函数K ρ
?值和偏相关函数kk ??值，绘制K ρ?和kk ??的曲线趋势来判断，分别画自相关系数和偏相关系数点图如下（程序分别见附录[3]，[4]）： 自相关函数图：
010
203040506070
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图（3）
偏相关函数图如图：
010203040506070
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.6
0.8
图（4）
05
1015
Lag
S a m p l e A u t o c o r r e l a t i o n
Sample Autocorrelation Function (ACF)05
1015
Lag
S a m p l e P a r t i a l A u t o c o r r e l a t i o n s
Sample Partial Autocorrelation Function
图（5）
图形可以看出自相关函数和偏相关函数都拖尾，所以该数据符合),(q p ARMA 混合模型。用),(q p ARMA 模型对该数据进行拟合，即:
q t q t t p t p t t a a a X X X ------=---θθ?? 1111
在计算机上，利用图（6）所示的AIC 准则对候选模型参数进行计算和分析：（程序见附录5）
图（6）
根据计算知当p=2，q =2时的ARMA （2，2）模型，1? =1.637754，
2?=0.7523818，1θ=-0.01194535，2θ=0.2609289，2
a σ=1.206746，AIC=30.7927
（最小）。根据模型定阶的AIC 准则，比较上述计算结果可知，最能描述上述机械振动观测数据序列的模型结构应该是ARMA （2，2）模型，即：
212126.00119.07524.06378.1-----+=--t t t t t t a a a X X X
3.5 结论
由以上问题的求解过程可知，所有的时间序列模型参数都是建立在样本统计
参数的基础上，通过对数据处理，利用平稳时间序列的数据，得出的)
ARMA
p
,
(q
模型，随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物
理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领
域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。时间序列分析也广泛应用到了
解决许多问题上，如信号处理、金融预测、状态估计、控制和模式识别等.相信
随着时间的发展，随机过程会越来越多的应用于我们的生活中，为我们带来更多
的惊喜和发现。
参考文献
[2] 张善文雷英杰冯有前. MATLAB在时间序列分析中的应用西安：西安电
子科技大学出版社 2007 。
[2] 汪荣鑫编. 随机过程西安：西安交通大学出版社 2006 。
[3] 刘卫国 Matlab程序设计与应用北京高等教育出版社 2006 。
[4] 田铮秦超英随机过程与应用北京科学出版社 2007 。
附录
附录1
z=[-0.17007 -2.05056 -4.18035 0.11153 2.17675 4.08507 0.24983
-4.92336 -8.15675 -4.42107 -2.64058 -0.52570 -0.22015 0.36515 2.61949 1.53203 -0.77529 -3.25439 -0.41904 3.92127 2.97641 1.05303 -3.07748 -3.41256 -5.37570 -3.53729 -0.79940 -1.07239 0.78588 -2.48208 -4.03418 0.16420 -0.39307 3.88025 6.03561 5.70750 1.45257 -2.97501 -3.16561 -3.15184 -5.66101 -4.55502 0.10608 0.04231 0.79915 -0.12247 -5.97528 -9.16058 -9.73835
-5.22347 0.62229 4.34356 1.32363 -1.25405 -3.90467 -3.02789
2.78487 7.61065 6.14580
3.51779 1.79635 0.74996 -0.19133
-1.40428];
>> x=[0:1:63];
plot(x,z)
附录2：
b=length(z);
m=sum(z)/b ………………计算均值
w= z-m;
sumw=zeros(1,6);
sumw1=0;
for j=1:64
sumw1=sumw1+w(j)^2; …………计算
sumw1
for k=0:5
for i=1:(b-k)
γ sumw(k+1)=sumw(k+1)+w(i)*w(i+k); .........计算
k end
sumw(k+1)
r=sumw/b;
r0=sumw1/b;
ρ p=r/r0 ………………计算自相关函数
k
φ
kk11=p(2) ………………计算
11 a2=[1,p(2);p(2),1];
>> a22=inv(a2);
φ>> kk2=a22*p(1,2:3)' …………………计算
22 kk22=kk2(2,1);
kk22=kk2(2,1)
a5=[1,p(2),p(3),p(4),p(5);p(2),1,p(2),p(3),p(4);p(3),p(2),1,p(2), p(3);p(4),p(3),p(2),1,p(2);p(5),p(4),p(3),p(2),1];
a55=inv(a5);
kk5=a55*p(1,2:6)';
φkk55=kk5(5,1) ……………计算
55
σ
