则对任意
（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，x
a x x x a ax x x a a x x f )
1)(1(11)('2-+-=
-+-=-+-= 2分
（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2
x
x x f -= 故)(x f 在),0(+∞单调增加．
（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而
)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．
（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即
单调增加．
（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212
x x a ax x +-+-=
由 .)11(1)1(1
21)1()('2---=---?≥-+--=a a x
a x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即
故
1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)
()()()(1
2122121->--=--x x x f x f x x x f x f
10．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数．
（I ）求函数()f x 的极值；
（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的
0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 解：（I ）11()0ex f x e x x
-'=
-==，得1
x e =
当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：
x
1(0,)e 1e
1(,)e +∞
()f x ' ＋ 0 － ()f x 单调递增 极大值 单调递减 ∴当1x e =时，()f x 取得极大值1
()2f e
=-，没有极小值； …………（4分）
（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴
2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201
ln 0x x x
x x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211
()ln ()x
g x x x x x =--
211211()ln ()x g x x x x x =--，1
/
211
()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，
∵12x x <，∴2122222
()()ln ()0x
g x g x x x x x <=--=；
222211()ln ()x g x x x x x =--，2
/
221
()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数，
∵12x x <，∴1211111
()()ln ()0x
g x g x x x x x >=--=，
∴函数2
211
()ln
()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分） 又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211
()ln ()x
g x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，
∴函数2121
()ln x x x
g x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）
（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021
ln ln ()1
x x e x x e x x x ----=
-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一
设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >
∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数
∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分．
函数与导数专题试卷(含答案)
高三数学函数与导数专题试卷 说明：1．本卷分第Ⅰ卷(选择题)，第Ⅱ卷(填空题与解答题)，第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上，学生只要交答题卷． 第Ⅰ卷 一.选择题（10小题，每小题5分，共50分） (4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2f x x =+，则(7)f =（ ） A ． 3 B ． 3- C ． D ． 1- 2．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是（ ） A ．t ＜－3 B ．t ≤－3 C ．t ＞3 D ．t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线，则k 的值为（ ） A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6．已知条件p ：x 2+x-2＞0，条件q ：a x >，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．1≥a B ．1≤a C ．1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)，则使f (x )为减函数的区间是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(1,2) D ．(－3，－1)
高中高考数学专题复习《函数与导数》
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .
高考数学二轮复习专题02：函数与导数
高考数学二轮复习专题 02：函数与导数
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 17 题；共 34 分)
1. （2 分） (2016 高一上·厦门期中) 已知函数 f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（ ）
A . 当 a=0 时，f（x）没有零点
B . 当 a＜0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（2，+∞）
C . 当 a＞0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（1，2）
D . 当 a＞0 时，f（x）有零点 x0 ， 且 x0∈（2，+∞）
2. （2 分） (2018 高二下·沈阳期中) 函数 A. B. C. D.
恰有一个零点，则实数 的值为（ ）
3. （2 分） 已知函数 f(x)＝ －cosx，若 A . f（a）＞f（b） B . f(a)0
， 则（ ）
4. （ 2 分 ） (2019 高 二 上 · 浙 江 期 中 ) 已 知
的两个相邻的零点，且
，则
，且
，
，
是函数
的值为（ ）
第 1 页 共 12 页
A. B. C. D.
5. （2 分） 定义在 R 上的奇函数 f（x），当 x≥0 时，f（x）= =f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A . 3a﹣1 B . 1﹣3a C . 3﹣a﹣1 D . 1﹣3﹣a
， 则关于 x 的函数 F（x）
6. （2 分） 已知函数 取值范围是（ ）
A. B.
的图像为曲线 C，若曲线 C 存在与直线
垂直的切线，则实数 m 的
C.
D.
7. （2 分） (2016 高一上·沈阳期中) 已知函数 f（x）满足：当 f（x）= （）
A.
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，则 f（2+log23）=
(完整版)函数与导数专题(含高考试题)
函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
考点一：导数几何意义： 角度一 求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ?? ?? π4，f ′(x )是f (x ) 的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0 C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0 解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝ f ′? ?? ??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 角度二 求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1，－1) C ．(1,3) D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3 x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值 3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
高三二轮复习函数与导数
第三课时函数与导数的应用 1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系 式为y ＝－13 x 3 ＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 3：由直线x ＝－π3，x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 2 D.3 4．若函数 y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成 立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．af (a )>bf (b ) B ．af (a )bf (a ) 5：放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－ t 30 ，其中M 0为t ＝0时 铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．． 是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克 6．曲线y ＝2x 4上的点到直线y ＝－x －1的距离的最小值为_____5 16 2___． 7:已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (1)＝0， 2 '()() 0(0)xf x f x x x ->>，则不等式 x 2f (x )>0的解集是 (－1,0)∪(1，＋∞) ． 8:已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值． 解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2 --=， x x x x x x f ) 4)(2(21642)('-+= --= 2分
高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)
函数与导数相结合压轴题精选（二） 11、已知)0()(2 3 >+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M > 证明：由题设有),)((323)(212 x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <， 则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a 1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值， )()()()()(212 221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=- ])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-= )] 3(92 )[(]3232)32()[(22121ac b a x x c a b b a c a a b a x x ---=+-?+?-- ?-= 由方程0232 =++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(2 2>-=-=?ac b ac b 又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证. 12、已知函数ax x x f +-=3 )(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ； （2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常 数），试比较n n a a 与1+的大小； （3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+< c a c a n n 对一切N n ∈恒成立？ （1）设))(()()(,102 2212 1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则 由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x )3,0(,2 22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则 }3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （4分） （注：法2：)1,0(,03)(2 ∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）. （2）当3时，由题意：)1,0(,2 3 21131∈=+- =+b a a a a n n n 且
高考数学函数与导数复习指导
2019高考数学函数与导数复习指导 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在： 1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。 2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练
工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 8.求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
高考数学函数与导数
回扣2 函数与导数 1．函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义． (2)常见函数的值域 ①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为????4ac －b 2 4a ，＋∞，当a <0时，值域为? ???－∞，4ac －b 2 4a ； ③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期． ③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )， 则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)
（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．
联立212y x y x ax =-??'=-+-? 消去y 得：2(1)10x a x +-+=， 由题意得：2(1)40a -=-=△， 解得：3a =或1-； （Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'， 1(0,)e x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4 t <≤-时， min 111)ln )444 ()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e )(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min 1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--???-<<≥?=?????； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e x x x x >-成立．
∴()0g x '>， ∴函数()g x 在定义域内为增函数， ∴(1)(0)g g >，即12 e (1)(0) f f >，亦即(1) f > 故选：A ． 2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥， ∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数， 又∵()sin ()f x x x f x -=--=-， ∴()sin f x x x =+为奇函数， ∴2222222222(23)(41)0(23)(41) (23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤?-+≤--+?-+≤-+-?-+≤-+-?-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ?-+-≤?≥? 可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1 y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1 y x +的取值范围为13,44?????? ． 3．解析：依题意，可得右图：()2f x =
函数与导数专题复习
函数与导数专题复习 类型一 导数的定义 运算及几何意义 例1：已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(' +=，则=)1('f （ ） A ．-ｅ B.-1 C.1 D.e 解：x f x f 1)1(2)(''+=，1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。 变式训练1 曲线33+-=x x y 在点（1,3）处的切线方程为 类型二 利用导数求解函数的单调性 例2：d cx bx x x f +++= 233 1)(何时有两个极值，何时无极值？)(x f 恒增的条件是什么？ 解：,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=?c b 时， 即c b >2时，0)('=x f 有两个异根2,1x x ，由)('x f y =的图像知，在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号，故2,1x x 是极值点，此时)(x f 有两个极值。 当c b =2时，0)('=x f 有实数根0x ，由)('x f y =的图像知，在0x 左右两侧)(' x f 同号，故0x 不是)(x f 的极值点 当c b <2时，0)(' =x f 无根，当然无极值点 综上所述，当时c b ≤2，)(x f 恒增。 【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号，②c b =2 时，根0x 不是极值点也易错。 变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式；
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
二轮复习-函数与导数
函数与导数 1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏． 对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [问题1] 函数y 的定义域是________． 答案 ??? ?0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________. 答案 1－x 2(x ∈[－1,1]) 3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数． [问题3] 已知函数f (x )＝????? e x ，x <0，ln x ，x >0， 则f ????f ????1e ＝________. 答案 1e 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响． [问题4] f (x )＝lg (1－x 2) |x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． 答案 奇
解析 由? ???? 1－x 2>0， |x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝l g (1－x 2) －(x －2)－2＝lg (1－x 2) －x . ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数． 5．弄清函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0. 故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件． [问题5] 设f (x )＝lg ????21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数 B ．(－∞，＋∞)上的增函数 C ．(－1,1)上的减函数 D ．(－1,1)上的增函数 答案 D 解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0， 解得a ＝－1， 故f (x )＝lg 1＋x 1－x ，函数f (x )的定义域是(－1,1)， 在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )， 函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D. 6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． [问题6] 函数f (x )＝1 x 的减区间为________． 答案 (－∞，0)，(0，＋∞) 7．求函数最值(值域)常用的方法： (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义
（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数， 这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量
函数与导数二轮复习建议
函数与导数二轮复习建议 金陵中学 朱骏 函数是高中数学的核心内容，因而在历年的江苏高考中，函数一直是考查的重点和热点．高考既注重单独考查函数的基础知识，也会突出考查函数与其它知识的综合应用；既考查具体函数的图象与性质，也考查函数思想方法的应用． 下表列出的是《考试说明》对函数部分具体考查要求及2019年~2019年四年江苏高考 基本题型一：函数性质的研究 例1（2019年江西理改）若f (x )＝ 1log(2x ＋1) ，则f (x )的定义域为____________． 【解析】由???2x ＋1＞0log(2x ＋1)＞0 ，解得?????x ＞－12x ＜0 ，故－12＜x ＜0，答案为（－1 2，0）． 说明：以函数定义域为载体，考查对数函数的图象与性质． 例2（2019年江苏）设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )（x ∈R ）是偶函数，则实数a ＝_______． 【解析】 由g (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，得g (0)＝0，解得a =－1；也可以由奇函数的定义解得． 说明：1．函数奇偶性的定义中应关注两点：①定义域关于数0对称是函数具有奇偶性的必要条件；②f (0)＝0是定义域包含0的函数f (x )是奇函数的必要条件．2．利用特殊与一般的关系解题是一种非常重要的方法． 变式：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2 x （k 为常数）在定义域上为奇函数，则k 的值是_______． 答案：±1．
例3 设a (0＜a ＜1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f (1 2 )＝0，f (log a t )＞0，则t 的取值范围是________． 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 由图得－12＜log a t ＜0或log a t ＞12，解得t (0，a ) ∪(1，a a )． 说明：1．单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体 性质，单调性和奇偶性常常结合到一起考查． 2．函数图象是函数性质的直观载体，“以形辅数”是数形结合思想的重要体现． 例4（2019年江苏卷）已知函数f (x )＝???x 2 ＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2 )＞f (2x ) 的x 的范围是 ． 【解析】画出函数f (x )的图象，根据单调性，得???1－x 2 ＞2x ， 1－x 2 ＞0． ，解得 x ∈(－1，2－1)． 说明：1．函数单调性是比较大小和解不等式的重要依据，如果把式f (1－x 2 )＞f (2x )具体化，需要分类，情形比较复杂，本题对能力要求较高．2．分段函数是高考常考的内容之一，解决相关问题时，应注意数形结合、分类讨论思想的运用． 变式：设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________________________． 答案：f (a ＋1)＞f (b ＋2)． 例5（2019年江苏）设a 为实数，函数f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |．（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围；（2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a , +∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．【解析】（1）因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以，－a ＞0，即a ＜0．由a 2 ≥1，得a ≤－1． （2）记f (x )的最小值为g (a )， f (x )＝2x 2 ＋(x －a )|x －a |＝? ????3(x － a 3)2＋2a 2 3，x ＞a ， ①(x ＋a )2－2a 2 ， x ≤a ， ② （ⅰ）当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2 ，由①②知f (x )≥－2a 2 ，此时，g (a )＝－2a 2 ． （ⅱ）当a ＜0时，f (a 3)＝23a 2．若x ＞a ，则由①知f (x )≥23 a 2 ；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a ＜0，由②知f (x )≥2a 2 ＞23a 2．此时，g (a )＝23 a 2．
