极化作用和变形性
桂耀荣
离子极化指的是在离子化合物中，正、负离子的电子云分布在对方离子的电场作用下，发生变形的现象。离子极化理论认为，当正离子和负离子相互结合形成离子晶体时，如果相互间无极化作用，则形成的化学键应是纯粹的离子键。
事实上正、负离子之间将发生程度不同的相互极化作用，这种相互极化作用将导致电子云发生变形，即负离子的电子云向正离子方向移动，同时正离子的电子云向负离子方向移动，也就是说正、负离子的电子云发生了重叠。相互极化作用越强，电子云重叠的程度也越大，则键的极性也越减弱。从而使化学键从离子键过渡到共价键。
一种离子使导电离子极化而变形的作用称为该离子的“极化作用”。被异号离子极化而发生离子电子云变形的性能称为该离子的“变形性”。一般来说有阳离子极化作用占主要及阴离子变形占主要。
一、极化作用和变形性的规律以及相互极化和反极化作用
1．阴离子的变形性
（1）电子层结构相同的阴离子负电荷越大，变形性越大。
（2）电子层结构相同的阴离子的半径越大，变形性越大。
（3）复杂阴离子变形性通常不大，而且中心原子氧化数越高，变形性越小。
2．阳离子极化作用
（1）离子正电荷越大，半径越小，极化作用越强。
（2）就离子的外壳电子结构而论，离子极化作用依次为：
8电子<9—17电子<18电子和18＋2电子
这是因为有18电子电子层结构的离子，其最外层中的d电子对原子核有较小的屏蔽作用之故。
（3）对于外壳电子层结构相同的离子，电子层数越多，半径愈大，变形性越大。
3．相互极化（附加极化）
虽然正离子和负离子都有极化作用和变形性两方面的性能，但负离子在正离子的极化作用下更易变形。所以正离子主要表现为对负离子的极化作用，负离子主要表现为电子云的变形。因此在讨论正、负离子间的相互极化时，往往着重的是正离子的极化作用及负离子的变形性。但是当正离子的电子层构型为非稀有气体构型时，正离子也容易变形，此时要考虑正离子和负离子之间的相互极化作用。正、负离子相互极化的结果，导致彼此的变形性增大，产生诱导偶极矩加大，从而进一步加强了它们的极化能力，这种加强的极化作用称为附加极化作用。离子的外层电子构型对附加极化作用的大小有很重要的影响，一般是最外层含有d 电子的正离子容易变形而产生附加极化作用，而且所含d电子数越多，这种附加极化作用越大。
4．反极化作用
H＋的反极化作用指氢离子对极性键的削弱作用。反极化作用一般常见于含氧酸及含氧酸盐中。
二、离子极化对化合物的性质的影响
1．使化合物的熔点降低
由于离子极化，使化学键由离子键向共价键转变，化合物也相应由离子型向共价型过渡，其熔点、沸点也随共价成分的增多而降低。
2．使化合物的稳定性下降（分解温度降低）
随着离子极化作用的加强，负离子的电子云变形，强烈地向正离子靠近，有可能使正离子的价电子失而复得，又恢复成原子或单质，导致该化合物分解。
3．使化合物的颜色加深
离子极化作用使外层电子变形，价电子活动范围加大，与核结合松弛，有可能吸收部分可见光而使化合物的颜色变深。
4．使化合物的溶解度降低
离子晶体通常是可溶于水的。水的介电常数很大（约等于80），它会削弱正、负离子之间的静电吸引，离子晶体进入水中后，正、负离子间的吸引力将减到约为原来的八十分之一，这样使正、负离子很容易受热运动的作用而互相分离。由于离子极化，离子的电子云相互重叠，正、负离子靠近，离子键向共价键过渡的程度较大，即键的极性减小。水不能像减弱离子间的静电作用那样减弱共价键的结合力，所以导致离子极化极化作用和变形性
桂耀荣
离子极化指的是在离子化合物中，正、负离子的电子云分布在对方离子的电场作用下，发生变形的现象。离子极化理论认为，当正离子和负离子相互结合形成离子晶体时，如果相互间无极化作用，则形成的化学键应是纯粹的离子键。