D=r0-kk11*r(2)-kk22*r(3) …………计算2
α
附录3：
zc=0;
for i=1:64
zc=zc+z(i);
end
zp=zc/64;
for k=1:64
w(k)=z(k)-zp;
end
w
rc=0;
for k=1:64
rc=rc+1/64*w(k)*w(k);
end
for k=1:62
x=0;
for j=1:64-k
x=x+1/64*w(j)*w(j+k);
end
r(k)=x;
p(k)=r(k)/rc;
end
p
m(1,1)=p(1);
for k=1:61
x=0;
y=0;
for j=1:k
x=x+p(k+1-j)*m(k,j);
y=y+p(j)*m(k,j);
end
m(k+1,k+1)=(p(k+1)-x)/(1-y);
for j=1:k
m(k+1,j)=m(k,j)-m(k+1,k+1)*m(k,k-j+1); end
end
(diag(m))'
figure(1)
x=1:62;
plot(x,p,x,0);
figure(2)
x=1:62;
plot(x,(diag(m))',x,0)
附录4：
[ACF]=autocorr(x,10)
[PartialACF]=parcorr(x,10)
subplot(121);autocorr(x,10)
subplot(122);parcorr(x,10)
附录5：
pppp=AICB(1,1);
nna=1;
nnb=1;
for p=1:5
for q=1:5
if pppp>AICB(p,q)
pppp=AICB(p,q);
nna=p;
nnb=q;
end
end
end
nna
nnb
评阅书
应用时间序列分析实验报告
单位根检验输出结果如下：序列x的单位根检验结果：
1967 58.8 53.4 1968 57.6 50.9 1969 59.8 47.2 1970 56.8 56.1 1971 68.5 52.4 1972 82.9 64.0 1973 116.9 103.6 1974 139.4 152.8 1975 143.0 147.4 1976 134.8 129.3 1977 139.7 132.8 1978 167.6 187.4 1979 211.7 242.9 1980 271.2 298.8 1981 367.6 367.7 1982 413.8 357.5 1983 438.3 421.8 1984 580.5 620.5 1985 808.9 1257.8 1986 1082.1 1498.3 1987 1470.0 1614.2 1988 1766.7 2055.1 1989 1956.0 2199.9 1990 2985.8 2574.3 1991 3827.1 3398.7 1992 4676.3 4443.3 1993 5284.8 5986.2 1994 10421.8 9960.1 1995 12451.8 11048.1 1996 12576.4 11557.4 1997 15160.7 11806.5 1998 15223.6 11626.1 1999 16159.8 13736.5 2000 20634.4 18638.8 2001 22024.4 20159.2 2002 26947.9 24430.3 2003 36287.9 34195.6 2004 49103.3 46435.8 2005 62648.1 54273.7 2006 77594.6 63376.9 2007 93455.6 73284.6 2008 100394.9 79526.5 run; proc gplot; plot x*t=1 y*t=2/overlay; symbol1c=black i=join v=none; symbol2c=red i=join v=none w=2l=2; run; proc arima data=example6_4; identify var=x stationarity=(adf=1); identify var=y stationarity=(adf=1); run; proc arima; identify var=y crrosscorr=x; estimate methed=ml input=x plot; forecast lead=0id=t out=out; proc aima data=out; identify varresidual stationarity=(adf=2); run;
目录 摘要 (1) 第一章绪论 (2) 1.1 时间序列模型的发展及其作用 (2) 1.2 什么是时间序列模型 (2) 1.3 本文研究的主要方法和手段 (2) 1.4 本文主要研究思路及内容安排 (2) 第二章 ARMA模型 (4) 2.1 ARMA模型的基本原理 (4) 2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数 (4) 2.3 ARMA模型识别方法 (5) 2.4 模型参数估计 (6) 第三章实例分析 (7) 3.1 题目 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 问题求解 (8) 3.3.1数据的观测 (8) 3.3.2数据处理 (8) 3.3.3求解自相关和偏相关函数 (8) 3.4 模型的识别及求解 (9) 3.5 结论 (11) 参考文献 (12) 附录 (12) 评阅书 (15)
《随机过程》课程设计任务书
