理论力学基础期末复习题 一、填空题
1. 在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力v k R
-=，若选择坐标轴x 铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。
2. 质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①0=t a ，0=n a （答）： ；②0≠t a ，0=n a （答）： ；③0=t a ，0≠n a （答）： ；④0≠t a ，0≠n a （答）： 。
3. 质量为kg 10的质点，受水平力F
的作用，在光滑水平面上运动，设t F 43+=（t 以s 计，F 以N 计），初瞬间（0=t ）质点位于坐标原点，且其初速度为零。则s t 3=时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。
4. 在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______。
5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ， 。
6. 质量kg m 2=的重物M ，挂在长m l 5.0=的细绳下端，重物受到水平冲击后获得了速度105-?=s m v ，则此时绳子的拉力等于 。
7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ，法向加速度为 。
8. 如果V F -?=
，则力所作的功与 无关，只与 的位置有关。
9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流 岸冲刷较为严重。
10. 已知力的表达式为axy F x =，2az F y -=，2ax F z -=。则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）。
11. 一质量组由质量分别为0m 、20m 、30m 的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速
度分别为j i r +=1、i v
21=、k j r +=2、i v =2、k r =3、
k j i v
++=3。则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等
于 ，相对于坐标原点的动量矩等于_ 。
12. 一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，直管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球到达距O 点的距离为a 的P 点，取x 轴沿管，y 轴竖直向上，
并垂直于管，z 轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为
v
，则惯性离心力大小为 ，方向为 ，科里奥利力大小为 ，方向
为 。
13. 边长为a 的正方形，某瞬时以角速度ω在自身平面内转动，顶点A 的速度为v
，由A 指向相邻顶点B ，则B 点此时的速度大小等于 。
14. 已知力的表达式为5432-+-=z y x F x ，8+-=x z F y ，12+++=z y x F z ，则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）。
15. 图示矩形板ABCD 以角速度ω绕z 轴转动，动点M 1沿对角线BD 以速度1v 相对于板运动，动点M 2沿CD 边以速度2v
相对于板运动。
若取动系与矩形板固连，则动点M 1和M 2的科氏加速度1a 、1a
的大小
分别为 ， 。
16. 作用在刚体上任意力系可以简化为作用在某指定点P 的一个
力F 及一个力偶矩为M 的力偶，F 叫主矢，等于 ，M
叫 ，等于诸力在原位置对P 点的力矩之和，P 点称为 。
17. 动点由静止开始作平面曲线运动，设每一瞬时的切向加速度22-?=s tm a τ，法向加速度24
3
1-?=s m t a n ，则该动点的运动轨迹为 。
18. 如图1-1所示平面机构，AB 杆的A 端靠在铅直墙面上，B 端铰接在滑块上，滑块沿水平面向右运动。若选AB 杆的端点A 为动点，动系固连于滑块，定系固连于地面，则动点的相对运动为 ，绝对运动为 ，牵连运动为 。
19. 长m l 2=的AB 杆作平面运动，在某瞬时B 点的速度大小14-?=s m v B ，方向如图1-2所示，则在该瞬时A 点可能
有的速度最小值=min v ，此时杆的角速度=ω 。
20. 一圆轮在水平面上作纯滚动，轮心O 的速度103-?=s m v ，方向水平向右，直角形杆OAB 轮心O 铰接，在如图1-3所示位置时其OA 段铅直，AB 段水平，它转动的角速度
14-?=s rad ω，该杆B 端焊上一重N W 8=的钢球。己知OA=30cm AB=40cm ，此时钢球B
2
图1-1
的动量大小=p ____________。
21．长2a ，重P 的均匀杆，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C 点，C 与A 在同一垂直线上，设杆与墙所成之角为α，线与墙所成之角度为β，如图1-4所示，则平衡时墙给杆的反作用力=N _____________。
22. 物块A 和B 的质量分别为m A 和m B ，两物块间用一不计质量的弹簧连接，物块B 保持静止在水平面上，设A 在铅直方向的运动规律为t y y ωsin 0=（其中ω,0y 为常量），则在物块A 运动过程中,水平面所受压力的大小=N _________ .(坐标原点取在弹簧自然长度处，,正方向竖直向上)
23. 质点的质量是kg 1，它运动时的速度k j i v
323++=，
质点的动能为 ，当质点以上述速度运动到)321
(，，点时，它对z 轴的动量矩是________。
24. 雨点开始自由下落时的质量为M ，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为λ，略去空气阻力，写出该变质量系统的动力学方程 。
25. 作用于刚体的任意力系最终可简化为________。
26. 刚体做 运动时，刚体内任一点的线速度可写为r
?ω。 27. 在转动参照系中，科氏力等于零的条件是________。
28. 质量为m 的质点作平抛运动，试写出其拉氏函数 其中循环坐标为 物理意义是 。
29. 质点系内力功等于零的条件是 。 30. 力学体系中的广义坐标是指 。
31. 如图圆盘以角速度ω绕定轴O 逆时针转动，动点M 以匀速度v '
沿圆盘直径运动，当动点M 到达圆盘是中心O 点时，其所受科氏力大小和方向为 。
32. 由于地球自转的影响，北半球地面附近的贸易风是 ，南半球的贸易风是 。
答案：
1. dt
dx
k mg x m --=
。 图1-3
图3-4
2.（1）匀速直线； （2）变速直线； （3）匀速曲线； （4）变速曲线
3. m 15.3； 17.2-?s m 。
4. 2θ
r r a r -=； )(122θθθθ
r dt
d r r r a =+= 。 5. ],[H p p
αα= ,],[H q q αα= ),2,1(s =α。 6. 119.6N 。 7. ρ
τ2
;v a dt dv a n ==。 8. 路径； 始末位置。 9. 西； 右。 10. 有关；不是。 11. k m j m i m 000337++； k m j m i m
000253-+-。
12. a m 2ω； x 轴正向； v m ω2； z 轴正向。 13. 222ωa v +。 14. 有关； 不是。 15. αωsin 21v ； 0。
16. 力系中所有力的矢量和；主矩； 简化中心。 17. 半径为3m 的圆周。 18. 为以B 点为圆心，以AB 长为半径的圆周运动；为沿墙面向下的直线运动；为向右的平动。 19. 1
2-?s m ； 1
3-?s rad 。 20. 167.3-??s m kg 。
21. 1
112-???
? ??-αβtg tg p 。 22. ()t y m g m m A B A ωωsin 2
0-+。 23.J 8；1
2
4-??s m kg 。 24.
[()]()d
M t v M t g dt
λλ+=+。 25. 过基点的一个主矢和一个主矩。 26. 定轴转动和定点转动。 27.0=ω 或0='v 或ω 与v '
共线。 28.