事实上正、负离子之间将发生程度不同的相互极化作用，这种相互极化作用将导致电子云发生变形，即负离子的电子云向正离子方向移动，同时正离子的电子云向负离子方向移动，也就是说正、负离子的电子云发生了重叠。相互极化作用越强，电子云重叠的程度也越大，则键的极性也越减弱。从而使化学键从离子键过渡到共价键。
一种离子使导电离子极化而变形的作用称为该离子的“极化作用”。被异号离子极化而发生离子电子云变形的性能称为该离子的“变形性”。一般来说有阳离子极化作用占主要及阴离子变形占主要。
一、极化作用和变形性的规律以及相互极化和反极化作用
1．阴离子的变形性
（1）电子层结构相同的阴离子负电荷越大，变形性越大。
（2）电子层结构相同的阴离子的半径越大，变形性越大。
（3）复杂阴离子变形性通常不大，而且中心原子氧化数越高，变形性越小。
2．阳离子极化作用
（1）离子正电荷越大，半径越小，极化作用越强。
（2）就离子的外壳电子结构而论，离子极化作用依次为：
8电子<9—17电子<18电子和18＋2电子
这是因为有18电子电子层结构的离子，其最外层中的d电子对原子核有较小的屏蔽作用之故。
（3）对于外壳电子层结构相同的离子，电子层数越多，半径愈大，变形性越大。
3．相互极化（附加极化）
虽然正离子和负离子都有极化作用和变形性两方面的性能，但负离子在正离子的极化作用下更易变形。所以正离子主要表现为对负离子的极化作用，负离子主要表现为电子云的变形。因此在讨论正、负离子间的相互极化时，往往着重的是正离子的极化作用及负离子的变形性。但是当正离子的电子层构型为非稀有气体构型时，正离子也容易变形，此时要考虑正离子和负离子之间的相互极化作用。正、负离子相互极化的结果，导致彼此的变形性增大，
产生诱导偶极矩加大，从而进一步加强了它们的极化能力，这种加强的极化作用称为附加极化作用。离子的外层电子构型对附加极化作用的大小有很重要的影响，一般是最外层含有d 电子的正离子容易变形而产生附加极化作用，而且所含d电子数越多，这种附加极化作用越大。
4．反极化作用
H＋的反极化作用指氢离子对极性键的削弱作用。反极化作用一般常见于含氧酸及含氧酸盐中。
二、离子极化对化合物的性质的影响
1．使化合物的熔点降低
由于离子极化，使化学键由离子键向共价键转变，化合物也相应由离子型向共价型过渡，其熔点、沸点也随共价成分的增多而降低。
2．使化合物的稳定性下降（分解温度降低）
随着离子极化作用的加强，负离子的电子云变形，强烈地向正离子靠近，有可能使正离子的价电子失而复得，又恢复成原子或单质，导致该化合物分解。
3．使化合物的颜色加深
离子极化作用使外层电子变形，价电子活动范围加大，与核结合松弛，有可能吸收部分可见光而使化合物的颜色变深。
4．使化合物的溶解度降低
离子晶体通常是可溶于水的。水的介电常数很大（约等于80），它会削弱正、负离子之间的静电吸引，离子晶体进入水中后，正、负离子间的吸引力将减到约为原来的八十分之一，这样使正、负离子很容易受热运动的作用而互相分离。由于离子极化，离子的电子云相互重叠，正、负离子靠近，离子键向共价键过渡的程度较大，即键的极性减小。水不能像减弱离子间的静电作用那样减弱共价键的结合力，所以导致离子极化作用较强的晶体难溶于水。作用较强的晶体难溶于水。
三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则 b a ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 例2:（2014江苏）在平行四边形 ABCD 中，已知 , 2,3,5,8=?===BP AP PD CP AD AB 的取值范围是 1111，p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM ?的最大值为 秒杀秘籍：极化恒等式：()( )[] .122 b a b a b a --+= ?
