第 9 次课
教学目的：掌握一维单原子链运动方程的建立和求解；理解一维简单晶格振动的色散关系；了解格波的相速度，理解玻恩－卡曼周期性边界条件；
教学内容： §3.1 一维单原子链
重点难点：一维单原子链运动方程的建立和求解；晶格振动的色散关系；
第三章 晶格振动与晶体的热学性质前面的讨论中，我们把组成晶体的原子看成固定在平衡位置上不动，实际晶体并非如此，而是会在平衡位置附近做微小的振动。
1. 晶格振动
晶体内原子相互作用——>原子振动不孤立——>以波的形式在晶体中传播
——>格波
晶体——>互相耦合的振动系统
系统的振动——>即晶格振动
晶格振动是固体中原子的热运动，研究晶格振动——>可研究晶格的热学等性质
§3.1 一维单原子链
晶格振动是很复杂的，为了抓住其主要特点，在不影响物理本质的前提下，研究最简单的一维晶格，然后方法和结论可推广到二维和三维。
1. 原子之间的作用力
一维原子链，每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距 ——晶格常数a，如图XCH003_001_01所示
—— 由于热运动，各原子离开了它的平衡位置
—— 第n个原子离开平衡位置的位移
—— 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移
——第n个原子和第n＋1个原子间的距离
—— 平衡位置时，两个原子间的互作用势能
—— 原子发生相对位移后的相互作用势能
很小，将在平衡位置附近展开，得到：
—— 常数，—— 平衡时势能取极小值
—— 因为很小，即振动很微弱，势能展开式中可只保留到二阶项
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力：
—— 恢复力常数
2. 原子的运动方程
—— 如果只考虑相邻原子的相互作用，第n个原子受到的总作用力：—— 第n＋1个原子对第n个原子的作用力：
—— 第n－1个原子对第n个原子的作用力：
第n个原子的运动方程：
，（n=1,2,3…,N）
特点：（1）每一个原子都有一个类似上式的运动方程；
（2）方程的数目和原子数相同。
3.原子运动方程的解和振动频率
设方程组的解是振幅为A、角频率为ω的简谐振动函数：
—— 表示第n个原子振动的相位因子
将、和代回到运动方程：
消去共同因子，得到：
应用欧拉公式得到：——
ω～q关系代表一维简单晶格中格波的色散关系 —— 振动频谱
4. 格波的意义
连续介质中的机械波： —— 波数
晶体中的格波： ——
（1）晶体中格波和连续介质波具有完全类似的形式；
（2）一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动。
（3）在简谐近似下，格波是简谐平面波；
（4）振动图像——如图XCH003_001_02所示
（i）图中的向上的箭头代表原子沿X轴向右振动，向下的箭头代表原子沿X轴向左振动。
（ii）箭头的长度代表原子离开平衡位置位移的大小。（iii）格波的波长
（iv）格波的波矢：
：代表沿格波传播方向的单位矢量
（v）格波的相速度：
—— 不同频率的格波，相速度不同
不同原子间相位差：
相邻两个原子的相位因子差：
5.格波波矢的取值和布里渊区
—— 相邻原子相位差时，所有原子的振动没有任何改变如图XCH003_002所示，格波1（红色标示）的波矢：
相邻原子的相位差：
格波2（绿色标示）的波矢：
相邻原子的相位差：
—— 两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同。
相邻两个原子之间的相位差取值范围：
波矢的取值：—— 第一布里渊区
—— 只要研究清楚第一布里渊区的晶格问题就可以，其它区域不能提供新的物理信息。
6.玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件
以上的讨论是将一维单原子晶格看作无限长来处理的，这样所有原子的位置是等价的，每个原子的振动形式都一样。实际的晶体都为有限的，形成的链不是无穷长，这样链两头的原子就不能用中间原子的运动方程来描述。
玻恩－卡曼（Born-Karman）提出采用周期性条件可以解决上述困难。
如图XCH003_003_01所示。
由N个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，而且N很大，其中的原子运动近似为直线运动。在处理问题时要考虑到环链的循环性。
如图XCH003_003_02所示，设第n个原子的位移，那么再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移为
则有：，即
要求：——
—— h为整数
波矢的取值范围：
所以：，
h只能取N个整数值，波矢q也只能取N个不同的分立值。所以在第一布里渊区包含N个状态。
第一布里渊区状态数说明：每个波矢在第一布里渊区占的线度：——
第一布里渊区的线度：
第一布里渊区状态数
7.色散关系
由于频率是波数的偶函数 ——
（1）色散关系曲线是周期性的，关于轴对称的
—— 如图XCH003_004_01所示
（2） 在q空间的周期为：
（3）频率的极小值：；频率的极大值：；
当时，与其相应频率的变化范围：
—— 只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减。因此可以将一维单原子晶格看作成低通滤波器。
8. 长波极限情况
，波长很长时，——
—— 色散关系如图XCH003_004_02所示。
在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系一致。
相邻原子之间的作用力：——
—— 原子链的伸长模量
格波传播速度：，
连续介质弹性波的相速度：—— 分别为连续介质的弹性模量和介质密度。
—— 可见两者相速度相同。因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格可以看成是连续介质。
9. 短波极限情况
从可以看出，此时有最大值，
—— 长波极限下，相邻两个原子之间振动的相位差：
：一个波长内包含许多原子，晶格可看作是连续介质。如图
XCH003_002_02所示。
在短波极限下，当
格波的波长：—— 两个相邻原子的振动相位相反。如图XCH003_002_01所示。
补充作业：
设质量为m的5个同种原子组成的一维单原子链,原子内部的力系数为,晶格常数为a（只考虑近邻原子的相互作用）
1） 列出原子运动方程；
2） 求出格波的色散关系。