22
11;22
mx my mgy x +-；水平方向上动量守恒。 29. 相对位移为零。 30. 能够独立描述力学体系位置的独立变量。 31. 2M v ω'；向右。 32. 东北贸易风；东南贸易风。 二、选择题
1. 已知某点的运动方程为2bt a S +=（S 以米计,t 以秒计，a 、b 为常数），则点的轨迹为（ ）。
A 、是直线；
B 、是曲线；
C 、不能确定；
D 、抛物线。 2. 在图2-1所示圆锥摆中，球M 的质量为m ，绳长l ，若α角保持不变，则小球的法向加速度为（ ）。
A 、αsin g ；
B 、αcos g ；
C 、αtan g ；
D 、αtan gc 。
3. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ ）。 A 、分析力的变化规律； B 、建立质点运动微分方程；
C 、确定积分常数；
D 、分离积分变量。
4. 如图2-2所示距地面H 的质点M ，具有水平初速度
0v
，则该质点落地时的水平距离l 与（ ）成正比。
A 、H ；
B 、H ；
C 、2
H ；D 、3
H 。 5. 一质量为m 的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为1v ，碰撞结束瞬时的速度为2v
（如图2-3），若v v v ==21，则碰撞前后质点动量的变化值为（ ）
。 A 、mv ； B 、mv 2 ； C 、mv 3； D 、 0。 6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其
速度矢量与加速度矢量（ ）。 A 、平行； B 、垂直； C 、夹角随时间变化； D 、不能确定。
7. 三棱柱重P ，放在光滑的水平面上，重Q 的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（ ）。
A 、沿水平方向动量守恒，机械能守恒；
B 、动量守恒，机械能守恒；
C 、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒；
D 、均不守恒。
8. 动点M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ ）。 A 、若始终有a v ⊥，则必有v
的大小等于常量； B 、若始终有a v
⊥，则点M 必作匀速圆周运动； C 、若某瞬时有v ∥a
，则点M 的轨迹必为直线；
D 、若某瞬时有a
的大小为零，且点M 作曲线运动，则此时速度必等于零。
9. 某瞬时，平面运动刚体的绝对角速度和角加速度分别为ω和α，相对某基点A 转动角速度和角加速度分别为A ω和A α，相对基点B 转动角速度和角加速度分别为B ω和B α，则应有（ ）。
A 、ωωω≠=
B A ，ααα≠=B A ； B 、ωωω==B A ，ααα==B A ；
C 、ωωω≠≠B A ，ααα≠=B A ；
D 、ωωω==B A ，ααα≠≠B A 。 10. 刚体绕同平面内任意二根轴转动的合成运动（ ）。
A 、一定是平面运动；
B 、一定是平动；
C 、一定是定轴转动；
D 、是绕瞬轴的转动。 11. 匀质杆AB 重G ，其A 端置于光滑水平面上，B 端用绳悬挂，如图2-4所示，取坐标系O -xy ，此时该杆质心C 的x 坐标0=c x ，若将绳剪断，则（ ）。
图2-2
图2-3
A 、杆倒向地面的过程中，其质心C 运动的轨迹为圆弧；
B 、杆倒至地面后, 0>c x ；
C 、杆倒至地面后, 0=c x ；
D 、杆倒至地面后, 0 12. 如图所示平面机构，CD 连线铅直，杆BC=BD ，在如图2-5所示瞬时，角030=?，杆AB 水平，则该瞬时点A 和点C 的虚位移大小之间的关系为 （ ）。 A 、C A r r δδ2 3 =； B 、C A r r δδ3=； C 、C A r r δδ2 3 = ； D 、C A r r δδ21=。 13. 匀质圆盘半径为r ，质量为m ，在半径为R 的固定圆柱面内纯滚动,如图2-6所示,则圆盘的动能为（ ）。 A 、2A 2mr 4 3ω=T ； B 、22mR 4 3? =T ； C 、22r)-m(R 2 1? =T ； D 、()22 r -R m 4 3? =T 。 14. 一匀质杆OA 与匀质圆盘在圆盘中心A 处铰接，在如 图2-7示位置时，OA 杆绕固定轴O 转动的角速度为ω，圆盘相对于杆OA 的角速度为ω，设OA 杆与圆盘的质量均为m , 圆盘的半径为R ，杆长R L 3=，则此时该系统对固定轴O 的动量矩大小为（ ）。 A 、ω2022mR J = B 、ω205.12mR J = C 、ω2 013mR J = D 、ω2 012mR J = 解：利用质点系对某一固定点O 的动量矩，等于其质心的动量对该点的 矩与质点系相对于质心的动量矩之矢量和，即 c c c J v m r J +?=0 ，求圆盘对O 的动量矩，为 )2(2 1 )3(222ωωmR R m J o + = 注明：质点系相对于质心的动量矩也要用绝对速度来计算。 图2-4 图2-7 而 ω2 1 )3(3 1R m J o = ，又因1o J 与2o J 方向相同，则 ω22113mR J J J o o o =+= 15. 某瞬时，刚体上任意两点A 、B 的速度分别为A v 、B v ， 则下述结论正确的是（ ） A 、当B A v v =时，刚体必作平动； B 、当刚体作平动时，必有B A v v =，但A v 与A v 的方向可能不同； C 、当刚体作平动时，必有B A v v =； D 、当刚体作平动时，A v 与A v 的方向必然相同，但可能B A v v ≠。 答案：1.C ； 2.C ； 3.C ； 4.B ； 5.A ； 6.B ； 7.A ； 8.A ； 9.B ； 10.D ； 11.C ； 12.C ； 13.D ；14.C ；15.C 。 三、是非题 1. 只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬间的运动状态就完全确定了。（ ） 2. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。（ ） 3. 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是所受力的方向。（ ） 4. 同一运动的质点，在不同的惯性参考系中运动，其运动的初始条件是不同。（ ） 5. 在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。（ ） 6．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。（ ） 7．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。（ ） 8. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。（ ） 9．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（ ） 10．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（ ） 11. 作平面运动刚体的动能等于它随基点平动的动能和绕基点转动动能之和。( ) 12. 如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也很大。（ ） 13. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。（ ） 14. 在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。（ ） 15. 质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（ ） 16. 牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合的点对于定系的运动。（ ） 17. 刚体处于瞬时平动状态时，刚体的角速度和角加速度在该瞬时都等于零。（ ） 18. 如果作用于质点系上的外力对固定点O 的主矩不为零，那么质点系的动量矩一定不 守恒。（ ） 19. 不论刚体作何种运动，其惯性力系向任一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心 加速度的乘积，而取相反方向，即c Q a m R -=。（ ） 20. 因为构成力偶的两个力满足F F '-= ，所以力偶的合力等于零。（ ） 21. 因为实位移和虚位移都是约束所许可的无限小位移，所以实位移必定总是诸虚位移中的一个。（ ） 22. 广义坐标不能在动参考系中选取。（ ） 23. 任何其它的动力学方程都可由动力学普遍方程推导出来。（ ） 24. 力k z y x j z y x i z y x F )12222()224()242(--+++++++=是保守力。（ ） 25. 对于平动参考系，绝对速度一定大于相对速度。（ ） 26. 在基本形式的拉格郎日方程中，广义力既包含主动力也包含约束力。（ ） 27. 质点在有心力作用下，一定是角动量守恒、机械能守恒。（ ） 28. 平面平行运动的刚体，其转动角速度与基点的选择无关。（ ） 答案：1. 错； 2. 对； 3. 错； 4. 对； 5. 错； 6. 对； 7. 错； 8. 错； 9. 对； 10. 错； 11.错；12. 错；13. 对；14. 错；15. 对；16. 错；17. 错；18. 错；19. 对；20. 错；21. 错；22.错；23.对；24. 对；25. 错；26. 错；27. 对；28. 对。 四、证明题 1. 证明：变换qp Q = ,p P ln =是正则变换。 解：由题意，q Q p = ,q Q P ln =; 以此代入正则变换关系式，则 dU q Q Q Q d dQ q Q dq q Q PdQ pdq =-=-= -)ln (ln ∴ 母函数 q Q Q Q Q q U ln ),(-= 问题得证。 