摘要 ARMA模型是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。ARMA模型广泛应用在经济、工程等各个领域得益于其在具体预测方面的优势。在许多方面用该模型所作出的预测比其他传统经济计量方法更加精确。平稳时间序列模型主要有自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)等，这些线性模型考虑因素较简单。自回归滑动平均模型(ARMA)计算简单，易于实时更新数据。 本文描述了ARMA模型的原理、自相关函数和偏相关函数的计算过程、模型的识别方法以及ARMA模型的计算过程。并给出一组平稳时间序列的数据，对数据进行分析和处理，求出自相关系数和偏相关，并利用MATLAB软件画出自相关系数和偏相关图形，有图可知它们都是拖尾的，因此可以确定是) ARMA模 p , (q 型。接下来就是确定) ARMA的阶数，本文采用了AIC准则确定模型的阶数， p , (q 在实际问题中，为使线性模型简单起见，通常p与q的数值被取得较小，却需都不为零。确定阶数后，就用我们学过的求解方法解出未知的参数，这样我们就得到了混合模型的表达式。 关键字：) ARMA模型，自相关函数，偏相关函数 p , (q
基于ARMA模型的社会融资规模增长分析 ————ARMA模型实验
第一部分实验分析目的及方法 一般说来,若时间序列满足平稳随机过程的性质,则可用经典的ARMA模型进行建模和预则。但是, 由于金融时间序列随机波动较大,很少满足ARMA模型的适用条件,无法直接采用该模型进行处理。通过对数化及差分处理后,将原本非平稳的序列处理为近似平稳的序列,可以采用ARMA模型进行建模和分析。 第二部分实验数据 2.1数据来源 数据来源于中经网统计数据库。具体数据见附录表5.1 。 2.2所选数据变量 社会融资规模指一定时期（每月、每季或每年）实体经济从金融体系获得的全部资金总额，为一增量概念，即期末余额减去期初余额的差额，或当期发行或发生额扣除当期兑付或偿还额的差额。社会融资规模作为重要的宏观监测指标，由实体经济需求所决定，反映金融体系对实体经济的资金量支持。 本实验拟选取2005年11月到2014年9月我国以月为单位的社会融资规模的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行分析预测。 第三部分 ARMA模型构建 3.1判断序列的平稳性 首先绘制出M的折线图，结果如下图：
图3.1 社会融资规模M曲线图 从图中可以看出，社会融资规模M序列具有一定的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。此外，m在每年同时期出现相同的变动趋势，表明m还存在季节特征。下面对m的平稳性和季节性·进行进一步检验。 为了减少m的变动趋势以及异方差性，先对m进行对数化处理，记为lm，其时序图如下： 图3.2 lm曲线图
对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性，下面观察lm的自相关图 表3.1 lm的自相关图 上表可以看出，该lm序列的PACF只在滞后一期、二期和三期是显著的，ACF随着滞后结束的增加慢慢衰减至0，由此可以看出该序列表现出一定的平稳性。进一步进行单位根检验，由于存在较弱的趋势性且均值不为零，选择存在趋势项的形式，并根据AIC自动选择之后结束，单位根检验结果如下： 表3.2 单位根输出结果 Null Hypothesis: LM has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=12) t-Statistic Prob.*
【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！
Long long ago，有多long？估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义？当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢？ 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 ?描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。
Lecture 6 6. Time series analysis: Multivariate models 6.1Learning outcomes ?Vector autoregression (VAR) ?Cointegration ?Vector error correction model (VECM) ?Application: pairs trading 6.2Vector autoregression (VAR)向量自回归 The classical linear regression model assumes strict exogeneity; hence, there is no serial correlation between error terms and any realisation of any independent variable (lead or lag). As we discovered, serial correlation (or autocorrelation) is very common in financial time series and panel data. Furthermore, we assumed a pre-defined relation of causality: explanatory variable affect the dependent variable? 传统的线性回归模型假设严格的外主性，误差项与可实现的独立变量之间没有序列相关性。金融时间序列及面板数据往往都有很强的自相关性，假定解释变量影响因变量。 