第15 次课 教学目的：掌握能带理论的思想；理解布洛赫定理； 教学内容：§4.1 布洛赫定理 重点难点：能带理论的思想；布洛赫定理及证明 第四章能带理论 能带理论——研究固体中电子运动主要理论基础。 1.特点 在二十世纪20年代末和30年代初期，在量子力学运动规律确立以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的，最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。 （1）说明了固体为什么会有导体、非导体的区别 （2）说明了晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距 （3）能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导体技术的发展 （4）大型高速计算机的发展，使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计算 （5）能带理论是一个近似的理论 2. 思想 在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电子的运动都要受其它电子运动的牵连，显然多电子系统严格求解是不可能的。 （1）能带理论是单电子近似的理论，是将每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动 大多数情况下，人们最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实： （2）价电子的等效势场——包括离子实的势场、其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用 （3）单电子近似最早用于研究多电子原子——称为哈特里（Hartree）－福克（Fock）自洽场方法 3. 能带理论的出发点——固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实
一、概念、简答 1.晶体，非晶体，准晶体；(p1,p41,p48) 答:理想晶体中原子排列十分规则,主要体现是原子排列具有周期性,或称为长程有序,而非晶体则不具有长 程的周期性.,因此不具有长程序,但非晶态材料中原子的排列也不是杂乱无章的,仍保留有原子排列的短程序.准晶态:具有长程序的取向序而没有长程序的平移对称序;取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称性,沿取向序对称轴的方向具有准周期性,有两个或两个以上的不可公度特征长度按着特定的序列方式排列. 2. 布拉菲格子；(p11) 答:布拉菲格子是一种数学上的抽象,是点在空间中周期性的规则排列,实际晶格可以看成在空间格子的每个格点上放有一组原子,它们相对位移为r,这个空间格子表征了晶格的周期性叫布拉菲格子. 3.原胞，晶胞；(p11) 答:晶格的最小周期性单元叫原胞.晶胞:为了反映晶格的对称性,选取了较大的周期单元,我们称晶体学中选 取的单元为单胞. 4.倒格子，倒格子基矢；（p16） 5. 独 立对 称操 作：m、 i、1、2、 3、4、 6、 6.七个 晶系、 十四 种布 拉伐格子；（p35） 答:
7.第一布里渊区:倒格子原胞 答：在倒格子中取某一倒格点为原点，做所有倒格矢G 的垂直平分面，这些平面将倒格子空间分成许多包围原点的多面体，其中与原点最近的多面体称为第一布里渊区。 8.基矢为 的晶体为何种结构；若 又为何种结构？ 解：计算晶体原胞体积： 由原胞推断，晶体结构属体心立方结构。 若 则 由原胞推断，该晶体结构仍属体心立方结构。 9.固体结合的基本形式及基本特点。（p49p55、57p67p69 答：离子型结合以离子而不是以原子为结合的单位，共价结合是靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键，具有饱和性和方向性。金属性结合的基本特点是电子的共有化，在晶体内部一方面是由共有化电子形成的负电子云，另一方面是侵在这个负电子云中的带正点的各原子实。范德瓦尔斯结合往往产生于原来有稳固电子结构的原子或分子间，是一种瞬时的电偶极矩的感应作用。 10.是否有与库仑力无关的晶体结合类型？ 答：共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子，但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子，形成电子共享形式，通过库仑力把两个原子连接起来。离子晶体中，正负离子的吸引力就是库仑力。金属结合中，原子依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。分子结合中，是电偶极矩把原本分离的原子结合成晶体，电偶极矩的作用力实际上就是库仑力。氢键结合中，氢先与电负性大的原子形成共价结合后，氢核与负电中心不再重合，迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关。 11.为什么许多金属为密堆积结构？ 答：金属结合中，受到最小能量原理的约束要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低（绝对值尽可能的大原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠的越紧密，库仑能越低，因此，许多金属结构为密积结构。 12.引入玻恩——卡门条件的理由是什么? 答：由原子运动方程可知，除原子链两端的两个原子外其他任一个原子的运动都与相邻的两个原子运动相关，原子链两端的两个原子只有一个相邻原子，其运动方程同其他原子不同，引入玻恩——卡门条件方便于求解运动方程。 并且引入玻恩——卡门条件后 ，实验测得的振动谱与理论相符的事实说明玻恩——卡门边界条件是目前较好的一个边界条件。 13.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子作相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞作整体运动，振动频率较低，他包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学支格波。 14.布洛赫定理（p145） 15.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值 答:紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近，因此紧束缚模型电子能量与在孤立原子中的能量相近，孤立原子中电子能量是一个负值，所以紧束缚模型电子能量是一负值。 16.本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同？ 答：在低温下，本征半导体能带与绝缘体的能带结构相同。但是本征半导体禁带较窄，禁带宽度在2个电子伏特以下。由于禁带窄，本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发跃迁到禁带上面空带底部，使得满带不满，空带不空，二者都对导电有贡献。 i a a =1j a a =2)(2 3k j i a a ++=i a k j a a 2 3)(23 ++=22 22000 0)(3 321a a a a a a a a a ==??=Ω