2. 均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它们经过相等距离所需的时间比是5:21。 解：设空心球角加速度为1α，实心球角加速度为2α，则 111M I =α；222M I =α 21212113532r m r m r m I =+= ；22222225 7 52r m r m r m I =+= θθαsin 5335sin 2111r g r m gr m == ；θθαsin 7557sin 2222r g r m gr m == 5 3 75> ∴ 12αα> 又 2222112 121t a t a S == 212512122221= ==ααa a t t 21 5 21=t t 3.质量为m 的小环M ，套在半径为a 的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如果圆圈在水平面内以匀角速ω绕圈上某点o 转动,证明小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为： 证：以地面为参考系，则小环的运动微分方程为： ()()?????? ?=+=-2 sin 22 cos 2 θ? ?θ?N r r m N r r m 其中θθ ω?θ ,2 ,2 cos 2+ ==t a r 为M 与圆心C 的连线和通过O 点的直径间所夹的角 () θωωθθθθθωθθθθ??? θ 222 cos 2sin 212sin 22cos 22 tan 222 ++--?? ? ??+-=-+= a a a a r r r r 化简得 0sin 2=+θωθ 或用平面转动非惯性系动力学求解。 v m r m r m F a m '?-+?-=' ωωω22 n t e a e a r 2 cos 2cos 22sin 2cos 2θθθθ--= θωθ sin 2a m ma dt v d m -==' 0sin 2=+θωθ 4.一光滑球A 与另一静止的光滑球B 发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 证：以AB 连线建立x 坐标轴。 设A 以初始速度为0v 沿x 轴正向与B 相碰，碰撞后，A 、B 速度分别为1v 、2v ，其 sin 2=+? ?θω θ 与x 轴正向夹角分别为1θ、2θ。以A 、B 为研究对象，系统不受外力，动量守恒。 x 方向： 22110cos cos θθmv mv mv += （1） 垂直x 轴方向： 2211sin sin 0θθmv mv -= （2） 因 210v m v m v m +=，210v v v +=，则 )cos(221212 22120θθ+++=v v v v v （3） 整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒： 2 221202 12121mv mv mv += （4） 由（3）、（4）得 0)cos(22121=+θθv v ()???=+ =+,2,1,02 21k k π πθθ 即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。 5. 试证质点受有心力作用而作圆θcos 2a r =的运动时，则5 2 28r h ma F -=。 证明：θcos 211a r u == ； θ222cos 41a u = θ θθ2cos 2sin a d du = r r a a d u d 1 8)cos 1cos 2(213232 2-=-=θθθ 2 2 u r h θθ = = 代入比耐公式 (22u h m F u d u d -=+)2 2θ 得 5 228r h ma F -= 五、计算题 1. 质量为1m 的质点B ，沿倾角为α的光滑直角劈A 滑下，劈的本身质量为2m ，又可在光滑水平面上自由滑动。试求：（a ）质点水平方向的加速度；（b ）劈的加速度。 解：把21,m m 视为一个系统，系统在x 轴方向动量守恒 0=c x （1） 02211=+x m x m （2） 求导： 12 1 2x m m x -= （3） 21x a x x +'=；21x x a x -='；21y y a y -=' （4） 2121tan x x y y a a x y --- =''- =α；且02=y （5） 所以， αtan 2 2 111m m m x y +-= （6） αsin 111R x m = ；g m R y m 1111cos -=α （7） 由（3）（6）（7）式可解得：g m m m x ααα21221sin cos sin += ；g m m m x α α α2 1212sin cos sin +-= 2. 半径为c 的均质圆球，自半径为b 的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。 解：设ω为A 球绕其球心旋转的角速度。 ωθ c b c =+ )( θω c b c += θωθcos )()52(21)(22222 b c mg mc b c m V T L +-++=-=? θθθcos )()(5 )(222 22b c mg b c m b c m +-+++=?? ??? ?+=+++=??=θθθθ θ2 22)(57)(52)(b c m b c m b c m L P 2)(75b c m P +=? θθ ，2) (75b c m P +=? ??θθ θθθααcos )()(75)(107)(752 2222 b c m g b c m P b c m b c m p L q p H ++?? ????++-+=-=? ∑ θθcos )()(145 2 2 b c mg b c m P +++= θθ θsin )(b c mg H P +=??-=， )(sin 75)(sin )(752 b c g b c m b c mg +=++=??θθθ A 球球心下降的切向加速度：θθsin 7 5 )(g b c a A = +=? ? 图 5-2 图5-1 3. 质量为M ，半径为r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m 的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度1a ，物体的加速度2a 及绳中张力T 。 解：如图，设圆柱体的转动角速度为k ωω-=，设它受到地面的摩擦力为f ，由动量定理和动量矩定理知： 1Ma x M f T F c x ==+=∑ （1） ω 22 1 Mr fr Tr M z -=+-=∑ （2） 对于滑块，由动量定理知： 2ma y m mg T F y -==-=∑ （3） 又由无滑滚动条件知：ωr x c = ，两边对时间求导得： ω r x a c ==1 （4） 以C 为基点： ω r a a Ax +=1 假设绳不可拉伸。则 2a a Ax = 故 ω r a a +=12 （5） 联立求解，得： m M mMg T m M mg a m M mg a 833,838,83421+=+=+= 4. 一轮的半径为r ，以匀速0v 无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度及最高点与最低点的速度、加速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？ 解：如题图所示坐标系oxyz 。由于球作无滑滚动，球与地面的接触点A 点为转动瞬心。以O 为基点。设球的角 速度k ωω-=，则 0)()()(000=-=-?-+=?+=i r v j r k i v v v A ωωω r v = ω m 图五.3 图 5-3 题五.3图 ' m 题五.1图A 图5-4 设轮缘上任意一点p ，OP 与x 轴交角为θ，则 j r i r OP θθsin cos += 故)sin cos ()(00j r i r k i v OP v v p θθωω+?-+=?+= j r i r v θωθωcos )sin (0-+= 当 90=θ时，得最高点的速度 i v v top 02= 当090-=θ时，得最低点的速度 0==A bottom v v )(0dt d a a p ??+?+=ωωω )]sin cos ()[()(j r i r k k θθωω+?-?-= ) sin (cos sin cos 2 02 2 j i r v j r i r θθθωθω+-=--=当 90=θ和 90-时分别得到最高点和最低点的 加速度 j r v a top 2 0-=, j r v a a A bottom 20 == 5. 半径为a 质量为m 的圆柱体，沿着倾角为α的粗糙斜面无滑动地滚下。试求质心沿斜面运动的加速度。 解：方法1 ，在图中，g m 为重力，N 为约束反作用力的法向分量，f 为约束反作用力的切向分量（即摩擦阻力）；O O x c '=，为圆柱体的质心在时间t 内的位移（当0=t 时，圆柱体自斜面的最高点o 开始下滚），而θ则为其所转过的角度。因为无滑动地滚下，则有约束方程 θa x c = （1） 令k 为圆柱体对轴线的回转半径，则因2 mk I c =，故动能为 2222 121θ mk x m T C += 而 θ a x c =，故 2 22)1(21c x a k m T += （2） 至于势能V （取静止时的势能为零）则为 αsin c mgx V -= （3） 由 E V I mv c c =++222 1 21ω 得 y 题五.2图 图5-5 E mgx x a k m c c =-+αsin )1(212 22 （4） 式中E 为总能，是一常数。将（4）式对t 求导，得 2 21sin a k g x c +=α 方法2，取消约束后，约束反作用力的法向分量N 及切向分量f 和重力mg 都是外力，故由 y C x C F y m F x m == 和 c c M I =ω ，得圆柱体的动力学方程为 ?? ? ??