We now relax bo什］assumptions using a VAR model. VAR models can be regarded as a generalisation of AR(p) processes by adding additional time series. Hence, we enter the field of multivariate time series analysis. VAR模型可以'"l作是在一般的自回归过程中加入时间序列。 Lefs look at a standard AR(p) process for hvo variables (y( and xj? (1)%= Ql + 琅］仇『一 +仏 (2)x t = a2 + - + ￡2t The next step is to allow that lagged values of xt can affect y( and vice versa. This means that we obtain a system of equations for two dependent variables(y(and xj?Both dependent variables are influenced by past realisations of y(and x t. By doing that, we violate strict exogeneity (see Lecture 2); however, we can use a more relaxed concept, namely weak exogeneity?As we use lagged values of bodi dependent variables, we can argue that these lagged values are known to us, as we observed them in the previous period? We call these variables predetermined? Predetermined (lagged) variables fulfil weak exogeneity in the sense that they have to be uncorrelated with the contemporaneoiis error term in t? We can still use OLS to estimate the following system of equations, which is called a VAR in reduced form. (3)+y 仇1化_丫+sr=i ^12 +￡it (4)X t = a2+2X1021”—, + _i + f2t
7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程，则称： 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称宽平稳。 回总目录
回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型； 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足：
则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件：任何条件下都平稳。
三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录 q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况： 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1；
时间序列分析法原理及步骤 ----目标变量随决策变量随时间序列变化系统 一、认识时间序列变动特征 认识时间序列所具有的变动特征, 以便在系统预测时选择采用不同的方法 1》随机性:均匀分布、无规则分布,可能符合某统计分布(用因变量的散点图和直方图及其包含的正态分布检验随机性, 大多服从正态分布 2》平稳性:样本序列的自相关函数在某一固定水平线附近摆动, 即方差和数学期望稳定为常数 识别序列特征可利用函数 ACF :其中是的 k 阶自 协方差,且 平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于 0, 前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。实际上, 预测模型大都难以满足这些条件, 现实的经济、金融、商业等序列都是非稳定的,但通过数据处理可以变换为平稳的。 二、选择模型形式和参数检验 1》自回归 AR(p模型
模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用,不受模型变量互相独立的假设条件约束,所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性的比你更造成的困难用 PACF 函数判别 (从 p 阶开始的所有偏自相关系数均为 0 2》移动平均 MA(q模型 识别条件
平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,但较快收敛到 0, 则该时间序列可能是 ARMA(p,q模型。实际问题中,多数要用此模型。因此建模解模的主要工作时求解 p,q 和φ、θ的值,检验和的值。 模型阶数 实际应用中 p,q 一般不超过 2. 3》自回归综合移动平均 ARIMA(p,d,q模型 模型含义 模型形式类似 ARMA(p,q模型, 但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时,不能直接利用 ARMA(p,q模型,但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化,实际应用中 d (差分次数一般不超过 2. 模型识别 平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是 ARIMA(p,d,q模型。若时间序列存在周期性波动, 则可按时间周期进
