2．2基本不等式第1课时基本不等式
教材考点学习目标核心素养
基本不等式
理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理
利用基本不等式求最
值
能够运用基本不等式求函数或代数式的
最值
数学运算
问题导学
预习教材P44－P46，并思考以下问题：
1．基本不等式的内容是什么？
2．基本不等式成立的条件是什么？
3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
1．重要不等式与基本不等式
■微思考1
(1)不等式a2＋b2≥2ab和
a＋b
2≥ab成立的条件相同吗？
提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与
a＋b
2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）
2≥
（－3）×（－4）是不成立的．
2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则
(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2
4． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2
通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？
提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：
①一正：符合基本不等式a ＋b
2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤?
????a ＋b 22
.( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a
b ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1
x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2．如果a >0，那么a ＋1
a ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．3
D ．4
解析：选D.因为a >0，所以a ＋1
a ＋2≥2a ·1
a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝
1时取等号．
3．不等式(x －2y )＋1
x －2y
≥2成立的前提条件为( ) A ．x ≥2y B ．x >2y C ．x ≤2y
D ．x <2y
解析：选 B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，故选B.
4．已知0＜x ＜1，则x (1－x )的最大值为________，此时x ＝________． 解析：因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，所以x (1－x )≤??
????x ＋（1－x ）22＝? ????122
＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值1
4.
答案：14 1
2
探究点1 对基本不等式的理解
下列结论正确的是( ) A ．若x ∈R ，且x ≠0，则4
x ＋x ≥4
B ．当x >0时，x ＋
1
x
≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1
x 的最小值为2 D ．当0 x 无最大值 【解析】 对于选项A ，当x <0时，4 x ＋x ≥4显然不成立；对于选项B ，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C ，忽视了验证等号成立的条件，即x ＝1x ，则x ＝±1，均不满足x ≥2；对于选项D ，x －1 x 在0 【答案】 B 应用基本不等式时的三个关注点 (多选)下列条件中，能使b a ＋a b ≥2成立的是( ) A ．ab ＞0 B ．ab ＜0 C ．a ＞0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 解析：选ACD.当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b ≥2，故只须a ，b 同号即可，所以ACD 均可以．故选ACD. 探究点2 利用基本不等式直接求最值 (1)已知t ＞0，求y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值； (2)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，求xy 的最大值． 【解】 (1)依题意得y ＝t ＋1 t －4≥ 2t ·1 t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t (t >0)的最小值是－ 2. (2)因为正数x ，y 满足2x ＋y ＝1， 所以2x ＋y ＝1≥22xy ， 所以2xy ≤1 2， 解得xy ≤18，当且仅当x ＝14，y ＝1 2时取等号． (1)若a ＋b ＝S (和为定值)，当a ＝b 时，积ab 有最大值S 2 4，可以用基本不等式ab ≤a ＋b 2求得． (2)若ab ＝P (积为定值)，则当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ，可以用基本不等式a ＋b ≥2ab 求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立． 1．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 解析：选B.因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋? ????x ＋y 22 ＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25. 2．若a ，b 都是正数，则? ????1＋b a ? ????1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选C.因为a ，b 都是正数，所以? ? ???1＋b a ? ????1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号． 探究点3 利用基本不等式求最值 (1)已知x >2，则y ＝x ＋ 4 x －2 的最小值为________． (2)若0 2x (1－2x )的最大值是________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________． 