的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 的两 个三等分点， 1,4-=?=?，则=?CE BE . 则=?AC AB . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，,10,3==BC AM 则=? . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，,1,3==BD AB ,4,3==AD AB P 为矩形ABCD 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，所在平面上一点，满足,21,2==PC PA 则=? . 二、界定数量积的取值范围 5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC Rt ?中，N M CB CA ,,3==是斜边AB 上的两个动点，且,2=MN 则CN CM ?的取值 范围为 （ ） A. ?? ????25,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4 三、探求数量积的最值 6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则() +?的最小值是 （ ） A. 2- B. 23- C. 3 4 - D. 1- 7.（2018?天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点， 则的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．3
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
极化恒等式 例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量,a b 满足 a b a b +=-=，则a b ?等于 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 5 例2：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的取值范围是 例3：正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的 线段称为球的弦），P 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ?u u u u r u u u r 的最大值为
例4：△ABC 中，∠C=90?，AC=4，BC=3，D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且 EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 的最小值等 一、求数量积的值 1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 的两个三等分 点，4,1BA CA BF CF ?=?=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BE CE ?=u u u r u u u r . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC ==则 AB AC ?=u u u r u u u r . 3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ?中，D 是BC 上的点，3,1,AB BD ==则 AB AD ?=u u u r u u u r 4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，3,4,AB AD ==P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足2,PA PC ==则PB PD ?=u u u r u u u r .
§4.2 多项式的恒等变形 教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是 解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。 教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的 常用方法。 课时安排：2课时。 教学内容如下： 一、 多项式的基本概念 多项式是由数与字母进行+、—、?运算而构成。 定义 设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。 所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。零多项式是唯一不定义次数的多项式。 二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理） 定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的值都等于零，那么这个多项式的所 有系数都等于零。 证明 用数学归纳法 （1）当n=1时，10()f x a x a =+。因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得0 0a =。由此得1()0f x a x =≡， 再令x=1，则有10a =。因此，命题对于一次多项式成立。 （2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于