=-=-=fa m k m g N f m g x m C θαα 2cos 0sin 因 θ a x c =，故由第一式和第三式将f 消去，得 22 1sin a k g x C + =α 6.P 点离开圆锥顶点o ，以速度v ' 沿母线作匀速运动，此圆 锥则以匀角速ω绕其轴转动。求开始t 秒后P 点绝对加速度的量值，假定圆锥体的半顶角为α。 解：如图所示，直角坐标oxyz 的原点位于圆锥顶点，ox 轴过圆锥的对称轴。o '为P 点在轴上对应的一点，且有x P o ⊥'轴，所以P 点的绝对加速度 v R a a '?+-'= ωω22 )sin (cos 202j i v i o ααωω+'?+'-= k v j t v αωαωsin 2sin 2'+'-= 故 4sin 22+'=t v a ωα ω 7. 如图所示，一质量为m 半径为a 的均质圆球，被握着静止在另一半径等于b 的固定圆球的顶点。其后把手放开，使其自由滚下。求：（1）判断该体系属于刚体中的哪种运动形式，并说出该运动的自由度是几个？（2）当两球分开时，两球的联心线和竖直向上的直线间所成的角度θ。 解:（1）平面平行运动，3个自由度。 （2）小球满足机械能守恒（如图选择零势能参考点） 2 22 121cos )()(ωθI mv b a mg b a mg ++ +=+ x 题 五 . 3 图图5-6 25 2mr I = 由于是纯滚动故 ωr v = 代入上式得 7 ) cos 1)((102 θ-+= b a v 当小球离开球面时，小球与大球的作用力等于0，因此质心运动的法向方程为 b a v m mg +=2 cos θ 整理得 1710cos = θ 015417 10==-arc θ 8. 在光滑水平管内，有一质量为m 的小球 。管以恒定的角速度ω 绕过管端的竖直轴转动，开始时小球相对于管静止在距转轴为a 2处。求此后小球相对于管的运动规律和对管的压力。 解：通过受力分析可得其运动微分方程 202y z mx m x my R mg mz m x R ωω==-==- 从而得 02 =-x x ω 其通解为 t t Be Ae x ωω-+= t t e B e A x ωωωω--= 当0,20===x a x t 时， 代入上两式得 0 2=-+=B A B A a 则 a B a A ==, 故 t ch ae ae x t t ωωω=+=- 对管的压力大小为 t sh ma e a e a m x m N t t z ωωωωωωωω22)(22=-==- 方向为垂直纸面向外 mg N y = 方向竖直向下 9. 如图所示，质量为1m 的质点被限制在固定的光滑直线ox 上滑动，另一质量为2m 的 质点，以一长度为l 的无质量杆和1m 相连，设杆仅在通过固定直线ox 的竖直平面内运动，且二质点仅受重力作用。（1）试写出拉氏函数，并判断是否含有循环坐标，判断的依据是什么？（2）用拉格朗日方程求其动力学方程。 解：（1） 2S =，） ；（?x 为广义坐标。 设任意时刻t ，l 与ox 的夹角为?，1m 距原点为x ，则 ???=-=???=+=?? ????cos sin sin cos 222 2 l y l x x l y l x x . 所以，动能为 2221211 [(sin )(cos )]22 T m x m x l l ????= +-+ 选择ox 轴所在平面为零势能参考点，故 ?sin 2gl m V = 22122211 ()(2sin )sin 22 L m m x m l l x m gl ????= ++-- 由上式可知不显含x ，x 为循环坐标。判断依据为 0L x ?=?。 （2）代入保守系的拉格朗日方程得 222 222(12)2cos sin 0cos sin 0 m m x m l m l m l m gl m xl ???????+--=+-= 六、问答题 1. 在极坐标系中，r v r =，θθ r v =，为什么？2 θ r r a r -=而非r ，为什么？θθθ r r a 2+=而非θθ r r +，为什么？请说出r a 中的2θ r -和θ a 中另一个θ r 出现的原因和它们的物理意义吗？ 答：质点运动时，径向速度r v 和横向速度θv 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映 了r v 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θv 本身大小的改变。事实上，横向速度θv 方向的改变会引起径向速度r v 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度r v 的方向改变也会引起θv 大小的改变，另一个θ r 即为反映这种改变的加速度分量，故2θ r r a r -=，.2θθθ r r a +=。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况。 2. 在怎样的运动中只有τa 而无n a ？在怎样的运动中又只有n a 而无τa ？在怎样的运 动中既有n a 又有τa ？ 答：质点在直线运动中只有τa 而无n a ，质点的匀速曲线运动中只有n a 而无τa ；质点作变速曲线运动时既有n a 又有τa 。 3. 某人以一定的功率划船，逆流而上；当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中；两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶；追到渔竿之处是在桥的下游m 600的地方，问河水的流速是多大？ 答：设人发觉渔竿落水时，船已上行S '，船的相对速度为船V （根据题意为一常数），上行时船的绝对速度水船V V -，则 2)(?-='水船V V S ① 船反向追赶竿的速度水船V V +，设船反向追上竿共用时间t ，则 S t V V '+=+600)(水船 ② 又竿与水同速，则 600)2=+t V （水 ③ 联立求解得 1 4600-= 船船水V V V 4. 一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？ 答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 5. 水面上浮着一只小船。船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。 答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 6. 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？ 答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力 不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。 7. 刚体一般是由n （n 是一个很大得数目）个质点组成。为什么刚体的独立变量却不是n 3而是6或者更少？ 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需n 3个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。 8. 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 答：主矢R F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，被称为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同，则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。 主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设O 和O '对质心C 的位矢分别为c r 和c r ' ，则O O r r c c +=' ，把O 点的主矢 ∑=i i F F ，主矩o M 移到C 点得力系对质心的主矩 ∑?+=i i c o c F r M M 把O '为简化中心得到的主矢 ∑=i i F F 和主矩o M ' 移到C 点可得 ∑∑∑?+=?'++=?'+=''i i c o i i c o i i c o c F r M F O O r M F r M M )( 简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。 9. 转动瞬心在无穷远处，意味着什么？ 答： 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动。 10. 在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 答：人随卫星式飞船绕地球转动过程中受到惯性离心力作用，此力与地心引力方向相反，使人处于失重状态，故感到身轻如燕。 11. 惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？ 答：惯性离心力是随转动坐标系一起转动的物体受到惯性力，它作用于随动系一起转动的物体上，不是物体间的相互作用产生的，也不产生反作用力，是物体的惯性在非惯性系中的反映；离心力是牛顿力，是作用于给曲线运动提供向心力的周围物体上的力，或者说离心力是作用于转动坐标系上的力，它是向心力的反作用力。 12. 对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？ 答；单线铁路上，南来北往的列车都要通过，以北半球为例，火车受到的科氏惯性力总是指向运动方向的右侧（南半球相反），从北向南来的列车使西侧铁轨稍有磨损，故两条铁轨的磨损程度并不相同。 