【解析】 (1)因为x >2， 所以x －2>0， 所以y ＝x ＋ 4x －2＝x －2＋4x －2 ＋2 ≥2 （x －2）·4x －2 ＋2＝6， 当且仅当x －2＝ 4 x －2 ， 即x ＝4时，等号成立． 所以y ＝x ＋ 4 x －2 的最小值为6. (2)因为0 2 ，所以1－2x >0， 所以y ＝12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14? ????2x ＋1－2x 22＝14×14＝1 16， 当且仅当2x ＝1－2x ， 即当x ＝14时，y max ＝1 16. (3)因为x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋x y ≥9， 当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝13，y ＝1 6时取等号． 【答案】 (1)6 (2)1 16 (3)9 (变条件)若把本例(1)中的条件“x >2”改为“x <2”，求f (x )＝x ＋4 x －2 的最大值． 解：因为x <2， 所以2－x >0， 所以f (x )＝x ＋ 4x －2 ＝－?? ? ???（2－x ）＋42－x ＋2 ≤－2 （2－x ）? ?? ?? 42－x ＋2＝－2， 当且仅当2－x ＝ 4 2－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)， 即x ＝0时，等号成立． 故f (x )＝x ＋ 4 x －2 的最大值为－2. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 1．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 解析：选B.由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝3 4，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1 2时取等号． 2．函数y ＝3x 2＋6 x 2＋1 的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2 D ．62－3 解析：选D.y ＝3(x 2＋1)＋ 6 x 2 ＋1 －3≥ 2 3（x 2＋1）·6 x 2＋1 －3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号 成立，故选D. 3．已知x >0，y >0，且1x ＋9 y ＝1，则x ＋y 的最小值为________． 解析：x ＋y ＝(x ＋y )·? ????1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2 y x ·9x y ＝10＋6＝16. 即x ＝4，y ＝12时等号成立，所以x ＋y 的最小值为16. 答案：16 1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4 a ≥4 B ．a 2＋ b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3 x 2≥2 3 解析：选D.a ＜0，则a ＋4 a ≥4不成立，故A 错；a ＝1， b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ， 故B错，a＝4，b＝16，则ab＜a＋b 2 ，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为() A．25 B.25 2 C.25 4 D. 25 8 解析：选D.a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝1 2a·2b≤ 1 2×? ? ? ? ? a＋2b 2 2 ＝25 8 ，当且仅 当a＝5 2，b＝5 4 时取等号，故选D. 3．若a＞1，则a＋ 1 a－1 的最小值是() A．2 B．a C.2a a－1 D．3 解析：选D.因为a＞1，所以a－1＞0， 所以a＋1 a－1＝a－1＋1 a－1 ＋1 ≥2（a－1）·1 a－1 ＋1＝3. 当且仅当a－1＝1 a－1 即a＝2时取等号． 4．(2020·泰安高一检测)当x＞0时，若2x＋a x(a＞0)在x＝3时取得最小值， 则a＝________． 解析：因为a＞0，且2x＋a x≥22x· a x ＝22a， 当且仅当2x＝a x ， 即x＝2a 2时，2x＋a x 取得最小值， 所以2a 2＝3， 解得a ＝18. 答案：18 5．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3 y 的最小值． 解：因为x ，y 为正实数， 所以(x ＋y )? ???? 1x ＋3y ＝4＋? ???? y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x y ， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”． 又x ＋y ＝4， 所以1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [A 基础达标] 1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因 为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b ≥2成立． 2.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322 解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0， a ＋6≥0， 所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝9 2. 即 （3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为9 2. 3．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选D.因为x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1， 所以x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8， 当且仅当4y x ＝x y 时等号成立．故选D. 4．设x >0，则y ＝3－3x －1 x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3 D ．