n 次多项式也成立。 如果对于x 的任意值，都有 1 11 ()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 0≡ ① 在等式①中，以2x 代x ，得 11 110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡ ② ①2n ?—②，得1 12221202 (21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡ ③ 这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即 122 122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-= 02(21)0,,(21)0n k k n n k a a ---=-= 因为 20,210( 1,2,n k k k n -≠-≠= 所以 12100,0,,0,0 n n a a a a --=== = 代入①得，0n n a x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。 定理2 两个多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ （0n a ≠） 1m 110 g(x)=b (0)m m m m x b x b x b b --++++≠ 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即 ,(1,2,,)i i n m a b i n === 证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性。 为了确定起见，不妨设n ≥m 。若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使
概念：由于温度变化，地基不均匀趁降和地震因素的影响，易使建筑发生变形或破坏，故在设计时应事先将房屋划分成若干个独立部分，使各部分能自由独立的变化。这种将建筑物垂直分开的预留缝称为变形缝。包括伸缩缝，沉降缝和防震缝。 1伸缩缝 定义：为防止建筑构件因温度变化，热胀冷缩使房屋出现裂缝或破坏，在沿建筑物长度方向相隔一定距离预留垂直缝隙。这种因温度变化而设置的缝叫做伸缩逢。作法：从基础顶面开始，将墙体、楼板、屋顶全部断开使其分成若干段。伸缩缝间距为60m左右；宽度20mm ～30 mm。 2沉降缝定义：为防止建筑物各部分由于地基不均匀沉降引起房屋破坏所设置的垂直缝称为沉降缝。作法：从基础底部断开，并贯穿建筑物全高。使两侧各为独立的单元，可以垂直自由的沉降。设置原则： （1）建筑物平面的转折部位（2）建筑的高度和荷载差异较大处 （3）过长建筑物的适当部位 （4）地基土的压缩性有着显著差异 （5）建筑物基础类型不同以及分期建造房屋的交界处 宽度：2、3层50～80mm；4、5层80～120mm；5层以上≥120mm 3、防震缝 定义：在地震烈度≥8度的地区，为防止建筑物各部分由于地震引起房屋破坏所设置的垂直缝称为防震缝。 作法：从基础顶面断开，并贯穿建筑物全高。最小缝隙尺寸为50 ～100 mm。多层钢筋砼15m以下70mm；15m以上按烈度增大缝宽。 缝的两侧应有墙，将建筑物分为若干体型简单、结构刚度均匀的独立单元。 设置原则： （1）房屋立面高差在6m以上 （2）房屋有错层，并且楼板高差较大 （3）各组成部分的刚度截然不同 规定：在地震设防区，当建筑物需设置伸缩缝或沉降缝时，应统一按防震缝对待 八．结构变形缝 1．伸缩缝：为防止因温度、混凝土收缩等原因引起的过大结构附加应力而设置。（1）钢筋混凝土结构伸缩缝最大间距(m) 结构类别室内或土中露天 排架结构装配式100 70 框架结构装配式75 50 现浇式55 35 剪力墙结构装配式65 40 现浇式45 30 挡土墙、地下室墙壁等类结构装配式40 30
《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3） 半角的三角函数 212 C S α α -± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差 ][2 1 )()(C C C C βαβαβ α-++=
=S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= （2） 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α += T T C 22 2 211α α α+-= T T T 2 2 212α α α- = （4） 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++=+x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① ) 4 sin(2cos sin π + =+x x x
变形缝设置规范 篇一：变形缝设置要求 变形缝设置要求 变形缝 基本概念及相关规定： 1. 伸缩缝：连续地设置在建、构筑物应力比较集中的部位，将建、构筑物分割成两个或若干个独立单元，彼此能自由伸缩的竖向或水平缝。建筑物伸缩缝在地面以下的结构可不断开。伸缩缝的宽度应满足结构可能的最大伸缩变形的要求，以及其他的要求。伸缩缝最大间距详见《混凝土结构设计规范》（GB 50010-2002）第9.1.1 条、《砌体结构设计规范》（GB 50003-2001）第6.3.1 条、《钢结构设