13. 虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 答：作用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功；而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的瞬时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的且与过程无关 （0=t δ）的功，它与真实的功完全是两回事。从∑?=i i i r F W δδ可知：虚功与选用的 坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分。 虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性。由于虚功方程中不含约束反力，故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点。但利用虚功原理并 不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，尽管比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力。 一、是非题 1、力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （√） 2、在理论力学中只研究力的外效应。（√） 3、两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。（×） 4、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。（√） 5、作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。（×） 6、三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。（×） 7、平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （√） 8、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（×） 9、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（×） 10、用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x，y轴一定要相互垂直。 （×） 11、一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （×） 12、静摩擦因数等于摩擦角的正切值。（√） 13、一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（×） 14、已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。（×） 15、质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点 系的动量为零，则质点系中各质点必都静止。（×） 16、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 （×） 17、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 18、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（×） 19、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mvx =mvcos a。（√） 20、用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备：已知 F1和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √) 21、某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( ×) 22、图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P由A点传至B点，其作用效果不变。 (×) 理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？ 理论力学期末考试试题 1-1、自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力。 解：取T型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布： q=60kN/m，2q=40kN/m，机翼重1p=45kN，发动机重2p=20kN，发动机螺旋桨的反作用力1 偶矩M=。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, F F F, 求：A，D处约束力. 12 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A端采用铰链约束，B端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m。在节点E和G上分别作用载荷 F=10kN，G F=7 kN。试计算杆1、2和3的内力。 E 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，。若F=10kN，求各杆的内力。 又EC=CK=FD=DM 2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。在节点D沿对角线LD方向作用力D F。在节点C沿CH边铅直向下作用力F。如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的内力。 理论力学试题及答案 (一) 单项选择题（每题2分，共4分） 1. 物块重P ，与水面的摩擦角o 20m ?=，其上作用一力Q ，且已知P =Q ，方向如图，则物块的状态为( )。 A 静止(非临界平衡)状态 B 临界平衡状态 C 滑动状态 第1题图 第2题图 2. 图(a)、(b)为两种结构，则( )。 A 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 B 图(a)、(b)均为静不定的 C 图(a)、(b)均为静定的 D 图(a)为静不定的，图(b)为为静定的 (二) 填空题(每题3分，共12分) 1. 沿边长为m a 2=的正方形各边分别作用有1F ，2F ，3F ，4F ，且1F =2F =3F =4F =4kN ，该力系向B 点简化的结果为： 主矢大小为R F '=____________，主矩大小为B M =____________ 向D 点简化的结果是什么？ ____________。 第1题图 第2题图 2. 图示滚轮，已知2m R =，1m r =，ο30=θ，作用于B 点的力4kN F =，求力F 对A 点之矩A M =____________。 3. 平面力系向O 点简化，主矢R F '与主矩M 10kN F '=，20kN m O M =g ，求合力大小及作用线位置，并画在图上。 D C A B F 1 F 2 F 3 F 4 第3题图 第4题图 4. 机构如图，A O 1与B O 2均位于铅直位置，已知13m O A =，25m O B =，2 3rad s O B ω=，则 杆A O 1的角速度A O 1ω=____________，C 点的速度C υ=____________。 (三) 简单计算题(每小题8分，共24分) 1. 梁的尺寸及荷载如图，求A 、B 2. 丁字杆ABC 的A 端固定，尺寸及荷载如图。求A 端支座反力。 3. 在图示机构中，已知m r B O A O 4.021===，AB O O =21，A O 1杆的角速度4rad ω=，角加速度22rad α=，求三角板C 点的加速度，并画出其方向。 F O R ' O M 理论力学复习题 一、判断题。（10分） 1. 若作用在刚体上的三个力汇交于同一个点，则该刚体必处于平衡状态。 ( × ) 2. 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 ( √ ) 3. 凡是受到二个力作用的刚体都是二力构件。 ( × ) 4. 平面汇交力系用几何法合成时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。 ( × ) 5. 如果一个平面力系是平衡的，那么力系中各力矢的矢量和不等于零。 ( × ) 6. 选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度相同。 ( × ) 7. 势力的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的路径无关。 ( √ ) 8. 对于整个质点系来说，只有外力才有冲量。 ( √ ) 9. 当质系对固定点的外力矩为零时，质系对该点的动量矩守恒。 ( √ ) 10. 动能定理适用于保守系统也适用于非保守系统，机械能守恒定律只适用于保守系。( √ ) 11. 速度投影定理只适用于作平面运动的刚体，不适用于作一般运动的刚体。（×） 12. 应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（×） 13. 如果一个平面力系是平衡的，那么力系中各力矢构成的力多边形自行封闭。 ( √ ) 14. 用自然法求速度，则将弧坐标对时间取一阶导数，就得到速度的大小和方向。（√） 15. 速度瞬心等于加速度瞬心。（×） 16. 质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 ( √ ) 17. 质系动量矩的变化率与外力矩有关。 ( √ ) 18. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。（×） 19. 质点系动量的方向，就是外力主矢的方向。（×） 20. 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（√） 21. 若一平面力系对某点之主矩为零，且主矢亦为零，则该力系为一平衡力系。（√） 22. 牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合的点相对于动系的运动。（×） 23. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。（×） 24. 动能定理既适用于保守系统也适用于非保守系统，而机械能守恒定律只适用于保守系。（√） 25. 质点系动量的方向，就是外力主矢的方向。（×） 26. 一个刚体若动量为零，该刚体就一定处于静止状态。（×） 27. 内力不改变质点系的动量，但可以改变质点系内质点的动量。（√） 28. 刚体在3个力的作用下平衡，这3个力不一定在同一个平面内。（×） 29. 刚体的平移一定不是刚体的平面运动。（×） 30. 两自由运动质点，其微分方程完全相同，但其运动规律不一定相同。（√） 31. 在自然坐标系中，如果速度v= 常数，则加速度a = 0。（×） 32. 在平面力系中，只要主矩不为零，力系一定能够进一步简化。（×） 33. 点在运动过程中，若速度大小等于常量，则加速度必然等于零。（×） 34. 弹簧从原长拉长10cm再拉长10cm，这两个过程中弹力做功相等。（×） 35. 外力偶不能改变质心的运动。（√） 36. 变力的冲量等于零时，变力F必为零。（×） 二、填空题（20分） 1. 若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的合力等于零。 2. 多轴钻床在水平工件上钻孔时，工件水平面上受到的是平面力偶__系的作用。 3. 作用于物体上并在同一平面内的许多力偶平衡的必要和充分条件是，各力偶的_力偶矩 __代数和为 零。 a n a 4. 切向加速度只反映速度大小随时间的变化，法向加速度只反映速度方向随时间的变化。 τ 2010 ～2011 学年度第 二 学期 《 理论力学 》试卷（A 卷） 一、填空题（每小题 4 分，共 28 分） 1、如图1.1所示结构,已知力F ，AC ＝BC ＝AD ＝a ，则CD 杆所受的力F CD ＝（ ），A 点约束反力F Ax =（ ）。 2、如图1.2 所示结构，,不计各构件自重，已知力偶矩M ，AC=CE=a ，A B ∥CD 。则B 处的约束反力F B =（ ）；CD 杆所受的力F CD =（ ）。 E 1.1 1.2 3、如图1.3所示，已知杆OA L ，以匀角速度ω绕O 轴转动，如以滑块A 为动点，动系建立在BC 杆上，当BO 铅垂、BC 杆处于水平位置时，滑块A 的相对速度v r =（ ）；科氏加速度a C =（ ）。 4、平面机构在图1.4位置时， AB 杆水平而OA 杆铅直，轮B 在水平面上作 纯滚动，已知速度v B ，OA 杆、AB 杆、轮B 的质量均为m 。则杆AB 的动能T AB =（ ），轮B 的动能T B =（ ）。 1.3 1.4 5、如图1.5所示均质杆AB 长为L ,质量为m,其A 端用铰链支承,B 端用细绳悬挂。当B 端细绳突然剪断瞬时, 杆AB 的角加速度 =（ ），当杆AB 转到与水平线成300角时，AB 杆的角速度的平方ω2=（ ）。 6、图1.6所示机构中,当曲柄OA 铅直向上时,BC 杆也铅直向上,且点B 和点O 在同一水平线上；已知OA=0.3m,BC=1m ，AB=1.2m,当曲柄OA 具有角速度ω=10rad/s 时,则AB 杆的角速度ωAB =（ ）rad/s,BC 杆的角速度ωBC =（ ）rad/s 。 A B 1.5 7、图1.7所示结构由平板1、平板2及CD 杆、EF 杆在C 、D 、E 、F 处铰接而成，在力偶M 的作用下，在图上画出固定铰支座A 、B 的约束反力F A 、F B 的作用线方位和箭头指向为（ ）（要求保留作图过程）。 A 卷 第 1页 蚌埠学院2013—2014学年第一学期 《理论力学Ⅱ》期末考试试题（A ） 注意事项：1、适用班级：2012级土木工程班、2012级水利水电班、2012级车辆工 程班 2、本试卷共2页。满分100分。 3、考试时间120分钟。 4、考试方式：“闭卷” 一、判断题（每小题2分，共20分） （ ）1．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线 相同，大小相等，方向相反。 （ ）2．已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。 （ ）3．质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动 量为零，则质点系中各质点必都静止。 （ ）4．刚体在3个力的作用下平衡，这3个力不一定在同一个平面内。 （ ）5．用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x ，y 轴一定要相互 垂直。 （ ）6．一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方 程最多只有3个。 （ ）7．刚体的平移运动一定不是刚体的平面运动。 （ ）8．说到角速度，角加速度，可以对点而言。 （ ）9．两自由运动质点，其微分方程完全相同，但其运动规律不一定相同。 （ ）10．质点系总动量的方向就是质点系所受外力主矢的方向。 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．若平面力系对一点A 的主矩等于零，则此力系 。 A.不可能合成为一个力 B.不可能合成为一个力偶 C.一定平衡 D.可能合成为一个力偶，也可能平衡 2．刚体在四个力的作用下处于平衡，若其中三个力的作用线汇交于一点，则第四个力的作用线 。 A.一定通过汇交点 B.不一定通过汇交点 C.一定不通过汇交点 D.可能通过汇交点，也可能不通过汇交点 3．加减平衡力系公理适用于 。 A.变形体 B.刚体 C.刚体系统 D.任何物体或物体系统 4．在点的复合运动中，牵连速度是指 。 A.动系原点的速度 B.动系上观察者的速度 C.动系上与动点瞬时相重合的那一点的速度 D.动系质心的速度 5．设有质量相等的两物体A 和B ，在同一段时间内，A 作水平移动，B 作铅直移动，则 两物体的重力在这段时间里的冲量 。 A.不同 B.相同 C.A 物体重力的冲量大 D.B 物体重力的冲量大 三、计算题（每小题14分，共70分） 1．质量为 100kg 的球，用绳悬挂在墙壁上如图所示。平衡时绳与墙壁间夹角为 30°，求墙壁反力和绳的张力 2．某三角拱，左右两个半拱在C 由铰链连接，约束和载荷如图所示，如果忽略拱的重量，求支座A 和B 的约束反力。 装 订 线 内 不 要 答 题 1.图示结构中的各构件自重不计。已知P =5 kN ，M=5 kN. m，q = 2.5kN/m 。 试求固定端A及滚动支座B处的约束反力。 2、一重W的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦系数为f， 且tgα 《理论力学》试题库 第一部分 填空题： 第一类： 1，已知某质点运动方程为x=2bcoskt,y=2bsinkt,其中b 、k 均为常量，则其运动轨迹方程为————————————，速度的大小为————————————，加速度的大小为————————————。 2、已知某质点运动方程为x=2cos3t,y=2sin3t,z=4t 则其运动速度的大小为 ，加速度的大小为 。 3、已知某质点运动方程为r=e ct ,θ=bt,其中b 、c 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 4、已知某质点的运动方程为x=2bcos 2kt ，y=bsin2kt ，则其运动轨道方程为 ；速度大小为 ；加速度大小为 。 5、已知质点运动的参数方程为y=bt ，θ=at ，其中a 、b 为常数，则此质点在极坐标系中的轨道方程式为 ，在直角坐标系中的轨道方程式为 。 6、已知某质点的运动方程为r=at,θ=bt,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为————————————。 7、已知某质点运动方程为r=at,θ=b/t,其中a 、b 是常数，则其运动轨道方程为———————————————，其运动速度的大小为——————————，加速度的大小为—————————。 8、已知某质点的运动方程为x=at,y=a(e t －e －t )/2,其中a 为常数，则其运动轨道方程为——————————————————————，曲率半径为——————————。 第二类： 9、质点在有心力作用下，其————————————————————均守恒，其运动轨道的微 分方程为——————————————————————，通常称此轨道微分方程为比耐公式。 10、柯尼希定理的表达式为————————————————————，其中等式右边第一项和第 工程力学（Ⅱ）期终考试卷（A ） 专业 姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 六 总分 题分 25 15 15 20 10 15 100 得分 一、填空题（每题5分，共25分） 1. 杆AB 绕A 轴以=5t （ 以rad 计，t 以s 计） 的规律转动，其上一小环M 将杆AB 和半径为 R （以m 计）的固定大圆环连在一起，若以O 1 为原点，逆时针为正向，则用自然法 表示的点M 的运动方程为_Rt R s 102 π+= 。 2. 平面机构如图所示。已知AB //O 1O 2，且 AB =O 1O 2=L ，AO 1=BO 2=r ，ABCD 是矩形板， AD =BC =b ，AO 1杆以匀角速度绕O 1轴转动， 则矩形板重心C '点的速度和加速度的大小分别 为v ＝_ r _，a ＝_ r 。 