－1 解析：选 C.y ＝3－3x －1x ＝3－? ? ???3x ＋1x ≤3－2 3x ·1 x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝3 3时取等号． 5．设x ＞0，则函数y ＝x ＋ 22x ＋1 －3 2的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.32 解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋1 2＞0， 所以y ＝x ＋22x ＋1－3 2 ＝? ?? ?? x ＋12＋1x ＋12－2 ≥2 ? ?? ??x ＋12·1 x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12 ，即x ＝ 12时等号成立，所以函数的最小值为0. 6．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝1 6(2x ·3y ) ≤16·? ????2x ＋3y 22 ＝16×? ?? ??622＝3 2. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值3 2. 答案：3 2 7．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2 n 的最小值为________． 解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n ＝4＋ ? ???? n m ＋4m n ≥8. 当且仅当m ＝14，n ＝1 2时等号成立． 答案：8 8．给出下列不等式： ①x ＋1x ≥2；②?????? x ＋1x ≥2；③x 2＋y 2xy ≥2； ④x 2＋y 22>xy ；⑤|x ＋y | 2 ≥|xy |. 其中正确的是________(写出序号即可)． 解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1 x ≤－2，①不正确； 因为x 与1 x 同号， 所以?????? x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，②正确； 当x ，y 异号时，③不正确； 当x ＝y 时，x 2＋y 2 2＝xy ，④不正确； 当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确． 答案：② 9．已知y ＝x ＋1 x . (1)已知x ＞0，求y 的最小值； (2)已知x ＜0，求y 的最大值． 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1 x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号 成立．所以y 的最小值为2. (2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－? ? ? ???（－x ）＋1（－x ）≤－ 2 （－x ）·1（－x ）＝－2，当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2. 10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1 x －3 的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝ 2x x 2＋1 的最大值． 解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1 x －3 ＋7＝－??????2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22（3－x ）· 1 3－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝ 13－x ，即x ＝3－2 2时，等号成立，于是－??????2（3－x ）＋13－x ≤－22，－??? ???2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值 是7－2 2. (2)y ＝ 2x x 2＋1＝2x ＋ 1x .因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤2 2＝1， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. [B 能力提升] 11．若0＜x ＜1 2，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( ) A ．1 B.12 C.14 D.18 解析：选C.因为0＜x ＜1 2，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝1 2×2x 1－4x 2 ≤12×4x 2＋1－4x 2 2 ＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝2 4时等号成立，故选C. 12．(多选)下列四个命题中，是真命题的是( ) A ．?x ∈R ，且x ≠0，x ＋1 x ≥2 B ．?x ∈R ，使得x 2＋1≤2x C ．若x ＞0，y ＞0，则 x 2＋y 22≥2xy x ＋y D ．若x ≥5 2，则x 2－4x ＋52x －4 的最小值为1 解析：选BCD.对于A ，?x ∈R ，且x ≠0，x ＋1 x ≥2对x ＜0时不成立； 对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2，2x ＝2，x 2＋1≤2x 成立，正确； 对于C ，若x ＞0，y ＞0，则(x 2＋y 2)(x ＋y )2≥2xy ·4xy ＝8x 2y 2，化为 x 2＋y 2 2 ≥2xy x ＋y ，当且仅当x ＝y ＞0时取等号，正确； 对于D ，y ＝ x 2－4x ＋52x －4 ＝ （x －2）2＋12（x －2） ＝12?? ???? （x －2）＋1x －2， 因为x ≥5 2，所以x －2＞0， 所以12?? ????（x －2）＋1x －2≥1 2·2 （x －2）·1 x －2 ＝1， 当且仅当x －2＝ 1 x －2 ，即x ＝3时取等号． 故y 的最小值为1. 13．(一题两空)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab . (1)则ab 的最小值为________； (2)则a ＋2b 的最小值为________． 