计规范》（GB 50017-2003）第8.1.5 条、《门式刚架轻型房屋钢结构技术规程》（CECS 102：2002）第4.3.1 条等。 2. 防震缝：设置在建筑中层数、质量、刚度差异过大等、而可能在地震时引起应力或变形集中造成破坏的部位的竖向缝。防震缝应在地面以上设置。防震缝的宽度应根据设防烈度和房屋高度确定，对多层房屋可采用50～ 100mm，对高层房屋可采用100～150mm。钢结构防震缝的宽度不应小于相应混凝土房屋缝宽的1.5 倍。 3. 沉降缝：设置在同一建筑中因基础沉降产生显著差异沉降和可能引起结构难以承受的内力和变形的部位的竖直缝。沉降缝不但应贯通上部结构，而且也应贯通基础本身。沉降缝的宽度不宜小于120mm，并应考虑缝两侧结构非均匀沉降倾斜和地面高差的影响。 4. 抗震缝、伸缩缝在地面以下可不设缝，连接处应加强。但沉降缝两侧墙体基础一定要分开。 5. 另外，还有墙体控制缝及屋盖分割缝，均需用弹性密封材料填嵌或防护。 6. 施工中留设后浇带或采取专门的预加应力措施可适当增加规范规定的伸缩缝最大间距。 7. 某些标准图集和《2003 结构技术措施》第5.3.13 条规定：现浇悬臂挑檐板或天沟板的伸缩缝间距不应大于15m （与规范规定的12m 不一致）。伸缩缝宽不小于
三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
极化恒等式与矩形大法 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A C CB -= ②,则： ①2 +②2 得：222 2 42++=AB AD BC AC ；①2-②2 得：22 44-=?AB AD BC AC 推广：222 2 +-=???=AB AB AC cosA AB AC BC AC 速记方法：22()() 4a b a b a b +--?==，22 22()()2 a b a b a b +-+=+= 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 222 2 4PD PB 2PO BD ++=①2222 4PA PC 2 PO AC ++= ② 因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有22 2 2 2 2 BD ()2 AC -+-+=PA PC PD PB 推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。 二、 典型例题 1．（2012浙江文15）在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ?= _________． 解析：由极化恒等式有：22 4AB 164 AM BC AC -= ?=- 2. （2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ， 恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC = 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：22 4PB 4 PD BC PC -?=则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===?-++求a b -的范围？ 解析：由0,()1a b e a b =?-++得0()()a e b e =-?- 如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 2222OE OC OA OB +=+，则OC = [,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=
专题34 极化恒等式 专题知识梳理 1.公式推导 ()( ) ()( ) 2 2222 2222142a b a ab b ab a b a b a b a a b b ? +=++????=+--??????-=-+? r r r r r r r r r r r r r r r r r r 在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22 AB AC AD DB =-u u u r u u u u r u u u r u u u r g . D C B A 如图，由 ()() 22222 2111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ?????? =+--=-=- ??????????? u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 得证. 类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。 2.几何意义 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 14 。 考点探究 【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF → ＝－1则BE →·CE →的值是____．
【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC → 的最大值是___．
题组训练 1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC → 的值是____． 2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝__ __． 3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC → 2的最小值是____． 4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP → ＝1，则实数λ的值为__ _ 5.在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是____． 6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =， 6CD =，则MA MB ?u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．