Eviews时间序列分析实例 时间序列是市场预测中经常涉及的一类数据形式，本书第七章对它进行了比较详细的介绍。通过第七章的学习，读者了解了什么是时间序列，并接触到有关时间序列分析方法的原理和一些分析实例。本节的主要内容是说明如何使用Eviews软件进行分析。 一、指数平滑法实例 所谓指数平滑实际就是对历史数据的加权平均。它可以用于任何一种没有明显函数规律，但确实存在某种前后关联的时间序列的短期预测。由于其他很多分析方法都不具有这种特点，指数平滑法在时间序列预测中仍然占据着相当重要的位置。 （－）一次指数平滑 一次指数平滑又称单指数平滑。它最突出的优点是方法非常简单，甚至只要样本末期的平滑值，就可以得到预测结果。 一次指数平滑的特点是：能够跟踪数据变化。这一特点所有指数都具有。预测过程中添加最新的样本数据后，新数据应取代老数据的地位，老数据会逐渐居于次要的地位，直至被淘汰。这样，预测值总是反映最新的数据结构。 一次指数平滑有局限性。第一，预测值不能反映趋势变动、季节波动等有规律的变动；第二，这种方法多适用于短期预测，而不适合作中长期的预测；第三，由于预测值是历史数据的均值，因此与实际序列的变化相比有滞后现象。 指数平滑预测是否理想，很大程度上取决于平滑系数。Eviews提供两种确定指数平滑系数的方法：自动给定和人工确定。选择自动给定，系统将按照预测误差平方和最小原则自动确定系数。如果系数接近1，说明该序列近似纯随机序列，这时最新的观测值就是最理想的预测值。 出于预测的考虑，有时系统给定的系数不是很理想，用户需要自己指定平滑系数值。平滑系数取什么值比较合适呢？一般来说，如果序列变化比较平缓，平滑系数值应该比较小，比如小于0.l；如果序列变化比较剧烈，平滑系数值可以取得大一些，如0.3～0.5。若平滑系数值大于0.5才能跟上序列的变化，表明序列有很强的趋势，不能采用一次指数平滑进行预测。 ［例1］某企业食盐销售量预测。现在拥有最近连续30个月份的历史资料（见表l），试预测下一月份销售量。 表1 某企业食盐销售量单位：吨 解：使用Eviews对数据进行分析，第一步是建立工作文件和录入数据。有关操作在本
第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示 一、自回归模型（AR） 由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型： X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。 如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－ X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一1 ，…… 般形式为： X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（2.1.2）式可化为： X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt 从而有： （1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt 记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表
示成 φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt 二、滑动平均模型（MA） 有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即 X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列X t称为滑动平均序列。 使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成 X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为： X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为 φ（B）X t=θ(B)εt（2.1.7）
现代时间序列分析模型§1 时间序列平稳性和单位根检验§2 协整与误差修正模型经典时间序列分析模型： MA、AR、ARMA 平稳时间序列模型分析时间序列自身的变化规律现代时间序列分析模型：分析时间序列之间的关系单位根检验、协整检验现代宏观计量经济学§1 时间序列平稳性和单位根检验一、时间序列的平稳性二、单整序列三、单位根检验一、时间序列的平稳性 Stationary Time Series ⒈问题的提出经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-series data ；截面数据cross-sectional data 平行/面板数据（panel data/time-series cross-section data 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础――“一致性”要求――被破怀。数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”（Spurious Regression）问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。 2、平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列 Xt （t 1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：均值E Xt ?是与时间t 无关的常数；方差Var Xt ?2是与时间t 无关的常数；协方差Cov Xt,Xt+k ?k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary ，
基于Excel的时间序列预测与分析 1 时序分析方法简介 1.1时间序列相关概念 1.1.1 时间序列的内涵以及组成因素 所谓时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。如经济领域中每年的产值、国民收入、商品在市场上的销量、股票数据的变化情况等，社会领域中某一地区的人口数、医院患者人数、铁路客流量等，自然领域的太阳黑子数、月降水量、河流流量等等，都形成了一个时间序列。人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未来行为。 时间序列的变化受许多因素的影响 ,有些起着长期的、决定性的作用 ,使其呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则起着短期的、非决定性的作用，使其呈现出某种不规则性。在分析时间序列的变动规律时，事实上不可能对每个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。但我们能将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分成若干时间序列的构成因素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的变动规律性。影响时间序列的构成因素可归纳为以下四种: (1)趋势性(Trend),指现象随时间推移朝着一定方向呈现出持续渐进地上升、下降或平稳的变化或移动。这一变化通常是许多长期因素的结果。 (2)周期性(Cyclic)，指时间序列表现为循环于趋势线上方和下方的点序列并持续一年以上的有规则变动。这种因素是因经济多年的周期性变动产生的。比如，高速通货膨胀时期后面紧接的温和通货膨胀时期将会使许多时间序列表现为交替地出现于一条总体递增 地趋势线上下方。 (3)季节性变化(Seasonal variation)，指现象受季节性影响 ,按一固定周期呈现出的周期波动变化。尽管我们通常将一个时间序列中的季节变化认为是以1年为期的，但是季节因素还可以被用于表示时间长度小于1年的有规则重复形态。比如，每日交通量数据表现出为期1天的“季节性”变化，即高峰期到达高峰水平，而一天的其他时期车流量较小，从午夜到次日清晨最小。
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression ，VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model ，VEC)就是非结构化的多方程模型。 向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR 模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR 模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA 和ARMA 模型也可转化成VAR 模型，因此近年来VAR 模型受到越来越多的经济工作者的重视。 VAR(p ) 模型的数学表达式是 t=1,2,…..,T 其中：yt 是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p 是滞后阶数，T 是样本个数。k ?k 维矩阵Φ1，…， Φp 和k ?d 维矩阵H 是待估计的系数矩阵。εt 是 k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设 ∑ 是εt 的协方差矩阵，是一个(k ?k )的正定矩阵。 11t t p t p t t --=+???+++y Φy Φy Hx ε
注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。 以1952一1991年对数的中国进、出口贸易总额序列为例介绍VAR 模型分析，其中包括;① VAR 模型估计;②VAR 模型滞后期的选择;③ VAR 模型平隐性检验;④VAR 模型预侧;⑤协整性检验 VAR 模型佑计 数据 εε εε
第二篇 预测方法与模型 预测是研究客观事物未来发展方向与趋势的一门科学。统计预测是以统计调查资料为依据，以经济、社会、科学技术理论为基础，以数学模型为主要手段，对客观事物未来发展所作的定量推断和估计。根据社会、经济、科技的预测结论，人们可以调整发展战略，制定管理措施，平衡市场供求，进行各种各样的决策。预测也是制定政策，编制规划、计划，具体组织生产经营活动的科学基础。20世纪三四十年代以来，随着人类社会生产力水平的不断提高和科学技术的迅猛发展，特别是近年来以计算机为主的信息技术的飞速发展，更进一步推动了预测技术在国民经济、社会发展和科学技术各个领域的应用。 预测包含定性预测法、因果关系预测法和时间序列预测法三类。本篇对定性预测法不加以介绍，对后两类方法选择以下几种介绍方法的原理、模型的建立和实际应用，分别为：时间序列分析、微分方程模型、灰色预测模型、人工神经网络。 第五章 时间序列分析 在预测实践中，预测者们发现和总结了许多行之有效的预测理论和方法，但以概率统计理论为基础的预测方法目前仍然是最基本和最常用的方法。本章介绍其中的时间序列分析预测法。此方法是根据预测对象过去的统计数据找到其随时间变化的规律，建立时间序列模型，以推断未来数值的预测方法。时间序列分析在微观经济计量模型、宏观经济计量模型以及经济控制论中有广泛的应用。 第一节 时间序列简介 所谓时间序列是指将同一现象在不同时间的观测值，按时间先后顺序排列所形成的数列。时间序列一般用 ,,,,21n y y y 来表示，可以简记为}{t y 。它的时间单位可以是分钟、时、日、周、旬、月、季、年等。