解析：因为2a ＋b ＝ab ， 所以1a ＋2 b ＝1； (1)因为a >0，b >0， 所以1＝1a ＋2 b ≥2 2ab ，当且仅当1a ＝2b ＝1 2，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以 ab ≥8，即ab 的最小值为8. (2)a ＋2b ＝(a ＋2b )? ???? 1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋2 2b a ·2a b ＝9， 当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝3时取等号， 所以a ＋2b 的最小值为9. 答案：(1)8 (2)9 14．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1 b ＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值； (2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1 b ＝22≥21 ab ， 即ab ≥1 2(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×1 2＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1. (2)因为1a ＋1 b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2≥4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1. [C 拓展探究] 15．是否存在正实数a 和b ，同时满足下列条件：①a ＋b ＝10；②a x ＋b y ＝1(x >0，y >0)且x ＋y 的最小值为18，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由． 解：因为a x ＋b y ＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )? ???? a x ＋ b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，又x ＋ y 的最小值为18， 所以(a ＋b )2＝18. 由?????（a ＋b ）2＝18，a ＋b ＝10，得?????a ＝2，b ＝8或?????a ＝8， b ＝2. 故存在实数a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2满足条件． 《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过 2．2基本不等式第1课时基本不等式 教材考点学习目标核心素养 基本不等式 理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理 利用基本不等式求最 值 能够运用基本不等式求函数或代数式的 最值 数学运算 问题导学 预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 1．重要不等式与基本不等式 ■微思考1 (1)不等式a2＋b2≥2ab和 a＋b 2≥ab成立的条件相同吗？ 提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与 a＋b 2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． (3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4） 2≥ （－3）×（－4）是不成立的． 2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2 4． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2 通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤? ????a ＋b 22 .( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a b ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1 x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 二元一次方程组评课 二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法---加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。通过加减来达到消元的目的，让学生从中充分体会化未知为已知的转化过程，理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础. 一、首先本节课教师所设计的一系列的教学活动都是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上的。教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了带入消元法还有其他方法吗？从而导入新课即加减法解二元一次方程组．激发学生的求知欲和学习积极性。 二、教师向学生提供充分从事数学活动的机会，具体体现在对于不同系数的二元一次方程组不同方法的优化和选择，例如对于系数相同，系数互为相反数的，系数互为倍数的，系数没有特殊关系的二元一次方程组，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 三、教师教学过程中真正体现了学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。通过和独立探索，小组合作交流，组内展示和班级展示等环节突出了学生的主体地位。 四、教师在教学过程中评价贯穿于每一个教学环节，充分体现了评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学，同时本节课评价目标多元、评价方法多样，如对学生学习能力，学习方法，学习态度，包括字迹书写，对数学学习的评价不仅关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。 五、设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程 “消元——二元一次方程组的解法”的教学中蕴含的思想方法体现了数学思想方法的层次性的特点，这种层次也反映了对数学内容本质的认识的概括程度的高低。