§ 2.3 金属性结合;§ 2.4 范德瓦耳斯结合; §2.5 元素和化合物晶体结合的规律性 1. 教学目的和要求: 通过讲解使学生理解并掌握金属性结合和范德 瓦耳斯结合；理解元素和化合物晶体结合的规律性 2．教学重点：金属性结合和范德瓦耳斯结合。 3．教学难点：范德瓦耳斯结合。 4．讲授时间：45分钟。 5．讲授方式：PPT文档。 6．作业：学生课后复习。 一．金属性结合 （1）金属性结合的概念 第I族、第II族元素及过渡 元素都是典型的金属晶体，它们 的最外层电子一般为1~2个。组 成晶体时每个原子的最外层电 子为所有原子所共有，因此在结 合成金属晶体时，失去了最外层 （价）电子的原子实“沉浸”在 由价电子组成的“电子云”中。 如图XCH002_004所示。 这种情况下，电子云和原子实之 间存在库仑作用，体积 越小电子云密度越高，库仑相互 作用的能愈低，表现为 原子聚合起来的作用。 （2）金属晶体结合力 金属晶体结合力：主要是原子实和电子云之间的静电库仑力，对晶体结构没有特殊的要求，只要求排列最紧密，这样势能最低，结合最稳定。因此大多数金属具有面心立方结构，即立方密积或六角密积，配位数均为12。 立方密积（Cu、Ag、Au、Al）（面心立方结构）（配位数12） 六角密积(Be、Mg、Zn、Cd)
体心立方结构(Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W)（配位数8） 良好的导电本领，结合能比前面两种晶体要低一些，过渡金属的结合能较大。 晶体的平衡是依靠库仑作用力和一定的排斥力而维持的。 排斥来自两个方面 (a) 但体积减小，电子云的密度增大，电子的动能将增加 (b) 当原子实相互接近到一定的距离时，它们的电子云发生显著的重叠，将产生强烈的排斥 作用。 金属性结合对原子的排列没有特殊的要求，这使得容易造成原子排列的不规范性，使其具有很大的范性。 二．范德瓦耳斯结合 （1）范德瓦耳斯结合的概念 元素周期表中第VIII族（惰性）元素在低温下所结合成的晶体，是典型的非极性分子晶体。为明确起见，我们只介绍这种分子晶体。 惰性元素最外层的电子为8个，具 有球对称的稳定封闭结构。但在某 一瞬时由于正、负电中心不重合 而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就 会使其它原子产生感应极矩。非极 性分子晶体就是依靠这瞬时偶极 矩的互作用而结合的，这种结合力 是很微弱的。1873年范德瓦耳斯 （Van der Waals）提出在实际气体 分子中，两个中性分子间存在着 “分子力”。当时他并没有指出这 力的物理本质，现在知道瞬时偶极 矩引起的力是分子力的一种。如图 XCH002_005所示。 （2）范德瓦耳斯结合的特征 惰性元素因具有球对称，结合时排列最紧密以使势能最低，所以Ne、Ar、Kr、Xe的晶体都是面心立方结构。它们是透明的绝缘体，熔点特低，分别为24K、84K、117K和161K。
一．本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三． 证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3 'a AB AO = = ∴ （由余弦定理 ) 330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο ο 633.13 22384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO
2．若晶胞基矢c b a ρ ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ ++= 写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求 得此面间距d 。 二、解： c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ ρρ 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ρ
《固体物理》课程教学大纲 一、课程简介： 固体物理学融汇了力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学和晶体学等多学科的知识，在现代科学技术中起着非常重要的作用，是物理学的重要组成部分，是物理专业的必修基础课。 二、教学目的 本课程主要介绍固体物理学的基础知识和基本理论，为进一步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建立初步的理论基础。在课程教学过程中，进一步培养学生的现代科学意识，提高分析问题与解决问题的综合能力及创新思维的能力。 三、教学要求 1．了解固体物理学发展的主要历程及固体物理对现代物理学与现代科学技术发展的作用。 2．了解固体物理学及凝聚态领域的当代前沿概况。 3．掌握固体物理学的基本概念与基础理论。 4．掌握固体物理学分析与处理问题的基本手段和思想方法。 5．掌握固体的结构及其组成粒子（原子、离子、电子）之间的相互作用、运动规律，晶体结构与物质力学、热学、光学性质的之间的关系。重点是晶体结构、晶体结合、晶格振动、金属自由电子论、能带论等。 四、课程重点与难点 课程重点：一是晶格理论，二是固体电子理论。晶格理论包括：晶体结构的基本特点和类型及对称性质；确定晶体结构的X射线衍射方法；晶体的结合类型与特点；晶格振动与晶体的热学性质。固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属自由电子理论和电子的输运性质。 课程难点：倒点阵的性质及其与正点阵的关系；晶体X射线衍射的分析；晶格振动的色散关系与模式密度；布洛赫定理及推论；晶体中电子的准经典运动与有效质量。 五、选用教材及参考书目 1．使用教材
基泰尔，《固体物理导论》，化学工业出版社，2013年6月第8版； 2．教学参考书目 （1）方俊鑫，陆栋，《固体物理学》（上册），上海科学技术出版社，1980年12月第1版； （2）阎守胜，《固体物理基础》，北京大学出版社2003年8月第二版； （3）陆栋，蒋平，徐至中，《固体物理学》，上海科学技术出版社，2003年12月第1版； （4）胡安，章维益，《固体物理学》，高等教育出版社，2005年6月第1版； （5）黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》，高等教育出版社，1988年10月第1版。 六、课程内容： 基本内容有两大部分：一是晶格理论，二是固体电子理论。晶格理论包括：晶体的基本结构；晶体中原子间的结合力和晶体的结合类型；晶格的热振动及热容理论；晶格的缺陷及其运动规律。固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属中自由电子理论。 教学时间分配表 第1章晶体结构 第一节原子的周期性阵列 第二节晶格的基本类型 第三节晶面指数系统 第四节简单晶体结构 第五节原子结构的直接成像 第六节非理想晶体结构 第七节晶格结构的有关数据
第 9 次课 教学目的：掌握一维单原子链运动方程的建立和求解；理解一维简单晶格振动的色散关系；了解格波的相速度，理解玻恩－卡曼周期性边界条件； 教学内容： §3.1 一维单原子链 重点难点：一维单原子链运动方程的建立和求解；晶格振动的色散关系； 第三章 晶格振动与晶体的热学性质前面的讨论中，我们把组成晶体的原子看成固定在平衡位置上不动，实际晶体并非如此，而是会在平衡位置附近做微小的振动。 1. 晶格振动 晶体内原子相互作用——>原子振动不孤立——>以波的形式在晶体中传播 ——>格波 晶体——>互相耦合的振动系统 系统的振动——>即晶格振动 晶格振动是固体中原子的热运动，研究晶格振动——>可研究晶格的热学等性质 §3.1 一维单原子链 晶格振动是很复杂的，为了抓住其主要特点，在不影响物理本质的前提下，研究最简单的一维晶格，然后方法和结论可推广到二维和三维。 1. 原子之间的作用力 一维原子链，每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距 ——晶格常数a，如图XCH003_001_01所示
—— 由于热运动，各原子离开了它的平衡位置 —— 第n个原子离开平衡位置的位移 —— 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移 ——第n个原子和第n＋1个原子间的距离 —— 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 —— 原子发生相对位移后的相互作用势能 很小，将在平衡位置附近展开，得到： —— 常数，—— 平衡时势能取极小值 —— 因为很小，即振动很微弱，势能展开式中可只保留到二阶项 简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力： —— 恢复力常数 2. 原子的运动方程 —— 如果只考虑相邻原子的相互作用，第n个原子受到的总作用力：—— 第n＋1个原子对第n个原子的作用力： —— 第n－1个原子对第n个原子的作用力： 第n个原子的运动方程： ，（n=1,2,3…,N） 特点：（1）每一个原子都有一个类似上式的运动方程；
第一部分 （共6题，选作4题，每题15分，共计60分；如多做，按前4题计分） 1. 从成键的角度阐述Ⅲ-Ⅴ 族和Ⅱ-Ⅵ 族半导体为什么可以形成同一种结构:闪锌矿结构。 2. 请导出一维双原子链的色散关系，并讨论在长波极限时光学波和声学波的原子振动特点。 3. 从声子的概念出发，推导并解释为什么在一般晶体中的低温晶格热容量和热导率满足T3关系。 4. 设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a处的能隙。 5. 假设有一个理想的单层石墨片，其晶格振动有两个线性色散声学支和一个平方色散的声学支，分别是ω=c1k，ω=c2k，ω=c3k（其中c1，c2和c3(π/a)是同一量级的量，a是晶格常数）。 1）试从Debye模型出发讨论这种晶体的低温声子比热的温度依赖关系，并作图定性表示其函数行为； 2）已知石墨片中的每一个碳原子贡献一个电子，试定性讨论电子在k空间的填充情况及其对低温比热的贡献情况。 6. 画出含有两个化合物并包含共晶反应和包晶反应的二元相图，注明相应的共晶和包晶反应的成分点和温度，写出共晶和包晶反应式。 第二部分 （共9题，选做5题，每题8分，总计40分；如多做，按前5题计分） 1. 从导电载流子的起源来看，有几种半导体 2. 举出3种元激发，并加以简单说明。 3. 固体中存在哪几种抗磁性铁磁性和反铁磁性是怎样形成的铁磁和反铁磁材料在低温和高温下的磁化有什么特点 4. 简述固体光吸收过程的本证吸收、激子吸收及自由载流子吸收的特点，用光吸收的实验如何确定半导体的带隙宽度 5. 利用费米子统计和自由电子气体模型说明低温下的电子比热满足T线性关系。 6. 超导体的正常态和超导态的吉布斯自由能的差为μ0Hc2(T)，这里Hc是超导体的临界磁场，说明在无磁场时的超导相变是二级相变，而有磁场时的相变为一级相变。
第 3 次 课 教学目的：掌握原胞、基矢和布拉伐格子的基本概念；掌握简立方、面心立 方、体心立方晶格原胞特点以及基矢的表示； 理解复式晶格结构及其表示 教学内容：§1.2 晶格的周期性 重点难点：简立方、面心立方、体心立方晶格原胞特点以及基矢的表示；复 式晶格结构及其表示 §1.2 晶格的周期性 1 晶格周期性的描述 — 原胞和基矢 —— 晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述 （1）原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小） 如图XCH001_011所示。 （2） 基矢：原胞的边矢量。 三维格子的重复单元是平行六面体，是重复单元的边长矢量 （3） 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作 为重复单元。 特点：单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期。代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。 基矢： 表示单胞的基矢。 在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原胞。 简单立方晶格 — 单胞是原胞 321,,a a a c b a ,,
面心立方晶格 — 单胞不是原胞 例如面心立方晶格，如图XCH001_013所示。 原胞基矢： ——原胞的体积： 单胞基矢： ——单胞的体积： 2 简单晶格 简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱金属具有体心立方晶格结构；Au 、Ag 和Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。 1）简单立方晶格（Simple Cube ） 原胞为简单立方晶格的立方单元。 基矢： 如图XCH001_012所示 原胞体积： —— 原胞中只包含一个原子 晶胞中，顶角的原子可视为8个立方单元所共有,故8×1/8=1。 2）面心立方晶格 （fcc ） 如图XCH001_013所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称面心 立方。 由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢 ， ,,a ai b aj c ak == =123()2 () 2 ()2 a a j k a a k i a a i j = +=+=+33214 1)(a a a a V =??= 3)(a c b a V =??= k a a j a a i a a ===321,,3321)(a a a a V =??= 321,,a a a
固体物理补充习题 （十四系用） 1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方（sc ）、体心立方（bcc ）和面心立方（fcc ）三种 结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球，试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。 提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。 2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为 1a = a i 212a =-+ a i j (1)求出其倒格子基矢1 b 和2 b , 证明倒格子仍为二维密排格子； (2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。 3. 由N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积V 可以写为V ＝Nv = N βr 3，其中v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值: (1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构 (4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。 4. 设两原子间的相互作用能可表示为 ()m n u r r r αβ =-+ 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n 和m 均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。 5. 设晶体的总相互作用能可表示为 )m n A B U r r r =-+ 其中，A 、B 、m 和n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求： (1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0； (2)设晶体的体积可表为V ＝N γr 3，其中N 为晶体的原子总数，γ为体积因子。若平衡时 晶体的体积为V 0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K 为 9mn U K V = 6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间 的势能具有如下的形式： 式中，λ和ρ为参数；R 为最近邻离子间距。若晶体的Madelung 常数为α，最近邻的离子数为Z ，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。 7. 由N 个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为()cos n x A t naq ω=-，若其端点固定， (1)证明所形成的格波具有驻波性质，格波方程可表为()sin sin n x A naq t ω'=； （最近邻间） （最近邻以外） ±e r 2 λρ e e R R --/2 ()u r =
2008级电技专业《固体物理学》测验题 一、 （40分）简要回答： 1、 什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。 2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。 3、 试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作 用效果并给出其等效对称要素。 4、 什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为 多少？ 5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势 能函数有何特点？ 7、 什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？ 二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。试画出 该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。 三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子 并讨论x 射线衍射时的消光规律。 四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动 的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。 五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢 为： k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求 （1） 倒格子基矢； （2） 晶面蔟（210）的面间距； （3） 试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二 和第三布里渊区。 