一、时间序列预测法 时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反应出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年可能达到的水平。其容包括:收集与整理某种社会现象的历史资料；将这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间序列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模型，以此模型去预测该社会现象将来的情况。 二、时间序列数据的特点 通常，时间序列经过合理的函数变换后都可以看作是由三个部分叠加而成，这三个部分是趋势项部分、周期项部分和随机项部分。 1. 趋势性 许多序列的一个最主要的特征就是存在趋势。这种趋势可能是向下的也可能是向上的，也许比较陡，也许比较平缓，或者是指数增长，或者近似线性。总之，时间序列的趋势性是依据时间序列进行预测的本质所在。 2. 季节性/周期性 当数据按照月或季观测时，通常的情况是这样的:时间序列会呈现出明显的季节性。对季节性也不存在一个非常精确的定义。通常，当某个季节的观测值具有与其它季节的观测值明显不同的特征时，就称之为季节性。 3. 异常观测值 异常观测值指那些严重偏离趋势围的特殊点。异常观测值的出现往往是由于某些不可抗 1958 年自然灾害和1966年左右“文化大革命”对我国经拒的外部条件的影响。如1960 济的影响，造成经济指标陡然下降现象；1992年，我国银行紧缩政策造成的房地产业泡沫破灭，而使得房地产业的经济数据发生突然变化的例子等等。 4. 条件异方差性 所谓条件异方差性，表现出来就是异常数据观测值成群地出现，故也称为“波动积聚性”。由于方差是风险的测度，因此波动存在的积聚性的预测对于评估投资决策是很有用的，对于期权和其它金融衍生产品的买卖决策也是有益的。 5. 非线性 对非线性的最好定义就是“线性以外的一切”。非线性常常表现为“机制转换”(regime witches)或者“状态依赖”(State pendence)。其中状态依赖意味着时间序列的特征依赖于其现时的状态;不同的时刻，其特征不一样。当时间序列的特征在所有的离散状态都不一样时，就成为机制转换特性。 三、时间序列的分类 1. 按研究的对象的多少可分为单变量时间序列和多变量时间序列。 如果所研究的对象是一个变量，如某个国家的国生产总值，即为单变量时间序列。果所研究的对象是多个变量，如按年、月顺序排列的气温、气压、雨量数据，为多变量时间序列。多变量时间序列不仅描述了各个变量的变化规律，而且还表示了各变量间相互依存关系的动态规律性。 2. 按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列。 如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点，则该序列就是一个离散时间序列。如果某一序列中的每个序列值所对应的时间参数为连续函数，则该序列就是一个连续时间序列。 3. 按序列的统计特性可分为平稳时间序列和非平稳时间序列两类。
《时间序列分析》案例案例名 称：时间序列分析在经济预测中的应用内容要 求：确定性与随机性时间序列之比较设计作 者：许启发，王艳明 设计时 间：2003年8月
案例四：时间序列分析在经济预测中的应用 一、案例简介 为了配合《统计学》课程时间序列分析部分的课堂教学，提高学生运用统计分析方法解决实际问题的能力，我们组织了一次案例教学，其内容是：对烟台市的未来经济发展状况作一预测分析，数据取烟台市1949—1998年国内生产总值（GDP）的年度数据，并以此为依据建立预测模型，对1999年和2000年的国内生产总值作出预测并检验其预测效果。国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果，是反映国民经济活动最重要的经济指标之一，科学地预测该指标，对制定经济发展目标以及与之相配套的方针政策具有重要的理论与实际意义。在组织实施时，我们首先将数据资料印发给学生，并讲清本案例的教学目的与要求，明确案例所涉及的教学内容；然后给学生一段时间，由学生根据资料，运用不同的方法进行预测分析，并确定具体的讨论日期；在课堂讨论时让学生自由发言，阐述自己的观点；最后，由主持教师作点评发言，取得了良好的教学效果。 经济预测是研究客观经济过程未来一定时期的发展变化趋势，其目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以确定社会经济活动的发展水平，为决策提供依据。 时间序列分析预测法，首先将预测目标的历史数据按照时间的先后顺序排列，然后分析它随时间的变化趋势及自身的统计规律，外推得到预测目标的未来取值。它与回归分析预测法的最大区别在于：该方法可以根据单个变量的取值对其自身的变动进行预测，无须添加任何的辅助信息。 本案例的最大特色在于：它汇集了统计学原理中的时间序列分析这一章节的所有知识点，通过本案例的教学，可以把不同的时间序列分析方法进行综合的比较，便于学生更好地掌握本章的内容。 二、案例的目的与要求 （一）教学目的 1．通过本案例的教学，使学生认识到时间序列分析方法在实际工作中应用的必要性和可能性； 2．本案例将时间序列分析中的水平指标、速度指标、长期趋势的测定等内容有机的结合在一起，以巩固学生所学的课本知识，深化学生对课本知识的理解； 3．本案例是对烟台市的国内生产总值数据进行预测，通过对实证结果的比较和分析，使学生认识到对同一问题的解决，可以采取不同的方法，根据约束条件，从中选择一种合适的预测方法； 4．通过本案例的教学，让学生掌握EXCEL软件在时间序列分析中的应用，对统计、计量分析软件SPSS或Eviews等有一个初步的了解； 5．通过本案例的教学，有助于提高学生运用所学知识和方法分析解决问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。 （二）教学要求 1．学生必须具备相应的时间序列分析的基本理论知识； 2．学生必须熟悉相应的预测方法和具备一定的数据处理能力； 3．学生以主角身份积极地参与到案例分析中来，主动地分析和解决案例中的问题； 4．在提出解决问题的方案之前，学生可以根据提供的样本数据，自己选择不同的统计分析方法，对这一案例进行预测，比较不同预测方法的异同，提出若干可供选择的方案；
第五讲（续） 平稳时间序列的ARMA模型 1
2 1 平稳性 有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。 定义1（严平稳） 设{},t x t T ∈是一个随机过程,t x 是在不同的时刻t 的随机变量，在不同的时刻t 是不同的随机变量，任取n 个值1,,n t t 和任
3 意的实数h ，则1,,n x x 分布函数满足关系式 1111(,,;,)(,,;,) n n n n n n F x x t t F x x t h t h =++ 则称{},t x t T ∈为严平稳过程。 在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。 定义2（宽平稳） 若随机变量{},t x t T ∈的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：
4 （1）任取t T ∈，有()t E x c =； （2）任取t T ∈，t T τ+∈，有 [(())(())]()E X t a X t a R ττ-+-= 协方差是时间间隔的函数。则称{},t x t T ∈ 为宽平稳过程，其中()R τ为协方差函数。 2 各种随机时间序列的表现形式
白噪声过程（white noise，如图1）。属于平稳过程。y t = u t, u t~ IID(0, σ2) 3 white noise 2 1 -1 -2 -3 140160240260 图1 白噪声序列（σ2=1） 5
第五章时间序列的模型识别 前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型，引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下： 图5.1 建立时间序列模型流程图 在ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考虑。 对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定ARMA(p,q)过程的阶数，从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如AIC、BIC 等信息准则。我们分别给出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后q+1阶时突然截断，即在q处截尾，那么我们可以判定该序列为MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在p处截尾，那么我们可以判定该序列为AR(p)序列。如果ACF和PACF 都不截尾，只是按指数衰减为零，则应判定该序列为ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关
时间序列分析与建模简介 Prepared on 22 November 2020
第五章时间序列分析与建模简介时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。 引言 根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。 §5—1 ARMA模型分析 一、模型类 把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ x k }视为以正态同分布白噪声序列{ a k }为输入的动态系统的输出。用差分模型 ARMA (n,m) 为(z-1) x k = (z-1) a k式（5-1-1） 其中： (z-1) = 1-1 z-1-…-n z-n (z-1) = 1-1 z-1-…-m z-m
式（5-1-2） 为与参考书符号一致，以下用B 表示时间后移算子 即： B x k = x k-1 B 即z -1，B 2即z -2… (B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。 二、关于格林函数和时间序列的稳定性 1．格林函数G i 格林函数G i 用以把x t 表示成a t 及a t 既往值的线性组合。 式（5-1-3） G I 可以由下式用长除法求得： 例1．AR(1): x t - 1x t-1 = a t 即： G j = 1j （显示） 例2．ARMA (1,1): x t - 1x t-1 = a t - 1a t G 0= 1 ; G j = (1- 1) 1j-1 ,j 1 （显示） 例3．ARMA (2,1) (1 - 1B - 2 B 2)x t = (a t - 1 B ) a t 得出：G 0= 1 G 1 = 0G 0- 1 G 2 = 1G 1+ 2G 0 ∑∞ =-=0j j t j t a G x