这里，化归是第一个层次，消元是第二个层次，代入和加减是第三个层次， 第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数 《一元一次不等式解法》评课稿 今天听了老师的课，内容是《一元一次不等式解法》第1课时，课题选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（七年级下册）》．看到了老师的精彩的教学展示，学到了很多东西。下面从教学方式与手段的选择及教学过程的设计几方面来阐述我对本节课的感受。 本节课重点讨论了两方面内容：1、如何用一元一次不等式解决实际问题，归纳其基本过程； 2、如何解不等式，归纳解一元一次不等式的一般步骤。从而使学生体会到不等式是解决涉及求未知数取值范围的有力工具，是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型，既是对已学知识的运用和深化,又为下节一元一次不等式组的学习奠定基础。 在实现目标方面做得非常出色。既完成了任务又发展了学生的能力。 在重点和难点的处理上 以不等式为工具，分析问题、解决问题是本章的重点，掌握一元一次不等式的解法及解集的几何表示是本章的基本技能，因此，本节课的教学重点为：由实际问题中的不等关系列出不等式，进一步掌握一元一次不等式的解法。由于学生初次接触含有不等关系的实际问题，因此对于如何分析出其中的不等关系，并应用一元一次不等式描述不等关系，从而解决实际问题。 教学方式和手段 本节课采用的教学方式是启发式教学方式。 从学生已有的生活实际经验出发，通过设置若干个具有层次性、挑战性的探究点，激发学生探究兴趣，教师引导学生在独立思考、互相交流的活动中主动学习、探究学习，并适时恰当地引导、帮助学生找到解决问题的方法。教学中利用幻灯片，一方面创设强烈的生活气息，激发学生学习兴趣；另一方面扩大课堂教学容量，节省课堂教学时间，提高课堂教学效率。 教学中，首先让学生独立思考，然后组织学生分组讨论，交流解决问题的过程，教师深入小组参与活动，适时予以指导。使学生通过具体的练习，然后经历一元一次不等式与一元一次方程的解法的类比、对比过程，进一步掌握一元一次不等式的解法及解集的几何表示，规范解题步骤，养成按步骤操作的解题习惯，夯实双基，同时发展学生运用类比、化归等数学思想的意识，从而进一步完善已有的知识体系 在整个过程中老师充分注重学生的个性发展和合作能力的培养从而在学生终身学习的能力培养上打下了良好的基础。 【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习 一、选择题 1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为 ( ) A.2 5 B ．1 2 C.2 2 D ．1 [答案] B [解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2， ∴f(x)＝x x ＋1＝t t2＋1. 当t ＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤1 2 B ．ab≥1 2 C ．a2＋b2≥2 D ．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C. 3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B ．a2＋b2 C ．2ab D ．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜1 2， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， ∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则 2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小 值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 [答案] B [解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ?1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12??? ?b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 a ＋ b 2cd 的最小值是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a ＋ b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题 《一元一次不等式组》评课记录 主讲老师嘉鱼县渡普中学张茂林 评课人：嘉鱼县教研室数学教研员黄华明 今天上午第三节课，张茂林老师讲了一堂数学教研课，内容是《一元一次不等式组》。一元一次不等式组是求解数学问题的一个重要工具，张老师选择方法，巧妙化解重点、难点，较好地完成了本节课的教学任务，听课的老师一致认为是一堂高效的课。下面我就张老师的课堂教学谈些粗浅的看法。 首先张老师的课前准备是充分的，能充分考虑学生的认知水平，科学设计问题，按不同的时段进行有效训练，让不同的学生都有一定的收获。其次，张老师的课堂教学能力较强，课堂教学思路清晰，课堂教学流程设计科学合理。注重讲练结合，针对学生练习中出现的问题能恰当地点拨指导，规范解题格式，有效地提高学生的解题能力。张老师课堂教学过程中能注重数学思想和方法的渗透，本节课中他主要指导学生运用数形结合、分类讨论、同组合作讨论等方法，强化学生思维能力的训练。在讲授不等式组解集的确定和由解的情况确定字母系数的值或取值范围时，都要求学生画数轴，在数轴上标明运行趋势，同时运用教具演示，让学生直观地感知相关量的关系，很自然地明确解题的思路。复杂问题出现时，张老师不是要求学生直接动笔求解，而是启发学生用什么方法把复杂问题简单化。张老师课堂教学的另一特点就是讲解详略得当，该讲的就讲细讲透，让学生听得清楚，能真正掌握运用，该略的地方一带而过。注重变式练习，学生训练及时有效。 总之，张老师这节课上得很成功，成功得益于课前的精心准备，得益于平时对教材、教法、学情的研究。我们只要有一份责任，心中装有学生，我们的课堂都会有精彩呈现，课堂效果一定会有效，甚至高效。 评课人：渡普中学段善祥校长 这节课，张老师运用多媒体教室让老师不再是简单的知识传授者，而是一个活动情境的创设者、活动过程的组织者、活动深入的引领者、活动资源的开发者、学生情感的唤醒者，并调动了每一位学生的学习主动性，使他们真正成为学习的主人，积极地参与教学的每一个环节，努力地探索解决问题的方法，大胆地发表自己的观点。学生始终保持着高昂的学习情绪，切身经历了“做数学”的全过程，感受了学习数学的快乐，体验成功的喜悦。充分体现了新课程“以教师为主导，以学生为主体”的教学理念，充分发挥了现代信息技术的优势，取得了良好的教学效果。 闪光点： 一、创设情境，激发求知欲望， 上课开始老师通过课件展示，创设情境，导入新课。教师能以常见例题为例，注重学生年龄特点，从现实中来到现实中去，积极的为学生营造了和谐的学习环境，激发学生学习的 评郑老师的《一元一次不等式》 《一元一次不等式》选自人教版七年级第九章第一课时，是在学生已掌握方程及其解法的基础上进行学习的。教学要求是：理解不等式的意义，能直观判断某些不等式的解集，并能在数轴上表示不等式的解集，通过试解的方法明确不等式的解是一个范围。教学重点是：理解不等式的意义，寻求不等式的解。难点是：不等式解的探索过程。在新课程理念下，如何让学生积极主动地参与对新知的构建，数学能力的发展，在实际的教学中郑老师做了以下几个方面的有效尝试： 一、紧紧抓住数学知识的内在联系。 教师通过认真钻研教材，清楚地认识到不等式的概念是一个起始概念。这一概念知识的生长点是现实生活中存在大量的不等关系，利用不等关系可以有效刻画现实问题，教学时郑老师以实际问题创设情境，让学生经历把实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型，并借助学生已有的对方程的认识，类比一元一次方程，引出一元一次不等式及解集的概念，充分发挥学习心理中的正向迁移作用，为后续学习不等式的解法作了很好的铺垫。 “数学本质”的内涵之一是“数学知识的内在联系”，郑老师大胆打破了教材知识呈现的顺序，在问题解决的过程中，巩固基础知识和基本技能。抓住数学知识的内在联系，让学生感知什么是不等式、如何列不等式、满足不等式的未知数值的寻找，遵循这样一条主线，教师通过列一列、判一判、想一想、练一练等多种方式，强调问题中的基本不等量关系，突出教学重点，既把握通则通法，又鼓励思维的灵活多样。 可见郑老师对教材研究透彻，挖掘到位。这样的设计，符合学生年龄特点和认知规律，体现了以学生为主体的学习过程，培养了学生的学习能力。 二、教学过程的有效实施 有效的才是最好的，本节课的有效性主要体现在以下几个方面。1、由于本节课的知识点比较多，涉及不等式等多个概念，老师做了大胆的调整，充分利用类比与概括，使整节课比较紧凑而又不失灵活。2、知识点落实的比较扎实。设未知数、列不等式是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确的理解问题情境、分析其中的不等关系是基础，教学中郑老师从多种角度启发学生思考数量的大小关系并引导学生检验解的合理性，概念的理解清晰透彻。3、借 9.2 一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 要点感知1含有__________未知数,并且未知数的次数是__________的不等式,叫做一元一次不等式. 预习练习1-1下列不等式中，属于一元一次不等式的是( ) A.4＞1 B.3x-24＜4 C.1 x <2 D.4x-3＜2y-7 要点感知2 解一元一次不等式,要依据__________,将不等式逐步化为__________的形式. 预习练习2-1不等式-x＞3的解集是( ) A.x＞-3 B.x＜-3 C.x＜3 D.x＞3 要点感知3解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(根据不等式的__________)； (2)去括号(根据__________)； (3)移项(根据不等式的__________)； (4)合并(根据__________)； (5)系数化为1(根据不等式的__________). 预习练习3-1 解不等式2(x-1)-3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来. 知识点1 一元一次不等式及其解法 1.(2021·沈阳)一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是( ) 2.(2021·桂林)不等式x+1>2x-4的解集是( ) A.x<5 B.x>5 C.x<1 D.x>1 3.不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是( ) A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-1 5.(2021·郴州)解不等式4(x-1)+3≥3x,并把解集在数轴上表示出来. 知识点2 一元一次不等式与方程(组)的互相转化 解一元一次不等式教学反思 解一元一次不等式教学反思范文 本节内容是第八章的难点也是重点，在章节中有承上启下的作用，是一元一次不等式的简单变形的应用，是一元一次不等式组的基础。因而这节内容我更加费劲心思的思考该如何教学，才能让学生更好地掌握知识，运用知识。 一、课堂教学结构反思 本节课教学设计上较合理，知识点循序渐进，符合初中生的学习心理特点。本节课先让学生明白一元一次不等式的变形，再回顾一元一次方程的解的步骤，进一步理解和掌握一元一次不等式的解的步骤。在理解的基础上，通过例题加深，让学生经历了回顾、动手操作、提出问题、判断、找方法、合作交流等过程。另一方面，能够体现出用新教材的思想，体现了学生的主体地位，体现了新的教学理念。 在学习本节时，要与一元一次方程结合起来，用比较、类比的转化的数学思想方法来学习，弄清其区别与联系。 (1)从概念上来说：两者化简后，都含有一个未知数，未知数的次数是1，系数不等于零；但一元一次不等式表示的是不等关系，一元一次方程表示的是相等关系。 (2)从解法上来看：两者经过变形，都把左边变成含未知数(如x)的一次单项式，右边变成已知数，解法的五个步骤也完全相同；但不等式两边都乘(或除)以同一个负数时，不等号要变号，而方程两边都 乘(或除)以同一个负数时，等号不变。 (3)从解的情况来看： 1、为加深对不等式解集的`理解，应将不等式的解集在数轴上直观地表示出来，它可以形象认识不等式解集的几何意义和它的无限性．在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现。 2、熟练掌握不等式的基本性质，特别是性质3。不等式的性质是正确解不等式的基础。 二、有效的课堂提问反思 错误分析引入有效的提问，可以加深对本课知识的理解，又能更好地巩固前面的内容，起到承上启下的作用。提问过程中可以达到师生间的相互交流。教学提问中，比如：解一元一次方程的步骤是什么？学生在理解解一元一次方程步骤的基础上，类比解一元一次不等式的步骤就有了进一步的认识。同时，提出对“等号”与“不等号”的不同，不等式的解与方程的解又有点差别，特别是对不等式的性质3的不同，加深了学生对不等式的解的理解。由于学生的基础比较差，课堂教学提问中，由易到难，深入浅出，尽可能让学生学会、会学、会做。 三、有效的课堂参与反思 本节课我从复习旧知识，提问，动手操作，合作交流、形成共识的基础上，让学生理解一元一次不等式的概念及不等式的解法步骤。在课堂活动中经历、感悟知识的生成、发展与变化过程，重在学生参与完成。通过精心设计问题、课堂讨论，中间贯穿鼓励性语言，并让 课题:§3.4 2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课 教学目标： 1、知识与技能目标：（12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：2 a b +≤ 求最值的前提条件。