并在图上标出它们的方向。 3. 两全同的三棱柱，倾角为，静止地置于 光滑的水平地面上，将质量相等的圆盘与滑块分 别置于两三棱柱斜面上的A 处，皆从静止释放， 且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A 处运动到B 处， 则此两种情况下两个三棱柱的水平位移 ___相等；_____（填写相等或不相等）， 因为_两个系统在水平方向质心位置守恒 。 4. 已知偏心轮为均质圆盘，质心在C 点，质量 为m ，半径为R ，偏心距2 R OC =。转动的角速度为， 角加速度为 ，若将惯性力系向O 点简化，则惯性 力系的主矢为_____ me ，me 2 ；____； 惯性力系的主矩为__2 )2(22α e R m +__。各矢量应在图中标出。 5.质量为m 的物块，用二根刚性系数分别为k 1和k 2 的弹簧连接，不计阻尼，则系统的固有频率 为_______________，若物体受到干扰力F =H sin （ωt ） 的作用，则系统受迫振动的频率为______________ 在____________条件下，系统将发生共振。 二、计算题（本题15分） 理论力学基础期末复习题 一、填空题 1. 在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力v k R -=，若选择坐标轴x 铅直向上，则小球的运动微分方程为_____________________。 2. 质点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①0=t a ，0=n a （答）： ；②0≠t a ，0=n a （答）： ；③0=t a ，0≠n a （答）： ；④0≠t a ，0≠n a （答）： 。 3. 质量为kg 10的质点，受水平力F 的作用，在光滑水平面上运动，设t F 43+=（t 以s 计，F 以N 计），初瞬间（0=t ）质点位于坐标原点，且其初速度为零。则s t 3=时，质点的位移等于_______________，速度等于_______________。 4. 在平面极坐标系中，质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______。 5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ， 。 6. 质量kg m 2=的重物M ，挂在长m l 5.0=的细绳下端，重物受到水平冲击后获得了速度105-?=s m v ，则此时绳子的拉力等于 。 7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ，法向加速度为 。 8. 如果V F -?= ，则力所作的功与 无关，只与 的位置有关。 9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流 岸冲刷较为严重。 10. 已知力的表达式为axy F x =，2az F y -=，2ax F z -=。则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”），该力_ 保守力（填“是”或“不是”）。 11. 一质量组由质量分别为0m 、20m 、30m 的三个质点组成，某时刻它们的位矢和速 度分别为j i r +=1、i v 21=、k j r +=2、i v =2、k r =3、 k j i v ++=3。则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等 于 ，相对于坐标原点的动量矩等于_ 。 12. 一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，直管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，若某一时刻，小球到达距O 点的距离为a 的P 点，取x 轴沿管，y 轴竖直向上， 并垂直于管，z 轴水平向前，并于管面垂直，如图所示，此时小球相对于管子的速度为 v 理论力学部分 第一章 静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ ） 2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ ） 3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （ ） 5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ ） 6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ ） 二、选择题 线但方向相反。 1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直则其合力可以表示为 。 ① 1F －2F ； ② 2F －1F ； ③ 1F ＋2F ； 2．三力平衡定理是 。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。 ① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则； ③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理； ⑤ 作用与反作用定理。 4．图示系统只受F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30?角，则斜面的倾角应为 ________。 ① 0?； ② 30?； ③ 45?； ④ 60?。 5．二力A F 、B F 作用在刚体上且 0=+B A F F ，则此刚体________。 ①一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。 三、填空题 1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是 。 2．已知力F 沿直线AB 作用，其中一个分力的作用与AB 成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为 度。 3．作用在刚体上的两个力等效的条件是 理论力学 期末考试试题 A 卷 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作 用力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。 1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。 理论力学复习题1 一、 是非题 1、 力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ √） 2、 在理论力学中只研究力的外效应。 （ √） 3、 两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ × ） 4、 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同， 大小相等，方向相反。 （ √ ） 5、 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （× ） 6、 三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ × ） 7、 平面汇交力系平衡时，力多边形各力应首尾相接，但在作图时力的顺序可以不同。 （√ ） 8、 约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ × ） 9、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（× ） 10、 用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，所建立的坐标系x ，y 轴一定要相互垂直。 （ × ） 11、 一空间任意力系，若各力的作用线均平行于某一固定平面，则其独立的平衡方程最多只有3个。 （ × ） 12、 静摩擦因数等于摩擦角的正切值。 （ √ ） 13、 一个质点只要运动，就一定受有力的作用，而且运动的方向就是它受力方向。（ × ） 14、 已知质点的质量和作用于质点的力，质点的运动规律就完全确定。 （× ） 15、 质点系中各质点都处于静止时，质点系的动量为零。于是可知如果质点系的动量为零，则质点系中各 质点必都静止。 （ × ） 16、 作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。（ × ） 17、 力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 （ √ ） 18、 在自然坐标系中，如果速度υ = 常数，则加速度α = 0。 （ × ） 19、 设一质点的质量为m ，其速度 与x 轴的夹角为α，则其动量在x 轴上的投影为mvx =mvcos a 。 （√） 20、 用力的平行四边形法则，将一已知力分解为F1和F2两个分力，要得到唯一解答，必须具备：已知F1 和F2两力的大小；或已知F1和F2两力的方向；或已知F1或F2中任一个力的大小和方向。 ( √ ) 21、 某力在一轴上的投影与该力沿该坐标轴的分力其大小相等，故投影就是分力。 ( × ) 22、 图示结构在计算过程中，根据力线可传性原理，将力P 由A 点传至B 点，其作用效果不变。( × ) 23、 作用在任何物体上的两个力，只要大小相等，方向相反，作用线相同，就一定平衡。( × )。 24、 在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。（× ） 25、 加速度dt v d 的大小为dt dv 。 （×） 第一章 静力学基础 一、 选择题 1.如图所示三铰刚架，受水平力P 作用，有以下四种说法，其中错的是（ ）。 A.AC 为二力平衡杆件 B.BC 为三力平衡构件 C.反力R A 和R B 的方向都指向C D.R A 的方向指向C ，R B 的方向不确定 2．光滑面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接 触面的公法线，且（ ） A ．指向受力物体，恒为拉力 B ．指向受力物体，恒为压力 C ．背离受力物体，恒为拉力 D ．背离受力物体，恒为压力 3．力的可传性原理是指作用于刚体上的力可在不改变其对刚体的作用效果下（ ） A ．平行其作用线移到刚体上任一点 B ．沿其作用线移到刚体上任一点 C ．垂直其作用线移到刚体上任一点 D ．任意移动到刚体上任一点 4.柔索对物体的约束反力，作用在连接点，方向沿柔索( ) A.指向该被约束体，恒为拉力 B.背离该被约束体，恒为拉力 C.指向该被约束体，恒为压力 D.背离该被约束体，恒为压力 5.图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力F ，则支座A 对系统的约束反力为（ ） A.F ，方向水平向右 B. 2 F ，方向铅垂向上 C. 2 2 F ，方向由A 点指向C 点 D. 2 2 F ，方向由A 点背离C 点 6.加减平衡力系公理适用于( ) A.刚体 B.变形体 C.任意物体 D.由刚体和变形体组成的系统 7.如图所示，不计自重的杆AB ，其A 端与地面光滑铰接，B 端放置在倾角为30°的光滑斜面上，受主动力偶M 的作用，则杆AB 正确的受力图为( ) 8、( )是平面一般力系简化的基础。 A.二力平衡公理 B.力的可传性定理 C.作用和与反作用公理 D.力的平移定理 9.三直角折杆AB 、BC 、BD 连接如图所示，不计自重。其中属二力杆的杆件是（ ） A.AB 杆 B.BC 杆 C.AB 杆和BC 杆 D.BD 杆 10.如图所示简支梁，受P 力作用，对于反力R A 、R B 有以下四种表述，其中正确的是（ ）。 A.R A 、R B 的方向都是向上的。即↑ B.反力R A ↓，R B ↑ C.反力R A 方向不定，R B ↑ D.反力R A 、R B 的方向都是向下的，即↓ 一选择题 1D2B 3B 4B 5C 6A 7C 8D 9A 10A 二 .填空题 1、力矩的三要素为大小、方向、 。 2、静力学是是研究物体在力系作用下的 的科学。 3．作用于刚体上的力，可沿其作用线任意移动其作用点，而不改变该力对刚体的作用效果，称为力的_________。 4.只在两点受力而处于 无重杆，称为二力杆。 5．作用在刚体上的力F ，可以平行移动到刚体上任一点O ，但必须附加一力偶，此附加力偶的矩等于____________。 理论力学试题及答案 一、是非题（每题2分。正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（） 3、在自然坐标系中，如果速度υ= 常数，则加速度α= 0。（） 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mv x =mvcos a。 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果 是。 ①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱上作用一力偶，其矩为M时（如图），圆柱处于极限平衡状态。此时按触点处的法向反力N A与N B的关系 为。 ①N A = N B；②N A > N B；③N A < N B。 3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。 ①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆O1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 20cm，O2 C = 40cm，CM = MD = 30cm，若杆AO1 以角速度ω= 3 rad / s 匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。 ①60；②120；③150；④360。 理论力学自测复习题 静力学部分 一、填空题：（每题2分） 1、作用于物体上的力的三要素是指力的 大小 、 方向 和 作用点 。 2、当物体处于平衡状态时，作用于物体上的力系所满足的条件称为 平衡条件 ，此力系称为 平衡 力系，并且力系中的任一力称为其余力的 平衡力 。 3、力的可传性原理适用于 刚体 ，加减平衡力系公理适用于 刚体 。 4、将一平面力系向其作用面内任意两点简化，所得的主矢相等，主矩也相等，且主矩不为零，则此力系简化的最后结果为 一个合力偶 5、下列各图为平面汇交力系所作的力多边形，试写出各力多边形中几个力之间的关系。 A 、 0321=++F F F 、 B 、 2341F F F F =++ C 、 14320F F F F +++= D 、 123F F F =+ 。 6、某物体只受三个力的作用而处于平衡状态，已知此三力不互相平行，则此三力必 并且 汇交于一点、共面 7、一平面力系的汇交点为A ，B 为力系作用面内的另一点，且满足方程∑m B ＝0。若此力系不平衡，则其可简化为 作用线过A 、B 两点的一个合力 。 8、长方形平板如右图所示。荷载集度分别为q 1、q 2、q 3、q 4的均匀分布荷载（亦称剪流）作用在板上，欲使板保持平衡，则荷载集度间必有如下关系： q 3＝q 1= q 4＝q 2 。 9、平面一般力系平衡方程的二力矩式为 ∑F x = 0、∑M A = 0、∑M B = 0 ，其适用条件是 A 、B 两 点的连线不垂直于x 轴 10、平面一般力系平衡方程的三力矩式为 ∑M A ＝0、∑M B ＝0、∑M C ＝0 ，其适用条件是 A 、B 、C 三点不共线 。 11、正方形平板受任意平面力系作用，其约束情况如下图所示，则其中 a b c f h 属于静定问题； d e g 属于超静定问题。 12、已知平面平行力系的五个力（下左图示）分别为F 1 = 10 N ， F 2 = 4 N ，F 3 = 8 N ，F 4 = 8 N 和F 5 = 10 N ，则该力系简化的最后结果为 大小0.4 N·m、顺时针转的力偶 。 13、平面力系如右图，已知F 1 =F 2 = F 3 = F 4 =F ，则：⑴力系合力的大小为 F F R 2= ； ⑵力系合力作用线距O 点的距离为 a d 2 12-= （合力的方向和作用位置应在图中画出）。 14、二力构件是指 只受两个力作用且处于平衡状态的轻质刚性构 [该试题库启用前绝密] 注：[02A]表示02物师A 卷，以此类推。 理论力学（卷A ）[02A] 一、填空题（每小题10分，共20分） 1、作平面运动的质点的加速度在极坐标系下的分量表达式为2,2.r a r r a r r θθθθ=-=+；其中r 为径向速度大小的变化所引起的，r r θθ+为横向速度的大小变化所引起的。 2、保守系的拉格朗日方程为 ()0d L L dt q q αα??-=??，当0L q α?=?时，q α称为循环坐标，所对应的L q αα ?=?p 守恒。 二、选择题（每小题10分，共20分） 1、两个质点分别为12,m m 的物体用一个倔强系数为k 的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示，当两个物体相距x 时，系统由静止释放，已知弹簧的自然长度为0x ，当物体相距0x 时，1m 速度大小为（ D ） （A ，（B （C ，（D 2、一个均质实心球与一个均质实心圆柱在同一位置由静止出发沿同一斜面无滑动地滚下，则（D ） （A ）圆柱先到达底部。 （B ）质量大的一个先到达底部。 （C ）半径大的一个先到达底部。 （D ）球先到达底部。 （E ）同时到达底部。 三、计算题（每小题20分，共60分） 1、一个质点在有心力作用下沿椭圆2(1) 1cos a e r e θ -=+运动，上式中r 和θ是以椭圆焦点为原点，长轴为极轴的极坐标；a 表示半长轴，e 表示偏心率(01)e <<，证明质点在 “近日点” 处和“远日点” 处的速率之比为： 1211v e v e +=- 解：由动量守恒2 r h θ= h r θγ ∴= 故在近日点处： 120 (1) (1) h v r e a e θθ === +-∴ 在近日点处：22 (1)(1) h v r e a e θπ θ === -- ∴ 1211v e v e +=- 2、圆柱半径为R ，质量为M ，绕其轴作角速度为0ω的转动，然后将此圆柱无初速放在摩擦系数为μ的水平桌面上，问圆柱何时开始作纯滚动？ 解：由质心运动定理和转动定理，物体的运动微分方程为 c Mx f d I fR dt f Mg ω μ=???=-??=?? 12I MR = 可解出：c x gt μ= 02g t R μωω=- + 当满足关系c x R ω=时，园柱体作无滑滚动，由此可解出03g t g ωμ= 3、轴为竖直而顶点向下的抛物线形光滑金属丝，以匀角速度ω绕竖直轴转动，另一质量为m 的小环套在此金属丝上。并沿金属丝滑动，已知抛物线的方程为2 4x ay =，a 为常数，试求小环的运动微分方程。 解：本题可用两种方法求解 法一：用转动参照系的物理定律列出小环的运动微分方程如下 2sin (1)cos (2) mx m x my N mg ωθθ?=-? =-? 由（2）式 cos mg N my θ=+ （3） 把（3）代入（1）可得： 2 ()mx m x my mg tg ωθ=-+ （4） 又有，dy tg dx θ=，24x y a =，242x x y x x a a = =，2122x y x x a a =+， 故有：222 2 2(1)0442x x x m x mx mg m x a a a ω+++-=理论力学复习题及答案哈工大版
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