六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为： ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数，试求： （1） 能带的宽度； （2） 电子在波矢k 态时的速度； （3） 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。 《固体物理学》测验参考答案 一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？ 答：晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？ 答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式 中吸引力的来源。 答：晶体的典型型方式有如下五种： 离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间 的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模 式的取值数各为多少？ 答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理 意义。
课程编号：011908 总学分：3学分 固体物理 （Solid-State Physics） 课程性质：学科大类基础课 适用专业：应用物理学专业 学时分配：课程总学时：48学时。其中：理论课学时：46学时（含演示学时）；实验学时：0学时；上机学时：0学时；习题课学时：2学时。 先行、后续课程情况：先行课：高等数学、热力学与统计物理,；后续课：量子力学,原子物理。 教材：《固体物理学》，黄昆，韩汝琦，高等教育出版社 参考书目：《固体物理学》，陆栋，上海科学技术出版社 《固体物理基础》，阎守胜，北京大学出版社 《固体物理简明教程》，蒋平，徐至中，复旦大学出版社 一、课程的目的与任务 固体物理学是应用物理和物理类各专业的一门必修基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程，它的主要内容是研究固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能和用途，尤其以固态电子论和固体的能带理论为主要内容。 通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体结构的基本描述，固体电子论和能带理论，以及实际晶体中的缺陷、杂质、表面和界面对材料性质的影响等，掌握周期性结构的固体材料的常规性质和研究方法，了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课学习打好基础。 二、课程的基本要求 教学内容的基本要求分三级：掌握、理解、了解。 掌握：属于较高要求。对于要求掌握的内容（包括定理、定律、原理等的内容、物理意义及适用条件）都应比较透彻明了，并能熟练地用以分析和计算有关问题，对于能由基本定律导出的定理要求会推导。 理解：属于一般要求。对于要求理解的内容（包括定理、定律、原理等的内容、物理意义及适用条件）都应明了，并能用以分析和计算有关问题。对于能由
固体物理典型教案 §6.7 纯金属电阻率的统计模型 一．电阻率的本质 比喻 1． 纯金属具有电阻率的本质：金属的电阻率ρ与外电场ε和电流密度j 的关系为j ρ=ε。外电场ε一定，电阻率ρ大的金属电流密度j 就小。而电流密度j 正比于电子在电场方向的飘逸速度。这就是说电阻率ρ大的金属，电子的飘逸速度就小。电子的飘逸速度小，表明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属，这个阻力只能是来自晶格，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减缓了在外电场方向的飘逸速度。 2． 比喻：拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比喻成电子，做操者比喻成振动的原子。一旦做起操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，穿越者不得不东躲西闪。这样以来，穿过这体操阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。 二．实验规律 高温：纯金属电阻率 T ∝ρ， 甚低温：5 T ∝ρ 问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系？ 三． 前人的工作 包括J.Bardeen 在内的不少人对纯金属电阻率与温度的依赖关系进行过研究，但“处理方法、 数学积分及至结果表达式都是相当令人生畏的。”[R.J.Elliot and A.F.Gibson, AnIntroduction to Solid State Physics and its Applications, 311(1976) ]，这些研究难以以基础课的内容让学生们接受。 问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的关系？ 四． 提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路 1． 基础一 纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。 电子运动方向发生变化，说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。在第三章中把晶格振动谱测定中的光子与晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的相互碰撞。同理，我们也可以把电子与晶格之间的相互作用, 看成是电子与声子之间的相互碰撞。 2．基础二 第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平均频率的简单模型，取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观物理量，是电子与晶格作用的统计平均效应。是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平均声子模型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。 3. 基础三 由上一节（§6.6）已知，对电导有贡献的只是费密面上的电子，因此纯金属电阻率可看成是费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。金属的电阻率 τ ρ2* ne m =， （1）
中国科学院——中国科学技术大学 2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷 试题名称：固体物理 一、（25分）简要回答以下问题： 1、某种元素晶体具有6角密堆结构，试指出该晶体的布拉伐（Bravais）格子类型和其倒格子的类型。 2、某元素晶体的结构为体心立方布拉伐格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距。（设其晶胞参数为a）。 3、具有面心立方结构的某元素晶体，它的多晶样品x-射线衍射谱中，散射角最小的三个衍射峰相应的面指数是什么？ 4、何谓费米能级和费米温度？试举出一种测量金属费米面的实验方法。 5、试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。 二、（15分）回答以下问题： 1、阐述晶格中不同简正模式的桥梁波之间达到热平衡的物理原因。 2、晶格比热理论中德拜（Debye）近似在低温下与实验符合的很好，物理原因是什么？ 3、晶体由N个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达式，并说明德拜频率的物理意义。
三、（20分）设有一维双原子链，两种原子的质量分别为M 和m ，且M>m ，相邻原子间的平衡间距为a ，只考虑最近邻原间的相互作用，作用力常数为β，在简谐似下，考虑原子沿链的一维振动。 1）求格波简正模的频率与波矢间的关系ω（q ） 2）证明波矢q 和m a q p +（其中m 为整数）描述的格波是全同的3）在M>>m 的极限情形，求色散关系ω（q ）的渐近表达式 四、（20分）推导简立方晶格中由原子S 态фS （r ）形成的能带： 1、写出描述S 态晶体电子波函 数的Bloch 表达式 2、写出在最近邻作用近似下， 由紧束缚法得到的晶体S 态电子能 量表达式E （k ） 3、计算如图Г，X，R 点晶体电 子能量 4、指出能带底与能带顶晶体电 子能量，其能带宽度等于多少？ 5、画出原子能级分裂成能带示 意图 五、（20分）金属钠是体心立方晶格，晶格常数05.3A a =，假如每一个锂 原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=OK 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。 J leV cm s W m s J h 19233534106.1,/101.0,1005.1---′=·′=·′=
1、解理面：矿物晶体在外力作用下严格沿着一定结晶方向破裂，并且能裂出光滑平面的性质称为解理，这些平面称为解理面。 性质：解理面一般光滑平整，一般平行于面间距最大，面网密度最大的晶面，因为面间距大，面间的引力小，这样就造成解理面一般的晶面指数较低，如Si的解理面为（111）。 晶体中原子的排列是长程有序的，这种现象称为晶体内部结构的周期性。晶体内部结构的周期性可以用晶格来形象地描绘。晶格是由无数个相同单元周期性地重复排列组成的。 2、晶格场中电子运动状态：在周期性势场中，属于某个原子的电子既可以在该原子附近运动，也可以在其它的原子附近运动，即可以在整个晶体中运动。即局域化运动、共有化运动。晶体中（也就是周期性势场中）的电子的运动是既有局域化的特征又有共有化特征。 3、固体热容组成：固体的热容是原子振动在宏观性质上的一个最直接的表现。 杜隆·伯替定律------在室温和更高的温度，几乎全部单原子固体的热容接近3NkB。在低温热容与T3成正比。 （晶格热振动）晶格热容 固体的热容 （电子的热运动）电子热容 每一个简谐振动的平均能量是kBT ，若固体中有N个原子，则有3N个简谐振动模， 总的平均能量: E=3NkBT 热容: Cv = 3NkB 热容的本质： 反映晶体受热后激发出的晶格波与温度的关系； 对于N个原子构成的晶体，在热振动时形成3N个振子，各个振子的频率不同，激发出的声子能量也不同； 温度升高，原子振动的振幅增大，该频率的声子数目也随着增大； 温度升高，在宏观上表现为吸热或放热，实质上是各个频率声子数发生变化。 影响热容的因素： 1. 温度对热容的影响 高于德拜温度时，热容趋于常数，低于德拜温度时，与(T / D)3成正比。 2. 键强、弹性模量、熔点的影响 德拜温度约为熔点的0.2—0.5倍。 3. 无机材料的热容对材料的结构不敏感 混合物与同组成单一化合物的热容基本相同。 4. 相变时，由于热量不连续变化，热容出现突变。 5. 高温下，化合物的摩尔热容等于构成该化合物的各元素原子热容的总和(c= niCi) ni :化合物中i元素原子数； Ci:i元素的摩尔热容。 计算大多数氧化物和硅酸盐化合物在573以上热容有较好的结果。 6. 多相复合材料的热容：c= gici gi ：材料中第i种组成的重量%； Ci：材料中第i组成的比热容。
固体物理学课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：固体物理学 所属专业：理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态，及其相互关系的科学。它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。本课程以点阵及晶体对称性为主线，以周期结构中的波动问题贯穿固体物理的整个教学内容。 基本目标与任务： 1.掌握包括对点阵及晶体对称性的定义、表征和检测，以及在晶体中物质的 运动规律； 2.在掌握知识架构的同时，对固体物理中处理多体问题的方法及其局限性有 所了解，并了解一些重要概念的实验探测； 3.获得在本门课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力； 4.为学习后续课程和独力解决实际问题打下必要的基础。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：《理论力学》、《电动力学》、《热力学统计物理》、《量子力学》以及《数学物理方法》 关系：《理论力学》、《电动力学》、《热力学统计物理》、《量子力学》以及《数学物理方法》是固体物理学的数学基础和物理基础，固体物理学在此先修课程的基础上系统研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态。 （四）教材与主要参考书。 选用教材：基泰尔，固体物理导论（第八版）。 主要参考书： 1.黄昆、韩汝琦，固体物理学，高等教育出版社 2.Neil W. Ashcroft、N.David Mermin，Solid state Physics 3.刘友之、聂向富、蒋生蕊，固体物理学习题指导
固体物理学-期中考试试题及答案
2005级 2007-2008学年第二学期固体物理学期中考试答案 一、简要回答下列问题：（30分） （1）简要说明热传导系数的温度依赖关系。 [答]晶格热导率的温度依赖关系如下：高温情况下，T>>德拜温度ΘD ，对于所有晶格振动模，平均声子数∝T ，温度升高时，声子间相互“碰撞”的几率增大，自由程减小，自由程与温度成反比；且在高温下，热容与温度无关。因此高温情况下热导率与温度成反比。 低温时，尽管晶格热容遵从德拜T 3 定律，但热导率κ随温度的变化主要决定于平均自由程λ的指数因子，即κ 随温度降低而指数增大。 极低温度的情况下，声子的平均自由程可以增大到与声子被晶格缺陷散射所决定的平均自由程相比拟，甚至可以与晶体样品的有限尺寸相比拟。这时的平均自由程不再是非谐效应引起的本征自由程，而应是以缺陷的空间分布或样品的尺寸所决定的与温度无关的平均自由程。因此，热导率的温度依赖关系将与晶格热容的温度依赖关系（T 3）相同。 （2）声子数的物理意义是什么？晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体 中的声子数与温度T 之间有什么样的关系？ ［答］声子是指格波的量子，它的能量等于i ω 。一个格波，也就是一种振动模， 称为一种声子。所以，声子数代表晶格振动的格波数。 频率为ωi 的格波的平均声子数为 ： 1 1)(/-= T k i B e n ωω 即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶体中的声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。
以德拜模型为例。晶体中的声子数目为 ωωωωd g n N D )()('0 ? = 其中 令 T k x B ω = 则 1 23'2/0 3 3233 -= ? x T B e dx x C T k V N D θπ 在极低温度下，θD ／T→∞，于是 33323 233233310332'()212B B x n V k T Vk x dx N T C e C n ππ∞ ∞===-∑? （3）共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ [答]对电子束缚能力相同或相近的两个原子,彼此靠近时,各自贡献一个电子,为两个原子共有,从而使其结合在一起,这种结合,称为共价结合,或原子结合。 能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子结构，称为共价键。它有两个特点：饱和性和方向性。饱和性指一个原子只能形成一定数目的共价键。按照泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不能再与第三个电子配对。因此当一个原子与其它原子结合时，能够结合成共价键的数目有一个最大值，这个最大值取决于它所含的未配对的电子数。设N 为一个原子的价电子数目，对于ⅣA ，ⅤA ，ⅥA ，ⅦA 族元素，价电子壳层共包含8个量子态，最多能容纳（8－N ）个电子，形成（8－N ）个共价键。这就是共价结合的“饱和性”。 当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后，电子云就会发生交叠，而且共价键结合得越紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。因此，两原子在以共价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位，也就是电子的波函数为最大的方向。这就是共价键具有“方向性”的物理本质。
第 10 次 课 教学目的：掌握一维双原子链运动方程的建立和求解；理解晶格振动的色散关系；掌握声学波和光学波的特点； 教学内容： §3.2 一维双原子链 重点难点：一维双原子链运动方程的建立和求解；晶格振动的色散关系；声 学波和光学波的特点；色散关系； §3.2 一维双原子链 除了少数元素晶体外，大多数晶体的原胞中都含有不止一个原子，就是复式格 子。一维双原子链就是最简单的复式格子。 1. 一维复式格子的情形——一维无限长链 —— P 和Q 两种不同原子：m 、M （M>m ）构成的一维复式格子 —— 相邻同种原子间的距离为2a —— 复式格子的晶格常数 —— 如图XCH003_005所示 质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。 质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 2. 牛顿运动方程 原子间的力常数均为β，类似于一维单原子链的运动方程。 第2n 个m 原子的方程：)2(121222-+---=n n n n m μμμβμ 第2n+1个M 原子的方程：)2(222122n n n n M μμμβμ ---=++ —— 体系N 个原胞，有2N 个独立的方程 3. 方程的解： ] )12([12])2([2aq n t i n q na t i n Be Ae +-+-==ωωμμ —— A 和B 分别是m 原子和M 原子振动的振幅
—— 因为m M >，复式格子中不同原子振动的振幅一般来说是不同的 将试探解 ] )12([12])2([2aq n t i n q na t i n Be Ae +-+-==ωωμμ带回到运动方程得到： B A e e B M A B e e A m iaq iaq iaq iaq ββωββω2)(2)(2 2-+=--+=---， 移项，整理得： )2()cos 2(0)cos 2()2(2 2=-+-=--B M A aq B aq A m ωβββωβ 若A 、B 有非零的解，系数行列式满足： 02cos 2cos 2222=----ωβββωβM aq aq m 由此解出两个2ω的值： }]sin ) (41[1{)(21 2 2 2 aq M m mM mM M m +--+=- βω }]sin ) (41[1{)(21 22 2 aq M m mM mM M m +-++=+ βω 由解，我们可以画出两只格波的色散关系曲线，如图XCH003_006_01所示 。 4. 格波的振幅 将2 +ω和2 -ω分别代入 )2()cos 2(0)cos 2()2(2 2=-+-=--B M A aq B aq A m ωβββωβ 得到aq m A B cos 22)(2ββω--=++和aq m A B cos 22)(2ββω--=-- —— 从 ] )12([12])2([2aq n t i n q na t i n Be Ae +-+-==ωωμμ得到相邻原胞之间的相位差是aq 2 —— 为保证波函数的单值性，一维复式格子q 的值限制在：ππ≤<-aq 2 —— 第一布里渊区 a q a 22π π ≤ <- —— 第一布里渊区大小： a π