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？ 引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正 方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab += （2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （3）推理证明：作差法 二、讲授新课 1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条 件？ 2 a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法 3.(1)探究:(课本P98) 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 引导学生发现： 2 a b +CD,得到 2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。 (2),a b 的几何平均数，称2 a b +为正数,a b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解 例1:若0>x ，求1y x x =+ 的最小值。 变1：若0x >，求123y x x =+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b =+的最小值。 变3：若3x >，求13 y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧：（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧 五、作业 自编的练习 课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h，写成不等式就是： v 40 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。 5.评价设计 8.2 解一元一次不等式 第1课时 不等式的解集 教学目标 本节在介绍不等式的基础上，介绍了不等式的解集并用数轴表示，介绍了解简单不等式的方法，让学生进一步体会数形结合的作用。 知识与能力 1．使学生掌握不等式的解集的概念，以及什么是解不等式。 2．使学生育能够借助数轴将不等式的解集直观地表示出来，初步理解数形结合的思想。 过程与方法 1．通过回忆给学生介绍不等式的解集的概念。 2．教会学生怎样在数轴上表示不等式的解集。 情感、态度与价值观 1．通过反复的训练使学生认识到数轴的重要性，培养其数形结合的思想。 2．通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满探索性与创造性。 教学重、难点及教学突破 重点 1．认识不等式的解集的概念。 2．将不等式的解集表示在数轴上。 难点 学生对不等式的解是一个集合可能会不太理解。 教学突破 由于受方程思想的影响，学生对不等式的解集的接受和理解可能会有一定的困难，教学时要注意结合简单的不等式和实际问题让学生体会不等式的解可以是一个集合，并组织学生讨论举例，加深理解。 另外，应在本节的过程中让学生能理解在数轴上表示不等式的解集，让他们熟悉数形结合的思想。 一、复习与练习 1、用不等式表示： （1）x 的 2 1与3的差是正数； （2）2x 与1的和小于0；（3）a 的2倍与4的差是正数； （4）b 的--21与的和是负数； （5）a 与b 的差是非正数；（6）x 的绝对值与1的和不小于1； 2、下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？ --3，--2，--1，0，1.5, 3，3.5 ,5,7。 二、新课探究： 如图：请你在数轴上表示： （1） 小于3的正整数； （2） 不大于3的正整数； （3） 绝对值小于3大于1的整数； （4） 绝对值不小于--3的非正整数； 由复习（2）可知，大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于3的每一个数都不是它的解。不等式x+2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来，如图 概括：（1）、一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的。解集。 基本不等式（第一课时） 授课教师：浙江省温州市第十四高级中学陈芝飞 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养------数学抽象与直观想象。 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养----逻辑推理论与数学运算。 3．通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。 4．借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式 2b a a b + ≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程． 难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值． 三、教学过程： 1．由形及数，发现新知 师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标） 问题1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？ 师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？ 这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看 上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002年8月20—28在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的． 《一元一次不等式》评课稿 授课人 评课人 《一元一次不等式》评课稿 聆听了王老师的课。下面就王老师的《一元一次不等式》这一课谈谈自己的看法。 王老师这堂课充满了活力，渗透了新的教育理念，教法灵活，趣味盎然。学生在课堂中能认真地倾听，自由地表达，灵活地运用，整堂课如行云流水，步步流畅，充分地达到了知识的渗透，能力的培养，情感的交流，有效地训练了学生敏锐地观察力，发展了学生的思维能力，激发了学生的想象力和创造力。 从教师个人素质上看，教师的教学水平，组织课堂教学的能力，激发学生兴趣的手段都非常高，正因为有王老师的指导，学生在课堂中肯学，乐学，老师教态自然、亲切，明朗活泼，富有感染力；仪表端庄，举止从容；课堂语言准确清楚，快慢适度，条理性强。老师的一举手，一投足，一个眼神，都深深地感染着学生，给学生极大的鼓舞，让学生充满了朝气。 从教学程序上看，王老师认识了不等式的样式，了解了不等式解的表达方式，解不等式就成为必然。教师出示例题，学生思考解决办法。有了解方程的基本方法，本节课也是先从用不等式的性质进行。为了优化解题方法，我们引入去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一等基本解题步骤。教学思路清晰，结构较严谨，环环相扣，过渡自然。 当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾： 这节课也不例外，授人以鱼，不如授人以渔。教学过程中有两点，王老师没有注意到。带字母系数的不等式不好解，要分情况讨论。另外，如果给出具体的解，那么使用逆向思维的题目也不是很容易，故必须认真完成。 当然，金无足赤，课无完美。但瑕不掩玉，王老师这节课仍是一堂体现新课程理念的成功案例，具有一定的借鉴意义。课堂教学无论怎样改，教师都应该以学生能力发展为重点，把促进学生终身发展放在首位，一切与之相悖的做法和想法都摒弃。尤其在课程改革的今天，我们更应保持清醒头脑，严防热闹背后的误区。因为真正的课堂教学应不雕琢，不粉饰， 基本不等式教学设计- 《基本不等式》教学设计 刘敏 教材分析： 这节课是必修5第三章第四节的第一课时，主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用。不等关系和相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。 学情分析： 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，逻辑能力不强，很难用数学的观点和思想提炼生活中的实际问题。所以这节课应通过一系列的具体问题情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解一些不等式产生的实际背景的前提下，学习基本不等式的有关内容使学生感受到不等式的广泛应用，增强学习的兴趣，动员学生实际参与能力。 教学目标：1.理解并掌握基本不等式的证明及其应用。 2. 探索基本不等式的证明过程，进一步领悟不等式 2b a a b + ≤ 成立的条件，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。 3.体验探究的乐趣，培养学生主动运用数形结合的思想，去分析问题，解决问题和应用问题的能力。 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度 探索基本不等式 2b a a b + ≤的证明过程。 教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。 教学方法：引导，启发与讲授相结合 教学过程： 一、 问题情境（5分钟） 北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表ab 2中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为)(,b a b a ≠，这样，4个直角三角形的面积和为ab 2，正方形的面积为22b a +。由于正方形大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式ab b a 222>+。当直角三角形为等腰直角三角形，即b a =，正方形中空白处缩为一个点。这是有ab b a 222=+。 一般的，对于任意实数b a ,，我们有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。 《解一元一次方程-去分母》评课稿 授课人 评课人 《解一元一次方程-去分母》评课稿 聆听了王老师的课。下面就王老师的《解一元一次方程-去分母》这一课谈谈自己的看法。 王老师这堂课充满了活力，渗透了新的教育理念，教法灵活，趣味盎然。学生在课堂中能认真地倾听，自由地表达，灵活地运用，整堂课如行云流水，步步流畅，充分地达到了知识的渗透，能力的培养，情感的交流，有效地训练了学生敏锐地观察力，发展了学生的思维能力，激发了学生的想象力和创造力。 从教师个人素质上看，教师的教学水平，组织课堂教学的能力，激发学生兴趣的手段都非常高，正因为有王老师的指导，学生在课堂中肯学，乐学，老师教态自然、亲切，明朗活泼，富有感染力；仪表端庄，举止从容；课堂语言准确清楚，快慢适度，条理性强。老师的一举手，一投足，一个眼神，都深深地感染着学生，给学生极大的鼓舞，让学生充满了朝气。 从教学程序上看，王老师引导学生注意去分母漏乘，之后又出现无括号可去的事情，再之后就错误。一同扩充了解一元一次方程的口诀，教授学生使用多情况分析法解出绝对值方程，前面学习绝对值时接触过最简单的绝对值方程，此处展开讲解。 教学思路清晰，结构较严谨，环环相扣，过渡自然。 当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾： 这节课也不例外，授人以鱼，不如授人以渔。教学过程中有两点，王老师没有注意到。新定义问题，分清代入对象，理清责任主体取整问题，取一个不大于或者不小于原数的整数，负数的问题比较棘手。恒大于零问题与分母不为零问题结合起来，难度上升。 当然，金无足赤，课无完美。但瑕不掩玉，王老师这节课仍是一堂体现新课程理念的成功案例，具有一定的借鉴意义。课堂教学无论怎样改，教师都应该以学生能力发展为重点，把促进学生终身发展放在首位，一切与之相悖的做法和想法都摒弃。尤其在课程改革的今天，我们更应保持清醒头脑，严防热闹背后的误区。因为真正的课堂教学应不雕琢，不粉饰， §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售高中数学《基本不等式》优质课教学设计
1 第1课时 基本不等式
二元一次方程组评课
基本不等式教案第一课时
3.4基本不等式(第一课时)
一元一次不等式解法评课稿
高中数学 3.4 基本不等式(第1课时)练习
《一元一次不等式组》评课记录
一元一次不等式评课稿
9.2一元一次不等式(第1课时)一元一次不等式的解法同步练习
解一元一次不等式教学反思
高中数学基本不等式(第一课时)教案
《不等关系与不等式》第一课时参考教案
第1课时不等式的解集
基本不等式第一课时
《一元一次不等式》评课稿
基本不等式教学设计-教学教材
《解一元一次方程-去分母》评课稿
必修五-3.1不等式与不等关系(第一课时)教案
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