房屋变形缝的设置 在工程实践中,常会遇到不同大小、不同体型、不同层高，建在不同地质条件上的建筑物，对某些建筑物，如果不考虑温度伸缩、沉降和地震的影响，就会产生裂缝，甚至破坏。下面将结构缝的种类和设置原则分别阐述一下，以利于今后的工作。 1．伸缩缝（温度变形缝） 伸缩缝的主要作用是避免由于温差和砼收缩而使房屋结构产生严重的变形和裂缝。为了防止房屋在正常使用条件下，由于温差和墙体干缩引起的墙体竖向裂缝，伸缩缝应设在因温度和收缩变形可能引起的应力集中、砌体产生裂缝可能性最大的地方。温度伸缩缝的间距可通过计算确定，亦可按砌体结构设计规范（GB2003-2001）表6.3.1采用。 砌体房屋温度伸缩缝的最大间距（M） 伸缩缝的做法是从基础顶面开始将两个温度区段的上部结构完全分开。 2. 沉降缝 沉降缝是指在工程结构中，为避免因地基沉降不均导致结构沉降裂缝而设置的永久性的变形缝。沉降缝主要控制剪切裂缝的产生和发展，通过设置沉降缝消除因地基承载力不均而导致结构产生的附加内力，自由释放结构变形，达到消除沉降缝的目的。实际上它将建筑物划分为两个相对独立的结构承重体系。 沉降缝的设置部位： ⑴建筑平面的转折部位；
⑵高度差异或荷载差异处； ⑶长高比过大的砌体承重结构或钢筋砼框架的适当部位； ⑷地基土的压缩性有显著差异处； ⑸建筑结构或基础类型不同处； ⑹分期建造房屋的交界处。 沉降缝的做法与伸缩缝不同，它要求在沉降缝处将基础连同上部结构完全断开，自成独立单元。沉降缝的宽度可按表1采用。 必须注意，在沉降缝内不能填塞材料，以免妨碍建筑物两侧各单元的自由移动，不少工程，虽然设置了沉降缝，但由于施工时不慎缝内被砖块或砂浆等杂物堵塞，往往失去沉降缝的作用。在寒冷地区，因保暖需要，可在缝的侧面充填保温材料，但必须保证墙体能自由沉降。 房屋沉降缝的宽度（MM） 防震缝 为了提高房屋的抗震能力，避免或减轻破坏，在《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）中规定：多层砌体房屋结构有下列情况之一时，应设置防震缝，缝两侧均应设置墙体： （1）房屋立面高差在6M以上； （2）房屋有错层，且楼板高差较大； （3）各部分结构刚度、质量截然不同时； 高层钢筋砼房屋当需要设置防震缝时，防震缝最小宽度应符合下列规定： ⑴框架结构房屋的防震缝宽度，当高度不超过15m时可采用70m；超过15m 时，6度、7度、8度和9度相应每增加高度5m、4m、3m和2m，宜加宽20mm。
WOIRD格式 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 专业资料整理
变形缝的种类 变形缝有伸缩缝、沉降缝和防震缝三种。 1、伸缩缝 伸缩缝要求把建筑物的墙体、楼板层、屋顶等地面以上部分全部断开，基础部分因受温度变化影响较小，不需断开。 ①伸缩缝的设置： 伸缩缝的最大间距，应根据不同材料的结构而定。 ②伸缩缝的构造： 伸缩缝是将基础以上的建筑构件全部分开，并在两部分中间留出适当的缝隙，缝宽一般在20~40毫米。 伸缩缝的结构处理 砖混结构的墙和楼板及屋顶结构布置可采用单墙也可采用双墙承重方案，最好设置在平面图形有变化处，以利隐藏处理。 框架结构一般采用悬臂梁方案，也可采用双梁双柱方式，但施工较复杂。 墙体伸缩缝构造 砖墙伸缩缝一般做成平缝或错口缝，一砖半厚外墙应做成错口缝或企口缝。外墙外侧常用浸沥青的麻丝或木丝板及泡沫塑料条、油膏弹性防水材料塞缝，缝隙较宽时，可用镀锌铁皮、铝皮作盖缝处理。内墙可用金属皮或木条作为盖缝。楼地板层伸缩缝构造 伸缩缝位置大小应与墙体、屋顶变形缝一致。缝内以可压缩变形的油膏、沥青麻丝、金属或塑料调节片等材料做封缝处理，上铺活动盖板或橡
皮等以防灰尘下落。顶棚处的盖缝条只能固定于一端，以保证缝两端构件自由伸缩。屋顶伸缩缝构造 不上人屋面一般在伸缩缝处加砌矮墙，屋面防水和泛水基本上同常规做法，不同之处在于盖缝处铁皮混凝土板或瓦片等均应能允许自由伸缩变形而不造成渗漏，上人屋面则用嵌缝油膏嵌缝并注意防水处理。 2、沉降缝 ①沉降缝的设置： 沉降缝是为了建筑物各部分由于不均匀沉降引起的破坏而设置的变形缝。下列情况须设置沉降缝： Ⅰ.当建筑物建造在不同的地基土壤上，两部分之间。 Ⅱ.当同一建筑物的相邻部分高度相差两层以上或部分高度差超过10米时。 Ⅲ.当同一建筑相邻基础的结构体系、宽度和埋置深度相差悬殊时。 Ⅳ.原有建筑物和新建建筑物紧相毗连时。 Ⅴ.建筑平面形状复杂，高度变化较多时，应将建筑物划分为几个简单的体型，在各部分之间设置沉降缝。 ②沉降缝构造： 沉降缝与伸缩缝最大的区别在于沉降缝非但将墙、楼层及屋顶部分脱开，而且其基础部分亦必须分离。 沉降缝的宽度随地基情况和建筑物的高度不同而定。 沉降缝一般兼起伸缩缝的作用，其构造与伸缩缝基本相同，但盖缝条及调节片构造必须注意能保证在水平方向和垂直方向自由变形。
三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
极化恒等式作业详解 1. 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ?∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ?u u u r u u u r 最小值为______ 【答案】154 【解析】 设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM = ，即点M 在如图所示的圆弧上， 则222211115||||||||4244 DE DF DM EM DM CD ?=-=---=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ≧ 2. 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B= 14 AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则三角形ABC 形状为_______. 【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】 取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ??u u u r u u u r u u u r u u u r Q … 2222011||||||44 PD BC P b BC ∴--u u u r u u u r u u r u u u r r …0||PD P D ∴u u u r r r … 0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴= 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形. 3. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一 点，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 的最小值是_____ 【答案】32 - 【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM, 222133()22||||2||222 PA PB PC PO PA PM AO PM ∴?+=?=-=-≥-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 当且仅当M 与P 重合时取等号 4. 直线0ax by c ++=与圆22 0:16x y +=相交于两 点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ?u u u u r u u u r 的取值范围为_______
工程中的变形缝、结构缝 一、按功能，可分为以下十种类型： 1.膨胀缝（伸缝）：能够有效消解超静定结构中膨胀（伸长）变形的结构缝； 2.收缩缝（缩缝）：能够有效消解超静定结构中收缩（变短）变形的结构缝； 3.沉降缝：能够有效消解超静定结构中由于基础不均匀沉降而引起变形差的结构缝； 4.抗震缝：结构在地震作用下发生强迫移位时，能够消解、缓和结构不同部分碰撞损坏的结构缝； 5.体型缝：结构形状或体量发生突变时，将结构在体型突变处分割为不同部分而设置的结构缝； 6.局部缝：在结构形状突变的部位，为缓和应力集中影响而设置的局部结构缝； 7.控制缝：在结构容易发生裂缝的部位，通过预先设置薄弱截面或其它措施，主动引导裂缝出现并加以控制的缝； 8.拼接缝：预制构件装配连接时，拼接处所形成的缝； 9.施工缝：混凝土浇筑体量较大时，按预定位置划分不同的施工浇筑区域，接槎出所形成的缝； 10.界面缝：不同结构形式，不同建筑构件，不同建筑材料之间在界面上所形成的缝。
二、按做法，可分为以下七种类型： 1.全部断开的缝：将结构分割成完全独立的若干部分； 2.上部断开的缝：基础部分相连而上部结构断开所形成的缝； 3.局部断开的缝：结构局部在一定范围内，分割所形成的缝； 4.钢筋断开、混凝土接槎形成的缝：不考虑传递内力的预制构件之间的拼接缝； 5.钢筋后连接、混凝土接槎形成的缝：施工阶段不考虑传力，后用搭接，机械连接或焊接实现钢筋连接形成整体而可以传递内力的缝； 6.钢筋连通、混凝土接槎形成的缝：从受力上按整体考虑，但在施工 时混凝土在此接槎而形成的施工缝； 7.钢筋和混凝土连续、后期引导出现的缝：通过在预定部位削弱截面或采取其他措施引导产生并加以控制的缝。 （常见的几种） 1、伸缩缝：伸缩缝也叫温度缝，是考虑温度变化时对建筑物的影响而设置的。气候的冷热变化会使建筑材料和构配件产生胀缩变形，太长和太宽的建筑物都会由于这种胀缩而出现墙体开裂甚至破坏。因此，把太长和太宽的建筑物设置伸缩缝分割成若干个区段，保证各段自由胀缩，从而避免墙体的开裂。伸缩缝缝宽20~30mm内填弹性保温材料。 在桥涵混凝土防撞护栏设计中因钢筋混凝土浇筑长度不一会隔比例适当的地方设计一条或几条伸缩缝以防止钢筋混凝土防撞护栏因自然、外界、钢筋混凝土本身的力学条件产生不均匀的断裂或缝隙。
和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α)) sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α) cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α) tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α) 万能代换公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 和角差角： cos(α±β)=cosαcosβ干sinαsinβ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1干tanαtanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinαcosα=2tan^2(α)/[1+tan^2(α)] cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)=(1-tan^2(α))/(1+tan^2(α)) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα